上海市普陀区2019届高三上学期期中阶段测试数学试题

2018-2019学年上海市普陀区高三（上）期中阶段测试
数学试卷　
一、填空题
1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=　 　．
2．函数f（x）=x2﹣1（x＜﹣1）的反函数f﹣1（x）=　 　．
3．若函数f（x）=|2sinx+a|的最小正周期为π，则实数a的值为　 　．
4．设圆锥的轴截面是一个边长为4cm的正三角形，则该圆锥的体积为　 　cm3．
5．函数f（x）=log2（x﹣2）﹣log（x﹣3）﹣1的零点为　 　．
6．计算：=　 　．
7．如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为　 　．

8．不等式≥1的解集为M，若﹣2?M，则实数a的取值范围为　 　．
9．若实数x，y满足x2+2cosy=1．则x﹣cosy的取值范围是　 　．
10．设f（x）是定义在R上的函数，若f（x）﹣x2是奇函数，f（x）﹣2x是偶函数，则f（1）的值为　 　．
11．如图，已知直角△ABC的斜边AB长为4，设P是以C为圆心的单位圆的任意一点，则?的取值范围为　 　．

12．己知数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{bn}是公比为q（q≠1）的等比数列，记集合M={n|an=bn，n∈N*}，则集合M的子集最多有　 　个．
　
二、选择题
13．设α、β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“α∥β”是“m∥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．现有200根相同的圆钢（即圆柱形钢筋），把它们堆放成一个三角形垛，使剩余的圆钢最少，那么剩余的圆钢有（　　）
A．20根 B．15根 C．10根 D．9根
15．设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（abc）的组数为（　　）
A．2组 B．4组 C．5组 D．6组
16．已知函数f（x）=lgx+（a﹣2）x﹣2a+4（a＞0），若有且仅有两个整数x1，x2使得f（x1）＞0，f（x2）＞0，则a的取值范围是（　　）
A．（0，2﹣lg3] B．（2﹣1g3，2﹣lg2]
C．（2﹣lg2，2） D．（2﹣lg3，2]
　
三、解答题
17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．

19．若存在t∈R与正实数m，使得f（t﹣m）=f（t+m）成立，则称函数f（x）在x=t处存在距离为2m的对称点，把具有这一性质的函数f（x）称之为“t﹣m型函数”．
（1）设f（x）=（x≠0），试问f（x）是否是“2﹣m型函数”？若是，求出实数m的值；若不是，请说明理由
（2）设g（x）=x3﹣3λx2+2x﹣1对于任意t∈（，）都是“t﹣m型函数“，求实数λ的取值范围．
20．若正项数列{an}满足： =an+1﹣an（n∈N*）．则称此数列为“比差等数列”．
（1）试写出一个“比差等数列”的前3项；
（2）设数列{an}是一个“比差等数列”，问a2是否存在最小值，如存在，求出最小值：如不存在．请说明理由；
（3）已知数列{an}是一个“比差等数列”，Sn为其前n项的和，试证明：Sn＞．
21．某旅游胜地欲开发一座景观山，从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一平面的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上，以过山脚（点C）的水平线为x轴，过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．
已知AB所在抛物线的解析式y=x2+m，BC所在抛物线的解析式为y=（x﹣n）2，且B（4，4）．
（1）求m，n值，并写出山坡线ABC的函数解析式；
（2）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站，索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE=1600（米），假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线y=（x﹣16）2．试求索道的最大悬空高度；
（3）为了便于旅游观景，拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶，台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．试求出前三级台阶的长度（精确到厘米），并判断这种台阶能否一直铺到山脚，简述理由？

　



