课件37张PPT。第三章 函数的应用本章概览
一、地位作用
本章学习用二分法求方程近似解的方法,从中体会函数与方程之间的联系.通过一些实例的学习,让我们感受建立函数模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的应用,认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,并能初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题.
本章主要内容有结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.根据具体函数的图象,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.利用计算工具比较指数函数、对数函数以及幂函数间增长的差异,会通过建立函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)来解决实际问题.二、内容标准
本章的重点是理解函数的零点的定义及零点存在性定理;体会函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间的关系;会利用“二分法”求方程的近似解;将实际问题转化为函数模型;其中函数的零点存在性定理的应用;用二分法求方程的近似解过程中,获得给定的精确度的近似解,在实际问题中选择恰当的函数模型是难点.
三、核心素养
1.学习方程的根与函数的零点时,注重从一元二次方程的根和二次函数图象与x轴的交点的关系入手,推广到一般情形.
2.用二分法求函数零点的近似值时,注意精确度.
3.注意理解“指数爆炸”“对数增长”的含义,通过图象理解一般的指数函数、对数函数、幂函数的增长差异.
4.函数建模过程中,一要认真读题,明确问题的实际背景;二要合理选择参变量;三要注意使变量的取值有实际意义.3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 方程x-1=0的解是多少?函数y=x-1的图象与x轴的交点坐标是什么?
答案:方程的解为x=1;函数图象与x轴的交点坐标为(1,0).
导入二 方程x2-2x-3=0的根等于多少?函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标是什么?
答案:方程的根为-1,3;函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).想一想 方程f(x)=0的解与函数y=f(x)的图象与x轴交点坐标之间是怎样的关系?
(若方程f(x)=0的解为x0,则函数y=f(x)的图象与x轴的交点为(x0,0))知识探究1.函数的零点
对于函数y=f(x),把使 叫做函数y=f(x)的零点.
探究1:函数的零点是函数与x轴的交点吗?
答案:不是.函数的零点不是个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点的横坐标.
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)=0 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x) .f(x)=0的实数x有实数根有零点 3.函数零点的存在条件
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的一条曲线,并且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 ,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的根.
探究2:函数y=f(x)在[a,b]上连续不间断,当f(a)f(b)<0时,函数零点个数是否唯一?
答案:不唯一.只有函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调函数时函数零点唯一.连续不断f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)=0 【拓展延伸】
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的区间根的问题
设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,则x1,x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如表所示.自我检测1.(求函数零点)函数f(x)=log2(x-1)的零点是( )
(A)(1,0) (B)(2,0)
(C)1 (D)2
2.(函数零点的理解)已知x0为函数y=f(x)的一个零点,则函数f(x)的图象必过点( )
(A)(0,x0) (B)(0,-x0)
(C)(x0,0) (D)(-x0,0)
3.(零点个数)函数y=x3-64x的零点的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3DCDB 5.(零点个数)函数f(x)=lg x+x-3的零点有 个.?答案:1题型一求函数的零点课堂探究·素养提升解:(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,
得x=-1或x=-6,
所以函数存在零点,零点是-1,-6.
(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,
所以函数存在零点,零点是-1.【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=1-log2(x+3);解:(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,
所以函数存在零点,零点是log26.方法技巧 (1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)=0的解,求解时注意函数的定义域.
(2)已知x0是函数f(x)的零点,则必有f(x0)=0.即时训练1-1:(1)(2018·东莞市高一期末)函数f(x)=x2-4x+4的零点是( )
(A)(0,2) (B)(2,0) (C)2 (D)4
(2)(2017·博野县高一期中)函数y=logax2的零点为( )
(A)±1 (B)(±1,0) (C)1 (D)(1,0)解析:(1)由f(x)=x2-4x+4=0得,x=2,
所以函数f(x)=x2-4x+4的零点是2.故选C.
(2)根据题意,y=logax2,令y=0,即logax2=0,
解得x=±1,即函数y=logax2的零点为±1.故选A.【备用例1】 求函数f(x)=2-ln x的零点.解:令f(x)=0,即2-ln x=0,
解得x=e2.
