课件33张PPT。第一章 集合与函数概念本章概览
一、地位作用
集合语言是现代数学的基本语言.高中数学课程将集合作为一种语言来学习.通过对集合的学习,我们学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性.
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段我们不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,感受建立函数模型的过程与方法,为后续学习奠定基础.二、内容标准
本章的重点内容包括集合的含义和表示方法;集合间包含与相等的含义;两个集合的并集与交集的含义;会用集合语言表达数学对象或数学内容;函数的概念、函数的基本性质.其中集合表示法的恰当选择;正确区分元素与集合、属于与包含、交集与并集等概念及其符号表示;对函数的概念和符号的理解及表示方法的恰当选择;函数的单调性、奇偶性的判断与应用属于本章的难点.
三、核心素养
1.通过对具体实例的观察、思考、探索来理解集合的概念与表示方法.
2.从实际问题中探索、观察、发现集合的基本关系、基本运算,注意概念之间、符号之间的比较,抽象与具体相结合,多角度地理解和掌握.3.在初中所学函数的基础上,进一步加深对函数概念的理解,明确函数的构成要素,能发现函数是描述变量之间关系的重要数学模型,总结出函数的表示方法,并加以比较.
4.从实际问题出发研究、探讨函数的基本性质,由具体(如图象)抽象出用数学符号刻画的相应的数量特征.1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示
第一课时 集合的含义目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入 问题1:你能找出班级中比较高的同学,比较胖的同学吗?
答案:不能.比较高,比较胖没有明确的标准,是一个模糊的概念.
问题2:你能找出班级中身高在1米75以上的同学吗?体重在60 kg以上的呢?
答案:可以.有明确的判断标准.1.集合的概念
(1)一般地,我们把 统称为元素,把一些元素组成的 叫做集合.
(2)集合与元素的表示
通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.
通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.
2.集合中元素的特性
,互异性,无序性.研究对象知识探究总体确定性探究:怎样理解集合中元素的三个特性?
答案:(1)确定性:是指作为一个集合的元素必须是明确的,不能确定的对象不能构成集合.也就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的.
(2)互异性:对于给定的集合,其中的元素一定是不同的,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素.
(3)无序性:对于给定的集合,其中的元素是不考虑顺序的.如1,2,3与3,2,1构成的集合是同一个集合.
3.集合相等
只要构成两个集合的元素是 的,我们就称这两个集合是相等的.一样4.元素与集合的关系a∈Aa?A5.常用数集及其记法正整数集NQR【拓展延伸】
集合语言的转换与应用
集合语言的不同形态各有自己的特点,符号语言比较简洁、严谨,可大大缩短语言表达的“长度”,有利于推理、运算;图形语言易引起清晰的视觉形象,它能直观地表达概念、定理的本质以及相互间的关系,在抽象的数学思维面前起着具体化和帮助理解的作用;文字语言比较自然、生动,它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来.集合语言与其他语言的关系如图所示.1.(集合元素的确定性)下列各项中,不可以组成集合的是( )
(A)所有的正数 (B)等于2的数
(C)接近于0的数 (D)不等于0的偶数C2.(元素与集合的关系)设集合M={(1,2)},则下列关系式成立的是( )
(A)1∈M (B)2∈M
(C)(1,2)∈M (D)(2,1)∈M自我检测C3.(集合元素的互异性)若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)等腰三角形D4.(元素与集合的关系)下列所给关系正确的个数是 .
①π∈R;② ?Q;③0∈N*;④|-4|?N*.?答案:2 答案:2题型一集合的概念【例1】 下列各组对象不能构成一个集合的是( )
(A)不超过20的非负实数
(B)方程x2-9=0在实数范围内的解
(C) 的近似值的全体
(D)临川十中2017年在校身高超过170厘米的同学的全体课堂探究·素养提升 判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准,给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的,如果是“确定无疑”的,就可构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.方法技巧即时训练1-1:下列对象能确定一个集合的是( )
(A)第一象限内的所有点
(B)某班所有成绩较好的学生
(C)高一数学课本中的所有难题
(D)所有接近1的数解析:A、平面直角坐标系第一象限内的所有点,具有确定性,可以构成集合,故本选项正确;B、某班所有成绩较好的学生,不具有确定性,不可以构成集合,故本选项错误;C、高一数学课本中的所有难题,不具有确定性,不可以构成集合,故本选项错误;D、所有接近1的数,不具有确定性,不可以构成集合,故本选项错误.故选A.【备用例1】 下列几组对象可以构成集合的是( )
(A)充分接近π的实数的全体
(B)善良的人
(C)某校高一所有聪明的同学
(D)某单位所有身高在1.7 m以上的人解析:选D. 题型二 集合中元素的性质【例2】 已知集合M是由三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4组成,若2∈M,求x.规范解答:因为2∈M,当3x2+3x-4=2时,
即x2+x-2=0,
则x=-2或x=1.……………………………………………………………2分
经检验,x=-2,x=1均不合题意,违反了集合的互异性.………………4分
当x2+x-4=2时,
即x2+x-6=0,则x=-3或2.………………………………………………6分
经检验,x=-3或x=2均合题意.…………………………………………8分误区警示 利用集合中元素的确定性和互异性可以求与集合中元素有关的参数值,求解时,先根据集合中元素的确定性解出参数的所有可能的值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.即时训练2-1:(2018·钦州高一月考)设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x.解:(1)因为集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
所以3≠x且3≠x2-2x且x≠x2-2x,
解得x≠3,且x≠-1,且x≠0,
故实数x应满足x?{0,-1,3},
(2)若-2∈A,则x=-2,或x2-2x=-2,
由x2-2x=-2无解,故x=-2.【备用例2】 集合P由1,m,m2-3m-1三个元素组成,若3∈P且-1?P,则实数m= .答案:4题型三 元素与集合的关系【例3】 (2018·泗县高一月考)已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,那么a为( )
(A)2 (B)2或4 (C)4 (D)0解析:集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,
a=2∈A,6-a=4∈A,
所以a=2,
或者a=4∈A,6-a=2∈A,
所以a=4,
综上所述,a=2或4.故选B.方法技巧 判断元素与集合间关系的方法
判断一个对象是否为某个集合的元素,就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征.如果一个对象是某个集合的元素,那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征.即时训练3-1:(2018·太原高一期中)下列说法正确的是( )题型四易错辨析——忽略元素的互异性出错 【例4】 含有三个元素的集合{a, ,1},也可表示为集合{a2,a+b,0},求a,b的值.纠错:错解忽略了集合中元素的互异性,当a=1时,在一个集合中出现了两个相同的元素.即时训练4-1:以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素构成集合M,则M中元素的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:对于涉及集合元素的问题,首先应想到其确定性、互异性、无序性.由集合元素的互异性可知两个相同的对象只能算作集合中的一个元素.方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3;方程x2-x-2=0的解为x=-1或x=2,所以M={-1,2,3}.故选C.谢谢观赏！课件31张PPT。第二课时 集合的表示目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集,但是这不能体现出集合中的具体元素是什么,并且还有大量的非数集不能用大写字母表示,事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素,为此,我们有必要学习集合的表示方法还有哪些?分别适用于什么情况?
导入二 (1)大于5且小于10的整数;
(2)大于5且小于10的实数;
(3)函数y=x2+2x+1上的点;
(4)漂亮的花儿.想一想 导入二中哪些能构成集合?通过阅读课本我们能否表示出这些集合?
(能构成集合的有(1),(2),(3),分别表示为{6,7,8,9},{x∈R|5
{(x,y)|y=x2+2x+1})1.列举法
列举法:把集合的元素 出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法.
2.描述法
用集合所含元素的 表示集合的方法.一一列举知识探究共同特征探究:我们知道,R表示全体实数集合,那么R={全体实数集}={R}={x|x∈R}是否正确?
答案:不正确,由于R表示全体实数构成的集合,而“{ }”这个符号已经含有“所有”的含义了,如果将全体实数集表示为{全体实数集}就是重复表述,应改为{实数},而{R}表示只含有实数集的集合,它也可以理解为该集合只有一个元素;因此R≠{R}.而{x|x∈R}表示全体实数构成的集合,因此R=
{x|x∈R},但表述不如R简单,因此表示实数集时常用R而不用{x|x∈R}.【拓展延伸】
区分数集与点集
以数或点为元素的集合分别叫作数集和点集,这是我们研究的主要对象.因此,研究集合必须搞清构成集合的元素是什么.如,对于集合A={x|y=x2-2x+5,0≤x≤3},B={y|y=x2-2x+5,0≤x≤3},C={(x,y)|y=x2-2x+5,0≤x
≤3},集合A是函数y=x2-2x+5,0≤x≤3中自变量x组成的集合,集合B则是上述函数的函数值y组成的集合,集合C则是上述函数图象上的点组成的集合.1.(列举法)下列集合中,不是方程(x-1)x(x+1)=0解集的集合是( )
(A){1,0,-1} (B){0,-1,1}
(C){x|x(x+1)(x-1)=0} (D){(-1,0,1)}D自我检测解析:{(-1,0,1)}表示是一个有序数组的集合,该集合只含一个元素,不是方程(x-1)x(x+1)=0的解集.2.(描述法)下列集合中,不同于另外三个集合的是( )
(A){x|x=1} (B){x|x2=1}
(C){1} (D){y|(y-1)2=0}B3.(两种表示方法的转化)集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( )
(A){x|x是不大于9的非负奇数}
(B){x|x≤9,x∈N}
(C){x|1≤x≤9,x∈N}
(D){x|0≤x≤9,x∈Z}A答案:{(1,1)}答案:{0,3,4,5}题型一用列举法表示集合【例1】 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合;课堂探究·素养提升解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,
7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}.
(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,
17,19}.(4)方程 +|y+1|=0的解集D;
(5)大于12的偶数构成的集合.(5){14,16,18,20,…}. 用列举法表示集合时,必须注意如下几点:①元素与元素之间必须用“,”隔开;②集合的元素必须是明确的;③不必考虑元素出现的先后顺序;④集合的元素不能重复;⑤集合的元素可以表示任何事物,如人、物、地点、数等;⑥对含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素具有明显的规律,也可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+={1,2,3,…},所有正偶数组成的集合可写成{2,4,6,8,…}.误区警示即时训练1-1:已知集合A={x∈Z| ∈Z},
(1)用列举法表示集合A;
(2)求集合A的所有元素之和.解:(1)由 ∈Z,得3-x=±1,±2,±4.解得x=-1,1,2,4,5,7.
又因为x∈Z,
所以A={-1,1,2,4,5,7}.