2018-2019学年上海市普陀区高三（上）期中数学试卷
参考答案
　
一、填空题
1． [0，1]．
2．　﹣，x　．
3．0．
4． πcm3
5． 4．
6． ．
7． 8．
8．（﹣∞，﹣3）∪[2，+∞）．
9． [﹣1，1+]．
10． ．
11． [﹣3，5]．
12． 2．
　
二、选择题
13． A．
14．C．
15． B．
16． A．
　
三、解答题
17．解：（Ⅰ）因为向量=（a， b）与=（cosA，sinB）平行，
所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，
所以tanA=，可得A=；
（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，
△ABC的面积为： =．
18．解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．
∵点F为PD中点，
∴．
∵点E为AB的中点．
∴，
又AE∥FM，
∴四边形AEMF为平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC．

（Ⅱ）已知∠DAB=60°，
进一步求得：DE⊥DC，
则：建立空间直角坐标系，
则 P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），
A（，﹣，0），B（，，0）．
所以：，．
设平面PAB的一个法向量为：，．
∵，
则：，
解得：，
所以平面PAB的法向量为：
∵，
∴设向量和的夹角为θ，
∴cosθ=，
∴PC平面PAB所成角的正弦值为．

19．解：（1）若函数f（x）=（x≠0），是“2﹣m型函数”，
即f（2﹣m）=f（2+m）（m＞0），有解，
即有解，
2﹣m+=2+m+有解，
即1=有解，
∴；
（2）：g（x）=x3﹣3λx2+2x﹣1对于任意t∈（，）都是“t﹣m型函数“，
即f（t﹣m）=f（t+m）有解，
（t﹣m）3﹣3λ（t﹣m）2+2（t﹣m）﹣1=（t+m）3﹣3λ（t+m）2+2（t+m）﹣1有解，
化为3t2+m2+2=6λt，
即6λ=3t+＞3t+在t∈（，）恒成立，
由3t+的导数为3﹣＞0在t∈（，）恒成立，
可得3t+在t∈（，）递增，可得3t+＜，
则6λ≥，即λ≥．
20．解：（1）根据比差等数列的定义写出一个比差等数列的前3项分别为2，4，；
（2）∵=an+1﹣an（n∈N*），
∴，
∵an＞0，
∴＞0，
∴a1＞1，
∴a2===（a1﹣1）++2=4，
当且仅当即a1=2时取等号，此时a2=4，
（3）由an＞0，可得=an+1﹣an＞0，
∴an+1＞an＞0，
∴＞1，
∴a2≥4，
a3﹣a2＞1，
a4﹣a3＞1
…
an﹣an﹣1＞1
以上n﹣1个式子相加可得，an﹣a2＞n﹣2
∴an＞n﹣2+4=n+2（n≥2）
sn=a1+a2+…+an＞1+4+（3+2）+…+（n+2）
=（1+2）+（2+2）+（3+2）+…+（n+2）﹣2==
∵s1=a1＞1
综上可得，．
21．解：（1）将点B（4，4）分别代入y=﹣x2+m，y=（x﹣n）2，
∴m=4+×16=8，n=8，
∴f（x）=
（2）D（2，7）、E（16，0）、B（4，4）、C（8，0）由图可知，
只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值
索道在BC上方时，
悬空高度y=（x﹣16）2﹣（x﹣8）2=（﹣3x2+40x﹣96）=﹣（x﹣）2+，
当x=时，ymax=
∴索道的最大悬空高度为米．
（3）在山坡线AB上，x=2，A（0，8）
①令y0=8，得x0=0；令y1=8﹣0.002=7.998，
得x1=2≈0.08944
∴第一级台阶的长度为x1﹣x0=0.08944（百米）≈894（厘米），
同理，令y2=8﹣2×0.002、y3=8﹣3×0.002，
可得x2≈0.12649、x3≈0.15492
∴第二级台阶的长度为x2﹣x1=0.03705（百米）≈371（厘米））
第三级台阶的长度为x3﹣x2=0.02843（百米）≈284（厘米）
②取点B（4，4），
又取y=4+0.002，则x=2≈3.99900
∵4﹣3.99900=0.001＜0.002
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚．