1.1.1 平均变化率
学习目标
重点难点
1．能说出平均变化率的定义．
2．会求平均变化率.
重点：平均变化率的定义．
难点：求平均变化率.
平均变化率
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为__________．
预习交流1
在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx______0.
预习交流2
已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则＝__________.
预习交流3
函数f(x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f(x)在(x1，x2)上没有变化或一定为常数？
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习交流1：≠
预习交流2：提示：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝＝2＋Δx.
预习交流3：提示：函数f(x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0，这时f(x1)＝f(x2)；平均变化率等于0，不能说f(x)在区间(x1，x2)上没有变化，也不能说明f(x)一定为常数，例如f(x)＝x2－1在区间(－2,2)上．
一、求函数在某区间内的平均变化率
某物体做自由落体运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝gt2(单位：m)，计算t从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各时间段内s(t)的平均变化率．
思路分析：求各时间段内s的平均变化率，即求相应的平均速度，就是求，即，为此需求出Δs，Δt.
1．若质点的运动方程为s＝－t2，则该质点在t＝1到t＝3时的平均速度为________．
2．求函数f(x)＝在区间(－1,0)，(1,3)，(4,4＋Δx)上的平均变化率．
求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤：
(1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(3)求平均变化率＝＝.
二、求函数在某点附近的平均变化率
求函数y＝5x2＋6在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率．
思路分析：∵函数f(x)＝y＝5x2＋6，
∴f(2)＝5×4＋6＝26.
当x由2变化到2＋Δx时，f(2＋Δx)＝5(2＋Δx)2＋6，则Δy＝f(2＋Δx)－f(2)．
1．已知函数y＝f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则＝__________.
2．当x0＝2，Δx＝时，求y＝在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)是函数的自变量由x0改变到x0＋Δx时的变化量，而平均变化率就是.
1．函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为__________．
2．已知某质点的运动规律为s(t)＝5t2(s的单位为m，t的单位为s)，则在1 s到3 s这段时间内，该质点的平均速度为__________．
3．一质点的运动方程为s＝2t2，则此质点在时间[1,1＋Δt]内的平均速度为__________．
4．函数y＝2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为__________．
5．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为__________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：设t在[3,3.1]上的平均变化率为v1，则Δt1＝3.1－3＝0.1(s)，Δs1＝s(3.1)－s(3)＝g×3.12－g×32＝0.305g(m)，
∴＝＝3.05g(m/s)．
同理＝＝3.005g(m/s)，
＝＝3.000 5g(m/s)．
迁移与应用：
1．－4 解析：平均速度为＝＝－4.
2．解：f(x)＝在区间(－1,0)上的平均变化率为
＝＝＝－；
f(x)＝在区间(1,3)上的平均变化率为
＝＝＝－；
f(x)＝在区间(4,4＋Δx)上的平均变化率为
＝＝＝－.
活动与探究2：解：∵f(x)＝y＝5x2＋6，
∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝5(2＋Δx)2＋6－26＝5[4＋4Δx＋(Δx)2]－20＝20Δx＋5(Δx)2.
∴＝＝20＋5Δx.
迁移与应用：
1．2Δx＋4 解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝2(Δx)2＋4Δx，所以＝2Δx＋4.
2．解：x0＝2，Δx＝时，Δy＝－＝－，
∴平均变化率为＝＝－.
当堂检测
1．7 解析：＝＝＝7.
2．20 m/s
3．4＋2Δt 解析：＝＝4＋2Δt.
4．8＋2Δx 解析：＝＝＝8＋2Δx.
5．0.4π 解析：∵S＝πr2，
∴＝＝＝0.4π.
1.2.1 常见函数的导数
学习目标
重点难点
1．能够用导数的定义求几个常用函数的导数．
2．能记住几个基本初等函数的求导公式．
3．会利用导数解决简单问题.
重点：用导数定义求几个常用函数的导数．
难点：灵活应用求导公式解决问题.
1．常见函数的导数
(1)(kx＋b)′＝______(k，b为常数)；
(2)C′＝______(C为常数)；
(3)(x)′＝______；
(4)(x2)′＝______；
(5)(x3)′＝______；
(6)′＝__________；
(7)()′＝________.
预习交流1
做一做：常数函数的导数为0的几何意义是__________．
2．基本初等函数的导数
(1)(xα)′＝________(α为常数)；
(2)(ax)′＝________(a＞0，且a≠1)；
(3)(logax)′＝________＝______(a＞0，且a≠1)；
(4)(ex)′＝______；
(5)(ln x)′＝______；
(6)(sin x)′＝______；
(7)(cos x)′＝______.
预习交流2
做一做：曲线y＝x2的平行于直线x－y＋1＝0的切线方程为________________．
预习交流3
做一做：已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值等于__________．
预习交流4
以下两个求导结果正确吗？为什么？
(1)(3x)′＝x·3x－1；
(2)(x4)′＝x4ln 4.
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．(1)k (2)0 (3)1 (4)2x (5)3x2 (6)－ (7)
预习交流1：提示：常数函数在任何一点处的切线斜率都是0
2．(1)αxα－1 (2)axln a (3)logae (4)ex (5) (6)cosx (7)－sinx
预习交流2：提示：由题意知y′＝x，设切点坐标为.又∵k＝1，∴x0＝1，则x02＝，∴切点为，∴切线方程为y－＝x－1，即x－y－＝0.
预习交流3：提示：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，
则f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
预习交流4：提示：这两个求导结果皆错．(1)中函数y＝3x是指数函数，其导数应为(3x)′＝3xln 3；(2)中函数y＝x4是幂函数，其导数为(x4)′＝4x3.
一、求函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x8；
(2)y＝；
(3)y＝x；
(4)y＝log2x.
思路分析：应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
1．若f(x)＝cos x，则f′＝__________.
2．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log3x；(3)y＝.
用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算量大，利用常用函数的求导公式，可简化求导过程．
二、求某一点处的导数
求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
思路分析：先将根式化成分数指数幂，再求导函数，然后把x＝1代入求导数值．
1．(2012辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．
2．(2012广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为__________．
3．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则在点处的导数y′＝－；③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为__________．
4．求曲线y＝sin x在点A处的切线方程．
1.应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．
2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．
1．f(x)＝的导数是__________．
2．若f(x)＝cos，则f′(x)为__________．
3．函数y＝2cos x的导数为__________．
4．已知直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切，则a的值为__________．
5．求下列函数的导数：
(1)y＝10；(2)y＝x10；(3)y＝5x；(4)y＝lg x.
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)y′＝(x8)′＝8x7；
(2)y′＝′＝(x－3)′＝－3x－4＝－；
(3)y′＝(x)′＝＝＝；
(4)y′＝(log2x)′＝.
迁移与应用：
1．－1 解析：∵f(x)＝cosx，∴f′(x)＝－sinx，故f′＝－sin＝－1.
2．解：(1)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－；
(2)y′＝(log3x)′＝log3e＝；
(3)y′＝()′＝＝.
活动与探究2：解：f′(x)＝′＝＝，
∴f′(1)＝－，
故函数f(x)在x＝1处的导数为－.
迁移与应用：
1．－4 解析：由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)，
∵点P，Q在抛物线x2=2y上，
∴
∴
∴P(4,8)，Q(－2,2)．
又∵抛物线可化为y＝x2，∴y′＝x，
∴过点P的切线斜率为y′＝4.
