课件41张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系本章概览
一、地位作用
在本章学生通过对实际模型的认识,学会将自然语言转化为图形语言和符号语言,以具体的几何体的点、线、面关系作为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对图形的观察、试验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,并能解决一些简单的推理论证及应用问题.在历年高考中突出了对逻辑思维及空间想象能力的考查.二、内容标准
点、线、面之间的位置关系
①借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.
通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理.
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明.
一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.
两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.
垂直于同一个平面的两条直线平行.
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.三、核心素养
通过本章学习,学生建立了形与数的联系,能够利用几何图形描述问题,借助几何图形直观理解问题,运用空间想象认识事物.
帮助学生能提升数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力;形成数学直观直觉,在具体的情境中感悟事物的本质.有助于达成和提高直观想象核心素养.
同时训练学生能提出和论证数学命题,掌握逻辑推理的基本形式,学会有逻辑地思考问题;发现和提出数学命题;探索和表述论证过程;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神,增强交流能力.提高了学生的逻辑推理数学核心素养的水平.2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.平面
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 的.无限延展(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成 ,且横边长等于其邻边长的 .如图(1).
②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用 画出来.如图(2).45° 2倍虚线(3)平面的表示
图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面α.注意:“平面”二字不能省略.2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达A∈lA?lA∈αA?αl?αl?αα∩β=l3.平面的基本性质两点不在一条直线上过该点一个探究:把下列符号语言表示的图形画出来:α∩β=l,A∈l,B∈α,D∈α且BD∥l.自我检测1.(平面的概念)下列说法:
①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3B2.(公理2)三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( )
(A)1个 (B)1个或2个
(C)1个或3个 (D)3个C3.(符号表示)如图所示,用符号语言可表达为( )
(A)α∩β=m,n?α,m∩n=A
(B)α∩β=m,n∈α,m∩n=A
(C)α∩β=m,n?α,A?m,A?n
(D)α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈nA4.(公理1)若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB,则( )
(A)C∈α (B)C?α
(C)AB?α (D)AB∩α=CA5.(点、线、面的位置关系)如果直线a?平面α,直线b?平面α,M∈a,N∈
b,M∈l,N∈l,则( )
(A)l?α (B)l?α
(C)l∩α=M (D)l∩α=N解析:因为M∈l,N∈l,且M∈α,N∈α,所以l?α.A6.(公理3)如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是 .答案:点P在直线DE上题型一 文字语言、图形语言、符号语言的转换【例1】 完成下列各题:
(1)将下列文字语言转换为符号语言.
①点A在平面α内,但不在平面β内;
②直线a经过平面α外一点M;
③直线l在平面α内,又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l).课堂探究·素养提升解:(1)①A∈α,A?β.②M∈a,M?α.③α∩β=l.(2)将下列符号语言转换为图形语言.
①a?α,b∩α=A,A?a;
②α∩β=c,a?α,b?β,a∥c,b∩c=P.方法技巧 实现三种语言转换要注意
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.即时训练1-1:(1)A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理表述不正确的是( )
(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α
(B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α?α∩β=直线AB
(C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线?α与β重合
(D)l∈α,n∈α,l∩n=A?l与n确定唯一平面解:(1)选D.(2)(2017·沙市调研)图中点、直线、平面之间的关系用集合语言可表示为( )
(A)α∩β=m,n?α,m∩n=A
(B)α∩β=m,n∈α,m∩n=A
(C)α∩β=m,n?α,A?m,A?n
(D)α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n解:(2)由题图知,A为点,n为线,所以n∈α的表示不正确,故排除B,D.而A?m,A?n的表示也不正确,故排除C.故选A.【备用例1】 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,
Q∈l,Q∈α.解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图(1),(2),(3)所示.题型二 点线共面【思考】
过直线与直线外一点能否唯一确定一平面?两条相交直线能否唯一确定一平面?两条平行直线呢?
提示:由公理2,易证明上述三个问题中,均能唯一确定一平面.【例2】 如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:法一 (纳入法)
因为l1∩l2=A,所以l1和l2在同一平面α内.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.
又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.证明:法一 (纳入法)
因为l1∩l2=A,所以l1和l2在同一平面α内.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.
