课件29张PPT。第二章 基本初等函数(Ⅰ)本章概览
一、地位作用
本章主要包括指数函数、对数函数和幂函数三部分内容,它们与后面学习的三角函数都是基本初等函数.
本章立足于现实生活,从具体问题入手,引导我们通过对实际情境的观察、分析、归纳、抽象、概括,科学地提出问题、分析问题和解决问题.通过对指数函数、对数函数和幂函数知识的学习,进一步感受函数是重要的数学工具和语言,学会运用函数思想方法去提出问题、分析问题和解决问题,提高运用数学知识解决问题的能力.
二、内容标准
本章的重点内容是指数函数、对数函数和幂函数的图象及其性质,其中无理数指数幂的含义、指数函数、对数函数、幂函数的性质及其应用,指数函数与对数函数的关系是难点.三、核心素养
1.要用对比的方法进行记忆.如:指数函数y=ax和对数函数y=logax的图象都过定点.当0
1 时,它们都是增函数.
2.对于指数函数和对数函数,要弄清底数a对函数值变化的影响,并且能够对两者进行相互转化.
3.熟记幂函数的结构形式,结合第一象限内的函数图象来认识几种简单的幂函数的特点和性质,并注意与指数函数区分.
4.要注意加强对函数与方程思想、数形结合思想的学习与运用,要充分借助图象来记忆性质.2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第一课时 根 式目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成想一想 方程x4=16,x5=243的实数根如何表示呢?方程xn=a呢?知识探究1.根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示xn=a根指数被开方数aa0|a|-a自我检测DCB答案:2答案:2x-1题型一根式的概念【例1】 (1)27的立方根是 ;16的4次方根是 .?
(2)已知x6=2 016,则x= .?课堂探究·素养提升(1)解析:27的立方根是3;16的4次方根是±2.
答案:3 ±2 根式概念问题应关注的两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;
(2)n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.误区警示解析:(1)由题意可知,a-2≥0且a-4≠0,所以a的取值范围是a≥2且a≠4,故选B.题型二 根式性质的应用解:(1)原式=(-2)+(-2)=-4.
(2)原式=|-2|+2=2+2=4.(4)原式=(x-2)+(x-2)=2x-4.误区警示题型三 条件根式的化简误区警示 为使开偶次方后不出现符号错误,第一步先用绝对值表示开方的结果,第二步再去掉绝对值符号,化简时要结合条件进行分类讨论.答案:-1解:因为x≥2 016,所以2 016-x≤0.
故原式=|2 016-x|+(2 016-x)
=x-2 016+(2 016-x)
=0.题型四易错辨析——忽略n的取值出错答案:2a-3b谢谢观赏！课件36张PPT。第二课时 指数幂及其运算性质目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成想一想 根式与指数幂之间存在什么关系?
(无论被开方数的指数能否被根指数整除,根式都可以表示为分数指数幂的形式,即两者是等价的)知识探究1.分数指数幂的概念0没有意义2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).ar+sarsarbr探究2:有理数指数幂的运算性质,对底数有何要求?
答案:底数大于0.
3.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.实数【拓展延伸】
化简与求值的方法与技巧
(1)在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,即统一成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算.
(2)对于根式的计算结果,并不要求统一表示形式,一般用分数指数幂的形式来表示.若有特殊要求,则按要求给出结果,但结果中不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,即结果必须化为最简的形式.
(3)在幂的四则混合运算中,运用乘法公式进行化简,能起到化繁为简的效果.
要注意的是:
①要把幂作为一个整体来看待;
②要注意幂指数间的倍数关系.(4)常用的变换方法有:
①把小数化为分数,把根式化为分数指数幂;
②若指数是负数,则对调底数的分子和分母并将负指数化为正指数;
③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体,借助有理式中的乘法公式及因式分解进行变形.
(5)注意灵活运用分式化简的方法和技巧.例如,①把分子、分母分解因式,可约分的先约分;②利用分式的基本性质化繁分式为简分式,化异分母为同分母;③把适当的几个分式先化简,各个击破;④适当利用换元法.自我检测DAC答案:-3题型一根式与指数幂的互化课堂探究·素养提升名师导引:根式与分数指数幂的互化要求是什么?(①根指数?分数指数的分母;②被开方数(式)的指数?分数指数的分子) (1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应.①根指数?分数指数的分母;②被开方数(式)的指数?分数指数的分子.