∴过点P的切线为：y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.
又∵过点Q的切线斜率为y′＝－2，
∴过点Q的切线为y－2＝－2(x＋2)，
即y＝－2x－2.
联立得x＝1，y＝－4，
∴点A的纵坐标为－4.
2．2x－y＋1＝0 解析：由y＝x3－x＋3得y′＝3x2－1，
∴切线的斜率k＝3×12－1＝2，
∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
3．3 解析：①中y＝ln 2为常数，故y′＝0，因此①错，其余均正确．
4．解：∵y＝sinx，
∴y′＝cosx.
当x＝时，y′＝cos＝0，
∴切线方程为y＝1.
当堂检测
1．－
2．0 解析：f(x)＝cos＝，故f′(x)＝0.
3．－2sinx
4．－1 解析：设切点为P(x0，y0)，y′＝.
由题意知x＝x0时，y′＝1，
∴＝1，x0＝1.∴P(1,0)．
把P(1,0)代入直线y＝x＋a，得a＝－1.
5．解：(1)y′＝0；
(2)y′＝(x10)′＝10x10－1＝10x9；
(3)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(4)y′＝(lgx)′＝.
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
学习目标
重点难点
1．能记住导数的运算法则．
2．会运用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求导数.
重点：导数的运算法则．
难点：运用导数的运算法则和求导公式求导数.
1．函数的和的求导法则
[f(x)＋g(x)]′＝__________.
2．函数的差的求导法则
[f(x)－g(x)]′＝__________.
预习交流1
做一做：y＝3x2－6x＋7的导数是__________．
3．函数的积的求导法则
(1)[Cf(x)]′＝________(C为常数)；
(2)[f(x)g(x)]′＝____________.
预习交流2
做一做：函数y＝sin xcos x的导数是__________．
4．函数的商的求导法则
′＝____________〔g(x)≠0〕．
预习交流3
做一做：求下列函数的导数：
(1)y＝－2x；
(2)y＝；
(3)y＝.
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．f′(x)＋g′(x)
2．f′(x)－g′(x)
预习交流1：提示：6x－6
3．(1)Cf′(x) (2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
预习交流2：提示：y′＝(sinx·cosx)′
＝(sinx)′cosx＋sinx(cosx)′
＝cos2x－sin2x＝cos 2x.
4．
预习交流3：提示：(1)y′＝′
＝′－(2x)′
＝－2xln 2
＝－2xln 2；
(2)y′＝′＝；
(3)y′＝′＝
＝.
一、导数的四则运算法则
求下列函数的导数：
(1)y＝cos x＋x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝；
(4)y＝4＋4；
(5)y＝；
(6)y＝xln.
思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导．
1．若函数y＝f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值为__________．
2．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2＋sincos；
(3)f(x)＝(＋2).
1．运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y＝f(x)的结构和特征，若直接求导很繁琐，一定要先进行合理的化简变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导．
2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简，整理，然后再套用公式求导．
二、导数四则运算法则的应用
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．
思路分析：题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a，b，c的值．
过原点作曲线y＝f(x)＝x＋ex的切线，求切线的方程．
利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q(2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．
1．f′(x)是f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值是__________．
2．函数y＝x－(2x－1)2的导数是__________．
3．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的坐标为__________．
4．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)＝________.
5．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(－2)2.
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)y′＝′＝－sinx＋xln.
(2)方法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；
方法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)
＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.
(3)方法1：y′＝′
＝
＝＝；
方法2：∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－＝.
(4)y＝2－2sin2cos2
＝1－sin2
＝1－·
＝＋cosx，
∴y′＝′
＝－sinx.
(5)y＝＝＝cosx－sinx，
∴y′＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx.
(6)y＝xln＝xlnx，
∴y′＝(x)′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋.
迁移与应用：
1． 解析：y′＝′＝，
∴.
又，依题意得，
解得x0＝.
2．解：(1)f′(x)＝′
＝＝；
(2)f′(x)＝′＝′
＝2x＋cosx；
(3)f′(x)＝′
＝′＝′
＝＝－－ .
活动与探究2：解：∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，
∴a＋b＋c＝1.①
∵y′＝2ax＋b，当x＝2时，y′＝4a＋b，
∴4a＋b＝1.②
又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1.③
联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.
迁移与应用：
解：设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x0＋.①
∵y′＝1＋ex，当x＝x0时，y′＝1＋，且切线过原点，
∴1＋＝.②
由①②解得x0＝1，y0＝1＋e，
∴切线方程为(1＋e)x－y＝0.
当堂检测
1．3 解析：∵f′(x)＝′＝x2＋2，
∴f′(－1)＝1＋2＝3.
2．－8x＋5 解析：y′＝[x－(2x－1)2]′＝(x)′－(4x2－4x＋1)′＝1－8x＋4＝－8x＋5.
3． 解析：∵y′＝－，
∴即
得x＝3，故切点坐标为.
4．－1 解析：∵f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，
∴f′(x)＝f′(－1)x－2.
令x＝－1代入得f′(－1)＝－f′(－1)－2，
得f′(－1)＝－1.
5．解：(1)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′
＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)
＝18x2－4x＋9.
方法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，
∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
(2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4，∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4×＝1－.
1.2.3 简单复合函数的导数
学习目标
重点难点
1．结合实例，理解复合函数的求导法则．
2．会求简单复合函数的导数.
重点：复合函数的求导法则．
难点：复合函数的求导.
1．复合函数
由基本初等函数复合而成的函数，称为__________．
2．复合函数的导数
一般地，我们有：若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝________，即y′x＝________.
y′x，y′u分别表示y关于____的导数及y关于____的导数．
预习交流1
做一做：函数y＝(3x－4)2的导数是______．
预习交流2
做一做：函数y＝cos 2x的导数为______．
预习交流3
如何求复合函数的导数？
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．复合函数
2．y′u·u′x y′u·a x u
预习交流1：提示：令y＝t2，t＝3x－4，则y′＝(t2)′·t′x＝2t×3＝6t＝18x－24.
预习交流2：提示：∵y＝cos t，t＝2x，
∴y′＝y′t·t′x＝－sin t×2＝－2sin 2x.
预习交流3：提示：复合函数求导的主要步骤是：
(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；
(2)求每一层基本初等函数的导数；
(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．
一、复合函数的导数
求下列函数的导数：
(1)f(x)＝(－2x＋1)2；
(2)f(x)＝ln(4x－1)；
(3)f(x)＝23x＋2；
(4)f(x)＝；
(5)f(x)＝sin；
(6)f(x)＝cos2x.
思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．
1．若f(x)＝e－2x，则f′(0)的值等于__________．
2．函数f(x)＝x的导数为f′(x)＝________.
求复合函数的导数时要注意以下四点：
(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．
(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x)′＝2cos 2x，而(sin 2x)′≠cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin的导数，设y＝sin u，u＝2x＋，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u＝2cos.
(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可省略，不写在试卷上，但应该在草纸上拆开求导，不可图省事导致错误．
二、复合函数的应用
已知f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________________________________________________________________________．
思路分析：先由导数的几何意义，求出切线的斜率，再求切线方程．
已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为__________．
对抽象函数f(2－x)求导应为f′(2－x)·(2－x)′＝－f′(2－x)，这是解决此类题目的关键．
1．函数y＝(ex＋e－x)的导数是____________．
2．函数y＝的导数为______．
3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝______.
