第4章 锐角三角函数单元检测试题A卷（含解析）

第4章 锐角三角函数单元检测试题A卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（　　）
A． sinA= B． cosB= C． tanA= D． cotB=
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝,BC＝4，则AB的长为(　 　)
A． B． C． D．
3．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
4．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处如图从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么在B处船与小岛M的距离为(　 　)
A． 20海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
5．将一张矩形纸片（如图）那样折起，使顶点落在处，测量得，．则为（ ）
A． B． C． D．
6．等腰三角形的底边长10cm，周长36cm，则底角的余弦值为（ ）
A． ； B． ； C． ； D． .
7．sin2＋sin2(90°－) (0°＜＜90°）等于（　　）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 2sin2
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（　　）
A． B． 2 C． D．
9．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（　　）
A． 50m B． 25m C． （50﹣）m D． （50﹣25）m
10．如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．则tana?tana1+tana1?tana2+…+tana4?tana5的值为（　　）
A． B． C． 1 D．
二、填空题
11．若为锐角，当时， ______．
12．已知α是锐角，若sinα＝cos15°，则α＝________°.
13．某人沿坡度i=1： 的坡面向上走50米，则此人离地面的高度为________________.
14．填空：
sin15°=cos_______≈_______（精确到0.0001）；
cos63°=sin_______≈_______（精确到0.0001）；
sin（90°－α）=________， cos（90°－α）=_______（α为锐角）．
15．如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC＝，则对角线AC的长为________.
16．如图，中，，，，，垂足为，则的正切值为________．
三、解答题
17．计算.（1）2cos60°+4sin60°?tan30°﹣cos245°
（2）（sin30°）﹣1+﹣tan45°.
18．如图,一段河坝的断面为梯形ABCD,试根据图中数据,求出坡角和坝底宽AD．（结果保留根号）
19．先化简，再求值．
20．某路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的长度．（结果保留根号）
21．如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
22．关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）=③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
23．如图，某渔船向正东方向以12海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东的60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东的30°方向，已知该岛周围10海里内有暗礁.
（1）B处离岛C有多远？
（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
24．已知：如图，在△ABC中，AB=13，AC=8，cos∠BAC=，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F.
（1）求∠EAD的余切值；
（2）求的值.
参考答案
1．C
【解析】如下图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
∴ 根据三角函数的定义：可得sinA=，cosB=，tanA=，cotB=，
∴A、B、D选项中的等式都是错误的，只有C中的等式正确.
故选C．
2．【考点】三角函数锐角-正弦
【分析】 由在Rt△ABC中，∠C＝90°可得sinA=，这样结合已知条件即可求得AB的长了.
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sinA=，
又∵sinA=，BC=4，
∴AB=.
故选D.
【点睛】“由已知条件：Rt△ABC中，∠C＝90°得到sinA=”是解答本题的关键.
3．D
【解析】
试题分析：如图，由6块长为2、宽为1的长方形，可得∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，因此在Rt△ABD中，AB==5，因此可得cos∠ABC=．
故选D．
考点：锐角三角函数
4．B
【解析】如图，过点B作BN⊥AM于点N．
由题意得，AB=40× =20海里，∠ABM=105°． 作BN⊥AM于点N．在直角三角形ABN中，BN=AB?sin45°=10 ．在直角△BNM中，∠MBN=60°，则∠M=30°，所以BM=2BN=20（海里）．故选B．
5．B
【解析】
【分析】
由折叠可知，C′D=CD．根据在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，从而得出答案.
【详解】
∵△CDE≌△C′DE，∴C′D=CD．∵AB=4，DE=8，∴C′D=4．∴sin∠C'ED=．故选：B．
【点睛】
考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．
6．C
【解析】
【分析】
过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．
【详解】
如图，作AD⊥BC于D点．
则CD=5cm，
AB=AC=13cm．
∴底角的余弦=．
故选C．
【点睛】
本题利用了等腰三角形的三线合一的性质，考查三角函数的定义．
7．B
【解析】
【分析】
根据公式sin（90°-θ）=cosθ；sin2θ+cos2θ=1，即可求解．
【详解】
sin2＋sin2(90°－)=sin2θ+cos2θ=1.