(2)由(1)得集合A中的所有元素之和为-1+1+2+4+5+7=18.答案:②⑤解析:题型二 用描述法表示集合【例2】 用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合;
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合;
(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合;
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合.解:(1)函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x,y)|y=-2x2+x}.
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}.(4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的正的最小公倍数构成的集合是{x|x=12n,
n∈N*}.误区警示 (1)使用描述法表示集合时,要明确集合中的代表元素是什么,元素满足什么条件.如果一个集合中所有元素均是数,那么这个集合称为数集.同样,如果一个集合中所有元素均是点,那么这个集合称为点集.形如{x|x满足的条件}的集合是数集,形如{(x,y)|x,y满足的条件}的集合是点集.
(2)使用描述法表示集合时,所有描述内容应写在花括号内,如本题中(4)若写为{x|x=12n},n∈N*,则是不正确的.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.
(5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.即时训练2-1:用适当的方法表示下列集合.
(1)方程(x+1)(x- )2(x2-2)(x2+1)=0的有理根组成的集合A;(2)被3除余1的自然数组成的集合;
(3)坐标平面内,不在第一、三象限的点的集合;
(4)自然数的平方组成的集合.解:(2)描述法:{x|x=3k+1,k∈N}.
(3)描述法:坐标平面内在第一、三象限的点的特点是纵、横坐标同号,
所以不在第一、三象限的点的集合可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}.
(4)列举法:{0,12,22,32,…};
也可用描述法:{x|x=n2,n∈N}.【备用例2】 用描述法表示下列集合:
(1)使函数y= 有意义的实数x的集合;
(2)坐标平面上第一、三象限内点的集合;
(3)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上所有点的集合.(2)坐标平面上第一、三象限内的点的特征是横、纵坐标符号相同,故该集合可用描述法表示为{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}.
(3){(x,y)|y=ax2+bx+c(a≠0),x∈R}.题型三 集合表示的应用【例3】 设集合B={x∈N| ∈N}.
(1)试判断元素1,2与集合B的关系;
(2)用列举法表示集合B.变式探究:若本题中的集合B改为{x∈Z| ∈Z},试用列举法表示集合B.解:由题意知2+x=±6或2+x=±1或2+x=±2或2+x=±3.因此x的值可以为4,-8,-1,-3,0,-4,1,-5.
故B={-8,-5,-4,-3,-1,0,1,4}.误区警示 解决集合表示方法问题,要明确两点:
(1)明确集合中的元素形式,区分数集与点集;
(2)明确元素所满足的条件.即时训练3-1:对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n,当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,
m※n=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=12,a∈N*,b∈N*}中的元素个数是 .?解析:12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6=1×12=2×6=3×4,
其中2×6舍去,6+6只有一个,其余的都有两个.
所以满足条件的(a,b)有2×7+1=15个.
答案:15【备用例3】 已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0},其中a∈R.
(1)若1∈A,用列举法表示A;
(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B.题型四易错辨析——概念不清致误【例4】 方程组 的解的集合是 .?纠错:集合{1,2}中是两个元素,表示的是两个数,而方程组的解应为数对(1,2),表示的是直角坐标平面上的点.即时训练4-1:用列举法表示下列集合.
(1)A={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};
(2)B={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.解:(1)因为y=-x2+6≤6,且x∈N,y∈N,
所以x=0,1,2时,y=6,5,2,符合题意,
所以A={2,5,6}谢谢观赏！课件31张PPT。1.1.2 集合间的基本关系目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 已知任意两个实数a,b,则它们的大小关系可能是ab,那么对任意的两个集合A,B,它们之间有什么关系?今天我们就来研究这个问题.
导入二
问题1:已知集合A和元素a,那么a与A之间是怎样的关系如何表示?
答案:a与A之间的关系是元素与集合之间的关系只有两种,可表示为a∈A,或a?A.问题2:若a∈A,b∈A,则集合{a,b}与集合A之间的关系能否用“∈”表示?应如何表示?
答案:{a,b}与A之间的关系是两个集合之间的关系,不能用“∈”来表示,而应利用两集合之间的关系符号表示.1.Venn图
在数学中,经常用平面上 曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
2.子集封闭知识探究任意一个包含由子集定义可知①A?A;②如果A?B且B?C,那么A?C.探究1:符号“∈”与“?”有何区别?
答案:“?”只用于集合与集合之间,如{0}?N.而不能写成{0}∈N,“∈”只能用于元素与集合之间.如0∈N,而不能写成0?N.
3.集合相等
如果集合A是集合B的 (A?B),且集合B是集合A的 (B?A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.
4.真子集子集子集至少存在一个5.空集
(1)定义:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作 .非空集合子集(2)两个集合之间的关系有哪几种?【拓展延伸】
数形结合思想(利用数轴求参数的取值范围)
数形结合既是一种思想又是一种解题方法,将“形”与“数”有机地进行结合,把抽象问题直观化,复杂问题简单化、具体化,充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系,从而使问题得到解决.对于和实数有关的集合问题,特别是在讨论端点的大小关系时,借助数轴将集合语言转化为图形语言,通过观察图形能使问题很容易地获得解决.C自我检测D 3.(空集)下列四个集合中,空集是( )
(A){x∈R|x2+2=0}
(B){0}
(C){x|x>8或x<4}
(D){ }A答案:4 答案:34.(子集)已知集合A={-1,3,m},集合B={3,4},若B?A,则实数m= .?5.(真子集)集合M={x|x<3且x∈N*}的真子集个数为 .?题型一子集的确定问题课堂探究·素养提升 写集合的子集时,要依据集合中元素的个数进行分类讨论,避免漏解或增解.如该题中,由已知M中必含1,2这两个元素,所以该题可转化为3,4,5这三个元素的选取问题,可选0个,1个,2个,3个共4种情况,然后逐个写出即可.题后反思(A)3 (B)6 (C)7 (D) 8 解:由题意可知集合M是集合B的非空子集,集合B中有3个元素,因此非空子集有7个,选C..【备用例1】 已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值是( )
(A)1 (B)-1 (C)0,1 (D)-1,0,1题型二 集合间关系的判断【例2】 判断下列集合之间的关系
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};
(3)A={x|-1(4)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z}.解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是实数对,故A与B之间无包含关系.题后反思 判断两个集合间的关系时,主要是根据这两个集合中元素的特征,结合有关定义来判断.对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系;对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.(A)6 (B)5
(C)4 (D)3个及3个以下【备用例2】 (2018·大庆高一月考)用适当的符号填空:
(1)2 {x|x2=2x},?
(2){3,4,8} Z;?
(3)1 {x|x2=x};?
(4) {x|x2-1=0}.?解析:(1)2∈{x|x2=2x}={0,2};
(2){3,4,8}?Z;
(3)1∈{x|x2=x}={0,1};题型三 集合相等【例3】 (2016·云南景洪市第三中学高一上期中)已知集合M中含有三个元素2,a,b,集合N中含有三个元素2a,2,b2,且M=N ,求a,b的值.方法技巧 (1)求解含参数的集合相等问题,要注意验证所求参数是否满足集合中元素的互异性.
(2)本题中的解法二利用了两集合相等的性质,即两集合相等时,两集合中所有元素的积相等,两集合中所有元素的和相等.即时训练3-1:(2018·曲靖一中高一期中)含有三个实数的集合既可表示成{a, ,1},又可表示成{a2,a+b,0},则a+b= .?答案:-1 【备用例3】 已知A={1,1+d,1+2d},B={1,q,q2},当A=B时,求d,q的值.题型四易错辨析——忽略空集致误【例4】 设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若N?M,求所有满足条件的a的取值集合.即时训练4-1:若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},且B?A,求实数a的取值范围.谢谢观赏！课件32张PPT。1.1.3 集合的基本运算
第一课时 并集、交集目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 两个实数除了可以比较大小外,还可以进行加减法运算,如果把集合与实数相类比,我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢?本节就来研究这个问题.
导入二 A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.
想一想1:把所有属于A,属于B的元素组合成一个新的集合D是什么?
(由集合中元素互异性知D={a,b,c,d,e,f})
想一想2:把A,B公共元素组成一个新的集合E是什么?
(E={c,d,e})1.并集
(1)定义:一般地,由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合,叫作A与B的并集.
(2)符号表示:A与B的并集记作 ,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)图示,用Venn图表示A∪B,如图所示.或知识探究A∪B探究1:A∪B就是由集合A和集合B的所有元素组成吗?
答案:不一定,由集合元素的互异性知集合A和集合B的公共元素只能出现一次.3.交集
(1)定义:一般地,由属于集合A且属于集合B的 组成的集合,叫作A与B的交集.
(2)符号表示:A与B的交集记作 ,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(3)图示:用Venn图表示A∩B,如图所示.所有元素A∩B【拓展延伸】
集合中元素个数的计算
若用card(A)表示集合A的元素个数,则有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
事实上,由图1可知,A∩B的元素在card(A)和card(B)中均计数一次,因而在card(A)
+card(B)中计数两次,而在card(A∪B)中只能计数一次,从而有card(A∪B)=card(A)
+card(B)-card(A∩B).
类似地,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).它可以由图2来解释,这个结论也称为容斥原理.1.(并集)已知集合A={x|x≥-3},B={x|-5≤x≤2},则A∪B等于( )
(A){x|x≥-5} (B){x|x≤2}
(C){x|-3(A){0,-1} (B){1} (C){0} (D){-1,1}B3.(并集)满足条件{0,1}∪A={0,1}的所有集合A的个数是( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个D解析:M∩N={1},故选B.4.(交集)已知A={x|x<3},B={x|x>0},则A∩B等于( )
(A){x|x>0} (B){x|x<3}
(C){x|03}C答案:A B5.(集合间的关系及运算)若A?B则A∩B= ,A∪B= .?题型一集合的并集、交集的简单运算【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B等于( )
(A){1,3} (B){3,5}
(C){5,7} (D){1,7}课堂探究·素养提升(1)解析:集合A与集合B的公共元素有3,5,故A∩B={3,5},选B.(2)已知A={x|x≤-2,或x>5},B={x|15及1据并集的定义,图中所有阴影部分即为A∪B,
所以A∪B={x|x≤-2,或x>1}.
据交集定义,图中公共阴影部分即为A∩B,
所以A∩B={x|5(A){x|1≤x<2} (B){x|1≤x≤2}
(C){x|2所以M∩N={x|1≤x<2}.故选A.(2)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B等于( )
(A){1} (B){1,2}
(C){0,1,2,3} (D){-1,0,1,2,3}解析:(2)B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.