4．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为__________．
5．求下列函数的导数：
(1)y＝5log2(2x＋1)；
(2)y＝cos；
(3)y＝(2x－1)5.
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则y′＝y′u·u′x＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设y＝ln u，u＝4x－1，则y′＝y′u·u′x＝·4＝.
(3)设y＝2u，u＝3x＋2，
则y′＝y′u·u′x＝2uln 2·3＝3ln 2·23x＋2.
(4)设y＝，u＝5x＋4，
则y′＝y′u·u′x＝·5＝.
(5)设y＝sin u，u＝3x＋，
则y′＝y′u·u′x＝cos u·3＝3cos.
(6)方法1：设y＝u2，u＝cosx，
则y′＝y′u·u′x＝2u·(－sinx)＝－2cosx·sinx＝－sin 2x；
方法2：∵f(x)＝cos2x＝＝＋cos 2x，
所以f′(x)＝′＝0＋·(－sin 2x)·2＝－sin 2x.
迁移与应用：
1．－2 解析：∵f(x)＝e－2x，∴f′(x)＝(e－2x)′＝e－2x·(－2x)′＝－2e－2x，故f′(0)＝－2.
2． 解析：f′(x)＝(x)′·＋x·()′
＝＋x··(1＋x)′
＝＋＝ .
活动与探究2：2x－y－1＝0 解析：∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，
∴f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋8，
∴f′(1)＝－2f′(1)－2×1＋8,3f′(1)＝6，
∴切线斜率k＝f′(1)＝2.而f(1)＝2f(1)＋8－8－1，
∴f(1)＝1.
∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
迁移与应用：
2 解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，
即x0＋1＝ln(x0＋a)．
∵y′＝，∴＝1，即x0＋a＝1，
∴x0＋1＝ln 1＝0，
∴x0＝－1，∴a＝2.
当堂检测
1．(ex－e－x) 解析：y′＝′＋′＝ex－e－x＝(ex－e－x)．
2． 解析：∵y＝＝(1－2x)－5，设y＝t－5，t＝1－2x，
∴y′＝－5t－6×(－2)＝10t－6＝.
3．1 解析：设f(x)＝t2，t＝2x＋a，则f′(x)＝2t×2＝4t＝4(2x＋a)，f′(2)＝4(4＋a)＝20，∴a＝1.
4． 解析：∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，k＝－2e0＝－2，
∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.
如图所示，∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，
∴S＝×1×＝.
5．解：(1)设y＝5log2u，u＝2x＋1.
则y′＝y′u·u′x＝×2＝＝.
(2)设y＝cos u，u＝－7x.
则y′＝y′u·u′x＝－sin u×(－7)＝7sin.
(3)设y＝u5，u＝2x－1，
则y′＝y′u·u′x＝5u4×2＝10u4＝10(2x－1)4.
1.3.1 单调性
学习目标
重点难点
1．结合实例，借助几何直观探索并体会函数的单调性与导数的关系．
2．能够利用导数研究函数的单调性，并学会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
重点：利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性．
难点：根据函数的单调性求参数的取值范围.
导数与函数的单调性的关系
(1)一般地，我们有下面的结论：对于函数y＝f(x)，如果在某区间上______，那么f(x)为该区间上的________；如果在某区间上______，那么f(x)为该区间上的______．
(2)上述结论可以用下图直观表示．
预习交流1
做一做：在区间(a，b)内，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的__________条件．(填序号)
①充分不必要 ②必要不充分 ③充要 ④既不充分又不必要
预习交流2
做一做：函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是__________函数．(填“增”或“减”)
预习交流3
做一做：函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是______．
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
(1)f′(x)＞0 增函数 f′(x)＜0 减函数
预习交流1：提示：当f′(x)＞0时，f(x)在(a，b)上一定是增函数，当f(x)在(a，b)上单调递增时，不一定有f′(x)＞0.如f(x)＝x3在区间(－∞，＋∞)上单调递增，f′(x)≥0.故填①.
预习交流2：提示：∵x∈(0,2π)，
∴f′(x)＝(1＋x－sinx)′＝1－cosx＞0，
∴f(x)在(0,2π)上为增函数．故填增．
预习交流3：提示：f′(x)＝3x2＋a，∵f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a在(1，＋∞)上恒大于或等于0，即3x2＋a≥0，a≥－3x2恒成立，
∴a≥－3.
一、判断或证明函数的单调性
证明函数f(x)＝在上单调递减．
思路分析：要证f(x)在上单调递减，只需证明f′(x)＜0在区间上恒成立即可．
1．讨论下列函数的单调性：
(1)y＝ax5－1(a＞0)；
(2)y＝ax－a－x(a＞0，且a≠1)．
2．证明函数f(x)＝ex＋e－x在[0，＋∞)上是增函数．
利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数定义域，再求导数，然后判断导数在给定区间上的符号，从而确定函数的单调性．如果解析式中含有参数，应进行分类讨论．
二、求函数的单调区间
求下列函数的单调区间：
(1)y＝x2－ln x；
(2)y＝x3－2x2＋x；
(3)y＝x＋sin x，x∈(0，π)．
思路分析：先求函数的定义域，再求f′(x)，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，从而得出单调区间．
1．函数f(x)＝5x2－2x的单调增区间是__________．
2．求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
1.利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等式的解集就是函数的单调区间．
2．利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f′(x)＞0[或f′(x)＜0]时，要在函数定义域的前提之下求解．
3．如果函数的单调区间不止一个时，要用“和”、“及”等词连接，不能用并集“∪”连接．
三、利用函数的单调性求参数的取值范围
若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1，在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
思路分析：先求出f(x)的导数，由f′(x)在给定区间上的符号确定a的取值范围，要注意对a－1是否大于等于1进行分类讨论．
1．若函数f(x)＝x2－在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
2．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
1.已知函数的单调性求参数的范围，这是一种非常重要的题型．在某个区间上，f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，f(x)在这个区间上单调递增(递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是不够的，即还有可能f′(x)＝0也能使得f(x)在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．
2．一般地，若f(x)在区间I上单调递增(递减)，可转化为f′(x)≥0(≤0)在I上恒成立，进而可求得参数的取值范围．
1．函数f(x)＝x3＋x2－x的单调递减区间是__________．
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是__________．
3．如下图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是__________(填序号)．
①f(x)在(－3,1)上单调递增
②f(x)在(1,3)上单调递减
③f(x)在(2,4)上单调递减
④f(x)在(3，＋∞)上单调递增
4．若函数f(x)＝x3＋ax＋5的单调递减区间是(－2,2)，则实数a的值为________．
5．已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a＞0，若f(x)在(0,1]上是增函数，则a的取值范围为________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：证明：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝，
由于x∈，
所以cosx＜0，sinx＞0，
因此xcosx－sinx＜0，
故f′(x)＜0，所以f(x)在上单调递减．
迁移与应用：
1．解：(1)∵y′＝5ax4，且a＞0，
∴y′≥0在R上恒成立．
∴y＝ax5－1在R上是增函数．
(2)y′＝axln a－a－xln a·(－x)′＝(ax＋a－x)ln a.
