3.1 数系的扩充
学习目标
重点难点
1．会分析数系扩充的必要性及其过程．
2．能知道复数的基本概念及复数相等的充要条件．
3．能知道复数的表示法及有关概念.
重点：复数的分类、复数相等的充要条件、复数的表示法及有关概念．
难点：复数的有关概念的理解及复数相等的充要条件的应用.
1．虚数单位
我们引入一个新数i，叫做__________，并规定：
(1)i2＝______；
(2)______可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数
(1)形如______(a，b∈R)的数叫做复数．
(2)全体复数所组成的集合叫做_______，记作_______．
(3)复数通常用字母z表示，即________________，其中a与b分别叫做复数z的________与________．当且仅当________时，z是实数a；当b≠0时，z叫做________．特别地，当________时，z＝bi叫做________．即复数z＝a＋bi
预习交流1
复数a＋bi的实部、虚部一定分别是a，b吗？
预习交流2
形如bi(b∈R)的复数一定是纯虚数吗？
3．复数相等
(1)如果两个复数的________与________分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即a＋bi＝c＋di?________,,.
(2)两个复数相等的充要条件是它们的__________分别相等．
预习交流3
做一做：已知a，b∈R，a＋i＝－1－bi，则a＝__________，b＝__________.
预习交流4
两个复数能比较大小吗？
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．虚数单位 (1)－1 (2)实数
2．(1)a＋bi (2)复数集 C (3)z＝a＋bi(a，b∈R) 实部 虚部 b＝0 虚数 a＝0且b≠0 纯虚数
b＝0 b≠0 a＝0
预习交流1：提示：不一定．只有当a，b都是实数时，a是复数的实部，b是复数的虚部．
预习交流2：提示：不一定．只有当b是不为0的实数时，bi是纯虚数，若b＝0，则bi＝0是实数．
3．(1)实部 虚部 (2)实部和虚部
预习交流3：提示：－1 －1
预习交流4：提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判断两个复数相等或不相等．
一、复数的有关概念
已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
思路分析：弄清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．
设复数z＝lg(m2－2m－14)＋(m2＋4m＋3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解决复数的分类问题时，主要依据复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的范围，但若已知的复数z不是a＋bi(a，b∈R)的形式，应先化为这种形式，得到复数的实部、虚部再进行求解．
二、复数相等
已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩NM，M∩N≠，求整数a，b.
思路分析：依据集合关系，先确定集合元素满足的关系式，进而用复数相等的充要条件，求出a，b.
1．若a，b∈R，复数(a2－3a＋2)＋(b－1)i＝0，则实数对(a，b)表示的点的坐标为__________．
2．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．
复数相等的充要条件是化复数为实数的主要依据，多用来求解参数．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解．
三、复数的代数形式
已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z＜0，求实数k的值．
思路分析：认真审题，“z＜0”说明z为实数且小于0.
1．复数z＝m＋(m2－1)i是负实数，则实数m的值为__________．
2．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i的实部小于零，虚部大于零，求实数k的取值范围．
虚数不能说大于0或小于0，只有实数才能说大于0或小于0.
1．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确的命题是______．(填正确结论的序号)
2．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是__________．
3．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为__________．
4．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为__________．
5．已知复数z＝m2－2m－8＋(m2－3m－4)i，当m取怎样的实数时，z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，
解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，
解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，
且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
迁移与应用：
解：(1)∵z为实数，
∴虚部m2＋4m＋3＝0，
则m＝－1或m＝－3.
而当m＝－1时，m2－2m－14＝1＋2－14＜0(不合题意，舍去)；
当m＝－3时，m2－2m－14＝1＞0.
∴当m＝－3时z为实数．
(2)∵z为纯虚数，
∴实部lg(m2－2m－14)＝0，且m2＋4m＋3≠0，
即解得m＝5.
∴当m＝5时z为纯虚数．
活动与探究2：解：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i或8＝(a2－1)＋(b＋2)i.
(1)当(a＋3)＋(b2－1)i＝3i时，得
∴或
经检验不合题意，舍去．
∴
(2)当8＝(a2－1)＋(b＋2)i时，得
∴或.