所以函数的零点为e2.题型二 函数零点的个数【例2】 (1)(2018·濮阳高一期末)函数y=x- 的零点个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数(2)(2017·天津高一期末)函数f(x)=x- x的零点个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数方法技巧 判断函数零点的个数的方法
(1)直接求出函数的零点进行判断,即转化为方程f(x)=0解的个数;
(2)结合函数图象进行判断,即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数交点的个数;
(3)借助函数的单调性进行判断.即时训练2-1:(1)函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上( )
(A)没有零点 (B)有无数个零点
(C)有两个零点 (D)有一个零点解析:(1)当x2+4x+4=0时,即(x+2)2=0,x=-2.
因为-2∈[-4,-1],所以-2是函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上的一个零点.故选D.解析:(2)函数y=f(x)+x-4的零点,即函数y=-x+4与y=f(x)的交点的横坐标,如图所示,函数y=-x+4与y=f(x)的图象有两个交点,故函数y=f(x)+x-4的零点有2个.故选B.【备用例2】 (2017·青州市高一月考)函数f(x)=|x|-k有两个零点,则( )
(A)k=0 (B)k>0 (C)0≤k<1 (D)k<0解析:因为函数f(x)=|x|-k有两个零点,
所以函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点,如图所示.
数形结合可得,当k>0时,函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点,故k的范围是(0,+∞).故选B.题型三 判断函数零点所在的区间(A)(3,4) (B)(2,e) (C)(1,2) (D)(0,1)解析:(2)构造函数f(x)=ex-x-3,
由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,
f(0)=1-3=-2<0,
f(1)=2.72-4=-1.28<0,
f(2)=7.39-5=2.39>0,
f(3)=20.08-6=14.08>0,
f(1)·f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.(2)(2016·黑龙江大庆实验中学高一上期末)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是( )(A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(1,2) (D)(2,3)方法技巧 (1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零点存在性定理,转化为判断区间端点对应的函数值的符号是否相反.
(2)求方程f(x)=g(x)的根所在的区间,可利用构造函数的方法构造函数h(x)=f(x)-g(x),通过判断函数h(x)零点所在的区间转化为方程f(x)=g(x)的根所在的区间.解析:(2)因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又f(-2)=e-2-4<0,
f(-1)=e-1-3<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,f(2)=e2>0,所以f(0)·f(1)<0,故函数的零点所在的一个区间是(0,1).故选C.(2)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
(A)(-2,-1) (B)(-1,0)
(C)(0,1) (D)(1,2)【备用例3】 若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,
f(2)>0,则下列说法正确的是( )
(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点
(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点
(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点解析:根据零点存在性定理,由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.
故选C.题型四 函数与方程思想的应用【例4】 关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,求a为何值时:
(1)方程有一个正根和一个负根;(2)方程的两个根都大于1.方法技巧 解决有关根的分布问题应注意以下几点:
(1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.
(2)结合草图考虑四个方面:①开口方向;②Δ与0的大小关系;③对称轴与所给端点值的关系;④端点的函数值与零的关系.
(3)写出由题意得到的不等式(组).
(4)由得到的不等式(组)的解去验证图象是否符合题意.
这类问题充分体现了函数与方程的思想,也体现了方程的根就是函数的零点.在写不等式(组)时要注意条件的完备性.变式探究:本例已知条件不变,求a为何值时:
(1)方程有唯一实数根;(2)方程的一个根大于1,一个根小于1.谢谢观赏！课件25张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近似解目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入 在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在600～1 000元之间的一款手机,选手开始报价:
选手:800.
主持人:低了.
选手:900.
主持人:高了.
选手:850.
主持人:高了.
选手:825.
主持人:祝贺你,答对了.想一想 导入中的实例给出价格的一个范围,是如何逐步逼近其真实价格的?
(它是利用了二分法的思想,通过对中点值的判断,每次把区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近真实价格,从而在较短的时间内猜中真实价格)知识探究1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上 且 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
探究:若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?
答案:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.连续不断f(a)·f(b)<0 一分为二零点 2.二分法的步骤
给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
(1)确定区间[a,b],验证 ,给定精确度ε.
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c):
①若f(c)=0,则c就是函数的零点;
②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈ );
③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈ ).
(4)判断是否达到精确度ε:即若 ,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4).f(a)·f(b)<0 (a,c) (c,b) |a-b|<ε 【拓展延伸】
用二分法求方程的近似解要注意的问题
利用二分法还可以求两条曲线的交点坐标.求曲线y=f(x)和y=g(x)交点的横坐标,实际上是求函数y=f(x)-g(x)的零点,即求方程f(x)-g(x)=0的实根.