当a＞1时，ln a＞0，ax＋a－x＞0，
∴y′＞0在R上恒成立．
此时函数y＝ax－a－x在R上是增函数．
当0＜a＜1时，ln a＜0，ax＋a－x＞0，
∴y′＜0在R上恒成立．
此时函数y＝ax－a－x在R上是减函数．
2．证明：f′(x)＝(ex)′＋′
＝ex＋＝ex－e－x＝.
∵当x∈[0，＋∞)时ex≥1，
∴f′(x)≥0，
∴f(x)＝ex＋e－x在[0，＋∞)上为增函数．
活动与探究2：解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
∵y＝x2－lnx，
∴y′＝x－＝.
①令y′＞0，即＞0.
又∵x＞0，∴∴x＞1.
②令y′＜0，即＜0，
又∵x＞0，∴x2－1＜0，∴0＜x＜1.
∴函数y＝f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．
(2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，定义域为R.
①令3x2－4x＋1＞0，得x＞1或x＜.
②令3x2－4x＋1＜0，得＜x＜1.
∴函数y＝x3－2x2＋x的增区间为和(1，＋∞)，减区间为.
(3)∵y＝x＋sinx，∴y′＝＋cosx.
①令y′＞0，得cosx＞－.
又∵x∈(0，π)，∴0＜x＜.
②令y′＜0，得cosx＜－.
又∵x∈(0，π)，∴＜x＜π.
∴函数y＝x＋sinx的增区间为，减区间为.
迁移与应用：
1． 解析：f′(x)＝10x－2，由f′(x)＞0，得x＞.
2．解：函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－，其中x2不在定义域内．用x1分割定义域，得下表
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
∴函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.
活动与探究3：解：∵f′(x)＝x2－ax＋a－1，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不符合题意．
当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意知，当x∈(1,4)时，f′(x)＜0，当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.
∴4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
∴a的取值范围是[5,7]．
迁移与应用：
1．[－2，＋∞) 解析：f′(x)＝2x＋，令f′(x)≥0，即2x＋≥0，a≥－2x3，由于g(x)＝－2x3在(1，＋∞)上满足g(x)＜g(1)＝－2，∴要使a≥－2x3在(1，＋∞)上恒成立，
应有a≥－2.
2．解：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，
则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f′(x)≥0.
∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)＞0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．
故t的取值范围是t≥5.
当堂检测
1． 解析：f′(x)＝3x2＋2x－1，令3x2＋2x－1＜0解得－1＜x＜，
故函数的单调递减区间是.
2．(2，＋∞) 解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex.
令f′(x)＞0，解得x＞2.
3．③ 解析：由f(x)的增减性与f′(x)的正负之间的关系进行判断，
当x∈(2,4)时，f′(x)＜0，
故f(x)在(2,4)上单调递减．
故③正确．①②④判断均错．
4．－12 解析：f′(x)＝3x2＋a，依题意3x2＋a＜0的解集为(－2,2)，故a＝－12.
5．a≥ 解析：依题意f′(x)＝－3x2＋2a≥0在(0,1]上恒成立，即a≥x2，
而g(x)＝x2在(0,1]上的最大值为，
故a≥.
1.3.2 极大值与极小值
学习目标
重点难点
1．记住函数的极大值、极小值的概念．
2．结合图象知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
3．会用导数求不超过三次的多项式函数的极大、极小值.
重点：利用导数求函数的极值．
难点：函数极值的判断和与极值有关的参数问题.
1．极值
(1)观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调________变为单调________)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个________．
(2)类似地，上图中f(x2)为函数的一个________．
(3)函数的极大值、极小值统称为函数的______．
预习交流1
做一做：函数y＝－|x|有极______值______．
2．极值点与导数的关系
观察上面的函数的图象，发现：
(1)极大值与导数之间的关系如下表：
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x)
f′(x)____
f′(x)____
f′(x)____
f(x)
增
极大值f(x1)
减
(2)极小值与导数之间的关系如下表：
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′(x)
f′(x)____
f′(x)____
f′(x)____
f(x)
减
极小值f(x2)
增
预习交流2
做一做：函数f(x)＝3x－x3的极大值为________，极小值为________．
预习交流3
议一议：(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？
(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？
(3)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗？
(4)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．(1)递增 递减 极大值 (2)极小值 (3)极值
预习交流1：提示：大 0
2．(1)＞0 ＝0 ＜0 (2)＜0 ＝0 ＞0
预习交流2：提示：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)＝2，极小值为f(－1)＝－2.
预习交流3：提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．
(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．
(3)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．
(4)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
一、求函数的极值
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝－2.
思路分析：首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点．
1．函数y＝1＋3x－x3有极大值__________，极小值__________．
2．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．
利用导数求函数极值的步骤：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；
(3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化：
①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；
②如果由负变正，则f(x0)是极小值；
③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．
二、已知函数的极值求参数范围
已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝1处取得极值，且极值为0.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的另一个极值．
思路分析：由极值的定义可知f′(1)＝0，再结合f(1)＝0，建立关于a，b的方程即可求得a，b的值，从而得出另一个极值．
1．已知函数y＝－x3＋6x2＋m有极大值13，则m的值为________．
2．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是__________．
1．已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
2．对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f′(x0)＝0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f′(x)＝0有根的问题加以解决．
三、利用函数的极值画函数图象
求函数y＝2x＋的极值，并结合单调性、极值作出该函数的大致图象．
思路分析：先求出函数的极值点和极值，从而把握函数在定义域内各个区间上的单调性和在极值点处的函数值，以及x→∞时的f(x)的变化趋势，据此可画出函数的大致图象．
已知函数f(x)＝x3－4x＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．
1．列表时应将定义域内的间断点(如x＝0)考虑进去．
2．极大值不一定比极小值大，这是因为极值是相对某一区域讨论的．
3．借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段．
1．(2012陕西高考改编)设函数f(x)＝xex，则下列说法正确的是__________．(填序号)
①x＝1为f(x)的极大值点 ②x＝1为f(x)的极小值点
③x＝－1为f(x)的极大值点 ④x＝－1为f(x)的极小值点
2．若函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－1在x＝2处有极值，则a的值为__________．
3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为________．
4．关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是________．
①f(x)是增函数；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
5．已知函数f(x)=ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下图所示，则下列说法中不正确的是____________.(填序号)
①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．
6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则a的取值范围是________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
f(－2)＝16
极小值
f(2)＝－16
从上表可以看出：
当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝16；
当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝－16.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
f(－1)＝－3
极大值
f(1)＝－1
由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－1.
迁移与应用：
1．3 －1 解析：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1，
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在x＝－1处取极小值－1，
在x＝1处取极大值3.
2．解：f′(x)＝3x2－6x－9.
令3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因此，当x＝－1时，f(x)有极大值，且极大值为f(－1)＝10；当x＝3时，f(x)有极小值，且极小值为f(3)＝－22.
活动与探究2：解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx＋2，
∴f′(x)＝3ax2＋b.
依题意可得f′(1)＝0且f(1)＝0，
即解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0得3x2－3＝0，所以x＝±1.
故函数f(x)在x＝－1处取得另一个极值，且极值为f(－1)＝－1＋3＋2＝4.
迁移与应用：
1．－19 解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．令y′＝0得x＝0或x＝4，当x＜0或x＞4时，y′＜0，函数递减；当0＜x＜4时，函数递增，故f(x)在x＝4处取得极大值，且f(4)＝－64＋96＋m＝13，故m＝－19.