故选B.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数.掌握互余的两个角的三角函数关系是解题的关键.
8．D
【解析】
【分析】
由sinA=，可设BC=3x，AB=5x，由勾股定理可求AC=4x,因为AD：DB=3：2，所以AD=3x，BD=2x，然后根据平行线分线段长比例定理求出CE的长，在Rt△BCE中，根据正切的定义求解即可.
【详解】
∵sinA=，
∴可设BC=3x，AB=5x，
∴AC==4x.
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴CE=,
∴tan∠CEB=.
故选D.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数的概念解及见比设参的数学思想.用含x的代数式表示出CE的长是解答本题的关键.
9．C
【解析】
【分析】
首先过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N，可得AM=BN；
然后通过解Rt△ACM和Rt△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN=AB，据此求解.
【详解】
过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N，如图所示：
则AB=MN，AM=BN.
在Rt△ACM中，
∵∠ACM=45°，AM=50m，
∴CM=AM=50m.
∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，
∴CN=（m），
∴MN=CM-CN=50-（m）.
则AB=MN=(50-)m.
故选C.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.
10．A
【解析】解：根据锐角三角函数的定义，得：tana==1，tana1==，tana2==…，tana5==，则tana?tana1+tana1tana2+…+tana4tana5=1×+×+×+×+×
=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=．
故选A．
点睛：本题考查了锐角三角函数的定义．关键是找出每个锐角相应直角三角形，根据正切的定义求值．
11．
【解析】分析：
由特殊角的三角形函数值先求出∠A的度数，即可求得cosA的值.
详解：
∵∠A为锐角，且tanA=，
∴∠A=30°，
∴cosA=cos30°=.
故答案为： .
点睛：熟记特殊角的三角函数值是正确解答本题的关键.
12．75
【解析】
【分析】
根据互余两角三角函数关系：sinα=cos(90°-α)求解即可.
【详解】
∵sinα=cos(90°-α)，
∴sinα=cos(90°-α)=cos15°，
∴α=90°-15°=75°，
故答案为：75
【点睛】
本题考查互余两角三角函数关系，sinα=cos(90°-α)是解题时常用的知识，熟练掌握是解题关键.
13．25米
【解析】如图,AB=50米,坡角为∠B,已知tanB=1: =.
∴∠B=30°.
∴AC=sinB?AB=25米.
故答案为：25米.
14．75°0.258827°0.4540cosαsinα
【解析】
【分析】
锐角三角函数中正弦与余弦之间是互余的关系.
【详解】
sin15°=cos(90°-15°)=cos75°，由计算器求得：cos75°≈0.2588；
cos63°=sin(90°-63°)= sin27°，由计算器求得：sin27°≈0.4540；
sin（90°－α）= cosα，cos（90°－α）=sinα.
【点睛】
运用锐角三角函数中的互余关系进行转换是常见考点.
15．【考点】三角函数锐角-正弦，菱形对角线的性质
【分析】连接BD交AC于O,根据菱形对角线性质可得AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,在直角三角形AOB中,由sin∠BAC＝,AB=10,可得sin∠BAC＝=,可得OB=6,再由勾股定理计算可得OA=8,即AC=2OA=16.
解:如图,连接BD交AC于O，
因为菱形ABCD,
所以AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,
在直角三角形AOB中,因为sin∠BAC＝,AB=10,
所以sin∠BAC＝=,
所以,
所以OB=6,
由勾股定理可得:OA=8,
所以AC=16,故答案为:16.
【点睛】本题主要考查菱形对角线的性质和锐角三角函数的应用,解决本题的关键是要熟练利用锐角三角函数解直角三角形.
16．
【解析】
【分析】
根据题意先证∠DCB=∠CAB，则把求tan∠DCB的值的问题转化为求直角△ABC的边的比的问题．
【详解】
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠DCB=∠CAB．在Rt△ABC中，AC=3，BC=5，∵tan∠CAB=,
∴tan∠DCB＝.