用二分法求方程的近似解要注意的问题:①要看清题目要求的精确度,它决定着二分的次数.②初始区间的选定一般在两个整数间,不同的初始区间结果是相同的,但二分的次数却相差较大.③在二分法的第四步,由|a-b|<ε便可判断零点近似值为a或b,即只需进行有限次运算即可.④用二分法求出的零点一般是零点的近似值,但并不是所有函数都可以用二分法求零点近似值,必须满足在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值.自我检测1.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是( )
(A)[-2,-1] (B)[-1,0]
(C)[0,1] (D)[1,2]
2.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=x3-2x-1的零点时,若零点所在的初始区间为(1,2),则下一个有解区间为( )
(A)(1,2) (B)(1.75,2)
(C)(1.5,2) (D)(1,1.5)ACB 4.(二分法的概念)观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是
.?答案:①3.(精确度)用“二分法”可求近似解,对于精确度ε说法正确的是( )
(A)ε越大,零点的精确度越高
(B)ε越大,零点的精确度越低
(C)重复计算次数就是ε
(D)重复计算次数与ε无关题型一二分法的概念课堂探究·素养提升【例1】 (2018·恩施州高一月考)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值的是( )解析:能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧的函数值符号相反,图象要穿过x轴.B图象不穿过x轴.故选B.方法技巧 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,即条件f(a)?f(b)<0是必不可少的,对函数的不变号零点不适用.即时训练1-1:下面关于二分法的叙述,正确的是 .(填序号)?
①用二分法可求所有函数零点的近似值;
②用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位;
③二分法无规律可循;
④只有在求函数零点时才用二分法.解析:只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号,才可以用二分法求函数的零点的近似值,故①错;二分法有规律可循,可以通过计算机来进行,故③错;求方程的近似解也可以用二分法,故④错.答案:②题型二 二分法的步骤【例2】 用二分法求方程f(x)=0在[0,4]上的近似解时,至少经过 次计算精确度可以达到0.001.?答案:12即时训练2-1:用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
(A)(0,0.5),f(0.125) (B)(0.5,1),f(0.875)
(C)(0.5,1),f(0.75) (D)(0,0.5),f(0.25)解析:因为f(x)=x5+8x3-1,f(0)<0,f(0.5)>0,
所以f(0)f(0.5)<0,
所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应为f(0.25),故选D.【备用例1】 若用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是 .?题型三 用二分法求方程的近似解【例3】 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解.(精确度0.1)解:原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,
用计算器或计算机作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表如下:观察表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点x2=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得,x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.437 5).
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为1.437 5.题后反思 二分法求解过程中,每次取中点求值可以利用列表的方式,使计算步骤明确,当区间长度小于精确度时,即为计算的最后一步.即时训练3-1:利用计算器,求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1).解:作出y=lg x,y=2-x的图象可以发现,方程lg x=2-x有唯一解,设为x0,并且在区间(1,2)内,
设f(x)=lg x+x-2,用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0?x0∈(1,2);
f(1.5)<0,f(2)>0?x0∈(1.5,2);
f(1.75)<0,f(2)>0?x0∈(1.75,2);
f(1.75)<0,f(1.875)>0?x0∈(1.75,1.875);
f(1.75)<0,f(1.812 5)>0?x0∈(1.75,1.812 5).
因为|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,
所以方程的近似解可取为1.812 5.解:方程2x+x=4可以化为2x=4-x.分别画函数y=2x与y=4-x的图象,如图所示,由图象可以知道,方程2x+x=4的解在区间(1,2)内,那么对于区间(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解.
设f(x)=2x+x-4,利用计算器计算得,
f(1)<0,f(2)>0?x1∈(1,2),f(1)<0,f(1.5)>0?x1∈(1,1.5),f(1.25)<0,f(1.5)>0?x1∈(1.25,1.5),f(1.375)<0,f(1.5)>0?x1∈(1.375,1.5),
f(1.437 5)>0,f(1.375)<0?x1∈(1.375,1.437 5).