2．a＜0 解析：f′(x)＝3x2＋a，由于f(x)在R上有两个极值点，所以方程f′(x)＝0在R上有两个不同的实数根，即Δ＝0－12a＞0，解得a＜0.
活动与探究3：解：函数的定义域为x∈R且x≠0.
y′＝2－，令y′＝0，得x＝±2.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
y′
＋
0
－
－
0
＋
y
－8
8
因此当x=－2时，y取得极大值－8；
当x=2时，y取得极小值8.
由表易知y=2x+的草图如图所示．
迁移与应用：
解：(1)f′(x)=x2－4.
解方程x2－4=0，得x1=－2，x2=2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，+∞)
f′(x)
+
0
－
0
+
f(x)
从上表看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为f(－2)＝；
而当x=2时，函数有极小值，且极小值为f(2)=.
函数f(x)=x3－4x+4的图象如图所示．
当堂检测
1．④ 解析：由f′(x)＝x′·ex＋(ex)′·x＝ex＋ex·x＝ex(x＋1)＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，－1)上是减少的；当x＞－1时，f′(x)＞0，f(x)在(－1，＋∞)上是增加的．所以x＝－1为f(x)的极小值点．
2．－15 解析：f′(x)＝6x2＋2ax＋36，依题意f′(2)＝0，所以24＋4a＋36＝0，解得a＝－15.
3．－1 解析：定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1.令f′(x)＝0得x＝1，且当0＜x＜1时，f′(x)＞0，x∈(1，e)时f′(x)＜0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
4．③④ 解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.利用极值的求法可求得x＝0是极大值点，x＝2是极小值点．
5．① 解析：从图象上可以看到：当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确．
6．a＜－1 解析：y′＝ex＋a，依题意方程ex＋a＝0有大于0的实数根，而a＝－ex，所以ex＞1，－ex＜－1，即a＜－1.
1.3.3 最大值与最小值
学习目标
重点难点
1．知道函数的最大值与最小值的概念．
2．能够区分函数的极值与最值．
3．会用导数求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
重点：函数在闭区间上的最值的求解．
难点：与函数最值有关的参数问题.
1．最大值与最小值
(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有______________，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值________．
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有____________，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值．最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值________．
2．求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f(x)在区间(a，b)上的________；
(2)将第(1)步中求得的________与______，______比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
预习交流1
做一做：函数y＝x－sin x，x∈的最大值是______．
预习交流2
做一做：函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为______．
预习交流3
(1)函数的极值与最值有何区别与联系？
(2)如果函数f(x)在开区间(a，b)上的图象是连续不断的曲线，那么它在(a，b)上是否一定有最值？若f(x)在闭区间[a，b]上的图象不连续，那么它在[a，b]上是否一定有最值？
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．(1)f(x)≤f(x0) 惟一 (2)f(x)≥f(x0) 惟一
2．(1)极值 (2)极值 f(a) f(b)
预习交流1：提示：∵y′＝1－cosx≥0，∴y＝x－sinx在上是增函数，∴ymax＝π.
预习交流2：提示：∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
f(x)在(0,1)内有最小值，
∴方程x2－a＝0有一根在(0,1)内，即x＝在(0,1)内，∴0＜＜1,0＜a＜1.
预习交流3：提示：(1)①函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．
②函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值．
③极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处则一定是极值．
(2)一般地，若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值和最小值．这里给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，那么尽管函数是连续函数，那么它也不一定有最大值和最小值．
一、求函数在闭区间上的最值
求下列函数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，]；
(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈.
思路分析：按照求函数最值的方法与步骤，通过列表进行计算与求解．
1．函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值分别是__________．
2．求函数y＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2,2]上的最大值与最小值．
1．求函数在闭区间上的最值时，一般是先找出该区间上使导数为零的点，无需判断出是极大值还是极小值，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值．
2．求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点函数值进行比较，有时需要作差、作商，有时还要善于估算，甚至有时需要进行分类讨论．
二、与最值有关的参数问题的求解
已知当a＞0时，函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
思路分析：先求出函数f(x)在[－1,2]上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a，b的方程组，从而求出a，b的值．
若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
1．已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函数最值的方法步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值．
2．含参数问题要注意分类讨论，本题在求解时，依据条件a＞0，从而判断出f(2)是最小值．若题目条件中没有“a＞0”这一条件，需要对a进行分类讨论，以便确定函数f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值．
三、函数最大值、最小值的参数应用
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求函数f(x)的最小值h(t)；
(2)由(1)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
思路分析：第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值；第(2)小题由h(t)＜－2t＋m，得h(t)＋2t＜m，可转化为函数g(t)＝h(t)＋2t在区间(0,2)上的最大值小于m时，实数m的取值范围的问题．
若不等式x3－－2x＋5＞m对一切x∈[－1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
1．当不等式恒成立时，求参数的取值范围问题是一种常见的题型．这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解．
2．一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥f(x)max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤f(x)min.
1．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值分别是__________．
2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是__________．
3．函数f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝处有极值，那么a＝______.
4．函数f(x)＝sin2x在上的最大值是______，最小值是______．
5．若函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则实数a的值为________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
(－，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
－2
2
0
由上表可知：
当x＝1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(1)＝2.
当x＝－1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(－1)＝－2.
(2)f′(x)＝2cos 2x－1，
令f′(x)＝0得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
－
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
－
－
－
由上表可知：
当x＝－时f(x)取得最大值f＝，
当x＝时f(x)取得最小值f＝－.
迁移与应用：
1．1，－2 解析：f′(x)＝3x2－4x.令f′(x)＝0，有3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－2
1
－
1
从上表可知，最大值是1，最小值是－2.
2．解：y′＝－36＋6x＋12x2，令12x2＋6x－36＝0，解得x1＝－2，x2＝.
所以f(－2)＝57，f＝－28，f(2)＝－23.
所以函数的最大值为57，最小值为－28.
活动与探究2：解：∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
由f′(x)＝0，解得x＝0或x＝4.
∴在区间[－1,2]上x＝0是极值点．
由于a＞0，
∴当－1≤x＜0时，f′(x)＞0；
当0＜x≤2时，f′(x)＜0.
∴f(x)在区间[－1,0]上是增函数，
在区间[0,2]上是减函数．
∴f(0)＝b为极大值，也是最大值．
又f(－1)＝－a－6a＋b＝－7a＋b，
f(2)＝8a－24a＋b＝－16a＋b，
∴f(－1)＞f(2)，
∴f(0)为最大值，f(2)为最小值，
则
解得
迁移与应用：
解：f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3，但x∈[－2,2]，故只取x＝－1.
当－2＜x＜－1时，f′(x)＜0；
当－1＜x＜2时，f′(x)＞0.
∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2,2]上的最小值，即f(x)min＝f(－1)＝a－5.
又函数f(x)的区间端点值为
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，
f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2，
∵a＋22＞a＋2，
∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2.
此时f(x)min＝a－5＝－7.
活动与探究3：解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，及t＞0得t＝1.
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
极大值
由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1.
又在定义域(0,2)内，g(t)有惟一极值点，
∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值g(t)max＝1.
h(t)＜－2t＋m在(0,2)内恒成立，即g(t)＜m在(0,2)内恒成立，
当且仅当g(t)max＝1＜m，即m＞1时上式成立．
∴实数m的取值范围是(1，＋∞)．
迁移与应用：
解：令f(x)＝x3－－2x＋5，
则f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，
即3x2－x－2＝0，
解得x＝－或x＝1，
∵f(－1)＝，f＝5，f(1)＝，f(2)＝7，
∴当x∈[－1,2]时函数f(x)的最小值为.
