九 年级 上 册 数学 学科教学案
课题 2.5一元二次方程的根与系数的关系 课型 新授 主备人
授课时间 年 月 日 总第 17 课时 授课人
教 学 程 序 及 内 容学习目标：知识与技能：理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系；并能运用解决有关问题。过程与方法：通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。情感与态度价值观：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重点：一元二次方程根与系数的关系及简单应用难点：探索一元二次方程根与系数的关系教学过程：一、自主学习： （一）知识回顾：1、一元二次方程的一般形式是 2、一元二次方程的求根公式是 3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ （二）自学指导： 1、计算填表 方程 ?x1 ?x2 x1x2? x1 + x2? ?x2-2x+1=0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2x2-3x?+1=0 ? ? ? ? 二、探究新知1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？??????? 2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。 4、你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。 （分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。） 随记
展示反馈1．根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积 （方程两根为x1，x2、k是常数） （1）2x2-3x-2=0? x1+x2= _ x1x2= _ ?（2）x2+7x+6=0? x1+x2= _ ?x1x2= _ 2．已知方程5x?+kx-6=0的一根是2，求它的另一根及k的值。 是方程2x?+4x-5=0的两根，求 和 四、课堂小结：回顾本节课的学习，你有哪些体会？有什么收获？五、达标检测：1．已知方程x?-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。 2.已知3x?+2x-9=0的两根是 。求 、 3、已知方程4x?+3x-2=0的两根是 ，求两根和与两根积。 六、课后作业：必做：第50页随堂2、3 习题2、3. 选做：4
教学 反思
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一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理
ax2+bx+c=0 (a≠0)
复习提问
1、写出一元二次方程的一般式
2、一元二次方程求根公式。
当 b2-4ac≥0
(a≠0）
当 △= b2-4ac<0
该方程无解：
做一做：
用适当的方法解下列一元二次方程
3、2x?- 3x+1=0
2、x?-2 x-1=0
1、x?- 2x+1=0
观察、思考两根和、两根积与系数的关系。
若x1，x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
思考：对于任何一个一元二次方程，
上述关系都成立吗？你能证明吗？
韦达定理的证明：
X1+x2=
+
=
=
-
X1x2=
●
=
=
=
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
注：能用韦达定理的前提条件为△≥0
例：利用根与系数的关系，求两根之和与两根之积：
1、
2.
已知方程5x?+kx-6=0的一根是2，求它的另一根及k的值。
展示反馈：
2、 是方程2x?+4x-5=0的两根，则X1?+x2?= (X1+1)(x2+1)=____
∴x12+x22
＝(x1＋x2)2 -2x1x2
＝(- 2 )2 –2(-2.5)
=4+5
=9
∴ (x1+1)(x2+1)
= x1 x2 + (x1+x2)+1
=-2.5+(-2 )+1
=-3.5
小结
ax?+bx+c=0有根的前提（a≠0 △≥0)
两根为x1，x2，那么
作用C：由已知一元二次方程的一个根求出另一个
根或未知系数
2 作用A：判定解方程的结果是不是它的两个根。
利用B：求两根的和，两根的积
作用D：求出其它有关式子的值
1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。
解二：
设方程的另一个根为x1.
由韦达定理，得
x1 ＋2= k+1
x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
课堂检测：
解：
由题意可知x1+x2= - , x1 · x2=-3
(1)
=
=
=
∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2
(2) ∴x12+x22 ＝(x1＋x2)2 -2x1x2
＝(- )2
-2×(-3)＝6
3、已知方程4x?+3x-2=0的两根是x1， x2，则x1+x2=—— x1x2=——
4、已知方程3x2－19x+m=0的
一个根是1，求它的另一个根及m的值。
5、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的
两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
解：设方程的另一个根为x1,
∴ m= 3x1 = 16
6关于x的方程X?-(2m+1)x+m=0
的两根之和与两根之积相等，则
m=___________
7、一元二次方程x?+5x+k=0
的两实根之差是3，则k=——
九年级 班 姓名： 等级：
数学科课堂检测纸
第 二 章 2.5一元二次方程的根与系数的关系 总第 17 课时
1．已知方程x?-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。
已知3x?+2x-9=0的两根是
3、已知方程4x?+3x-2=0的两根是 ，求两根和与两根积。