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂途径有两条:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.方法技巧题型二 利用指数幂的运算性质化简求值方法技巧 进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,化带分数为假分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,以达到化繁为简的目的. 题型三 附加条件的幂的求值问题(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,
所以a2+a-2=47.方法技巧 条件求值问题的基本步骤是先找条件和所求之间的关系,然后进行化简,最后代值运算,求值过程中要注意平方差公式、立方差公式以及一元二次方程中根与系数关系的灵活应用.题型四易错辨析——忽略 有意义出错谢谢观赏！课件33张PPT。2.1.2 指数函数及其性质
第一课时 指数函数的图象及性质目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成想一想 1:导入二中两个对应能构成函数吗?
(能)想一想 2:这两个函数有什么特点?
(底数是常数,指数是自变量)知识探究1.指数函数的定义
函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.
探究1:指数函数的解析式有何特征?
答案:指数函数的解析式具有以下特征:
(1)底数a>0,且为不等于1的常数,也不含有自变量x;
(2)指数位置是自变量x,且x的系数是1;
(3)ax的系数是1.y=ax(a>0,且a≠1)2.指数函数的图象和性质y>101增函数减函数(0,1)探究2:指数函数图象不可能出现在第几象限?
答案:指数函数图象只出现在第一、二象限,不可能出现在第三、四象限.
【拓展延伸】
1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象变换
函数的图象是直观表示函数的一种方法,函数的很多性质都可以从图象上一览无余,数形结合就是图形与代数方法紧密结合的一种数学思想.指数函数的图象通过平移、翻转等变换可得出一般函数的图象.利用函数的图象,能较简捷地解答一些与函数性质有关的问题.(2)对称规律
函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称,函数y=ax的图象与y=-ax的图象关于x轴对称,函数y=ax的图象与y=-a-x的图象关于坐标原点对称.
2.与指数函数有关的复合函数
与指数函数有关的复合函数主要包括形如y=af(x)和y=f(ax)的函数.
(1)与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法
①函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同;
②求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函数y=af(x)的值域;
③求函数y=f(ax)的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即u=ax的值域,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,得y=f(ax)的定义域;
④求函数y=f(ax)的值域,需先利用函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围,再确定函数y=f(u)的值域,即为y=f(ax)的值域.(2)与指数函数有关的复合函数的单调性
①形如y=af(x)的函数的单调性的判断方法:当a>1时,函数u=f(x)的单调增(减)区间即为函数y=af(x)的单调增(减)区间;当0②形如y=f(ax)的函数的单调性的判断方法:通过内层函数u=ax的取值范围确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的单调区间,再根据复合函数“同增异减”的法则确定复合函数的单调区间.自我检测BB1.(概念)下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( )
(A)y=(-5)x (B)y=ex(e≈2.718 28)
(C)y=-5x (D)y=πx+2B3.(单调性)指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在R上是增函数,则a的取值范围是( )
(A)a>1 (B)a>2
(C)00且a≠1)的图象恒过定点,它的坐标为 .?题型一 指数函数的概念课堂探究·素养提升解析:④为指数函数.
①中底数-8<0,
所以不是指数函数.
②中指数不是自变量x,而是x的函数,
所以不是指数函数;
③中底数a,只有规定a>0且a≠1时,才是指数函数;
⑤中3x前的系数是2,而不是1,
所以不是指数函数.故选A. 判断一个函数为指数函数只需判定解析式符合y=ax(a>0且a≠1)结构前系数为1,指数为自变量x.方法技巧解:只有(4),(6)是指数函数,因它们满足指数函数的定义;(1)中解析式可变形为y=2x·22=4·2x,不满足指数函数的形式;(2)中底数为负,所以不是;(3)中解析式中多一负号,所以不是;(5)中指数为常数,所以不是;(6)中令b= a-1,则y=bx,b>0且b≠1,所以是.即时训练1-1:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?
(1)y=2x+2;(2)y=(-2)x;(3)y=-2x;(4)y=πx;
(5)y=x2;(6)y=(a-1)x(a>1,且a≠2).解:②不是指数函数,因为自变量不在指数的位置上;③不是指数函数;④中底数-4<0,故不是指数函数;⑥中指数不是自变量x;⑦中底数x不是常数.故指数函数有①⑤⑧.题型二 指数函数的图象特征解析:法一 由于在第一象限内,指数函数符合底数越大,图象越高的规律且①②为减函数,③④为增函数,所以b法二 作直线x=1,与四个图象分别交于A,B,C,D四点,则A(1,a),B(1,b), C(1,c),D(1,d),由图可知b(A)a(C)1(1)由第一象限内“底大图高”的规律判断.
(2)取特殊值x=1得函数值的大小即底数大小进行判断.解析:(1)当a>0且a≠1时,总有f(2)=a2-2-3=a0-3=1-3=-2,所以函数f(x)=ax-2-3必过定点(2,-2).