故要使不等式f(x)＞m恒成立，应有m＜，
即m的取值范围是m＜.
当堂检测
1．6，－3 解析：f′(x)＝2x－4，令f′(x)＝0得x＝2.又f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(5)＝6，故最大值是f(5)，最小值是f(2)．
2．2 解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0(x＝2舍去)，计算f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0，比较得f(x)的最大值是2.
3．2 解析：∵f′(x)＝acosx＋cos 3x，则f′＝a·＋cos π＝－1＝0，∴a＝2.
4． 0 解析：f′(x)＝2sinx·cosx＝sin 2x，令f′(x)＝0，得x＝0.
又∵f＝，f(0)＝0，
∴f(x)max＝，f(x)min＝0.
5．－ 解析：f′(x)＝－2x－2，当a≤－1时，最大值为4，不合题意；当－1≤a≤2时，f(x)在[a,2]上是减函数，f(a)最大，－a2－2a＋3＝，解得a＝－，或a＝－(舍去)．
1.4 导数在实际生活中的应用
学习目标
重点难点
1．学会解决利润最大，用料最省，效率最高等优化问题．
2．学会利用导数解决生活中简单实际问题，并体会导数在解决实际问题中的作用．
3．提高将实际问题转化为数学问题的能力.
重点：用导数解决实际生活中的最优化问题．
难点：将实际问题转化为数学问题.
导数在实际生活中的应用
导数在实际生活中有着广泛的应用．例如，用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的______问题，从而可用________来解决．
预习交流1
做一做：有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为______ m2.
预习交流2
做一做：做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为______．
预习交流3
用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题？
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
最值 导数
预习交流1：提示：设矩形长为x m，则宽为(8－x) m，矩形面积S＝x(8－x)(8＞x＞0)，令S′＝8－2x＝0，得x＝4.
此时S最大＝42＝16(m2)．
预习交流2：提示：设半径为r，则高h＝，
∴S＝2πr·h＋πr2＝2πr·＋πr2＝＋πr2，
令S′＝2πr－＝0，得r＝3，
∴当r＝3时，用料最省．
预习交流3：提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
一、面积、体积最大问题
如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值．
思路分析：表示面积时，首先要建立适当的平面直角坐标系，借助椭圆的方程，可表示出等腰梯形的高．
用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解．
2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，有利于解决问题．
二、费用最省问题
如图所示，设铁路AB=50，B，C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？
思路分析：可从AB上任取一点M，设MB=x，将总费用表示为变量x的函数，转化为函数的最值求解．
某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
1．求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的理论值应舍去；
2．在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；
3．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围，即函数的定义域．
三、利润最大问题
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．
(1)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
(2)若年销售量关于x的函数为y＝3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润是多少？
思路分析：根据题意建立目标函数关系式，利用导数求解．
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)
利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤：
第一步，分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．
第二步，求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
第三步，比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
1．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为______．
2．一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，x的值为__________．
3．将8分成两个非负数之和，使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小，则这个最小值等于__________．
4．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为__________．
5．某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低量x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)依题意，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C的横坐标为x，点C的纵坐标为y，满足方程(y＞0)，
解得y＝2(0＜x＜r)．
S＝(2x＋2r)·2＝2(x＋r)·，
其定义域为{x|0＜x＜r}．
(2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2),0＜x＜r，
则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令f′(x)＝0，得x＝r.
因为当0＜x＜r时，f′(x)＞0；当r＜x＜r时，f′(x)＜0，所以f是f(x)的最大值．
因此，当x＝r时，S也取得最大值，最大值为＝r2，即梯形面积S的最大值为r2.
迁移与应用：
解：设容器底面短边的边长为x m，则另一边长为(x＋0.5) m，高为＝3.2－2x(m)．
由题意知x＞0，x＋0.5＞0，
且3.2－2x＞0，∴0＜x＜1.6.
设容器的容积为V m3，
则有V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)
＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)．
∴V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令V′＝0，有15x2－11x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
∴当x∈(0,1)时，V′(x)＞0，V(x)为增函数，
x∈(1,1.6)时，V′(x)＜0，V(x)为减函数．
∴V在x∈(0,1.6)时取极大值V(1)＝1.8，这个极大值就是V在x∈(0,1.6)时的最大值，即Vmax＝1.8.这时容器的高为1.2 m.
∴当高为1.2 m时，容器的容积最大，最大值为1.8 m3.
活动与探究2：解：设MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为4，则由A到C的总运费为
p(x)＝2(50－x)＋4(0≤x≤50)．
p′(x)＝－2＋，令p′(x)＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x＜时，p′(x)＜0；当x＞时，p′(x)＞0，所以当x＝时，取得最小值．
即在离B点距离为的点M处筑公路至C时，货物运费最省．
迁移与应用：
解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则
f(x)＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*),
f′(x)=48－
令f′(x)=0,得x=15或x=－15(舍去)，
当x＞15时，f′(x)＞0；
当10≤x＜15时，f′(x)＜0，
因此当x=15时，f(x)取最小值f(15)=2000.
故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.
活动与探究3：解：(1)由题意得：上年度的年利润为(13－10)×5 000＝15 000(万元)；
本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；
本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x)；
本年度年销售量为5 000×(1＋0.4x)，
因此本年度的年利润为y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5 000×(1＋0.4x)
＝(3－0.9x)×5 000×(1＋0.4x)
＝－1 800x2＋1 500x＋15 000(0＜x＜1)，
由－1 800x2＋1 500x＋15 000＞15 000，
解得0＜x＜.
所以当0＜x＜时，本年度的年利润比上年度有所增加．
(2)本年度的年利润为
f(x)＝(3－0.9x)×3 240×
＝3 240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
则f′(x)＝3 240×(2.7x2－9.6x＋4.5)
＝972(9x－5)(x－3)，
由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
所以当x＝时，f(x)取极大值f＝20 000万元．
因为f(x)在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．
迁移与应用：
解：每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50 000＋200x)
＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)．
由f′(x)＝－x2＋24 000＝0，
解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
当堂检测
1．2πr2 解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为L，则R=rcos θ，L=2rsin θ，所以侧面积S=2πrcos θ·2rsin θ=4πr2sin θcos θ.
令S′=4πr2(cos2θ－sin2θ)=0，解得，即当，也就是R=r时，侧面积S最大，且最大值为2πr2.
2．40 解析：V(x)＝－x3＋30x2，V′(x)＝－x2＋60x，令V′(x)＝0，得x＝40(x＝0舍去)，且当0＜x＜40时V′(x)＞0；当40＜x＜60时V′(x)＜0，故V(x)在x＝40时取得最大值．
3．44 解析：设其中一个数为x，则另一个数为8－x，且0≤x≤8，
则y＝x3＋(8－x)2＝x3＋x2－16x＋64，
y′＝3x2＋2x－16＝0，
解得x＝2，且当0≤x≤2时，y′≤0；当2≤x≤8时，y′≥0，故当x＝2时，y取最小值44.
4．25 解析：设矩形垂直于直径的一边长为x，则另一边长为2，于是矩形面积S(x)＝2x·，则S′(x)＝，令S′(x)＝0得x＝，因此当x＝时面积取最大值为S＝25.