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1,
所以原方程的近似解可取为1.437 5.【备用例2】 利用计算器,求方程2x+x=4的近似解(精确度0.1).题型四 易错辨析——忽视系数致误【例4】 已知函数f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1,若f(x)的图象与x轴只有一个交点,求m的值.纠错:忽略了二次项系数为零,默认函数是二次函数.即时训练4-1:已知方程mx2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一解,则实数m的取值范围是 .?解:设f(x)=mx2-x-1,因为方程mx2-x-1=0在(0,1)内恰有一解.所以当m=0时,方程-x-1=0在(0,1)内无解,当m≠0时,由f(0)·f(1)<0,即-(m-1-1)<
0,解得m>2.答案:(2,+∞)谢谢观赏！课件34张PPT。3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入 在同一坐标系内观察图象(1)y=2x,y=3x,y=4x;
(2)y=log2x,y=log3x,y=log4x;
(3)y=x2,y=x3,y=x4;
(4)y=2x,y=log2x,y=x2.想一想 指数函数,对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?幂函数的幂指数大于0且不相同时增长快慢如何?
(由图象可知,指数函数在x>0时,底数越大增长得越快,对数函数在x>1时底数越大增长得越慢,幂函数在x>1时指数越大增长得越快)知识探究1.三种函数模型的性质上升上升上升2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是
,但 不同,且不在同一个“档次”上.增函数增长速度(2)随着x的增大,y=ax(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度 .
(3)存在一个x0,当x>x0时,有 .越来越慢logax
三种函数模型的增长差异
(1)指数型函数模型:y=k·ax+b,当k>0,a>1或k<0,0y=k·ax+b,当k>0,01时,在(0,+∞)上为减函数.
(2)对数型函数模型:y=k·logax+b,当k>0,a>1或k<0,0y=k·logax+b,当k>0,01时,在(0,+∞)上为减函数.
(3)幂型函数模型:y=kxn+b,当k>0,n>0时,在(0,+∞)上为增函数;
y=kxn+b,当k<0,n>0时,在(0,+∞)上为减函数.自我检测1.(单调性)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是( )C2.(增长速度比较)当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( )
(A)y=100x (B)y=log100x
(C)y=x100 (D)y=100xD解析:几种函数模型中,指数函数增长速度最快,故选D.C 3.(函数模型)对于两个变量x,y有如下一组数据,则x,y间拟合效果最好的曲线方程是( )
(A)y=log2x (B)y=2x
(C)y=2x (D)y=x24.(函数模型)若长方形的长x是宽的2倍,则该长方形的面积y与x之间的关系式为 .?题型一图象信息迁移问题课堂探究·素养提升【例1】 如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:解析:(1)由题中图象可知,当0≤t≤3时,电话费都是3.6元.
(2)由题中图象可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元.(1)通话2分钟,需付电话费 元;?
(2)通话5分钟,需付电话费 元;?
(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为
.?答案:(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3)方法技巧 解答图象信息迁移题的方法
(1)明确横轴,纵轴的意义,如本题中横轴t表示通话时间,纵轴y表示电话费;
(2)从图象形状上判定函数模型,如本题中在区间[0,3]和[3,+∞)上均是直线型;
(3)抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等;
(4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.即时训练1-1:某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量的增长速度保持不变,则可以用来描述该厂前t年这种产品的年产量c与时间t的函数关系的是( )解析:注意以下几种情形:图①表示不再增长,图②表示增速恒定不变,图③表示增长速度越来越快,图④表示增长速度逐渐变慢.故选A.【备用例1】 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午时亮亮的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )解析:观察图象A,体温逐渐降低,不合题意;图象B不能反映“下午体温又开始上升”;图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”.故选C.题型二 常见函数模型增长趋势的比较【例2】 函数f(x)=2x和g(x)=x3(x≥0)的图象,如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x11 000,f(10)=1 024,
所以f(1)>g(1),f(2)f(10)>g(10).
所以1所以x1<8从题中图象上知,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以f(2 015)>g(2 015)>g(8)>f(8).方法技巧 由指数函数、对数函数增长的规律识别图象,即指数函数增长的速度越来越快,在某一位置会远远超过幂函数的增长,总存在x0,使x>x0时,ax>xα.即时训练2-1:函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,
C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x),
当x∈(x1,x2)时,g(x)当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x).题型三 函数模型的选取【例3】 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为估测以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y和月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数y=ax2+bx+c或函数y=a·bx+c(其中a,b,c为常数,a≠0,b>0且b≠1).已知4月份该产品的产量为1.37万件,问用上述哪一种函数作为模拟函数好?请说明理由.方法技巧 开放型的探究题,函数模型不是确定的,需要我们去探索,去尝试,找到最合适的模型,解题过程一般为:
(1)用待定系数法求出函数解析式;
(2)检验:将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最适合的函数模型;
(3)利用所求出的函数模型解决问题.即时训练3-1:某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表:为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系.请问:用以上哪个模拟函数较好?说明理由.【备用例2】 某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷、0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )题型四建立函数模型解决实际问题【例4】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与log3 成正比,且当Q=900时,v=1.