(2)当x>0时,f(x)=ax,由于a>1,函数是增函数;当x<0时,f(x)=-ax,与f(x)=ax(x<0)关于x轴对称,只有③符合.
答案:(1)(2,-2) (2)③即时训练2-1:(1)当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3必过定点 ;?题型三 与指数函数有关的定义域、值域问题(3)y=4x-4·2x+1.规范解答:(3)函数的定义域为R.………………………………9分
记t=2x>0.则y=t2-4t+1=(t-2)2-3.
故当t=2,即2x=2,
解得x=1时,y取得最小值-3.………………………11分
所以函数的值域为[-3,+∞).………………………12分方法技巧 函数y=af(x)的定义域与值域的求法
(1)形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)形如y=af(x)的值域,应先求出f(x)的值域,再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
(3)形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)确定出y=f(ax)的值域.即时训练3-1:若函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.解析:函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),
由于指数函数是单调函数,则有a>1,
由底数大于1指数函数的图象上升,且在x轴上面,可知B正确.故选B.【备用例3】 已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图象大致是( )题型四 易错辨析——忽略函数的值域致错纠错:忽略了指数函数的值域(0,+∞)这个隐含条件.谢谢观赏！课件30张PPT。第二课时 指数函数图象及性质的应用(习题课)目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成自我检测BC1.(比较大小)已知a=20.1,b=20.2,则( )
(A)a>b (B)a(C)a=b (D)a,b大小不确定A3.(比较大小)已知有三个数a=2-2,b=40.9,c=80.25,则它们的大小关系是( )
(A)a(C)b(1)1.52.5和1.53.2;
(2)0.6-1.2和0.6-1.5;课堂探究·素养提升解:(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y=1.5x的两个函数值,由于底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是增函数,因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6-1.2,0.6-1.5可看作函数y=0.6x的两个函数值,
因为函数y=0.6x在R上是减函数,
且-1.2>-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5.(3)1.70.2和0.92.1;
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1).解:(3)由指数函数性质得,1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,
所以1.70.2>0.92.1.
(4)当a>1时,y=ax在R上是增函数,故a1.1>a0.3;
当0(1)同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较.
(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
(3)底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较.
(4)当底数含参数时,要按底数a>1和0(1)1.8-0.1与1.8-0.2;
(2)1.90.3与0.73.1;
(3)a1.3与a2.5(a>0,且a≠1).解:(1)由于1.8>1,所以指数函数y=1.8x,在R上为增函数.所以1.8-0.1>1.8-0.2.
(2)因为1.90.3>1,0.73.1<1,所以1.90.3>0.73.1.
(3)当a>1时,函数y=ax是增函数,此时a1.3当0a2.5.
故当0a2.5,当a>1时,a1.30且a≠1,确定x为何值时,有:
(1)y1=y2;(2)y1(1)形如ax>ay的不等式,借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax (a>0,且a≠1)的单调性求解;
(3)形如ax>bx的形式,利用图象求解.即时训练2-1:(2017·延安高一期中)求不等式a2x-7>a4x-1(a>0,且a≠1)中x的取值范围.解:由a2x-7>a4x-1知需要进行分类,具体情况如下:
当a>1时,因为y=ax在定义域上递增,
所以2x-7>4x-1,解得x<-3;
当0所以2x-7<4x-1,解得x>-3;
综上得,当a>1时,x的取值范围为(-∞,-3);
当0所以f(0)=0,b=1.
又f(-1)=-f(1),得a=1.(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;(3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.即时训练3-1:已知函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1),当x≥0时,求函数f(x)的值域.解:y=a2x+2ax-1,令t=ax,
所以y=g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1时,因为x≥0,所以t≥1,
所以当a>1时,y≥2.
当0因为g(0)=-1,g(1)=2,
所以当0综上所述,当a>1时,函数的值域是[2,+∞);
当00.3×(1-50%)mg/mL,
2小时后其血液中酒精含量为
0.3×(1-50%)×(1-50%)mg/mL,
即0.3×(1-50%)2mg/mL,…,
x小时后其血液中酒精含量为0.3(1-50%)x mg/mL,即时训练4-1:(2017·南阳高一期中)某医药研究所开发一种抗甲流新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)结合图,求k与a的值;(2)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);
(3)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效,求服药一次治疗有效的时间范围?谢谢观赏！课件28张PPT。2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第一课时 对 数目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成想一想 如果已知细胞分裂后的个数N,能求出分裂次数x吗?
(能)【情境导学】
导入 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…依此类推,那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?分裂多少次得到细胞个数为8个,16个呢?