故选C.【备用例1】 满足M∪N={a,b}的集合M,N共有( )
(A)7组 (B)8组 (C)9组 (D)10组解析:满足M∪N={a,b}的集合M,N有:
M= ,N={a,b};
M={a},N={b};
M={a},N={a,b};
M={b},N={a};
M={b},N={a,b};
M={a,b},N= ;
M={a,b},N={a};
M={a,b},N={b};
M={a,b},N={a,b},共有9组.故选C.题型二 与参数有关的交集、并集问题【例2】 (1)已知集合S={x|x>5或x<-1},集合T={x|aT={x|x∈R且x≠-1}≠R,同理当a+8=5即a=-3时,S∪T≠R.而(2)的易错之处是忽视A= 的特殊情况.即时训练2-1:已知集合A={x|x2+4x=0},集合B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,若A∩B=B,求实数a的取值范围.(2)当B={0}或B={-4}时,方程有两个相等实根,
所以Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,得a=-1.代入验证,B={0}满足题意.【备用例2】 已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-px-2q=0},且A∩B={-1},求A∪B.解:因为A∩B={-1},
所以-1∈A,-1∈B,
所以1-p+q=0,1+p-2q=0,
解得p=3,q=2
所以A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2},
B={x|x2-3x-4=0}={-1,4},
所以A∪B={-1,-2,4}.题型三 并集、交集性质的应用【例3】 已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},若A∪B=A,求实数a的值.变式探究1:若本例题中将A∪B=A,改为A∩B=B,其他条件不变,求实数a的值.解:当A∩B=B时,则B?A,解题过程同本例的过程(此处略).变式探究2:若本例题中将A∪B=A,改为A∩B=A,其他条件不变,求实数a的值.方法技巧 求解“A∩B=B或A∪B=B”类问题的思路:利用“A∩B=B?B?A,
A∪B=B?A?B”转化为集合的包含关系问题.即时训练3-1:设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
(1)若A∩B=B,求a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求a的值.(2)因为A∪B=B,所以A?B,所以B={0,2},所以a=1.题型四易错辨析——概念理解错误致误纠错:对集合的代表元素理解错误,第(1)题中代表元素为(x,y),对应集合为点集;(2)已知集合A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R},求A∩B.纠错:第(2)题中代表元素为y,表示的是y的取值范围,对应集合为数集.
正解:(2)由题意可知集合A,B分别是二次函数y=x2-2x-3和y=-x2+2x+13的y的取值集合.
A={y|y=(x-1)2-4,x∈R}={y|y≥-4,y∈R},
B={y|y=-(x-1)2+14,x∈R}={y|y≤14,y∈R}.
因此,A∩B={y|-4≤y≤14,y∈R}.解:(1)两个集合表示的都是y的取值范围,
因为A={y|y=x2-2x+3,x∈R}={y|y≥2};
B={y|y=-x2+2x+10,x∈R}={y|y≤11};
所以A∪B=R.谢谢观赏！课件29张PPT。第二课时 补集及综合应用目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 相对于某个集合U,其子集中的元素是U中的一部分,那么剩余的元素也应构成一个集合,这两个集合对于U构成了相对关系,这就验证了“事物都是对立和统一的关系”.集合中的部分元素构成的集合与集合U之间的关系就是部分与整体的关系.这就是本节研究的内容——补集和全集.
导入二 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3}.
想一想1:在导入一中,如果我们研究的集合中,所有元素都在集合U中,能否规定集合U为全集?
(可以)
想一想2:导入二中,由集合U中去掉属于集合A的元素,剩余元素构成的新集合是什么?
({4,5,6,7,8})1.全集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ,那么就称这个集合为全集.通常记作 .
2.补集所有元素知识探究U不属于集合A?UA{x|x∈U,且x?A}探究:若集合A是全集U的子集,x∈U,则x与集合A的关系有几种?
答案:若x∈U,则x∈A或x∈?UA,二者必居其一.【拓展延伸】
德·摩根定律
设集合U为全集,集合A,B是集合U的子集.
(1)如图(1),?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB);(2)如图(2),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).上面两组集合的相等关系,可以通过Venn图清楚明了地表示出来,因此,我们应学会用Venn图处理有关集合的问题.1.(补集定义)若B=?UA,则( )
(A)A?B (B)B?A (C)A?U (D)A=BC自我检测解析:由题意知?U A={2,4,7},选C.2.(补集运算)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则?U A等于( )
(A){1,3,5,6} (B){2,3,7}
(C){2,4,7} (D){2,5,7}C3.(补集运算)已知全集为R,集合A={x|x≥1},那么集合?RA等于( )
(A){x|x>1} (B){x|x>-1}
(C){x|x<1} (D){x|x<-1}C4.(补集运算)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)等于( )
(A){x|x≥0} (B){x|x≤1}
(C){x|0≤x≤1} (D){x|0所以?U(A∪B)={x|0所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又?UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
法二 满足题意的Venn图如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
答案:(1){2,3,5,7} (2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则?UA= .?解析:(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集的定义可知?UA={x|x<-3或x=5}.
答案:(2){x|x<-3或x=5} 求集合的补集的方法
(1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
(2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集.
(3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.方法技巧即时训练1-1:(1)(2018·广平县一中高一月考)设集合A={x∈N*|x≤6},B={2,4},则?AB等于( )
(A){2,4} (B){0,1,3,5}
(C){1,3,5,6} (D){x∈N*|x≤6}
(2)已知U={x|x>0},A={x|2≤x<6},则?UA= .?解析:(1)因为A={x∈N*|x≤6}={1,2,3,4,5,6},B={2,4},所以?AB={1,3,
5,6}.故选C.
(2)如图,分别在数轴上表示两集合,则由补集的定义可知,?UA={x|0答案:(1)C (2){x|0A∩(?UB),(?UA)∪B;解:(1)法一 因为?UA={1,2,6,7,8},
?UB={1,2,3,5,6},
所以(?UA)∩(?UB)={1,2,6},A∩(?UB)={3,5},
(?UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
法二 画出Venn图,如图所示,可得
(?UA)∩(?UB)={1,2,6},
A∩(?UB)={3,5},
(?UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.(2)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2由图知?RB={x|x≤2或x≥10},A∪B={x|2所以?R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.
因为?RA={x|x<3,或x≥7},
所以(?RA)∩B={x|2∩(?U B)={1,5},则下列结论中正确的是( )
(A)3?A,3?B (B)3?A,3∈B
(C)3∈A,3?B (D)3∈A,3∈B解析:(1)由Venn图可知,3∈A,3?B,故选C.(2)如图所示,U是全集,A,B是U的子集,则阴影部分所表示的集合是( )
(A)A∩B
(B)A∪B
(C)B∩(?U A)
(D)A∩(?U B)
(3)集合S={x∈N*|-2(A)M∪P (B)M∩P
(C)(?SM)∪(?SP) (D)(?SM)∩(?SP)解析:(2)由Venn图可知阴影部分为B∩(?U A).故选C.
(3)?SM={1,2,6,7,8},?SP={2,4,5,7,8},
所以{2,7,8}=(?SM)∩(?SP).故选D.【备用例1】 已知集合A={x|2x-4<0},B={x|0(1)A∩B;
(2)(?UA)∩B.解:A={x|2x-4<0}={x|x<2},B={x|0(1)A∩B={x|0(2)因为A={x|x<2},全集U=R,
所以?UA={x|x≥2},
则(?UA)∩B={x|2≤x<5}.题型三 补集的综合应用【例3】 设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3},?RB={x|-1≤x≤5}.
(1)若A∩B≠ ,求a的取值范围; (2)若A∩B≠A,求a的取值范围.(2)假设A∩B=A,则A?B,结合数轴得a+3<-1,或a>5,即a<-4,或a>5.
所以当A∩B≠A时,a的取值范围是{a|-4≤a≤5}.变式探究:若本题(2)改为A∪?RB≠A,求a的取值范围.方法技巧 求解一些与不等式有关的集合问题时,若不易直接求解,或者较难分析,可利用“正难则反”的思想转化.“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求?UA,再由?U(?UA)=A求A.即时训练3-1:已知集合A={x|(x+2)(x-5)>0},B={x|m≤x(1)求(?I M)∩N;
(2)记集合A=(?I M)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若A∪B=A,求实数a的取值范围.解:(1)因为M={x|(x+3)2≤0}={-3},N={x|x2+x-6=0}={-3,2},
所以?I M={x|x∈R且x≠-3},所以(?I M)∩N={2}.题型四易错辨析——概念认识不到位致误错解:因为?UA={5},
所以5∈U,且5?A,
所以a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,
解得a=2或a=-4.
故实数a的值为2或-4.
纠错:以上求解过程忽略了验证“A?U”这一隐含条件.【例4】 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},?UA={5},求实数a的值.即时训练4-1:已知全集U={2,4,-(a-3)2},集合A={2,a2-a+2},若?UA={-1},求实数a的值.谢谢观赏！课件30张PPT。1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
第一课时 函数的概念目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 初中是用运动变化的观点对函数进行定义的,虽然这种定义较为直观,但并未完全揭示出函数概念的本质.对于y=1(x∈R)是不是函数,如果用运动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用集合与对应的观点来解释,就十分自然.因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认识,就很有必要.
导入二 2017年游泳世锦赛在西班牙布达佩斯举行,中国队获得30枚奖牌,列奖牌榜第二.让每个中国人都为之自豪.奖牌总数排名与奖牌数如下表所示:想一想1:表中奖牌总数排名与奖牌数这两个变量之间存在什么关系?
(每一个奖牌总数排名都唯一对应着一个确定的奖牌数,即奖牌数是奖牌总数排名的函数)
想一想2:奖牌总数排名是奖牌数的函数吗?
(不是,由函数定义知,我们要检验两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:
①定义域和对应关系是否给出;
②根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一确定的函数值y与之对应)函数的概念
设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的 ,使对于集合A中的 数x,在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.
探究:函数的概念中,对集合A,B有怎样要求?函数的值域是集合B吗?
答案:集合A,B是非空数集,函数的值域是集合B的子集.对应关系f知识探究任意一个唯一{f(x)|x∈A}【拓展延伸】
函数的定义域
函数的定义域是自变量x的取值范围,有时可以省略,如果未加特殊说明,那么函数的定义域就是指能使函数式有意义的所有实数x构成的集合.在实际问题中,还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许范围.
求函数定义域的一般原则:
(1)如果f(x)是整式,那么其定义域是实数集R;
(2)如果f(x)是分式,那么其定义域是使分母不为0的实数集合;
(3)如果f(x)是二次根式(偶次根式),那么其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;(4)如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的,那么其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;
(5)f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}.