(1)求出v关于Q的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数.方法技巧 数学建模中要对所给条件进行简化及合理的假设,从中区分出主要条件及次要条件,再根据要求选取合适的数学知识来求解.即时训练4-1:为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.题型五 易错辨析——增长趋势把握不准致误【例5】 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,
f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当01时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.
其中,正确结论的序号为 .?错解:①③⑤
纠错:没有深入研究,单凭主观臆测无根据.正解:四个函数的图象如图所示,根据图象易知,③④⑤正确.答案:③④⑤谢谢观赏！课件32张PPT。3.2.2 函数模型的应用实例目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天多售出2件.于是商场经理决定每件衬衫降价15元.
想一想 如何判定经理的决定是否正确?
(引入变量,建立数学模型,利用数据来判定)知识探究1.函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题.
(2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.ax+b(a,b为常数且a≠0) 2.常见的函数模型ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)k·ax+b(k,a,b为常数且a>0,a≠1,k≠0) k·xn+b(k,b,n为常数,且k≠0) 3.建立函数模型解决问题的基本过程自我检测1.(指数型函数模型)某林场计划第一年造林10 000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( )
(A)14 400亩 (B)172 800亩
(C)17 280亩 (D)20 736亩
2.(二次函数模型)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车运营的利润y与运营年数x(x∈N)为二次函数关系(如图),则客车有运营利润的时间不超过( )
(A)4年 (B)5年 (C)6年 (D)7年CDD 3.(一次函数模型)据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是( )
(A)y=0.1x+800(0≤x≤4 000)
(B)y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000)
(C)y=-0.1x+800(0≤x≤4 000)
(D)y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000)
4.(对数型函数模型)某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=
alog2(x+1),若这种动物第一年有100只,则到第15年会有 只.?答案:400题型一利用已知函数模型解决问题课堂探究·素养提升【例1】 一个自来水厂,蓄水池中有水450吨,水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内供水总量为160 吨,现在开始向水池中注水并同时向居民小区供水.
(1)问多少小时后,蓄水池中水量最少?(2)若蓄水池中水量少于150吨时,就会出现供水紧张现象,问每天有几小时供水紧张?方法技巧 由于分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变化量的范围,特别是端点值.【备用例1】 某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件),可近似看作一次函数y=kx+b的关系(图象如图所示).
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元,
①求S关于x的函数解析式;
②求该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价.解:(2)①由(1)S=x×y-500y=(-x+1 000)(x-500)
=-x2+1 500x-500 000(500≤x≤800).
②由①可知,S=-(x-750)2+62 500,其图象开口向下,对称轴为x=750,所以当x=750时,Smax=62 500.即该公司可获得的最大毛利润为62 500元,此时相应的销售单价为750元/件.【备用例2】 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?题型二 指数型函数模型【例2】 已知某城市2017年底的人口总数为200万,假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素).
(1)若经过x年该城市人口总数为y万,试写出y关于x的函数关系式;
(2)如果该城市人口总数达到210万,那么至少需要经过多少年(精确到1年)?解:(1)y=200(1+1%)x.
(2)令y=210,即200(1+1%)x=210,
解得x=log1.011.05≈5.
答:至少需要经过5年该城市人口总数达到210万.方法技巧 此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数型函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数型模型y=
a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式来表示.题型三 对数型函数模型【例3】 国际视力表值(又叫小数视力值,用V表示,范围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值,由缪天容创立,用L表示,范围是[4.0,5.2])的换算关系式为L=5.0+lg V.
(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整:(2)甲、乙两位同学检查视力,其中甲的对数视力值为4.5,乙的小数视力值是甲的2倍,求乙的对数视力值.
(所求值均精确到小数点后面一位数字,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)解:(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值,
则有4.5=5.0+lg V甲,
所以V甲=10-0.5,则V乙=2×10-0.5.
所以乙的对数视力值L乙=5.0+lg (2×10-0.5)=5.0+lg 2-0.5=5.0+0.301 0-0.5≈4.8.方法技巧 (1)形如y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其特点为当a>1,m>0时,y随自变量x的增大而增大,且函数值增大的速度越来越慢.