故答案是：.
【点睛】
考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
先将各角的函数值代入，然后按照二次根式的运算法则计算即可.
【详解】
（1）原式=2×+4××﹣（）2
=1+2﹣
=.
（2）原式=（）﹣1+﹣1
=2++﹣1
=.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.
18．AD=7.5+
【解析】试题分析：
由题意可知，tan=，由此可得∠=30°，结合CE=4可得DE=；过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BFEC是矩形，由此可得BF=CE=4，EF=BC=4.5，在Rt△ABF中由勾股定理可得AF=3，从而可得AD=AF+EF+DE=7.5+.
试题解析：
由题意可知：tan=，CE=4，
∴∠=30°，DE=，
点B作BF⊥AD于点F，又∵∠CEA=90°，BC∥AD，
∴∠BFA=∠BFE=90°=∠BCE，
∴四边形BFEC是矩形，
∴BF=CE=4，EF=BC=4.5，
∴在Rt△ABF中，AF=。
∴AD=AF+EF+DE=7.5+.
19．，
【解析】先对分式进行化简，再代入求值即可.
解：原式=，-
当x=2sin45°+1=2×+1=+1时，
原式==．
20．（-3）米．
【解析】
试题分析：在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BC=AC-AB得解．
试题解析：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3m，
∴DA=3m，
在Rt△ADC中，∠CDA=60°，
∴tan60°=，
∴CA=m
∴BC=CA-BA=（-3）米．
考点：解直角三角形的应用—俯角仰角问题.
21．（1）AC=；（2）．
【解析】【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=，
∵tan∠DBF=，
∴DF=，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，
∴AD=5﹣=，
则．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.
22．84米
【解析】分析：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.
详解：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADE
AB=BC?tan75°=42tan75°=，
AE=，
∴CD=AB﹣AE=（米）.
答：建筑物CD的高为84米.
睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.
23．（1）B处离岛C有12海里；（2）没有触礁危险.
【解析】
【分析】
(1) 过C作CO垂直AB，,通过证明∠ACB＝∠CAB＝30o，即可求出CB的长；
(2)求出点C到AB的距离是否大于10，如果大于10则无触礁危险，反之则有.
【详解】
（1）过C作CO垂直AB，
CO为渔船向东航行到C道最短距离
∵在A处测得岛C在北偏东的60°
∴∠CAB=30°
又∵B处测得岛C在北偏东30°，
∴∠CBO=60°，∠ABC=120°，
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴AB=BC=12×1=12（海里）（等边对等角）；
（2）∵CO⊥AB，∠CBO=60°
∴CO=6（海里）＞10（海里）
故如果渔船继续向东航行，没有触礁危险
【点睛】
本题主要考查的是解直角三角形的应用，解(1)时通过证明∠ACB＝∠CAB＝30o，即可求出CB的长；解(2)时求出点C到AB的距离是否大于10，如果大于10则无触礁危险，反之则有.
24．（1）∠EAD的余切值为；（2）=.
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ADB中，根据AB=13，cos∠BAC=，求出AD的长，由勾股定理求出BD的长，进而可求出DE的长，然后根据余切的定义求∠EAD的余切即可；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，由平行线分线段成比例定理可得CD：AD=CG：FG=3:5，从而可设CD=3x，AD=5x，再由EF∥DG，BE=ED， 可知BF=FG=5x，然后可求BF：CF的值.
【详解】
（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE=90°，
Rt△ADB中，AB=13，cos∠BAC=，
∴AD=5， 由勾股定理得：BD=12，
∵E是BD的中点，
∴ED=6，
∴∠EAD的余切==；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC=8，AD=5， ∴CD=3，
∵DG∥AF，
∴=，
设CD=3x，AD=5x，
∵EF∥DG，BE=ED，
∴BF=FG=5x，
∴==.
【点睛】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理.解（1）的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念，解（2）的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.