注意:求函数的定义域除上述所列举的情况之外,还应注意:在实际问题中,除考虑解析式本身有意义外,还应使实际问题有意义.1.(函数概念)下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
(A)A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方
(B)A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方
(C)A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数
(D)A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值A自我检测2.(函数判断)下列表示的是y关于x的函数的是( )
(A)y=x2 (B)y2=x (C)|y|=x (D)|y|=|x|A3.(定义域)函数y= 的定义域是( )
(A){x|x<1} (B){x|x≤1}
(C){x|x>1} (D){x|x≥1}D4.(函数判断)下列四个图象中,是函数图象的是( )
(A)①
(B)①③④
(C)①②③
(D)③④B答案:1 5.(函数的概念)已知函数y=f(x)的定义域为R,则直线x=m与函数y=f(x)的图象的交点个数为 .?题型一函数概念的理解【例1】 下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是( )
①A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应关系f:x→y= ;
②A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x;
③A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y:x2+y2=25;
④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2;
⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y;
⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0.
(A)①⑤⑥ (B)②④⑤⑥ (C)②③④ (D)①②③⑤课堂探究·素养提升解析:①在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以不能确定y是x的函数.②在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.⑤A不是数集,所以不能确定y是x的函数.④⑥显然满足函数的特征,y是x的函数.故选D. 判断某一对应关系是否为函数的步骤:
(1)A,B为非空数集.
(2)A中任一元素在B中有元素与之对应.
(3)B中与A中元素对应的元素唯一.
(4)满足上述三条,则对应关系是函数关系.方法技巧即时训练1-1:(2017·定兴县校级高一月考)已知集合M={-1,1,2,4},N=
{1,2,4},给出下列四个对应关系:
①y=x2,②y=x+1,③y=x-1,④y=|x|,其中能构成从M到N的函数是( )
(A)① (B)② (C)③ (D)④解析:对应关系若能构成从M到N的函数,须满足:对M中的任意一个数,通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应,
①中,当x=4时,y=42=16?N,故①不能构成函数;
②中,当x=-1时,y=-1+1=0?N,故②不能构成函数;
③中,当x=-1时,y=-1-1=-2?N,故③不能构成函数;
④中,当x=±1时,y=|x|=1∈N,当x=2时,y=|x|=2∈N,当x=4时,y=|x|=4∈N,故④能构成函数.故选D.【备用例1】 下列对应:
①M=R,N=N*,对应关系f:“对集合M中的元素取绝对值与N中的元素对应”;
②M={1,-1,2,-2},N={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈M,y∈N;
③M={三角形},N={x|x>0},对应关系f:“对M中的三角形求面积与N中元素对应.”
是集合M到集合N上的函数的有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)0个解析:①M中有的元素在N中无对应元素,如M中的元素0;③M中的元素不是实数,即M不是数集;只有②满足函数的定义,故选A.题型二 函数图象的特征【例2】 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图象,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )解析:A中,当1(1)任取一条垂直于x轴的直线l;
(2)在定义域内移动直线l;
(3)若l与图象有一个交点,则是函数,若有两个或两个以上的交点,则不是函数.即时训练2-1:若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N=
{y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )解析:对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除;
对B满足函数定义,故符合;
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,从而可以否定;
对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.故选B.【备用例2】 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么如图所示的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有( )
(A)①②④
(B)①②③
(C)②③
(D)③④解析:对于①,由于M中元素2在N中无元素与之对应,因而不是函数关系;对于④,M中元素(除0外)在N中有两个元素与之对应,因而不是函数关系,而对于②③,在集合M中任取一个元素,在集合N中都有唯一的元素与之对应,故②③是函数关系.故选C.题型三 求函数的定义域误区警示 已知函数解析式,求定义域需注意以下三个方面:一是不能对函数解析式化简;否则可能造成定义域变化;二是要使函数解析式中的每一部分都有意义;三是定义域要用集合形式表示.【备用例3】 (1)已知函数f(x)的定义域是{x|-1≤x≤2},则y=f(x)+f(-x)的定义域是( )
(A){x|-1≤x≤1} (B){x|-2≤x≤2}
(C){x|-1≤x≤2} (D){x|-2≤x≤1}解析:(1)因为函数f(x)的定义域是{x|-1≤x≤2},
所以由-1≤-x≤2,解得-2≤x≤1.
取交集得,-1≤x≤1.
所以y=f(x)+f(-x)的定义域是{x|-1≤x≤1}.
故选A.(2)已知函数y=f(2x+1)定义域是{x|-1≤x≤0},则y=f(x+1)的定义域是( )
(A){x|-1≤x≤1} (B){x|0≤x≤2}
(C){x|-2≤x≤0} (D){x|-2≤x≤2}解析:(2)由函数f(2x+1)的定义域是{x|-1≤x≤0},
得-1≤x≤0,
所以-1≤2x+1≤1,
即函数f(x)的定义域是{x|-1≤x≤1},
再由-1≤x+1≤1,得-2≤x≤0.
所以函数y=f(x+1)的定义域是{x|-2≤x≤0}.
故选C.题型四易错辨析——不等价变形致误纠错:约分扩大了自变量的取值范围.正解:要使函数有意义,必须使x2+x-6≠0,
即(x-2)(x+3)≠0,所以x-2≠0且x+3≠0,
即x≠2且x≠-3,故所求函数的定义域为{x|x≠2,且x≠-3}.解:要使函数有意义,需使x2+7x+10≠0,
解得x≠-2且x≠-5,
故所求函数的定义域为{x|x≠-2且x≠-5}.谢谢观赏！课件30张PPT。第二课时 函数概念的应用目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 问题1:函数的概念中函数值的集合{y|y=f(x),x∈A}与集合B有怎样的关系?
答案:{y|y=f(x),x∈A}?B.
问题2:确定一个函数需明确哪些要素?
答案:定义域、对应关系和值域.
导入二 实例:(1)y=x2+1,y=t2+1;想一想1:实例中定义域、对应关系、值域分别是什么?
((1)中定义域均为R,对应关系均为f(x)=x2+1,值域均为{y|y≥1}.想一想2:通过本节课预习,实例中定义域、值域能否用区间表示?分别是什么?
(能.(1)中定义域均为(-∞,+∞),值域均为[1,+∞);
(2)中定义域分别为[0,+∞),(-∞,+∞),值域均为[0,+∞))1.区间
设a,b∈R,且a答案:a2.函数的三要素
、对应关系、值域.定义域探究:区间(a,b)中,a,b应满足什么条件?
答案:a2.函数的三要素
、对应关系、值域.定义域RRR4.相等函数
如果两个函数的 相同,并且 完全一致,我们就称这两个函数相等.定义域对应关系1.(区间)区间[1,2)表示的集合为( )
(A){x|1≤x≤2} (B){x|1(C){x|1≤x<2} (D){x|1(A)(-∞,1) (B)(-∞,1]
(C)(1,+∞) (D)[1,+∞)AB 4.(相等函数)下列四组函数中,表示同一个函数的是( )D答案:{0,2,3} 5.(值域)函数f(x)=x+1,x∈{-1,1,2}的值域是 .?题型一区间的应用【例1】 把下列数集用区间表示:
(1){x|x≥-1};
(2){x|x<0};
(3){x|-1(4){x|0(2){x|x<0}用区间表示为(-∞,0).
(3){x|-1(4){x|0①区间左端点值小于右端点值;
②区间两端点之间用“,”隔开;
③含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号;
④以“-∞”“+∞”为区间的一端时,这端必须用小括号. 方法技巧即时训练1-1:(1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为 ;?
(2)已知区间[a,2a+1],则a的取值范围是 .?解析:(1)[0,2)∪(2,+∞).
(2)因为2a+1>a,
所以a>-1,
即a∈(-1,+∞).
答案:(1) [0,2)∪(2,+∞)
(2)(-1,+∞)【备用例1】 试用区间表示下列数集.
(1){x|5≤x<6};
(2){x|x≥9};
(3){x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2};
(4){x|x<-9}∪{x|9(2){x|x≥9}=[9,+∞).
(3){x|x≤-1}∩{x|-5≤x<2}={x|-5≤x≤-1}=[-5,-1].
(4){x|x<-9}∪{x|9故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,
所以它们表示同一函数.
(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数.题型三 求函数值与函数值域(2)当x=-2,-1,0,1,2,3时,y=11,6,3,2,3,6.
故函数的值域为{2,3,6,11}.方法技巧 求函数的值域,应先确定定义域,树立定义域优先原则,再根据具体情况求y的取值范围.
求函数值域的方法有:
a.逐个求法:当定义域为有限集时,常用此法;
b.观察法:如y=x2,可观察出y≥0;
c.配方法:对于求二次函数值域的问题常用此法;【备用例3】 已知xy<0,并且4x2-9y2=36.由此能否确定一个函数关系y=f(x)?如果能,求出其解析式、定义域和值域;如果不能,请说明理由.题型四易错辨析——抽象函数理解错误致误错解:因为f(3x+1)的定义域为[1,7],
即1≤3x+1≤7,解得0≤x≤2,
所以f(x)的定义域为[0,2].
所以f(x)=(x-1)2+2的值域为[2,3].
纠错:对定义域是自变量x的取值范围理解错误.
正解:令3x+1=t,则4≤t≤22,
即f(t)中,t∈[4,22],故f(x)的定义域为[4,22].
所以f(x)=(x-1)2+2的值域为[11,443].【例4】 已知函数f(3x+1)的定义域为[1,7],求函数f(x)=x2-2x+3的值域.谢谢观赏！课件36张PPT。1.2.2 函数的表示法
第一课时 函数的表示法目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 (1)如图是我国人口出生率变化曲线.(2)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表.想一想 图表中表示的两者的关系都是函数关系吗?分别是什么表示方法?(是,分别是图象法、列表法)导入二 语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为:生日快樂!英文为: Happy Birthday!,……,那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢?答案:常用的有解析法、图象法和列表法.知识探究1.函数的表示方法
解析法,就是用 表示两个变量之间的对应关系.
图象法,就是用 表示两个变量之间的对应关系.
列表法,就是 来表示两个变量之间的对应关系.
2.函数的图象
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散点等等.数学表达式图象列出表格【拓展延伸】
图象的作法
(1)描点法.作图步骤是:列表、描点、连线.
(2)图象变换法.
(ⅰ)平移变换.
①形如y=f(x+a),把函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位,就得到y=f(x+a)的图象.
②形如y=f(x)+a,把函数y=f(x)的图象沿y轴向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位,就得到y=f(x)+a的图象.
(ⅱ)对称翻转变换.