由(1)知不合题意，舍去，
∴
综上，或
迁移与应用：
1．(1,1)或(2,1) 解析：由已知解得或
∴点(a，b)为(1,1)或(2,1)．
2．解：∵x，y为实数，
∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，
由复数相等的定义，知
∴
活动与探究3：解：∵z＜0，∴z∈R.
∴k2－5k＋6＝0.
∴k＝2或k＝3.但当k＝3时，z＝0不符合题意．
k＝2时，z＝－2＜0符合题意．
∴k＝2.
迁移与应用：
1．－1 解析：由已知得解得m＝－1.
2．解：由题意得
即∴
解得－＜k＜0或1＜k＜2.
当堂检测
1．③ 解析：①若a＝－1，则(a＋1)i＝0，①错；②中若x＝－1，则x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1不适合，②错；③是正确的．
2．2－2i 解析：2i－的虚部是2，i＋2i2化为i－2，对应实部为－2.
∴所求的新复数为2－2i.
3．－1 解析：由已知得解得x＝－1.
4．－4 解析：由两复数相等的充要条件得解得a＝－4.
5．解：(1)当m2－3m－4＝0，即m＝－1或m＝4时，z为实数．
(2)当m2－3m－4≠0，即m≠－1且m≠4时，z为虚数．
(3)当m2－2m－8＝0且m2－3m－4≠0，
即m＝－2时，z为纯虚数．
(4)当m2－2m－8＝0且m2－3m－4＝0，
即m＝4时，z为零．
3.2 复数的四则运算
学习目标
重点难点
1．会进行复数代数形式的四则运算．
2．掌握复数运算的几个运算律．
3．能知道共轭复数的概念.
重点：复数代数形式的四则运算．
难点：运用四则运算法则解题.
1．复数的加法法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)是任意两个复数，复数的加法按照以下的法则进行：(a＋bi)＋(c＋di)＝________＋________i，即：两个复数相加就是把__________、__________分别相加．
(2)两个复数的和仍是一个________．
(3)加法的运算律：对任何z1，z2，z3∈C，有：
①交换律：z1＋z2＝________；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋________.
2．复数的减法法则
(1)我们把满足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi减去复数c＋di的______，记作__________．
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，复数的减法按照以下的法则进行：(a＋bi)－(c＋di)＝________＋________i，即：两个复数相减就是把__________、________分别相减．
(3)两个复数的差仍是一个________．
预习交流1
做一做：已知复数z1＝1－i，z2＝2－3i，则z1＋z2＝__________，z1－z2＝__________.
3．复数的乘法法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，复数的乘法按照以下的法则进行：(a＋bi)(c＋di)＝________＋________i.
(2)两个复数的积仍然是一个________．
(3)乘法的运算律：对任何z1，z2，z3∈C，有
①交换律：z1z2＝________；
②结合律：(z1z2)z3＝________；
③分配律：z1(z2＋z3)＝________.
(4)(________)2＝－1.
预习交流2
(2012福建高考改编)若复数z满足zi＝1－i，则z等于__________．
4．共轭复数
(1)我们把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为________．
(2)复数z＝a＋bi的共轭复数记作_______，即_______．
(3)当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝________，也就是说，实数的共轭复数仍是________．
预习交流3
互为共轭的两复数，在复平面内对应的点有何关系？
预习交流4
做一做：若复数a＋3i与复数－3＋bi互为共轭复数，其中a∈R，b∈R，则a＋bi＝__________.
5．复数范围内正整数指数幂的运算律
(1)对任何z，z1，z2∈C，及m，n∈N*，有zmzn＝________，(zm)n＝________，(z1z2)n＝________.
(2)一般地，如果n∈N*，我们有i4n＝________，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
6．复数的除法法则
(1)我们把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的________，记作________或______________．
(2)一般地，我们有＝________＝＋i.
(3)两个复数的商仍是一个________．
预习交流5
做一做：i是虚数单位，则复数＝__________.
