4.4 解直角三角形的应用课时作业3

4.4 解直角三角形的应用课时作业3
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
某水库大坝高20米，背水坝的坡度为1：，则背水面的坡长为（　　）
A．40米 B．60米 C．30米 D．20米
如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
若某人沿倾斜角为α的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )
A． B． 100sinαm C． D． 100cosαm
如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1： 的斜坡铺设水管．若测得水管A处铅垂高度为8 m，则所铺设水管AC的长度为（ ）
A． 8m B． 12m C． 14m D． 16m
如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（　　）
A． B．3 C． D．4
如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（　　）
A． 29.1米 B． 31.9米 C． 45.9米 D． 95.9米
二、填空题
同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2米， 滑梯AB的坡比是1:2（即AC:BC=1:2），则滑梯AB的长是 米．
每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让同学们感受国旗的神圣．升国旗时，小颖同学站在离旗杆底部米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，小颖同学视线的仰角恰为．若小颖双眼离地面米，则旗杆的高度为________米．（用含根号的式子表示）
如图，一人乘雪橇沿坡角为α的斜坡笔直滑行了82米，那么他下降的高度为_____米（用含α的式子表示）．
如图，小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200米，则山的高度为________米．
如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为，深为．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现将斜坡的坡度设计为，则的长为________．
三、解答题
如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）
某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：
如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，FG⊥DE，垂足为点G．
（1）若∠θ=37°50′，则AB的长约为　 　cm；
（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）
（2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的长．
已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
答案解析
一 、选择题
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】因为tanα（坡度）=垂直距离÷水平距离，可得水平距离为20米，根据勾股定理可得背水面的坡长为40米．
解：∵大坝高20米，背水坝的坡度为1：，
∴水平距离=20×=20米．
根据勾股定理可得背水面的坡长为40米．
故选：A．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB?sinα=300sinα米．
故选A．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据坡度角的正弦值=垂直高度：坡面距离，构建三角形进行解答即可．
解：如图，∠A=α，∠C=90°，
则他上升的高度BC=ABsinα=100?sinα（米），
故选B.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求解是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】首先根据坡度的定义求出BC的长度，然后根据勾股定理求出AC的长度．
解；∵该斜坡的坡度为i=1: ，
∴AB:BC=1: ，
∵AB=8m，
∴BC=8m，
则AC=m.
故选D.
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得=，进而得出CF=3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．
解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴=，即=，
解得CF=3，
∴Rt△ACF中，AF==4，
又∵AB=3，
∴BF=4﹣3=1，
∴石坝的坡度为==3，
故选：B．
　
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．
解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，
设DE=xm，CE=2.4xm，由勾股定理，得
x2+（2.4x）2=1952，
解得x≈75m，DE=75m，CE=2.4x=180m，EB=BC﹣CE=306﹣180=126m．
∵AF∥DG，
∴∠1=∠ADG=20°，tan∠1=tan∠ADG==0.364．
AF=EB=126m，tan∠1==0.364，
DF=0.364AF=0.364×126=45.9，
AB=FE=DE﹣DF=75﹣45.9≈29.1m，
故选A．
【点评?】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键．
二 、填空题
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据坡比求出BC，在Rt△ABC中，根据勾股定理可求出斜边AB的长度：
解：由题意知，AC：BC=1；2，且AC=2，故BC=4．
在Rt△ABC中，，即滑梯AB的长度为米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据题意得图，已知：AC＝7m，AD＝1.5m，∠CAB＝60°，而求得是BE.
解：BE＝BC＋CE,BC＝AC×tan∠CAB＝7×tan60°＝7，CE＝AD＝1.5m，则BE＝7＋1.5，故答案为7＋1.5
【点睛】本题考查了运用所学的直角三角形知识解决实际问题，可以根据题意来画出所需要的图象，(然后解决问题将实际问题转化成数学问题).
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】如图，设下滑的距离为AB=82米，下降的高度为线段AC．解直角三角形求出AC即可；
解：如图，设下滑的距离为AB=82米，下降的高度为线段AC．
在Rt△ABC中，AC=AB?sinα=82?sinα，
故答案为82?sinα．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】本题实际上是在直角三角形中，已知斜边，求30度所对的直角边．
解：由题意得：AB=200米，∠A=30°，故可得BC=100米．
故答案为：100．
【点睛】本题考查了坡度及坡角的知识，本题涉及的角度比较特殊，所以我们可以直接利用含30°角的直角三角形的性质求解．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】如图所示，所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD＝60cm，AD＝60cm，然后根据坡度比解答.
解：由图可知：B＝60cm，AD＝60cm，∵坡度比＝BD∶DC＝1∶4.5，∴DC＝270，∴AC＝DC－AD＝270－60＝210cm.
【点睛】本题考查运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转换为数学问题）.
三 、解答题
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．
解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）．
即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】在Rt△ABC中，根据AB=4米，∠ABC=45°，求出AC的长度，然后在Rt△ADC中，解直角三角形求AD的长度，用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度．
解答：在Rt△ABC中，AC=AB?sin45°=4×=2，
∵∠ABC=45°，
∴AC=BC=2，
在Rt△ADC中，AD=2AC=4，AD﹣AB=4﹣4≈1.66．
答：改善后滑板会加长1.66米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】（1）作EP⊥BC、DQ⊥EP，知CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，由∠1+∠θ=90°且∠1=∠2知∠3=∠θ=37°50′，根据EQ=DEsin∠3和AB=EP=EQ+PQ可得答案；
（2）延长ED、BC交于点K，结合（1）知∠θ=∠3=∠K=60°，从而由CK=、KF=可得答案．
解：（1）如图，作EP⊥BC于点P，作DQ⊥EP于点Q，
则CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2，
∴∠3=∠θ=37°50′，
则EQ=DEsin∠3=120×sin37°50′，
∴AB=EP=EQ+PQ=120sin37°50′+10=83.2，
故答案为：83.2；
（2）如图，延长ED、BC交于点K，
由（1）知∠θ=∠3=∠K=60°，
在Rt△CDK中，CK==，
在Rt△KGF中，KF===，
则CF=KF﹣KC=﹣==．
【考点】 解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AP的关系求出即可；
（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=，求出即可．
解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴=，
设AH=5km，则PH=12km，
由勾股定理，得AP=13km．
∴13k=26m． 解得k=2．
∴AH=10m．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．
（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD．
设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°=，即≈4.0，
解得x=，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．
【点评】此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键．