又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.
所以直线l1,l2,l3在同一平面内.方法技巧 证明点线共面问题的理论依据是公理2,常用方法有:
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.即时训练2-1:如图,已知直线AB和AC都在平面α内,直线BC与直线AB,AC分别相交于B,C两点,试判断直线BC与平面α的位置关系.解:因为AB∩BC=B,
所以B∈AB?α,即B∈α;
同理,AC∩BC=C,
所以C∈AC?α,即C∈α,
即直线BC上有两点B,C在平面α内,
由基本性质1,得直线BC?平面α.【备用例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)直线AC1在平面CC1B1B内;(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;(3)由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;
(4)由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一个平面.题型三 多点共线、多线共点问题【例3】 (12分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.变式探究:若将题目条件中的“E,F分别为AB,AA1的中点”改成E,F分别为AB,AA1上的点,且D1F∩CE=M,求证:M∈AD.证明:因为D1F∩CE=M,
且D1F?平面A1D1DA,
所以M∈平面A1D1DA,
同理M∈平面BCDA,
从而M在两个平面的交线上,
因为平面A1D1DA∩平面BCDA=AD,
所以M∈AD成立.方法技巧 (1)证明三线共点常用的方法:
先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.
(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:
①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.即时训练3-1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,
DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.证明:因为MN∩EF=Q,
所以Q∈直线MN,Q∈直线EF.
又因为M∈直线CD,N∈直线AB,
CD?平面ABCD,AB?平面ABCD,
所以M,N∈平面ABCD,
所以MN?平面ABCD.
所以Q∈平面ABCD.
同理,可得EF?平面ADD1A1.
所以Q∈平面ADD1A1.
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
所以Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.题型四 易错辨析—平面的基本性质应用错误【例4】 已知直线l与三条平行直线a,b,c都相交,求证四条直线l,a,b,c共面.错解:因为l与a相交,所以l与a共面.
同理l与b共面,l与c共面,故l与a,b,c共面.
纠错:本题错误的原因是:若l与a共面于α,l与b共面于β,但α,β却不一定是同一平面,则推不出l与a,b共面.共面问题的证明常有下列方法:(1)先作一个平面,再证明有关的点或线在这个平面内;(2)先过某些点或线作多个平面,再证明这些平面重合;(3)反证法.正解:如图,设a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C.
因为a∥b,所以过a,b可以确定一个平面α.
因为A∈a,B∈b,a,b?α,
所以A∈α,B∈α,所以AB?α,即l?α.
又因为b∥c,所以过b,c可以确定一个平面β.
同理可证l?β.
因为α,β都过相交直线b,l,
所以α与β重合,即a,b,c,l共面.谢谢观赏！课件34张PPT。2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.异面直线
(1)定义:不同在 的两条直线叫做异面直线.任何一个平面内(2)画法:2.空间两条直线的位置关系有且只有一个公共点探究1:若直线a?α,b?β,a和b一定异面吗?
答案:不一定.当a与b不同在任何一个平面内,a,b才异面.3.平行线的传递性
公理4:平行于同一条直线的两条直线 .
符号表示:a∥b,b∥c?a∥c.
4.定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 .
5.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的 (或 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°.
(3)如果两条异面直线a,b所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作a⊥b.互相平行相等或互补锐角直角探究2:若两条直线都与第三条直线垂直,这两条直线一定平行吗?
答案:不一定.例如墙角处的三条直线两两垂直,但是没有任何两条直线是互相平行的.自我检测1.(位置关系)分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )
(A)异面 (B)平行
(C)相交 (D)以上都有可能D2.(等角定理)已知∠BAC=30°,AB∥A′B′,AC∥A′C′,则∠B′A′C′等于( )
(A)30° (B)150°
(C)30°或150° (D)大小无法确定C3.(异面直线的判定)在三棱锥S-ABC中,与AB异面的棱为( )
(A)BC (B)SA (C)SC (D)SBC4.(公理4、位置关系)在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是( )
(A)平行
(B)相交
(C)异面
(D)平行或异面A5.(异面直线所成的角)正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BC1和CD1所成的角是( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°C6.(异面直线的判定)如图所示,G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图有 .(填序号)?答案:②④题型一 空间位置关系的判断【思考】
过平面外一点和平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线,正确吗?