5．解：(1)设商品降价x元时，多卖出的商品数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，
则由题意，得f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)
＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件24＝k·22，得k＝6.
∴f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．
(2)由(1)，知f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,30]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
故x＝12时，f(x)有极大值，x＝2时，f(x)有极小值．
又f(0)＝9 072，f(2)＝8 664，f(12)＝11 664，
所以定价为30－12＝18元，能使一个星期的商品销售利润最大．
1.5.1 曲边梯形的面积～1.5.2 定积分
学习目标
重点难点
1．通过实例，会求曲边梯形的面积，从问题情境中了解定积分的实际背景．
2．借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念.
重点：1．会求曲边梯形的面积；
2．定积分的几何意义和性质．
难点：求曲边梯形面积的方法与步骤，定积分的概念.
1．曲边梯形
直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为________梯形．
2．定积分
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]均分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx＝，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，如果当Δx→0(即n→∞)时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的__________，记为f(x)dx.这里a与b分别叫做积分______与积分______，区间[a，b]叫做积分______，函数f(x)叫做____________，x叫做____________，f(x)dx叫做________．
预习交流1
做一做：在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)[f(x)≥0]及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的是________．(填序号)
①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．
3．定积分的几何意义
一般地，定积分的几何意义是，在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的__________(即x轴上方的面积______x轴下方的面积)．
预习交流2
做一做：dx＝________.
预习交流3
做一做：不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
(1)xdx__________x2dx；
(2)xdx__________xdx；
(3)dx__________2dx.
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
1．曲边
2．定积分 下限 上限 区间 被积函数 积分变量 被积式
预习交流1：提示：①
3．代数和 减去
预习交流2：提示：1
预习交流3：提示：(1)＞ (2)＜ (3)＜
一、利用定积分的定义求曲边梯形的面积
求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x3围成的图形的面积．
思路分析：利用求曲边梯形面积的步骤求解．
求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线y＝x2＋2x所围成的图形的面积S.
1．求曲边梯形的面积时要按照分割—以直代曲—作和—逼近这四个步骤进行．
2．近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．
3．作和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋…＋n2＝等．
二、汽车行驶路程的计算问题
一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝t2(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)．
思路分析：由v(t)及t＝0，t＝2，v＝0所围成的面积即为汽车行驶的路程，按照求曲边梯形面积的方法求解即可．
某物体做变速直线运动，设该物体在时刻t的速度为v(t)＝7－t2，试计算这个物体在0≤t≤1这段时间内运动的路程s.
把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题，采用方法仍然是分割、以直代曲、作和、逼近，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念．
三、定积分概念的理解及应用
利用定积分的定义计算(x＋2)dx.
思路分析：根据定积分的定义，按照4个步骤依次进行计算．
用定积分的定义证明：kdx＝k(b－a)．
用定义法求定积分的四个步骤是：(1)分割；(2)以直代曲；(3)作和；(4)逼近．其中分割通常都是对积分区间进行等分，以直代曲时通常取区间的左端点或右端点，作和时要注意一些求和公式的灵活运用．
四、定积分的几何意义
用定积分的几何意义求下列各式的值：
(1)(x＋2)dx；
(2)dx；
(3)sin xdx.
思路分析：画出每个被积函数的图象，根据定积分的几何意义进行计算求解．
1．由定积分的几何意义可知xdx＝__________.
2．用定积分的几何意义计算∫cos xdx＝________.
1.定积分f(x)dx的几何意义是：介于x＝a，x＝b之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x轴上方部分面积为正，x轴下方部分的面积为负．
2．利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题，另外，结合图形可以更直观形象地辅助作题．
1．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为__________．
2．＝________.
3．(n＋1)＝________.
4．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx＝________.
5．由定积分的几何意义可知dx＝________.
6．利用定积分的定义求抛物线y＝x2＋1与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)分割
如图，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[1,2]等分成n个小区间：，，…，，…，，每个小区间的长度为Δx＝－＝，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)以直代曲
取各小区间的左端点ξi，用ξi3为一边长，以小区间长Δx＝为其邻边长的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξi3·Δx＝3·(i＝1,2,3，…，n)．
(3)作和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即S＝Si≈3·.①
(4)逼近
当分点数目愈多，即Δx愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S.因此，n→∞即Δx→0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积．
∵3·＝(n＋i－1)3
＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3]
＝，
当n→∞时，S＝3·＝1＋＋1＋＝.
迁移与应用：
解：(1)分割
在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分为n个小区间：，，，…，，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝Si.
(2)以直代曲
记f(x)＝x2＋2x，当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)的值变化很小，不妨用f来近似地作为f(x)在该区间上的函数值．从图形上看就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间上，用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi，则有ΔSi≈ΔSi′＝f·Δx＝.
(3)作和
小曲边梯形的面积和Sn＝Si≈Si′
＝
＝
＝＋
＝＋.
(4)逼近
分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有＋→S.而当n→∞时，S→.
即由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线y＝x2＋2x所围成的图形的面积约等于.
活动与探究2：解：(1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间分成n个小区间：，，…，，记第i个小区间为(i＝1，2，…，n)，Δt＝，则汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作Δs1，Δs2，Δs3，…，Δsn，有sn＝Δsi.
(2)以直代曲：取ξi＝(i＝1,2，…，n)．
∴Δsi≈v·Δt＝·2·Δt
＝··＝·i2(i＝1,2，…，n)．
(3)作和：si＝
＝(12＋22＋32＋…＋n2)
＝·
＝·.
(4)逼近：n→∞时，上式→，
故这段时间内汽车行驶的路程s约为km.
迁移与应用：
解：将区间[0,1]等分成n个小区间：，，…，，…，，每个小区间的长度为Δt，Δt＝.
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则物体在每个时间段内运动的路程Δsi≈v(ξi)·Δt＝，i＝1，2，…，n.
sn＝si＝
＝
＝7－.
当n→∞时，7－→.
所以这个物体在0≤t≤1这段时间内运动的路程约为.
活动与探究3：解：令f(x)＝x＋2.
①分割：将区间[2,3]平均分为n等份，Δxi＝.
[xi－1，xi]＝(i＝1,2，…，n)．
②以直代曲：取ξi＝xi＝2＋(i＝1,2，…，n)，
则f(ξi)＝2＋＋2＝4＋.
③作和：(ξi)Δxi＝·
＝＝n·＋
＝4＋.
④逼近：当n→∞时，4＋→.
故(x＋2)dx＝.
迁移与应用：
证明：令f(x)＝k，
用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，
作和式(ξi)Δx＝·＝k(b－a)．
当n→∞时，kdx＝·＝k(b－a)．
活动与探究4：解：(1)(x＋2)dx的几何意义是指由直线y＝x＋2，x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形的面积．这里围成的是一个直角梯形，其面积为S＝(1＋3)×2＝4，故(x＋2)dx＝4.
(2)被积函数y＝表示的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆，由定积分的几何意义知定积分计算的是半圆的面积，所以有dx＝＝2π.
(3)函数y＝sinx在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，由在x轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即sinxdx＝0.
迁移与应用：
1． 解析：xdx＝(1＋2)×1＝.
2．0 解析：由函数y=cosx，x∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知，cosxdx=0.
当堂检测
1． 解析：每个小区间长度为＝.