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．(1)(a＋c) (b＋d) 实部与实部 虚部与虚部
(2)复数 (3)①z2＋z1 ②(z2＋z3)
2．(1)差 (a＋bi)－(c＋di) (2)(a－c) (b－d) 实部与实部 虚部与虚部 (3)复数
预习交流1：提示：3－4i －1＋2i
3．(1)(ac－bd) (bc＋ad) (2)复数 (3)①z2z1
②z1(z2z3) ③z1z2＋z1z3 (4)±i
预习交流2：－1－i 提示：由zi＝1－i，得z＝＝＝＝＝－1－i.
4．(1)共轭复数 (2) ＝a－bi (3) 它本身
预习交流3：提示：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，在复平面内对应的点为Z(a，b)；
其共轭复数＝a－bi在复平面内对应的点为Z′(a，－b)显然两点关于x轴对称．
预习交流4：提示：－3－3i
5．(1)zm＋n zmn z1nz2n (2)1
6．(1)商 (a＋bi)÷(c＋di)
(2) (3)复数
预习交流5：提示：1＋2i
一、复数的加减运算
计算(6－6i)＋(7－i)－(4＋6i)．
思路分析：利用复数的加、减法法则进行运算．
1．(1)(1＋3i)＋(－2＋i)－(2－i)＝__________.
(2)已知复数z1＝2＋ai，z2＝b－3i，a，b∈R，当z1－z2＝(1－i)＋(1＋2i)时，a＝__________，b＝__________.
2．已知复数(5＋6i)＋(b－3i)－(2＋ai)＝0(a，b∈R)，则复数z＝a＋bi＝__________.
(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；
(2)复数的加、减运算结果仍是复数；
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算；
(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．
二、复数的乘除运算
(1)若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝__________.
思路分析：复数乘法直接利用乘法运算法则，类比多项式相乘进行运算．
(2)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为__________．
思路分析：将已知复数乘以2＋i，然后利用复数乘法运算法则，求出复数的实部、虚部．
1．(2012重庆高考)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝__________.
2．已知x，y∈R，且＋＝，求x，y的值．
复数乘除运算法则的理解
(1)复数的乘法可以把i看做字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
(2)复数乘法可推广到若干个因式连乘，且满足乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律．
三、共轭复数
(1)若z＝，则复数＝__________.
思路分析：结合复数除法法则确定z的实部与虚部，再运算．
(2)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝__________.
思路分析：先求出，再进行复数的四则运算．
1．复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝__________.
2．若复数z满足i＝i－1，则z＝__________.
(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.
(2)掌握共轭复数的概念注意两点：
①结构特点：实部相等、虚部互为相反数；
②几何意义：在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．
四、混合运算
计算i2 012＋(＋i)8－50.
思路分析：利用i的幂的周期性，(1±i)2＝±2i便可简便地求出结果．
已知z＝，则1＋z50＋z100的值是__________．
注意复数计算中常用的整体．
(1)i的性质：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；
(3)设ω＝－＋i，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝，＝1.
1．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝__________.
2．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．
3．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝__________.
4．已知复数z＝，为z的共轭复数，则＋(1＋i)＝__________.
5．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
6．(2012江苏高考)设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(6－6i)＋(7－i)－(4＋6i)＝(6＋7－4)＋(－6－1－6)i＝9－13i.
迁移与应用：
1．(1)－3＋5i (2)－2 0 解析：(1)原式＝(1－2－2)＋(3＋1＋1)i＝－3＋5i.
(2)由已知(2＋ai)－(b－3i)＝(1－i)＋(1＋2i)得(2－b)＋(a＋3)i＝2＋i，
∴∴
2．3－3i 解析：由已知得(3＋b)＋(3－a)i＝0，
∴∴
∴z＝a＋bi＝3－3i.
活动与探究2：(1)1＋3i 解析：∵z＝1＋i，∴(1＋z)·z＝(1＋1＋i)(1＋i)＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.
(2)2 解析：＝＝
＝＋i为纯虚数，
∴
迁移与应用：
1．4 解析：(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋bi，
所以a＝1，b＝3，a＋b＝4.