解:1个细胞分裂x次得到细胞个数N=2x,因为23=8,24=16,所以N=8时,x=3; N=16时,x=4,即细胞分裂3次,4次分别得到细胞个数为8个,16个.知识探究1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 .
2.常用对数与自然对数
(1)常用对数:通常我们将以 为底的对数叫做常用对数,记作 .
(2)自然对数:以e为底的对数称为自然对数,记作 .
3.对数loga N(a>0,且a≠1)具有下列简单性质
(1) 没有对数,即N 0;
(2)1的对数为 ,即loga1= ;
(3)底数的对数等于 ,即logaa= ;底数真数lg Nln N10负数和零>零011x=logaNN探究:为什么零和负数无对数?
答案:由对数的定义:ax=N(a>0且a≠1),则总有N>0,所以转化为对数式x= loga N时,不存在N≤0的情况.【拓展延伸】
1.指数式与对数式的互化
(1)对数式logaN=x是由指数式ax=N而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对数值x是指数式中的幂指数.对数式与指数式的关系如图.
(2)由于正数的任何次幂都是正数,即ax>0(a>0),故N=ax>0.因此logaN只有在a>0,且a≠1,N>0时才有意义.
在规定了a>0,a≠1,N>0后,logaN的值便随着a,N的确定而唯一确定了.根据这一规定,我们知道并不是每一个指数式都能直接改写成对数式.如(-2)2=4,不能写成log-24=2,只有a>0,a≠1,N>0时,才有ax=N?x=logaN.2.对数运算性质的证明
(1)对数的运算性质的证明
设logaM=p,logaN=q.
由对数的定义可得M=ap,N=aq,
所以MN=ap·aq=ap+q,
所以loga(MN)=p+q,
即证得loga(MN)=logaM+logaN.
(2)对于性质(1),可做如下推广:loga(N1·N2·…·Nn)=logaN1+logaN2+…+logaNn (Ni>0,i=1,2,3,…,n).
(3)对于上述运算性质,都要注意只有当所有的对数式都有意义时,等式才能成立.如log2[(-3)×(-5)]=log2(-3)+log2(-5)是错误的.
(4)在运用对数的运算性质时,要特别注意性质的逆应用.如lg 2+lg 5=lg 10=1.自我检测C1.(对数概念)下列选项中,可以求对数的是( )
(A)0 (B)-5 (C)π (D)-x2
2.(指对互化)若b=a2(a>0且a≠1),则有( )
(A)log2b=a (B)log2a=b
(C)logba=2 (D)logab=2
3.(对数概念)在对数式logx-1(3-x)中,实数x的取值范围应该是( )
(A)(1,3) (B)(1,2)∪(2,+∞)
(C)(3,+∞) (D)(1,2)∪(2,3)DD答案:1答案:34.(性质)log2 0181+log2 0182 018= .?题型一 对数的概念课堂探究·素养提升解:(1)log5625=4.(3)ln 10=2.303;
(4)lg 0.01=-2.解:(3)e2.303=10.
(4)10-2=0.01. 在利用ax=N(a>0,且a≠1)?x=logaN(a>0,且a≠1)进行互化时,要分清各字母或数字分别在指数式和对数式中的位置.误区警示(2)log(x+3)(x+3).题型二 对数的简单性质解:(1)设t=log3x,则log5t=0,
所以t=1,即log3 x=1,所以x=3.
(2)由log3(lg x)=1,得lg x=3,
故x=103=1 000.
(3)由ln[log2(lg x)]=0,
得log2(lg x)=1,所以lg x=2,故x=102=100.【例2】 求下列各式中x的值.
(1)log5(log3x)=0;
(2)log3(lg x)=1;
(3)ln[log2(lg x)]=0.方法技巧 解决此类问题应抓住对数的两条性质loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),这是将对数式化简、求简单对数值的基础,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算求解.(3)10x=100=102,于是x=2.
(4)由-ln e2=x,得-x=ln e2,即e-x=e2.
所以x=-2.(2)log2[log3(log4x)]=0.解:(2)因为log2[log3(log4x)]=0,
所以log3(log4x)=1,
所以log4x=3,所以x=43=64.题型三 对数恒等式 =N(a>0,且a≠1,N>0)的应用(3)101+lg 2;
(4)e-1+ln 3.方法技巧题型四易错辨析——忽视底数范围致错【例4】 已知log(x+3)(x2+3x)=1,求实数x的值.错解:由对数的性质可得x2+3x=x+3,
解得x=1或x=-3.