2．
3．40 解析：(n＋1)＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40.
4．36 解析：6f(x)dx＝6f(x)dx＝6×6＝36.
5． 解析：定积分表示圆x2＋y2＝1面积的，
即dx＝.
6．解：(1)分割：
在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：，，…，.
记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.则S＝Si.
(2)以直代曲：
记f(x)＝x2＋1.当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝x2＋1的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f.就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有
ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝2·Δx＋Δx
＝2·＋(i＝1,2，…，n)．①
(3)作和：
由①，得Sn＝Si′＝Δx
＝2·＋
＝＋1
＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＋1
＝＋1＝＋1.
从而得到S的近似值
S≈Sn＝＋1.②
(4)逼近：
分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到随着n的不断增大，即Δx越来越小时，Sn＝＋1越来越趋近于S，而当n趋向于＋∞时，②式无限趋近于，即所求面积为.
1.5.3 微积分基本定理
学习目标
重点难点
1．会用定积分求曲边梯形的面积．
2．直观了解微积分基本定理的含义.
重点：微积分基本定理及利用定理求定积分．
难点：利用定积分求较复杂的图形的面积.
微积分基本定理
对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，则f(x)dx＝__________，亦即____________＝F(b)－F(a)．
预习交流1
做一做：x2dx＝________.
预习交流2
做一做：(cos x＋1)dx＝________.
预习交流3
议一议：结合下列各图形，判断相应定积分的值的符号：
(1)f(x)dx____0
(2)g(x)dx____0
(3)h(x)dx____0
在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
我的学困点
我的学疑点
答案：
预习导引
F(b)－F(a) F′(x)dx
预习交流1：提示：
预习交流2：提示：∵(sinx＋x)′＝cosx＋1，
∴(cosx＋1)dx＝(sinx＋x)′dx＝sin π＋π－(sin 0＋0)＝π.
预习交流3：提示：(1)＞ (2)＜ (3)＞
一、简单定积分的求解
计算下列各定积分：
(1)xdx；
(2)(1－t3)dt；
(3)dx；
(4)(cos x＋ex)dx；
(5)t2dx；
(6)dx.
思路分析：根据导数与积分的关系，求定积分要先找到一个导数等于被积函数的原函数，再据牛顿—莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合导数公式表．
1．若(2x＋k)dx＝2，则k＝________.
2．定积分sin(－x)dx＝________.
3．求下列定积分的值：
(1)dx；
(2)dx.
1．微积分基本定理是求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意y＝的原函数是y＝ln x.
2．求定积分时要注意积分变量，有时被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量．
3．定积分的值可以是任意实数．
二、分段函数与复合函数定积分的求解
计算下列定积分：
(1)|x－3|dx；(2)sin2xdx；(3)e2xdx
思路分析：被积函数带绝对值号时，应写成分段函数形式，利用定积分性质求解．当被积函数次数较高时，可先进行适当变形、化简，再求解．
1．设f(x)＝则f(x)dx＝__________.
2．(1)设f(x)＝求f(x)dx；
(2)求dx(a＞0)．
1．分段函数在区间[a，b]上的积分可化成几段积分之和的形式，分段时按原函数的各区间划分即可．
2．当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解，与复合函数的求导区分开来．例如：对于被积函数y＝sin 3x，其原函数应为y＝－cos 3x，而其导数应为y′＝3cos 3x.
三、由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解
已知抛物线y＝4－x2.
(1)求该抛物线与x轴所围成图形的面积；
(2)求该抛物线与直线x＝0，x＝3，y＝0所围成图形的面积．
思路分析：画出图形，结合图形分析定积分的积分区间，同时注意面积与积分的关系．
1．抛物线y＝x2－x与x轴围成的图形面积为__________．
2．曲线y＝cos x与坐标轴所围成的面积为________．
3．(2012山东高考)设a＞0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝__________.
利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤：
(1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，定出积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差；
(5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．
1．(2012江西高考)计算定积分(x2＋sin x)dx＝__________.
2．若dx＝3＋ln 2，则a的值是__________．
3．定积分dx＝________.
4．定积分|x3|dx的值为________．
5．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积是__________．
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
知识精华
技能要领
答案：
活动与探究1：解：(1)∵′＝x，
∴xdx＝′dx＝2－0＝2.
(2)∵′＝1－t3，
∴(1－t3)dt＝′dt
＝－＝.
(3)∵(lnx)′＝，
∴dx＝(lnx)′dx＝ln 2－ln 1＝ln 2.
(4)∵(sinx＋ex)′＝cosx＋ex，
∴(cosx＋ex)dx＝(sinx＋ex)′dx
＝(0＋1)－(0＋e－π)＝1－e－π.
(5)∵(t2x)′＝t2，
∴t2dx＝(t2x)′dx＝4t2－2t2＝2t2.
(6)∵′＝2x－，
∴dx＝′dx
＝7＋＝.
迁移与应用：
1．1 解析：(2x＋k)dx＝(x2＋kx)′dx＝1＋k＝2，∴k＝1.
2．－1 解析：sin(－x)dx＝(－sinx)dx＝cosx＝－1.
3．解：(1)∵，
∴dx＝
＝×－×1
＝(2－1)．
(2)∵′＝－＝，
∴dx＝
＝－
＝＋ln.
活动与探究2：解：(1)由于|x－3|＝
所以|x－3|dx
＝|x－3|dx＋|x－3|dx
＝(3－x)dx＋(x－3)dx
＝′dx＋′dx
＝9－－6＋2＋－15－＋9
＝.
(2)sin2xdx＝dx
＝′dx
＝－0＝.
(3)e2xdx＝′dx＝e－.
迁移与应用：
1． 解析：f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋＝＋＝.
2．解：(1)f(x)dx＝x2dx＋(cosx－1)dx
＝′dx＋(sinx－x)′dx
＝sin 1－.
(2)由＝得dx
＝xdx＋(－x)dx
＝′dx－′dx＝a2.
活动与探究3：解：(1)如图(1)，由于抛物线y＝4－x2与x轴相交于(－2,0)和(2,0)点，故其与x轴围成图形的面积为
S＝(4－x2)dx＝＝.
(2)如图(2)，抛物线y＝4－x2与直线x＝0，x＝3，y＝0所围成的图形在x轴上方和下方各一部分，故其面积
S＝(4－x2)dx＋|4－x2|dx
＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝′dx＋′dx
＝＋＝.
迁移与应用：
1． 解析：所求面积为S＝|x2－x|dx＝(x2－x)dx＝′dx＝.
2．3 解析：由于当0≤x≤时，cosx≥0，
＜x≤时，cosx≤0，
故图形的面积为|cosx|dx
＝cosxdx＋(－cosx)dx
＝(sinx)′dx－(sinx)′dx＝3.
3． 解析：由题意可得曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积S＝dx＝＝a2，解得a＝.
当堂检测
1． 解析：(x2＋sinx)dx＝x3－cosx＝.
2．2 解析：由于dx
＝(x2＋lnx)′dx＝a2＋ln a－1
＝3＋ln 2，所以a＝2.
3．－ 解析：dx
＝
＝×
＝(5－3)＝－.
4． 解析：|x3|dx＝(－x3)dx＋x3dx
＝′dx＋′dx＝.
5．2ln 2 解析：根据定积分的概念，得dx＝ln 2－ln＝2ln 2.