①形如y=f(-x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称.②形如y=-f(x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称.
③形如y=-f(-x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.
④形如y=f(|x|),其图象是关于y轴对称的,在y轴的右侧,它的图象与函数y=f(x)位于y轴右侧的图象重合,然后将y轴右侧的图象沿y轴翻折到左侧,就得到y=f(|x|)的图象.
⑤形如y=|f(x)|,将函数y=f(x)的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的部分不变,从而得到函数y=|f(x)|的图象.
(3)利用函数的性质画图.
先对函数y=f(x)的性质进行分析,然后画图,常用的函数的性质有定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等(奇偶性、单调性下节学习).自我检测1.(解析法)已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是( )
(A)f(x)=3x-1 (B)f(x)=3x+1
(C)f(x)=3x+2 (D)f(x)=3x+4AD3.(图象法)下列图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤ y≤1}为值域的函数是( )C 4.(列表法)已知函数f(x)的对应关系如表所示,则f(f(0))= .?答案:25.(图象法)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为 ,值域为 .?解析:由f(x)的图象可知-5≤x≤5,-2≤y≤3.
答案:[-5,5] [-2,3]题型一函数图象的作法及应用【例1】 作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=(-1)xx,x∈{0,1,2,3};课堂探究·素养提升解:(1)列表函数图象只是四个点:(0,0),(1,-1),(2,2),
(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.解:(2)列表(2)y= ,x∈[2,+∞); 解:(3)列表(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].画图象,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分.
由图可得函数的值域是[-1,8].变式探究:(1)本题中若将(2)中函数y= 中的x∈[2,+∞)改为x∈(0,+∞),求函数的值域;
(2)本题中若将(3)中x∈[-2,2]改为x∈R,则函数值域是什么?解:(1)当x∈(0,+∞)时,y= ∈(0,+∞),故函数值域为(0,+∞).(2)当x∈R时,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1.故函数值域为[-1,+∞).误区警示 作函数图象应注意:(1)在定义域内作图,即树立定义域优先的意识;
(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.即时训练1-1:作出下列各函数的图象.
(1)y=1-x,x∈Z;解:(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=1-x上,又x∈Z,从而y∈Z,因此y=1-x(x∈Z)的图象是直线y=1-x上一些孤立的点,如图所示.(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;解:(2)因为0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x< 3之间的一段,如图所示.(3)y=|x-1|.解:(3)所给函数去掉绝对值符号得
y=
是端点为(1,0)的两条射线,如图所示.【备用例1】 如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f[f(3)]的值等于 .?解析:由图象可知f(3)=1,
所以f[f(3)]=f(1)=2.
答案:2题型二 函数解析式的求法【例2】 求函数的解析式.
(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x)的解析式;(2)已知f( +1)=x+2 ,求f(x);(3)已知2f( )+f(x)=x(x≠0),求f(x).方法技巧 函数解析式的求法
求函数解析式,关键是对基本方法的掌握,常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等.
(1)配凑法:将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式,并整体将g(x)用x代换,即可求出函数f(x)的解析式.如由f(x+1)=(x+1)2可得f(x)=x2.
(2)换元法:将函数f(g(x))中的g(x)用t表示,则可求得x关于t的表达式,并将最终结果中的t用x代换,即可求得函数f(x)的解析式.
(3)待定系数法:将已知类型的函数以确定的形式表达,并利用已知条件求出其中的参数,从而得到函数的解析式.
一次函数解析式为y=ax+b(a≠0).二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).(4)解方程(组)法:采用解方程或方程组的方法,消去不需要的函数式子,得到f(x)的表达式,这种方法也称为消去法.
(5)赋值法:利用恒等式将特殊值代入,求出特定函数的解析式.这种方法灵活性强,必须针对不同的类型选取不同的特殊值.即时训练2-1:(1)已知f( )=3-x,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).【备用例2】 (1)若2f(x)-f(-x)=3x3,求函数f(x)的解析式;(2)设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意的实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y (2x-y+1)成立,求f(x).解:(2)法一 因为对任意的实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,
所以令x=y,则有f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
因为f(0)=1,所以f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.
法二 因为对任意的实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,所以令x=0,
则有f(0-y)=f(0)-y(2×0-y+1).
因为f(0)=1,所以f(-y)=1-y(-y+1).
又令-y=x,代入上式有f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),
所以f(x)=x2+x+1.题型三 函数表示法的应用【例3】 如图所示,从边长为2a的正方形铁片的四个角各裁一个边长为x的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子,要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t.试把铁盒的容积V表示为x的函数,并求出其定义域.误区警示 利用函数解决实际问题时函数的定义域不仅要考虑使函数解析式有意义,还要考虑使实际问题有意义. 2018年4月1日,王兵买了一辆手动挡的家庭轿车,该种汽车燃料消耗量标识是:市区工况:10.40 L/100 km;市郊工况:6.60 L/100 km;综合工况:8.00 L/100 km.
王兵估计:他的汽车一年的行驶里程约为10 000 km,汽油价格按平均价格7.50元/L来计算,当年行驶里程为x km时燃油费为y元.
(1)判断y是否是关于x的函数,如果是,求出函数的定义域和解析式;解:(1)y是关于x的函数.
函数的定义域是[0,10 000],
函数解析式为y=8× ×7.50=0.60x.即时训练3-1:(2)王兵一年的燃油费估计是多少?解:(2)当x=10 000时,
y=0.60×10 000=6 000,
所以王兵一年的燃油费估计是6 000元.题型四易错辨析——忽略变量实际意义而致错【例4】 如图,在矩形ABCD中,BA=3,CB=4,点P在AD上移动,CQ⊥BP,Q为垂足.设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数表达式,并画出函数的图象.纠错:没有考虑x的实际意义,从而扩大了x的范围而导致出错.谢谢观赏！课件30张PPT。第二课时 分段函数目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 某人去上班,由于担心迟到,所以一开始就跑步前进,等跑累了再走完余下的路程.可以明显地看出,这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数,想一想,用怎样的解析式表示这一函数关系呢?为解决这一问题,本节我们学习分段函数.导入二 在现实生活中,常常使用表格描述两个变量之间的对应关系.比如:国内跨省市之间的邮寄信函,每封信函的重量和对应邮资如下表:想一想 邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么?(据函数定义知M是m的函数,其解析式为M= ) 知识探究分段函数
如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.
探究:怎样求分段函数的定义域、值域?答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值域的并集.自我检测1.(分段函数求值)已知f(x)= (x∈N*),则f(3)等于( )
(A)2 (B)3
(C)4 (D)5A解析:f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2.2.(分段函数的定义域)已知f(x)= 则f(x)的定义域为( )
(A)R (B)(-∞,1]
(C)(-∞,2) (D)(1,+∞)C解析:因为f(-1)=(-1)2+1=2,所以f[f(-1)]=f(2)=22+2-2=4.
答案:43.(分段函数求值)设函数f(x)= 则f[f(-1)]的值为 .?答案:-2或34.(分段函数求参数的值)已知f(x)= 且f(a)=4,则a= .?题型一分段函数求值课堂探究·素养提升解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去.
当-2所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3.
因为1∈(-2,2),-3?(-2,2),所以a=1符合题意.
当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意.
综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.(2)若f(a)=3,求实数a的值;解:(3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1,
即2m-1>3m-5,解得m<4,
又m≥2,所以m的取值范围为[2,4).(3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)]=3,求a.变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)>3m-5,求m的取值范围.方法技巧 (1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一段,代入该段解析式求解即可.
(2)已知函数值求自变量的值时,应分别代入各段解析式中求解,以免丢解.要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍.
(3)已知f(x)解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集.
(4)求解形如f[f(a)]的函数值问题,按从里到外的原则,先求f(a),再求f[f(a)].题型二 分段函数的解析式【例2】 (2018·成都高一检测)成都市出租车的现行计价标准是:路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取,超过 2 km 后的路程按1.9元/km收取,但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元/km).
(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位:元)表示为行程x(0(现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算时都不予考虑)解:(2)只乘一辆车的车费为f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元);
换乘2辆车的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元).
因为40.3>38.8,所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.方法技巧 分段函数模型的一般形式是:对于不同的自变量范围对应不同的函数解析式,求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理,日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数.即时训练2-1:小刘周末自驾游,早上8点从家出发,驾车3小时到达景区停车场,期间由于交通等原因,小刘的车所走的路程s(单位:km)与离家的时间t(单位:h)的函数关系式为s(t)=-5t(t-13),由于景区内不能驾车,小刘把车停在景区停车场,在景区玩到16点,小刘开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回.
(1)求这天小刘的车所走路程s(单位:km)与离家时间t(单位:h)的函数解析式;(2)在距离小刘家60 km处有一加油站,求这天小刘的车途经加油站的时间.【备用例1】(2017·衡阳一中高一期中)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:①这种消费品的进件为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需要各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?解:(2)设可在n年内脱贫,
依题意有12n×450-50 000-58 000≥0,
解得n≥20,
即最早可望在20年后脱贫.题型三 分段函数的图象【例3】 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:
(1)y=解:(1)函数y= 的图象如图所示,观察图象,得函数的值域为(1,+∞).(2)y=|x+1|+|x-3|.解:(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉,化为分段函数
y=
它的图象如图所示.观察图象,得函数的值域为[4,+∞).
方法技巧 (1)画含有绝对值的函数的图象的方法:对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.
(2)画分段函数图象的方法:作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.即时训练3-1:已知f(x)=
(1)作出f(x)的图象;解:(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.(2)求f(x)的定义域和值域.解:(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.
由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1];当x>1或x<-1时,f(x)=1.所以f(x)的值域为[0,1].【备用例2】 已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.解:(1)当x≤1时,设f(x)=k1x+b1,
因为图象过点(0,2),(1,1),所以 所以
所以f(x)=-x+2.(2)当1≤x≤3时,设f(x)=a(x-2)2+2(a<0).