纠错:错解中忘记检验底数需大于0且不等于1.解析:由已知得-2x-1=x2-9.
即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2.
经检验,x=2时,-2x-1<0,x2-9<0,
与对数的真数大于0矛盾,故x=2舍去.
所以原方程的根为x=-4,故选B.即时训练4-1:方程lg(-2x-1)=lg(x2-9)的根为( )
(A)2或-4 (B)-4
(C)2 (D)-2或4谢谢观赏！课件33张PPT。第二课时 对数的运算目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 问题1:指数运算有哪些性质?
答案:若a,b>0,且a≠1,b≠1,r,s∈R,
则ar·as=ar+s;
arbr=(ab)r;
(ar)s=ars.
问题2:指数式ax=b对应的对数式是什么?
答案:x=logab.导入二 求下列对数的值:
①log24;②log28;③log232;④log832.
解:①设log24=x,则2x=4,所以x=2,即log24=2;
②设log28=x,则2x=8,所以x=3,即log28=3;
③设log232=x,则2x=32,所以x=5,即log232=5;想一想 导入二中①②③之间存在什么运算关系?知识探究1.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga (M·N)= ;
(2)loga = ;
(3)loga Mn= (n∈R).
探究1:loga(MN)=logaM+logaN是否成立?
答案:不一定,当M>0且N>0时,该式成立,当M<0,N<0时,该式不成立.logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM【拓展延伸】
与对数有关的方程的求解
与对数有关的方程主要有三类:
第一类是形如关于x的方程logaf(x)=b(a>0,且a≠1),通常将其转化为指数式f(x)=ab,这样解关于x的方程f(x)=ab即可,最后要注意验根.
第二类是形如关于x的方程logaf(x)=logag(x)(a>0,且a≠1),通常将其转化为求方程f(x)=g(x)的解即可,最后要注意验根.
第三类是形如关于x的方程f(logax)=0(a>0,且a≠1),通常利用换元法,设logax=t,转化为解方程f(t)=0得t=p的值,再解方程logax=p,化为指数式,则x=ap,最后要注意验根.自我检测BD1.(运算性质)log42-log48等于( )
(A)-2 (B)-1
(C)1 (D)2
2.(运算性质)log35-log345等于( )
(A)1 (B)-1
(C)2 (D)-2A答案:14.(换底公式)log816= .?5.(换底公式)log23·log34·log45·log52= .?题型一 对数运算性质的应用课堂探究·素养提升解:(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2=2+1=3. (1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.
(2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1- lg 5,lg 5=1-lg 2等解题.方法技巧(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2
=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2
=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2
=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.解:(1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.题型二 换底公式的应用【例2】 计算:(1)log1627log8132;(2)(log32+log92)(log43+log83).方法技巧 应用换底公式时,(1)一般都换成以10为底的对数.(2)根据情况找一个底数或真数的因子作为底.(2)已知log627=a,试用a表示log1816.题型三 与对数有关的方程问题【例3】 解方程:(1)log5(2x+1)=log5(x2-2);
(2)(lg x)2+lg x3-10=0.解:(1)由log5(2x+1)=log5(x2-2)得2x+1=x2-2,
即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.
检验:当x=-1时,2x+1<0,舍去;
当x=3时,2x+1>0,x2-2>0.故x=3.
(2)原方程整理得(lg x)2+3lg x-10=0,
即(lg x+5)(lg x-2)=0,所以lg x=-5或lg x=2,
解得x=10-5或x=102,
经检验知,x=10-5,x=102都是原方程的解.方法技巧 简单的对数方程及其解法(2)lg x+2log10xx=2.【备用例3】 已知f(x)=x2+(lg a+2)x+lg b,f(-1)=-2,方程f(x)=2x至多有一个实根,求实数a,b的值.题型四易错辨析——忽视对数的意义致误解:因为lg(x+1)+lg x=lg[x(x+1)]=lg 6,所以x(x+1)=6,解得x=2或x=-3,经检验x=-3不符合题意,所以x=2.即时训练4-1:解方程lg(x+1)+lg x=lg 6.谢谢观赏！课件30张PPT。2.2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数的图象及性质目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入 某种细胞分裂时,得到分裂个数t是分裂次数n的函数,可以用指数函数表示为t=2n,反过来,如果知道分裂后的细胞个数也可求出分裂的次数n,即n=log2t,而且对于每一个细胞个数t,有唯一的分裂次数n与之相对应,因此n是关于t的函数.习惯上仍用x表示自变量,y表示它的函数,即y=log2x.这就是本节我们要研究的对数函数.知识探究1.对数函数的概念
函数 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是 .y=logax(a>0,且a≠1)x(0,+∞) (1,0)增函数减函数3.反函数
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为 .
