沪科版数学八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
基础达标 提升训练
1. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为( )
A. 13 B. 15 C. 17 D. 19
第1题 第2题
2. 如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是( )
A. ∠A的平分线 B. AC边的中线
C. BC边的高线 D. AB边的垂直平分线
3. 下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB.其中正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A. AB=AD
B. AC平分∠BCD
C. AB=BD
D. △BEC≌△DEC
5. 已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
6. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为( )
A. 3 cm B. 6 cm C. 12 cm D. 16 cm
第6题 第7题
7. 如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为( )
A. 65° B. 60° C. 55° D. 45°
8. 如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点，若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数( )
A. 24° B. 30° C. 32° D. 42°
第8题 第9题
9. 如图所示，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD＋AD，则点D在AC的 上.
10. 如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 .?
第10题 第11题
11. 如图所示，△ABC中AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BC=9，△ACD的周长为14，则AC= .?
12. 如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是 .
13. 如图所示，在直线AB上找一点P，使PC=PD.(只保留作图痕迹，不写作法)
(1) (2) (3)
14. 如图所示，AB=AD，BC=CD，E是AC延长线上一点，
求证：BE=DE.
15. 如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于M，交OB于N，且P1P2=15，则△PMN的周长是多少?
16. 如图所示，△ABC中，AB=AC=16 cm，AB的垂直平分线ED交AC于E点，交AB于D点.
(1)当AE=13 cm时，BE= cm；
(2)当△BEC的周长为26 cm时，求BC的长；
(3)当BC=15 cm，求△BEC的周长.
17. 已知点A(2，1)和点B(3，2)，点C是y轴上的一个动点，当AC＋BC的值最小时，求点C的坐标.
?拓展探究 综合训练
18. 如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D是BC延长线上一点，点E是AB上一点，且在线段BD的垂直平分线上，BD的垂直平分线交BD于点G，连接DE交AC于点F.
求证：点E在线段AF的垂直平分线上.
参考答案
1. B 【解析】因为AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，所以AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，因为△ABC的周长为23，所以AB＋BC＋AC=23，所以AB＋BC=23－8=15，所以△ABD的周长为AB＋BD＋AD=AB＋BD＋CD=AB＋BC=15.故选B.
2. D 【解析】因为分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，所以DA=DB，EA=EB，所以点D，E在线段AB的垂直平分线上.故选D.
3. C
4. C 【解析】因为AC垂直平分BD，所以△BEC≌△DEC，△BEA≌△DEA，所以AB=AD，AC平分∠BCD.故选C.
5. B 【解析】假设交点P在边BC上，如图所示，连接PA，则PA=PB=PC，易证△PAE≌△PBE，所以∠B=∠1；同理∠C=∠2，所以∠BAC=∠1＋∠2=(∠1＋∠2＋∠B＋∠C)=90°.故选B.
6. A 【解析】因为DE是AC的垂直平分线，所以AD=DC，AE=CE=AC，因为△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13 cm，所以AB＋BC＋AC=19 cm，AB＋BD＋AD=AB＋BD＋DC=AB＋BC=13 cm，
所以AC=6 cm，所以AE=3 cm.故选A.
7. A 【解析】由题意可得，MN是AC的垂直平分线，所以AD=DC，所以∠C=∠DAC，因为∠C=30°，所以∠DAC=30°，因为∠B=55°，所以∠BAC=95°，所以∠BAD=∠BAC－∠CAD=65°.故选A.
8. C 【解析】因为BP平分∠ABC，所以∠ABP=∠CBP，因为直线l是线段BC的垂直平分线，所以BP=CP，所以∠CBP=∠BCP，所以∠ABP=∠CBP=∠BCP，因为∠A=60°，∠ACP=24°，所以3∠ABP＋24°＋60°=180°，解得∠ABP=32°.故选C.
9. 垂直平分线 【解析】由BC=BD＋DC=BD＋AD，得AD=CD，所以D在AC的垂直平分线上.
10. 13 【解析】因为DE是AB的垂直平分线，所以EA=EB，△BCE的周长=BC＋EC＋EB=BC＋EC＋EA=BC＋AC=13.
11. 5 【解析】因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD，因为△ACD的周长为14，所以14=AC＋AD＋CD=AC＋BD＋CD=AC＋BC，所以14=AC＋9，所以AC=5.
12. 40° 【解析】因为∠BAC=110°，所以∠B＋∠C=70°，因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
所以PA=PB，QA=QC，所以∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，所以∠PAB＋∠QAC=70°，所以∠PAQ=∠BAC－(∠PAB＋∠QAC)=40°.
13. 解：如图所示.
14. 证明：因为AB=AD，所以点A在线段BD的垂直平分线上，因为BC=CD，所以点C在线段BD的垂直平分线上，所以AC垂直平分BD，因为点E在AC的延长线上，所以BE=DE.
15. 解：因为P点关于OA，OB的对称点分别为P1，P2，所以PM=P1M，PN=P2N. 又因为△PMN的周长为PM＋PN＋NM，所以△PMN的周长为P1M＋P2N＋MN=P1P2=15.
16. 解：(1)13.
(2)因为△BEC的周长是26 cm，所以BE＋EC＋BC=26 cm，因为DE垂直平分AB，所以AE=BE，
所以AC=AE＋EC=BE＋EC，因为AC=16 cm，所以BE＋EC=16 cm，所以BC=26－(BE＋EC)=10 cm.
(3)因为DE垂直平分AB，所以AE=BE，所以BE＋EC=AE＋EC=AC，因为AC=16 cm，BC=15 cm，所以△BEC的周长是BE＋EC＋BC=AC＋BC=16＋15=31 cm.
17. 解：作A(2，1)关于y轴的对称点的坐标为A′(－2，1)，
连接A′B，线段A′B与y轴交点为C，此时AC＋BC的值最小，设直线A′B的解析式为y=kx＋b，将A′(－2，1)，点B(3，2)，代入解析式得：解得 直线A′B的解析式为y=x＋. 当x=0时，y=，当AC＋BC的值最小时，点C的坐标为(0，).
18. 证明：过点E作EH⊥AF于点H. 因为点E在线段BD的垂直平分线上，所以BE=DE. 在Rt△BEG