因为图象过点(1,1),
所以a=-1,
所以f(x)=-x2+4x-2.谢谢观赏！课件34张PPT。1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第一课时 函数的单调性目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入一 函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果了解了函数的变化规律,那么也就把握了相应事物的变化规律.因此研究函数的性质是非常重要的.日常生活中,我们有过这样的体验:从阶梯教室前向后走,逐步上升,从阶梯教室后向前走,逐步下降.很多函数也具有类似性质,这就是我们要研究的函数的基本性质——函数的单调性.导入二 画出函数f(x)=x,f(x)=x2和f(x)= 的图象,如图所示:
从图象上不难看出函数f(x)=x从左到右是上升的;函数f(x)=x2在y轴左侧,从左到右是下降的,而在y轴右侧,从左到右是上升的;函数f(x)= 在y轴左侧,从左到右是下降的,而在y轴右侧,从左到右也是下降的.想一想 导入二中f(x)随x增大是如何变化的?(f(x)=x中f(x)随x增大而增大,f(x)=x2先随x增大而减小,再随x增大而增大.f(x)= 中f(x)在x∈(-∞,0)和(0,+∞)上都是随x增大而减小)知识探究1.增函数与减函数的相关概念2.函数的单调性及单调区间增函数或减函数 单调性区间D探究1:函数单调性定义中的x1,x2有何限制条件?答案:(1)任意性,即x1,x2是在某一区间上的任意两个值,不能以特殊值代换;
(2)有大小,即确定的两个值x1,x2必须区分大小,一般令x1(3)同属一个单调区间.探究2:函数的单调区间与函数定义域有何关系?当一个函数有多个单调区间时,如何写函数的单调区间.答案:单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.【拓展延伸】
判断函数单调性的常用方法
(1)定义法:根据增、减函数的定义分为四步进行.
①取值:任取x1,x2∈D,且x10.②作差(或商)变形:y2-y1=f(x2)-f(x1)=…(或 = =…),向有利于判断差的符号(或商与1的大小)的方向变形.
③判断:判断y2-y1(或 )是否大于0(或大于1),当不确定时,要分类讨论.
④下结论:根据定义得出结论.(2)图象法:画出函数的图象,根据图象的上升或下降趋势判断函数的单 调性.
(3)直接法:对于我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,可直接写出它们的单调区间.(4)利用结论(以下结论在所指的两个函数的公共定义域内成立)
①增函数+常数=增函数,
减函数+常数=减函数,
增函数+增函数=增函数,
减函数+减函数=减函数,
增函数-减函数=增函数,
减函数-增函数=减函数.②y=f(x)与y=c·f(x)(c为常数,c≠0),当c>0时单调性相同,当c<0时单调性相反.
③若f(x)≠0,则f(x)与 单调性相反.
④若f(x)≥0,则f(x)与 单调性相同.自我检测1.(单调性的定义)已知函数f(x)的定义域为D,在区间M上单调递增,则( )
(A)M=D (B)M D (C)M?D (D)D?MC2.(单调性的定义)(2018·昆明高一检测)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( )
(A)y=|x| (B)y=3-x
(C)y= (D)y=-x2+4A3.(单调性的应用)若f(x)=ax+1在R上单调递减,则a的取值范围为( )
(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)
(C)[1,+∞) (D)(-∞,1]
4.(单调性的应用)已知f(x)为R上的减函数,则满足f(| |)(A)(-1,1) (B)(0,1)
(C)(-1,0)∪(0,1) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)BC5.(单调性的应用)如图所示为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,则函数f(x)的单调递增区间是 .?答案:[-1.5,3],[5,6]题型一判断或证明函数的单调性课堂探究·素养提升(2)求证:函数f(x)= 在(1,+∞)上是增函数.变式探究:函数f(x)= 在(-∞,0)上的单调性如何?怎样证明.方法技巧 (1)比较f(x1)与f(x2)的大小常用的方法有“作差,作商”两种,其中差与0比较大小,而商与1比较大小.
(2)常用的变形技巧有:①因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后常通过因式分解变形.
②通分.当原函数含有分式时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.
③配方.作差后可以运用配方判断差的符号.
④分子或分母有理化.当函数中含有根式时,作差后主要考虑分子或分母有理化.即时训练1-1:(2018·海南中学高一期中)试用函数单调性的定义证明:f(x)= 在(1,+∞)上是减函数.【备用例1】证明:函数f(x)=x2- 在区间(0,+∞)上是增函数.题型二 求函数的单调区间【例2】 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=3|x|;(2)f(x)=|x2+2x-3|.解:(2)令g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.
先作出g(x)的图象,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示.
由图象易得,函数的递增区间是[-3,-1],[1,+∞);
函数的递减区间是(-∞,-3],[-1,1].方法技巧 判断函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,可根据其单调性写出函数的单调区间,若函数不是上述函数且函数图象容易作出,可作出其图象,根据图象写出函数单调区间.即时训练2-1:作出函数f(x)= 的图象,并指出函数的单调区间.解:f(x)= 的图象如图所示.
由图象可知,函数的单调减区间为(-∞,1],(1,2];单调递增区间为(2,+∞).【备用例2】 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)= (x∈[-2,4]);(2)y= .题型三 函数单调性的应用【例3】 已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3.
(1)函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数,则实数a的取值范围是 ;?
(2)函数f(x)的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为 .?解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.
因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1].
(1)由f(x)在(-∞,3]上是增函数知3≤-a-1,
即a≤-4.
(2)由题意得-a-1=3,a=-4.
答案:(1)(-∞,-4] (2)-4变式探究:若本题改为函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(1,2)上是单调函数,则a的取值范围是 .?答案:(-∞,-3]∪[-2,+∞)误区警示 函数的单调区间与函数在某一区间上单调是两个不同的概念,其中后者的区间是函数单调区间的子集.即时训练3-1:函数f(x)=x2-2mx-3在区间[1,2]上单调,则m的取值范围是 .?解析:二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置,函数f(x)= x2-2mx-3的对称轴为x=m,函数在区间[1,2]上单调,则m≤1或m≥2.
答案:(-∞,1]∪[2,+∞)【备用例3】 已知函数f(x)= 是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是 .?题型四 易错辨析——忽视函数定义域致误【例4】 已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)导入 如图所示是某市房管局公布的2013年10月～2014年9月该市房价走势图:想一想 1:从导入图中能否得出2013年10月～2014年9月房价的最大值?(在2014年5月,房价达到最大值,约为27 000元)想一想 2:从导入图中能否得出2013年10月～2014年9月房价的最小值?(在2013年12月,房价达到最小值,约为25 400元)知识探究1.最大值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x) M;
②存在x0∈I,使得 .
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 点的 坐标.
探究:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?
答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.≤f(x0)=M纵高2.最小值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x) M;
②存在x0∈I,使得 .
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 点的 坐标.≥f(x0)=M低纵【拓展延伸】
最值的求法
(1)作出函数的图象,尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数,从图象直接观察可得最值.
(2)求出函数的值域,其边界即为最值,此时要注意边界值能否取到(即最值是否存在).
(3)利用函数的单调性求最值,以下可以作为结论使用:
若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b);
若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).自我检测1.(最大值)函数f(x)=3-x2的最大值为( )
(A)3 (B)2
(C)0 (D)4A2.(最小值)函数y=-x2+2x-1在[0,3]上的最小值为( )
(A)0 (B)-4
(C)-1 (D)以上都不对BB4.(最值的应用)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是 .?答案:±25.(最值)函数f(x)在[-2,+∞)上的图象如图所示,则函数的最小值为 .
;最大值为 .?答案:不存在 3题型一图象法求最值课堂探究·素养提升解:(1)函数的图象如图所示.
由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,0)
和[0,+∞),无递减区间.(2)根据函数的图象求出函数的最小值.解:(2)由函数图象可知,
函数的最小值为f(0)=-1.方法技巧 利用图象求函数最值的方法:①画出函数y=f(x)的图象;
②观察图象,找出图象的最高点和最低点;
③写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.即时训练1-1:用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)= min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是 .?解析:在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.
由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.
答案:6【备用例1】 已知函数f(x)= 求f(x)的最大值、最小值.题型二 单调性法求最值【例2】 已知函数f(x)= .
(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.方法技巧 (1)由函数单调性结合函数图象找出最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
(2)分段函数的最大(小)值是函数整体上的最大(小)值.即时训练2-1:已知函数f(x)= ,x∈[3,5].
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;(2)求该函数的最大值和最小值.【备用例2】 求函数y=2x-1- 的最大值.题型三 二次函数的最值【例3】 已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.
(1)x∈R;解:f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7.
(1)当x∈R时,f(x)=3(x-2)2-7≥-7,
当x=2时,等号成立.
即函数f(x)的最小值为-7,无最大值.(2)[0,3];
(3)[-1,1].解:(2)函数f(x)=3(x-2)2-7的图象如图所示,
由图可知,函数f(x)在[0,2)上递减,
在[2,3]上递增,并且f(0)=5,
f(2)=-7,f(3)=-4,
所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=5,
f(x)min=f(2)=-7.
(3)由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递减,
f(x)max=f(-1)=20,
f(x)min=f(1)=-4.变式探究:(1)若本例函数解析式不变,求此函数在[0,a]上的最大值和最 小值;解:(1)由题意知a>0,f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,
故此函数的对称轴为x=2,
当0f(x)max=f(0)=5,
当2≤a<4时,f(x)min=f(2)=-7,
f(x)max=f(0)=5,
当a≥4时,f(x)min=f(2)=-7,
f(x)max=f(a)=3a2-12a+5.(2)若将函数“f(x)=3x2-12x+5”变为“f(x)=x2-2ax+2”,则函数在[-1,1]上的最小值如何?解:(2)f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,其图象开口向上,对称轴为x=a,
①a<-1时,f(x)在[-1,1]上单调递增,f(x)min=f(-1)=3+2a;
②-1≤a≤1时,f(x)min=f(a)=2-a2,
③a>1时,f(x)在[-1,1]上单调递减,f(x)min=f(1)=3-2a,
综上,f(x)min=即时训练3-1:已知函数f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.解:因为f(x)=(x-a)2+2-a2,所以此二次函数图象的对称轴为x=a.
①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,
即2a+3≥a,解得a≥-3,即-3≤a<-1.
②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2.
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2-a2≥a,
解得-2≤a≤1,即-1≤a≤1.
综上所述,实数a的取值范围为[-3,1].【备用例3】 已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最值.解:因为对称轴为x=1,
①当1≥t+2即t≤-1时,f(x)max=f(t)=t2-2t-3,f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3.题型四 函数最值的实际应用【例4】 经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(单位:件)与单个商品的价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且销售量近似满足g(t)= 80-2t,单个商品的价格近似满足于f(t)=
(1)试写出该种商品的日销售额y关于时间t(0函数图象开口向下,对称轴为直线t=5,
该函数在(0,5]上单调递增,在(5,10]上单调递减,
所以ymax=1 225(当t=5时取得),ymin=1 200(当t=10时取得).
②当10图象开口向上,对称轴为直线t=45,
该函数在(10,20]上单调递减,ymax<1 200(当t=10时取得),ymin=600(当t=20时取得).