探究1:同底数的指数、对数函数的定义域、值域有何关系?
答案:同底数的指数函数的定义域是同底数对数函数的值域,指数函数的值域是对数函数的定义域.
探究2:互为反函数的两个函数图象有何特征?
答案:关于直线y=x对称.反函数自我检测D1.(概念)下列函数是对数函数的是( )
(A)y=loga(2x) (B)y=log22x
(C)y=log2x+1 (D)y=lg x解析:选项A,B,C中的函数都不具有“y=logax(a>0,且a≠1)”的形式,只有D选项符合.DD答案:(3,3)3.(定义域)函数y=log3(x-4)的定义域为( )
(A)R (B)(-∞,4)∪(4,+∞)
(C)(-∞,4) (D)(4,+∞)
4.(单调性)函数y=ln x的单调递增区间是( )
(A)[e,+∞) (B)(0,+∞)
(C)(-∞,+∞) (D)[1,+∞)
5.(图象)函数y=loga(x-2)+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点 .?B题型一 对数函数的概念课堂探究·素养提升解析:(1)由对数函数定义知,③⑥是对数函数.故选D.答案:(1)D(2)若函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数,则a= .?答案:(2)4答案:(3)2 (1)判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:
①系数为1;
②底数为大于0且不等于1的常数;
③对数的真数仅有自变量x.
(2)若已知对数函数过定点求解析式时,常用待定系数法,设f(x)=logax (a>0且a≠1),将定点代入后利用指对数式互化或指数幂的运算性质求a.方法技巧解析:由题意可得0=loga(-1+b),1=logab,解得a=b=2,所以lg a+lg b=2lg 2.
答案:2lg 2即时训练1-1:若函数y=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图象过点(-1,0),(0,1),则lg a+lg b= .?题型二 对数函数的图象特征解析:(2)当x>1时,y=lg|x-1|=lg(x-1),
当x<1时,y=lg|x-1|=lg(1-x).故函数的图象为A.故选A.(2)函数y=lg|x-1|的图象是( )方法技巧 由图象判断对数函数的底数大小的方法
(1)令y=logax=1,则自变量x等于底数a,由自变量大小确定a的大小.
(2)根据对数函数在第一象限符合底大图右的规律判断.即时训练2-1:(2018·唐山高一检测)若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的图象大致是( )解析:由函数f(x)=loga(x+b)的图象可知,函数f(x)=loga(x+b)在(-b,+∞)上是减函数,所以01时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象为( )解析:y=logax与y=ax的图象关于直线y=x对称,y=ax与y=a-x 的图象又关于y轴对称,由此观察选C.题型三 与对数函数有关的定义域问题(2)f(x)=log(x+1)(16-4x).误区警示 求对数型复合函数的定义域时,应切记:
(1)负数和0没有对数;
(2)对数函数的底数是一个大于0且不等于1的数;
(3)真数大于0.题型四易错辨析——因忽略定义域而致错【例4】 已知函数y=f(x),x,y满足关系式lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x),求函数y=f(x)的解析式、定义域及值域.错解:因为lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x)=lg[3x(3-x)],
所以lg y=3x(3-x),即y=103x(3-x).
所以定义域为x∈R,值域为y>0.
纠错:错解中没有注意到对数函数的定义域.即时训练4-1:函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0(A)a>b (B)a(C)a=b (D)以上都不对
2.(比较大小)下列不等式成立的是( )
(A)log32(C)log233.(比较大小)若0>ln x>ln y,则( )
(A)0(C)0(A){-1,0,1} (B){1}
(C){-1} (D){-1,1}B5.(值域)若函数y=log3x的定义域是[1,27],则值域是 .?解析:因为1≤x≤27,所以log31≤log3x≤log327=3.
所以值域为[0,3].答案:[0,3]题型一对数值的大小比较【例1】 比较下列各组值的大小.课堂探究·素养提升(3)取中间值1,
因为log23>log22=1=log55>log54,所以log23>log54.题后反思 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性.
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.
(2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以画出对数函数的图象,再进行比较.
(4)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.【备用例1】 (1)若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c三个数的大小关系是( )
(A)c(C)cc=20.3>20=1,所以a,b,c三个数的大小关系为b故选D.(A)c(C)b0,a≠1).解关于x的不等式:loga(1-ax)>f(1).方法技巧 (1)解对数不等式(组)的方法是把对数不等式(组)转化为一般不等式(组)求解,其依据是对数函数的单调性.若含有字母,应考虑分类讨论.