2．解：＋＝可写成
＋＝，
5x(1－i)＋2y(1－2i)＝5－15i，
(5x＋2y)－(5x＋4y)i＝5－15i，
∴∴
活动与探究3：(1)2＋i 解析：∵z＝＝－i(1＋2i)＝2－i，∴＝2＋i.
(2)－i 解析：∵z＝1＋i，
∴＝1－i，
∴z －z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1
＝1－i2－1－i－1＝－i.
迁移与应用：
1． 解析：z＝＝＝
＝
＝－＋i，
＝－－i.
所以z·＝2＋2＝.
2．1－i 解析：＝＝1＋i，∴z＝1－i.
活动与探究4：解：原式＝i503×4＋(4i)4－25＝1＋256－i＝257－i.
迁移与应用：
i 解析：z＝，所以z2＝2＝＝i，
于是1＋z50＋z100＝1＋i25＋i50＝1＋i－1＝i.
当堂检测
1．1－i 解析：由(1＋i)z＝2得z＝＝＝＝1－i.
2．－20 解析：(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，故实部为－20.
3．1＋i 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则a＋bi＝i(2－a－bi)＝b＋(2－a)i，
由复数相等，得
∴a＝b＝1，即z＝1＋i.
4．2＋2i 解析：z＝＝＝＝1－i，∴＝1＋i，∴＋(1＋i)＝2＋2i.
5．1 解析：∵i(z＋1)＝－3＋2i，
∴z＋1＝＝＝2＋3i.
∴z＝1＋3i.故z的实部为1.
6．8 解析：∵a＋bi＝，
∴a＋bi＝＝5＋3i.
根据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3，故a＋b＝8.
3.3 复数的几何意义
学习目标
重点难点
1．能知道复平面、实轴、虚轴等概念．
2．能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．
3．能知道复数模的概念，会求复数的模．
4．了解复数代数形式加减法的几何意义.
重点：1.理解并掌握复数代数形式加减法的几何意义，并能适当应用．
2．复数的模．
难点：复数代数形式加减法的几何意义.
1．复平面
(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做______．x轴叫做________，y轴叫做________．实轴上的点都表示________．除原点外，虚轴上的点都表示________．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以用复平面内的点Z________来表示，也可以用向量________来表示，三者的关系如下：
(3)为方便起见，常把复数z＝a＋bi说成点Z或向量，并且规定，相等的向量表示________复数．
预习交流1
做一做：复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则实数a的值为________．
预习交流2
做一做：复数z＝在复平面内所对应的点位于第________象限．
2．复数的模(或绝对值)
(1)________的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|.
(2)如果z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝|a＋bi|＝______.
预习交流3
做一做：若对于实数x，y，复数x＋yi的模都为3，则点(x，y)的轨迹方程是__________．
3．复数加减法的几何意义
(1)加法的几何意义
设向量，分别与复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)对应，且，不共线．如下图，以，为两条邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．
(2)减法的几何意义
复数的减法是加法的逆运算，设，分别与复数a＋bi，c＋di相对应．且，不共线，如下图，则这两个复数的差z1－z2与向量－(即)对应，这就是复数减法的几何意义．
实际上，在平面向量中已有向量的几何解释，同复数减法的几何解释是一致的．
(3)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1－z2|＝________________，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的________．
预习交流4
做一做：在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数为－1－i，则向量对应的复数为__________．
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．(1)复平面 实轴 虚轴 实数 纯虚数 (2)(a，b) (3)同一个
预习交流1：提示：∵复数对应的点在虚轴上，
∴a2－2a＝0，即a＝0或a＝2.
预习交流2：提示：z＝＝＝－i，对应点为，在第四象限．
2．(1)向量 (2)
预习交流3：提示：∵|x＋yi|＝＝3，
∴x2＋y2＝9.