由①②知,ymax=1 225(当t=5时取得),ymin=600(当t=20时取得).方法技巧 函数的单调性在实际生活中的应用问题,大多涉及最值的求解,如利润最大、用料最省等.解题的关键是先由题意确定函数的解析式,然后借助函数单调性求出最值.但要注意函数的自变量的值要使实际问题有意义.即时训练4-1:某工厂拟建造一座平面图为如图矩形且面积为200 m2的三级污水处理池,由于地形限制,该污水处理池的长、宽都不能超过16 m.如果池外墙建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且无池盖),求当污水处理池的长和宽各为多少米时,池的总造价最低,并求出最低总造价.谢谢观赏！课件37张PPT。1.3.2 奇偶性
第一课时 函数奇偶性的定义与判定目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】
导入 函数①f(x)=x2-1,②f(x)=- ,③f(x)=2x的图象分别如图所示.想一想 1:(1)导入中三个函数的定义域分别是什么?它们有什么共同特点?(R;(-∞,0)∪(0,+∞);R.关于原点对称)(2)对于导入中的三个函数计算f(-x),观察对定义域内每个x,f(-x)与f(x)有怎样的关系?(①f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x).
②f(-x)= ,f(-x)=-f(x).
③f(-x)=-2x,f(-x)=-f(x))想一想 2:导入中的三个函数的图象具有怎样的对称性?(①图象关于y轴对称;②③图象关于原点对称)知识探究奇函数、偶函数的定义
(1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有
,那么函数f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.
探究1:若函数具有奇偶性,则它的定义域有何特点?
答案:定义域关于原点对称.任意f(-x)=f(x) 任意f(-x)=-f(x) 探究2:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a))是y=f(x)图象上一点,点(-a,-f(a))是否在函数图象上?
答案:由f(-a)=-f(a)知点(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)图象上.【拓展延伸】
判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:
①定义法:若函数的定义域不关于原点对称,则可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域关于原点对称,再判断f(-x)是否等于± f(x),或判断f(x)±f(-x)是否等于零,或判断 [f(-x)≠0]是否等于±1.
②图象法:通过函数的图象可直观地看出函数的奇偶性.③性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数;两个奇函数的商(分母不为零)为偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
对于复合函数F(x)=f(g(x)):
若g(x)为偶函数,f(x)为偶函数,则F(x)为偶函数;
若g(x)为奇函数,f(x)为奇函数,则F(x)为奇函数;
若g(x)为偶函数,f(x)为奇函数,则F(x)为偶函数;
若g(x)为奇函数,f(x)为偶函数,则F(x)为偶函数.注意:利用上述结论时要注意各函数的定义域必须关于原点对称.
(2)用定义判断函数奇偶性的步骤:
定义域(关于原点对称)→验证f(-x)=f(x)[或f(-x)=-f(x)]→下结论.
(3)判断分段函数奇偶性的步骤:
①先看分段函数的定义域(各段自变量范围的并集)是否关于原点对称.
②根据奇偶性定义,要判断f(-x)与f(x)的关系,需求出f(-x),因此要判断-x的取值范围,所以要根据x>0与x<0进行讨论.
③当x>0时,f(-x)要用-x<0的解析式,但f(x)是x>0的解析式.
④奇函数的定义要求是对定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),此处对x分x>0与x<0已讨论完毕.自我检测1.(偶函数定义)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,3a]上的偶函数,那么a+ b的值是( )C 2.(奇函数定义)已知f(x)=x3+2x,则f(a)+f(-a)的值是( )
(A)0 (B)-1 (C)1 (D)2A 3.(偶函数定义)f(x)为定义在R上的偶函数,若f(2)=3,则f(-2)等于( )
(A)-3 (B)-2 (C)3 (D)2C 4.(判断奇偶性)若函数f(x)= 则f(x)为( )
(A)偶函数
(B)奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数
(D)既不是奇函数又不是偶函数5.(由奇偶性求参数)若函数f(x)= +k是奇函数,则k等于 .?B答案:0题型一函数奇偶性的判定课堂探究·素养提升规范解答:(1)函数的定义域为R,关于原点对称. …1分
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),………………2分
因此函数f(x)是奇函数. ……………………………3分【例1】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x;规范解答:(2)由
得x2=1,即x=±1.
因此函数的定义域为{-1,1},关于原点对称. ……………………4分
又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数. …6分(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞), …………………7分
不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ………9分方法技巧 判断函数奇偶性的方法
(1)函数图象法.
(2)定义法:①求函数f(x)的定义域;
②判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步;
③结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式;
④求f(-x);
⑤根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数f(x)的奇偶性:奇函数,偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数;其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,x∈A,A是关于原点对称的非空数集.解:(1)因为对于任意的x∈R,都有f(-x)=(-x)4-1=x4-1=f(x),所以函数f(x)=x4-1是偶函数.解:(3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有f(-x) =2|-x|=2|x|=f(x),所以函数f(x)=2|x|是偶函数.
(4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.
因为f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2≠f(x)且f(-x)≠-f(x).
所以函数f(x)是非奇非偶函数.(3)f(x)=2|x|;
(4)f(x)=(x-1)2.题型二 函数奇偶性的图象特征【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解:(2)由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).方法技巧 (1)奇函数与偶函数的图象的特点
①偶函数的图象关于y轴对称,反之,若f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)为偶函数.
②奇函数的图象关于原点对称,反之,若f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数.
(2)根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时,应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象,根据图象特征求解问题.即时训练2-1:如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5,则f(x)在[-7,-3]上是( )
(A)增函数,最小值为-5 (B)增函数,最大值是-5
(C)减函数,最小值为-5 (D)减函数,最大值是-5解析:由奇函数的图象关于原点对称(如图)可知:f(x)在[-7,-3]上单调递增,且f(x)max=f(-3)=-f(3)=-5.故选B.【备用例2】 (2018·永州高一期中)已知f(x+1)是偶函数,且f(x)在[1,+∞)上单调递减,若f(2)=0,则f(x)>0的解集为( )
(A)(-1,1) (B)(0,1)
(C)(1,2) (D)(0,2)解析:因为f(x+1)在R上是偶函数,
所以f(-x+1)=f(x+1),则函数f(x)关于直线x=1对称,
因为f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(2)=0,
所以f(x)在(-∞,1]上单调递增,f(0)=0,
画出函数的示意图.由图得,f(x)>0的解集是(0,2),故选D.题型三 利用函数奇偶性求参数【例3】 (1)设函数f(x)= 为奇函数,则a= ;?答案:(1)-1(2)已知函数f(x)= 是奇函数,则a= .?解析:(2)(特值法) 由f(x)为奇函数,得f(-1)=-f(1),
即a×(-1)2+(-1)=-(-12+1),
整理得a-1=0,
解得a=1.
答案:(2)1变式探究:是否存在实数a使函数f(x)= 为偶函数,说明理由.误区警示 由函数的奇偶性求参数应注意两点
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数.【备用例3】 已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m].
(1)求m,n的值.解:(1)因为函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,
所以函数的定义域关于原点对称.
又因为函数f(x)的定义域为[m-1,2m].
所以m-1+2m=0,解得m= .
又因为函数f(x)是偶函数,
所以f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n,解得n=0.(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值.题型四 易错辨析——奇偶性判断错误致误【例4】 判断函数f(x)=(x-1) 的奇偶性.纠错:忽视了函数f(x)的定义域,盲目化简变形,误认为定义域为[-1,1],扩大了x的取值范围.正解:函数f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,
故函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数.谢谢观赏！课件27张PPT。第二课时 函数奇偶性的应用(习题课)目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成自我检测1.(奇偶性与单调性)下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( )
(A)y=x3 (B)y=|x|+1
(C)y=-x2+1 (D)y=2x+1B 2.(奇偶性与单调性)已知偶函数在(-∞,0)上单调递增,则( )
(A)f(1)>f(2) (B)f(1)(C)f(1)=f(2) (D)以上都有可能A 3.(由奇偶性求函数值)已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+ ,则f(-1)等于( )
(A)-2 (B)0
(C)1 (D)24.(最值)若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)的值为 .?A答案:-15题型一利用奇偶性求函数值课堂探究·素养提升解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,
又因为f(x)为定义在R上的奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3.故选D.【例1】 (2017·江西自主招生)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( )
(A)3 (B)1 (C)-1 (D)-3误区警示 本题中当x≥0时,函数解析式含参数b,因此需利用奇函数在原点处有定义,则f(0)=0的性质,求出b的值,然后根据奇函数性质求f(-1)的值.即时训练1-1:设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x ≤1时,f(x)=x,则f(7.5)= .?解析:由f(x+2)=-f(x),得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5) =f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.
答案:-0.5【备用例1】 (2018·浙江省慈溪联考)已知函数f(x),g(x)都是R上的奇函数,且F(x)=f(x)+3g(x)+5.若F(a)=b,则F(-a)等于( )
(A)-b+10 (B)-b+5
(C)b+5 (D)b+10解析:依题意有F(a)=f(a)+3g(a)+5=b,
所以f(a)+3g(a)=b-5.
所以F(-a)=f(-a)+3g(-a)+5=-[f(a)+3g(a)]+5=-(b-5)+5=-b+10.故选A.题型二 利用奇偶性求函数f(x)的解析式【例2】(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x-3,求f(x)的解析式;(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解 析式.方法技巧 利用函数奇偶性求解析式时的注意事项:
(1)求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x.
(2)然后要利用已知区间的解析式写出f(-x).
(3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).
(4)要注意R上的奇函数定有f(0)=0.
若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式,此点易忽略.即时训练2-1:f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且x≥0时,f(x)=x3+x2,则当x<0时,f(x)= .?解析:当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2.
因为f(-x)=f(x),所以f(x)=-x3+x2.
答案:-x3+x2【备用例2】 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式;解:(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,
则f(0)=0;②当x<0时,-x>0,因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,综上,f(x)=(2)画出函数f(x)的图象.解:(2)图象如图.题型三 函数的奇偶性与单调性的综合(2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.变式探究1:若本例将定义域(-1,1)改为R,其他条件不变,则不等式f(t-1)+ f(2t)<0的解集是什么?变式探究2:本例中函数的值域是什么?方法技巧 利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.即时训练3-1:设函数f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上递增,且f(2a2+a+1)(1)求f(0)的值;
(2)试判断f(x)的奇偶性.解:(1)令a=b=0,则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),即f(0)=f2(0).
因为f(0)≠0,所以f(0)=1.
(2)令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x).
因为f(0)=1,所以f(x)+f(-x)=2f(x).所以f(x)=f(-x).
所以f(x)是R上的偶函数.方法技巧 利用函数奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法,如本例中,恰当地给a,b赋值,是解题的关键.即时训练4-1:已知函数f(x)的定义域为D={x|x∈R且x≠0},且满足对于任意的x1,x2∈D都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)及f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明.解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0.