(2)求解对数不等式易忽略定义域优先的原则,导致增解.即时训练2-1:(1)(2017·北京高一月考)已知f(x)=log3x,f(a)>f(2),那么a的取值范围是( )解析:(1)由题意,f(x)=log3x,函数单调递增,因为f(a)>f(2),所以a>2,故选A.题型三 对数型复合函数的单调性(A)(-∞,-1) (B)(-∞,1)
(C)(1,+∞) (D)(3,+∞)方法技巧 对数型复合函数的单调性
(1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是对数函数为外函数,即y=logaf(x)型;另一类是内函数为对数函数,即y=f(logax)型,对于y=logaf(x)型的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0(2)研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用复合法判定即可,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.
(3)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.即时训练3-1:函数y=log0.8(-x2+4x)的递减区间是 .?解析:令t=-x2+4x,y=log0.8t的递减区间,即为t的递增区间,t=-x2+4x的递增区间为(-∞,2].但当x≤0时,t≤0,故只能取(0,2],即为y=log0.8(-x2+4x)的递减区间.答案:(0,2]解析:由于函数y=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,
可得a>0,y=logat,
所以函数t=3-ax是减函数,
故a>1,且3-a×1>0,所以3>a>1.【备用例2】 若函数y=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是 .?答案:(1,3)题型四对数函数性质的综合应用【例4】 (2018·宜宾高一期末)已知函数f(x)=log2(3+x)+log2(3-x).
(1)求f(1)的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;解:(1)f(1)=log2(3+1)+log2(3-1)=3.(3)若f(x)<0,求实数x的取值范围.方法技巧 常见对数函数有关的复合函数的性质问题求解方法:(1)若涉及函数奇偶性可利用奇偶性定义f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))求解;(2)若涉及函数单调性的判定可利用复合函数单调性判断方法;(3)若涉及函数单调性的证明可利用对数运算性质及函数单调性证明方法.即时训练4-1:已知f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域、值域;
(2)若函数f(x)有最小值为-2,求a的值.【备用例3】 (1)求满足不等式2(log0.5x)2+9log0.5x+9≤0的x的取值范围;谢谢观赏！课件30张PPT。2.3 幂函数目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入 请用描点法在同一平面直角坐标系中画出初中已熟知的函数y=x,
y=x2,y= 的图象,并观察它们的共同特点.答案:这些函数都是以幂的底数为自变量,指数为常数,它们的图象都过点(1,1).这类函数称之为幂函数.知识探究1.幂函数的概念
一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.
探究1:幂函数与指数函数的自变量有何区别?
答案:幂函数是形如y=xα(α∈R),自变量在底数上,而指数函数是形如y=ax(a>0且a≠1),自变量在指数上.y=xαxα2.幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象如图:探究2:幂函数图象不可能出现在第几象限?
答案:第四象限.这是因为y=xα中当x>0时,y不可能小于0.3.幂函数的性质增 减增增减【拓展延伸】
函数y=xn(n= ,p,q∈Z,|p|与|q|互质)的图象自我检测1.(概念)下列函数中是幂函数的为( )(A)①③④ (B)③ (C)③④ (D)全不是B解析:根据幂函数的定义,xa的系数为1,指数位置的a为一个常数,且常数项为0可知,只有③满足定义,故选B.B B B 5.(单调性)若f(x)=xα在(0,+∞)上单调递增,则α的取值范围为 .?答案:(0,+∞)题型一幂函数的概念课堂探究·素养提升解析:(1)②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.
(2)由幂函数的定义可知m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0.解得m=1或m=2.故选C.方法技巧 幂函数解析式的结构特征:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数,底数为自变量,系数为1.(A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
(B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数
(C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数
(D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数(2)幂函数f(x)=xm是偶函数,在x∈(0,+∞)为增函数,则m的值可以为 (填序号).?