3．(3) 距离
预习交流4：提示：－3－2i
一、复数的几何意义
实数x分别为什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i表示的点
(1)在实轴上？
(2)在虚轴上？
思路分析：本题需弄清实轴、虚轴及实轴上数的特点、虚轴上数的特点，抓住特点完成．
1．在复平面内，点A，B对应的复数分别是－3＋2i,1－4i，则线段AB的中点对应的复数是__________．
2．复数z＝－2i－1，则复数z在复平面内对应的点位于第__________象限．
确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．
二、有关复数模的问题
已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
思路分析：常规解法：设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件，求出a，b.也可以巧妙地利用|z|∈R，移项后得到复数的实部，再取模可得关于|z|的方程，求解即可．
1．(2012湖南高考)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
2．已知复数z＝a＋i(0＜a＜2)，则|z|的取值范围是__________．
3．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若复数z的虚部为，且|z|＝2，复数z在复平面内对应的点在第二象限，则复数z＝__________.
z为复数，但|z|为实数，复数相等的定义即实部与实部相等，虚部与虚部相等．需明确谁是实部，谁是虚部，同时，把复数z看作整体的方法值得借鉴．
三、复数加减法几何意义的应用
已知平行四边形ABCD的顶点A、B、D对应的复数分别为1＋i、4＋3i、－1＋3i.
试求：(1)对应的复数；
(2)对应的复数；
(3)点C对应的复数．
思路分析：利用复数加法、减法的几何意义进行求解．
1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是__________．
2．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面上表示的图形；
(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
1．在复平面内，复数z＝cos 3＋isin 3对应的点位于第__________象限．
2．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|z－i|，则z所对应的点的集合构成的图形是__________．
3．已知复数z＝(1－i)(2－i)，则|z|的值是__________．
4．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为__________．
5．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为__________．
6．定义运算＝(a＋d)－(c＋b)，则符合条件＝0的复数z对应的点在第______象限．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)当x2－2x－15＝0，
即x＝－3或x＝5时，复数z对应的点在实轴上．
(2)当x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3时，复数z对应的点在虚轴上．
迁移与应用：
1．－1－i 解析：由已知A(－3,2)，B(1，－4)，
∴AB的中点为(－1，－1)，
∴AB中点对应的复数为－1－i.
2．三 解析：复数z在复平面内对应的点为(－1，－2)，该点位于第三象限．
活动与探究2：解法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i.
∴解得
∴z＝－15＋8i.
解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i.
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部．
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2.
∴|z|＝17.代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.
迁移与应用：
1．10 解析：∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝32＋12＝10.
2．(1，) 解析：|z|＝|a＋i|＝.
∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，
∴1＜|z|＜.
3．－1＋i 解析：由已知得，
∴.
又∵复数z对应的点在第二象限，
∴a＝－1，即z＝－1＋i.
活动与探究3：解：(1)设坐标原点为O，
则有＝－，
所以对应的复数为(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i.
(2)＝－，
所以对应的复数为(4＋3i)－(－1＋3i)＝5.
因为ABCD是平行四边形，
所以＝.
由(1)知＝－2＋2i，
而＝－，
所以对应的复数为(－2＋2i)＋(4＋3i)＝2＋5i，
这就是点C对应的复数．
迁移与应用：
1．4－2i 解析：依题意有＝＝－，
所以对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i.
2．解：(1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N的轨迹是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆截直线l所得的一条线段AB，如图所示．
(2)圆方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1，解方程组
得A，B，
所以|OA|＝，|OB|＝.点O到直线l的距离为，且过O向l引垂线，垂足在线段BE上，＜，故集合P中复数模的最大值为，最小值为.
当堂检测
1．二 解析：由已知得复数z对应的点为(cos 3，sin 3)，
而cos 3＜0，sin 3＞0，∴点(cos 3，sin 3)在第二象限．
2．以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线
3． 解析：z＝(1－i)(2－i)＝1－3i，
∴|z|＝＝.
4．－3－4i 解析：＝－＝－＝(－1－3i)－(2＋i)＝－3－4i.
5．9 解析：复数z对应的点为(m－3,2)，
由已知得m－3＝2，∴m＝9.
6．一 解析：由定义得(z＋1－i)－(1－2i＋1＋2i)＝0，z－1－i＝0，
∴z＝1＋i，对应点为(1,1)，故z对应的点在第一象限．