(2)f(x)是偶函数.令x1=x,x2=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),故对任意的x≠0都有f(-x)=f(x).所以f(x)是偶函数.【备用例3】 若函数f(x)的定义域是R,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+ f(y)成立.
(1)试判断f(x)的奇偶性;解:(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中,
令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),
所以f(0)=0.
再令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(x)+f(-x)=0,
所以f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.(2)若f(8)=4,求f(- )的值.谢谢观赏！课件26张PPT。初高中知识衔接知识衔接一、数与式的运算
1.乘法公式
(1)(a+b)(a-b)=a2-b2;
(2)(a+b)2=a2+2ab+b2;
(3)(a-b)2=a2-2ab+b2;
(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca;
(5)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
(6)(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.二、因式分解
1.提公因式法
pa+pb+pc=p(a+b+c).
2.公式法
(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)立方和和立方差公式:a3±b3=(a±b)(a2?ab+b2).
3.十字相乘法
(1)x2+(p+q)x+pq型:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).三、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
1.一元二次方程根的个数的判断:设Δ=b2-4ac,则
(1)当Δ≥0时,方程有实数根;
①若Δ>0时,方程有两个不同的实数根;
②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;
(2)当Δ<0时,方程无实数根.4.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1,x2,则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
四、二次函数及其性质
1.定义:形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数.
2.性质:
(1)开口:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.(4)函数图象与x轴的交点个数
①当Δ=b2-4ac>0时,函数图象与x轴有两个交点;
②当Δ=b2-4ac=0时,函数图象与x轴有一个交点;
③当Δ=b2-4ac<0时,函数图象与x轴没有交点.
五、不等式的解法
1.一元一次不等式:ax>b(a≠0).C衔接训练A D 4.一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
(A)k>2 (B)k<2,且k≠1
(C)k<2 (D)k>2,且k≠1BA6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2-8x+7=0的两个根,则这个直角三角形的斜边长为 .?答案:37.设x1,x2是方程x2+px+q=0的两实根,x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根,则p= ,q= .?答案:-1 -3 8.计算:
(1)(4+m)(16-4m+m2);解:(1)原式=43+m3=64+m3.12.把下列各式分解因式:
(1)16-a2;(2)8-m3;(3)xy2-x3;(4)x2-3x+2;(5) m2-4mn-5n2;(6)3ax-3ay+
xy-y2.解:(1)原式=42-a2=(4+a)(4-a).
(2)原式=23-m3=(2-m)(4+2m+m2).
(3)原式=x(y2-x2)=x(y+x)(y-x).
(4)原式=(x-1)(x-2).
(5)原式=(m+n)(m-5n).
(6)原式=3a(x-y)+y(x-y)=(x-y)(3a+y).(2)方程的两实根x1,x2满足|x1|=x2.16.当-2≤x≤2时,求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值.解:作出函数的图象.由图可知,当x=1时,ymin=-4,
当x=-2时,ymax=5.谢谢观赏！课件37张PPT。章末总结网络建构知识辨析×判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.一个集合中可以找到两个相同的元素.( )
2.空集是任何集合的真子集.( )
3.集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.( )
4.若非空数集f:A→B能构成函数,且该函数的值域是C,则C=B.( )
5.在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”.( )
6.任何函数都具有单调性.( )
7.奇偶函数的定义域关于原点对称.( )
8.若y=f(x)是奇函数,则一定有f(0)=0.( )×√×××√×题型探究真题体验题型探究·素养提升一、集合间的关系及运算
【典例1】 若集合A={x|-2(1)若m=3,全集U=A∪B,试求A∩(?UB);解:集合A={x|-2所以A∩B=A,
所以A?B,故m≥4.
所以实数m的取值范围是[4,+∞).规律方法 (1)集合间运算的常用技巧:①借助于数轴;②利用Venn图.(2)集合间关系及运算中的注意事项:①当涉及集合间关系和运算的有关问题,如A?B,A∩B= ,A∪B=B等时,都有可能涉及集合A或B为空集的情况.②由集合间关系或运算求参数时,要注意端点“=”的取舍.变式训练1:已知集合A={x︱x2-2x-3≤0,x∈R},B={x︱x2-2mx+m2-4≤0, x∈R}.若A∩B=[1,3],求实数m的值.二、函数的概念及表示
【典例2】 (1)已知f(x)是一次函数,且3f(1)-2f(2)= -5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为( )
(A)f(x)=3x-2 (B)f(x)=3x+2
(C)f(x)=2x+3 (D)f(x)=2x-3解析:(1)由题意f(x)是一次函数,设f(x)=kx+b,
因为3f(1)-2f(2)=-5,2f(0)-f(-1)=1,
可得3k+3b-4k-2b=-5,2b+k-b=1,
解得k=3,b=-2.
所以f(x)的解析式为f(x)=3x-2,故选A.规律方法 (1)解决函数问题应坚持定义域优先原则,尤其是求解分段函数的函数值时,要先判断自变量的取值范围.
(2)函数定义域,即使函数解析式有意义的自变量的取值范围.
(3)求函数值域与最值常用的方法有图象法,配方法和单调性法,注意函数性质的综合应用.变式训练2:已知函数f(x)=x2+ax+b的图象关于直线x=1对称.
(1)求实数a的值;(2)若f(x)的图象过(2,0)点,求x∈[0,3]时,f(x)的值域.解:(2)若f(x)过(2,0)点,所以f(2)=0.
所以22-2×2+b=0,
所以b=0,所以f(x)=x2-2x.
当x=1时f(x)最小为f(1)=-1,当x=3时,f(x)最大为f(3)=3,
所以f(x)在[0,3]上的值域为[-1,3].三、函数图象的识别与应用
【典例3】 (1)函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )答案:(1)D (2)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x),在(0,+∞)上为增函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集是 .?答案:(-3,0)∪(0,3)规律方法 (1)识图.识别函数的图象,实质就是分析函数的性质,主要观察以下几点:①函数的定义域;②函数图象的最高点(即最大值)和最低点(即最小值);③与坐标轴的交点(即f(x)=0或x=0的点);④图象的对称性(即函数的奇偶性);⑤函数图象在某段区间上的变化趋势(即函数的单调性).
(2)用图.因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质,所以在研究函数的性质时要注意结合图象,在解方程和不等式时有时需画出图象,利用数形结合能达到快速解题的目的.四、二次函数单调性及最值问题
【典例4】 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)若y=f(x)在[-5,5]上是单调函数,求实数a的取值范围; 解:函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]的对称轴为x=-a,
(1)若y=f(x)在[-5,5]上是单调函数,
则-a≤-5或-a≥5,即a≤-5或a≥5,
即a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).(2)求y=f(x)在区间[-5,5]上的最小值.规律方法 (1)二次函数的单调性以其对称轴为分界线,二次函数在对称轴两侧单调性相反.
(2)①求二次函数的最值或值域,基本的方法是配方法,当限定在某个闭区间上时,关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给定区间的相对位置,结合函数图象确定该函数的单调性,最大值或最小值是在端点处取得,还是在顶点处取得.②求解二次函数在给定区间的最值问题,可画出二次函数的图象帮助分析问题.变式训练3:已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=
2x-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;(2)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,函数图象的对称轴为x=1,且开口向上,所以f(x)单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(-∞,1).(3)当x∈[-1,2]时,求函数的最大值和最小值.解:(3)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
对称轴为x=1∈[-1,2],
故f(x)min=f(1)=1,
又f(-1)=5,f(2)=2,
所以f(x)max=f(-1)=5.五、抽象函数性质问题
【典例5】 若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:y=f(x)-1为奇函数;(1)证明:因为定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+ f(x2)-1成立,所以令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1,即f(0)=1.
令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1,所以[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0,
故y=f(x)-1为奇函数.(2)求证:f(x)是R上的增函数;
(3)若f(4)=5,解不等式f(3m-2)<3.(2)证明:由(1)知y=f(x)-1为奇函数,所以f(x)-1=-[f(-x)-1].任取x1, x2∈R,且x10.所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-[f(x1)-1]=f(x2)-f(x1)+1.因为当x>0时,f(x)>1,所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+ 1>1,即f(x1)1时,f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)证明f(x)在定义域上是增函数;(1)解:令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0.变式训练4:六、恒成立问题
【典例6】 已知函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的最小值.规律方法 涉及与最值有关的恒成立问题的主要解题思路是:
若a≥f(x)恒成立,则a≥f(x) max;
若a≤f(x)恒成立,则a≤f(x)min.变式训练5:对任意x∈[1,+∞),不等式x2+2x-a>0恒成立,求实数a的取值范围.解:由x∈[1,+∞),不等式x2+2x-a>0恒成立,得不等式a【典例7】 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,若f(2 016)=0,则f(x)>0的解集是 .?错解:因为f(x)>0且f(2 016)=0,所以f(x)>f(2 016).又f(x)是(0,+∞)上的增函数.所以x>2 016.
纠错:由于y=f(x)是R上的偶函数,因此函数y=f(x)在(-∞,0)上是减函数,上述求解过程忽视了偶函数的性质.
正解:因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).又f(x)在(0,+∞)上是增函数且f(2 016)=0.所以f(x)>f(2 016),即f(|x|)> f(2 016).所以|x|>2 016.所以x>2 016或x<-2 016.
答案:(-∞,-2 016)∪(2 016,+∞)真题体验·素养升级1.(2016·山东卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则?U(A∪B)等于( )
(A){2,6} (B){3,6}
(C){1,3,4,5} (D){1,2,4,6}A 解析:因为A={1,3,5},B={3,4,5},
所以A∪B={1,3,4,5},
又U={1,2,3,4,5,6},所以?U(A∪B)={2,6}.故选A.2.(2017·浙江卷)已知集合P={x︱-1(A)(-1,2) (B)(0,1) (C)(-1,0) (D)(1,2)A解析:因为P={x|-1所以P∪Q={x|-1(A){2} (B){1,2,4}
(C){1,2,4,6} (D){x∈R|-1≤x≤5}解析:A∪B={1,2,4,6}.
又C={x∈R|-1≤x≤5},
则(A∪B)∩C={1,2,4}.
故选B.B4.(2017·全国Ⅰ卷)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)= -1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
(A)[-2,2] (B)[-1,1] (C)[0,4] (D)[1,3]解析:因为f(x)是奇函数,且f(1)=-1,
所以f(-1)=-f(1)=1.
所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
所以-1≤x-2≤1.
所以1≤x≤3.故选D.D谢谢观赏！