①-1;②2;③4;④-1或2.(2)因为幂函数f(x)=xm是偶函数,
在x∈(0,+∞)为增函数,所以m是正偶数,所以m的值可能是2或4.答案:(1)D (2)②③题型二 幂函数的图象【例2】 (1)(2018·安庆高一期末)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( )(2)(2017·江西高一月考)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( )
(A)d >c>b>a
(B)a>b>c>d
(C)d >c>a>b
(D)a>b>d>c解析:(2)在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.故选B.方法技巧 根据幂函数的图象比较指数的大小,可根据幂函数的单调性以及图象的变化判断,也可利用特征,如令x=2,作出直线x=2与各图象的交点,由指数函数y=2x的单调性即可由交点的纵坐标确定指数的大小关系.题型三 幂函数的性质【例3】 比较下列各组数的大小:(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(2)幂函数y=x-3在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,
因为0>-2>-2.5,所以(-2)-3<(-2.5)-3.解:(3)幂函数y=x-0.1在(0,+∞)上为减函数,
因为0<1.1<1.2,所以1.1-0.1>1.2-0.1.方法技巧 比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.即时训练3-1:比较下列各组中两个数的大小:(2)因为幂函数y=x1.5在(0,+∞)内单调递增,所以0.71.5>0.61.5.解:(1)因为函数在(0,+∞)上递增,
所以9-3m>0,解得m<3,
又m∈N*,所以m=1,2,
又函数图象关于原点对称,
所以9-3m为奇数,
故m=2.所以f(x)=x3.【备用例3】 (2017·连城一中高一期中)已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N*)的图象关于原点对称,且在R上函数值随x的增大而增大.
(1)求f(x)的表达式;(2)求满足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范围.题型四易错辨析——对幂函数理解不全致误【例4】 若(a+1)-1<(3-2a)-1,求实数a的取值范围.纠错:f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性,在此错用函数单调性.谢谢观赏！课件30张PPT。章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)×√2.指数函数的图象一定在x轴的上方.( )
3.y=3·2x是指数函数.( )
4.任何指数式都可以化为对数式.( )
5.logaxy=logax+logay(a>0且a≠1).( )
6.y=x2与y=log2x互为反函数.( )
7.互为反函数的两个函数图象关于y=x对称.( )
8.幂函数图象可在直角坐标系第四象限出现.( )
9.对数函数图象一定在y轴右侧.( )××××√×√题型探究真题体验题型探究·素养提升一、指数、对数的运算
【典例1】 计算下列各题:规律方法 (1)指数式的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.
(2)对数式的运算:①注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价.②熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.二、指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质(A)(1,1) (B)(1,0) (C)(2,1) (D)(2,0)答案:(1)C 解析:(2)①可举偶函数y=x-2,则它的图象与y轴不相交,故①错;答案:(2)②③规律方法 (1)根据函数解析式判断函数的相关性质,如定义域、值域、单调性、奇偶性等进行判断,也可根据函数性质进行排除干扰项而得到正确结果.
(2)根据函数解析式特征确定相关的基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数等,然后确定其平移变化的方向,从而判断函数图象.
(3)指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0=1,loga1=0.
(4)指数函数与对数函数都具有单调性,当01时,两者都是递增函数.变式训练2:设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是 .?解析:根据题意画出f(x)的草图,由图象可知,f(x)>0的x的取值范围是
-11.答案:(-1,0)∪(1,+∞)三、比较大小
【典例3】 (1)设a=40.1,b=log30.1,c=0.50.1,则( )
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)b>a>c (D)b>c>a(A)c(C)b1,b=log30.1<0,0c>b.故选B.(3)(2018·海南中学高一期中)设a=log0.50.8,b=log1.10.8,c=1.10.8,则a,b,c的大小关系为( )
(A)a(C)bb=log1.10.81.10=1,
所以b(2)当两个数都是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时,先利用“0”“1”作为分界点,然后在各部分内再利用函数性质比较大小.
(4)含参数的问题,要根据参数的取值进行分类讨论.四、幂函数、指数函数、对数函数的综合(2)求f(x)的最小值.规律方法 研究指数函数与对数函数及幂函数的综合问题,需灵活利用换元法将复合函数分解为两个简单函数,进而将问题转化为常见函数问题来处理.但要注意函数定义域的变化.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.五、易错辨析——忽视真数的范围致误纠错:错解中忽视了对数真数应大于0的条件.真题体验·素养升级(A)b(C)bb>0,0(A)logac(C)accbB3.(2017·全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )
(A)2x<3y<5z (B)5z<2x<3y
(C)3y<5z<2x (D)3y<2x<5zD4.(2017·北京卷)已知函数f(x)=3x-( )x,则f(x)( )
(A)是奇函数,且在R上是增函数
(B)是偶函数,且在R上是增函数
(C)是奇函数,且在R上是减函数
(D)是偶函数,且在R上是减函数A5.(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),
b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
(A)a(C)b=g(log25.1).
因为f(x)在R上是增函数,可设0则f(x1)从而x1f(x1)所以g(x)在(0,+∞)上亦为增函数.
又log25.1>0,20.8>0,3>0,且20.8<21=log24所以3>log25.1>20.8>0,所以c>a>b.故选C.6.(2016·浙江卷)已知a>b>1.若logab+logba= ,ab=ba,则a= ,
b= .?答案:4 2谢谢观赏！