(2)对于对数型函数模型问题,关键在于熟练掌握对数函数的性质,在认真审题的基础上,分析清楚底数a与1的大小关系,要关注自变量的取值范围.
借助于数学模型解决数学问题的同时,实际问题也得以顺利解决,这就是函数模型的作用.【备用例3】 20世纪70年代,里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0.其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.
(1)假设在一次地震中,一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.002,计算这次地震的震级;
(2)5级地震给人的震感已比较明显,我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?题型四 易错辨析——忽略限制条件致误【例4】 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.纠错:没有考虑二次函数的定义域就直接利用二次函数的性质求解,从而导致出错.【备用例4】 如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t),则函数f(t)的解析式为 .?(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)谢谢观赏！课件28张PPT。章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.函数的零点是一个点的坐标.( )
2.若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.( )
3.二次函数一定有零点.( )
4.若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),
(x2,0).( )
5.所有函数的零点都可以用二分法来求.( )
6.函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( )
7.当x很大时,函数y= ·2x的增长速度比y=x200增长速度快.( )×××√×××题型探究真题体验题型探究·素养提升一、函数零点的判断
【典例1】 (1)(2018·宾阳中学高一期中)函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( )
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)(2)(2018·大庆高一检测)已知实数a(A)仅一个零点且位于区间(c,+∞)内
(B)仅一个零点且位于区间(-∞,a)内
(C)有两个零点且分别位于区间(a,b)和(b,c)内
(D)有两个零点且分别位于区间(-∞,a)和(c,+∞)内解析:(2)因为f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,
f(c)=(c-a)(c-b)>0,
所以在(a,b)及(b,c)区间都至少各有一个零点,即两个零点分别位于(a,b)及(b,c)内.故选C.规律方法 (1)利用函数的零点存在性定理判断函数零点所在区间.
(2)利用函数的单调性或数形结合思想判断函数零点的个数.变式训练1:(1)方程x-1=lg x必有一个根的区间是( )
(A)(0.1,0.2) (B)(0.2,0.3)
(C)(0.3,0.4) (D)(0.4,0.5)
(2)(2018·揭西县河婆中学高一期中)函数f(x)=log2x-4+2x的零点位于区间( )
(A)(3,4) (B)(0,1)
(C)(1,2) (D)(2,3)解析:(1)设f(x)=lg x-x+1.
因为f(0.1)=lg 0.1-0.1+1=-0.1<0,f(0.2)=lg 0.2-0.2+1=lg 0.2+0.8>0,
所以函数y=f(x)在(0.1,0.2)内必有一根.故选A.
(2)因为f(1)=log21-4+2×1=-2<0,f(2)=log22-4+2×2=1>0,
又在(1,2)上函数y=log2x-4+2x的图象是连续不断的一条曲线,
所以函数y=log2x+2x-4在区间(1,2)上存在零点.故选C.二、函数零点的应用
【典例2】 函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围为( )规律方法 已知函数零点或方程根的个数求参数时常借助数形结合思想及分类讨论思想求解,分类时要注意不重不漏.变式训练2:(2017·大同高一期末)已知方程x2-4|x|+5=m有四个全不相等的实根,则实数m的取值范围是 .?答案:(1,5)三、已知函数模型解决实际问题(1)求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x(吨)之间的函数关系式y=f(x);(2)已知该火箭的起飞重量是544吨,则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最大飞行速度达到8 km/s,顺利地把飞船发送到预定的轨道?规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题,关键要分清函数类型,并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件,然后结合所给模型,列出函数关系式;最后结合其实际意义作出解答.四、函数模型的构建问题【典例4】 一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元.
(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰好为51元?(2)设一次订购量为x个时零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x).(3)当销售商一次订购量分别为500个,1 000个时,该工厂的利润分别为多少?(一个零件的利润=一个零件的实际出厂价-一个零件成本)规律方法 建立数学模型的步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;
(2)建模:将文字语言中含有相等意义的关键词转化成数学语言,即用等式表达,用数学知识建立相应的函数模型,即写出相关的函数解析式(注意有关量的实际意义,即函数的定义域).真题体验·素养升级1.(2015·安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
(A)y=cos x (B)y=sin x
(C)y=ln x (D)y=x2+1A 解析:y=cos x是偶函数,且存在零点;
y=sin x是奇函数;
y=ln x既不是奇函数又不是偶函数;
y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.C 答案:(-∞,0)∪(1,+∞)4.(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时.?答案:24答案:8谢谢观赏！