提示:正确.课堂探究·素养提升【例1】已知空间四边形ABCD,AB≠AC,AE是△ABC中BC边上的高,DF是△BCD中BC边上的中线,求证:AE和DF是异面直线.证明:假设AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE,DF的平面为β,若E,F重合,则E为BC的中点,所以AB=AC,与AB≠AC相矛盾.若E,F不重合,因为B∈EF,C∈EF,而EF?β,所以B∈β,C∈β,又A∈β,D∈β,
所以A,B,C,D四点共面,这与题设ABCD为空间四边形矛盾,综上可知,假设不成立,所以AE与DF为异面直线.方法技巧 判定两直线异面的常用方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;
(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.即时训练1-1:(2018·四川泸州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线CD,C1D1,C1C,D1D,B1C1,AD,共有6条直线与直线BA1是异面直线,故选C.【备用例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB的中点,试判断下列各对线段所在直线的位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC;(3)A1C与D1B;(4)DC与BD1;(5)D1E与CF.解:(1)因为C∈平面ABCD,AB?平面ABCD,
又C?AB,C1?平面ABCD,所以AB与CC1异面.
(2)因为A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.
(3)因为A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,
所以A1D1∥BC,
则A1,B,C,D1在同一平面内.
所以A1C与D1B相交.
(4)因为B∈平面ABCD,DC?平面ABCD,
又B?DC,D1?平面ABCD,所以DC与BD1异面.(5)CF与DA的延长线交于G,连接D1G,
因为AF∥DC,F为AB的中点,所以A为DG的中点.
又AE∥DD1,所以GD1过AA1的中点.
所以直线D1E与CF相交.题型二 公理4及等角定理的应用【例2】如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分别是AB,BC,A′B′,B′C′的中点,求证:EE′∥FF′. 证明:因为E,E′分别是AB,A′B′的中点,
所以BE∥B′E′,且BE=B′E′,
所以四边形EBB′E′是平行四边形.
所以EE′∥BB′,
同理可证FF′∥BB′,
所以EE′∥FF′.变式探究1:在本例中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.变式探究2:将本例变为已知E,E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中点,求证:∠BEC=∠B′E′C′.证明:如图所示,连接EE′.
因为E,E′分别是AD,A′D′的中点,
所以AE∥A′E′,且AE=A′E′.
所以四边形AEE′A′是平行四边形.
所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.
又因为AA′∥BB′,且AA′=BB′,所以EE′∥BB′,且EE′=BB′.
所以四边形BEE′B′是平行四边形.
所以BE∥B′E′.
同理可证CE∥C′E′.
又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同,
所以∠BEC=∠B′E′C′.方法技巧 证明两直线平行的常用方法:(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用公理4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.即时训练2-1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1及DD1的中点,证明:∠BGC=∠FD1E.【备用例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,AB的中点,M,N分别为B1C1,C1D1的中点.
求证:(1)MC∥A1E,A1F∥CN;(2)∠EA1F=∠NCM.证明:(2)由(1)知A1F∥CN,
MC∥A1E,
又A1E,A1F与CM,CN的方向分别相反,
所以∠EA1F=∠NCM.题型三 求异面直线所成的角【例3】 (12分)如图,在三棱锥A-BCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AO⊥OC,
CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= ,求异面直线AB与CD所成角的余弦值.规范解答:取AC的中点M,
连接OM,ME,OE, ……………………………………………………1分
由E为BC的中点知ME∥AB, …………………………………………2分
由O为BD中点知OE∥DC,
所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角. ……4分方法技巧 求异面直线所成角的一般步骤:(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ即为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求.即时训练3-1:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1与BD1所成角的正弦值为 ;(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中与侧面的对角线AD1成60°角的面对角线有
条.解析:(2)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以△AD1B1,△AD1C均为等边三角形.
所以AD1与BD,AD1与DC1,AD1与A1B,AD1与DC1,AD1与D1B1,AD1与AB1,AD1与AC,AD1与D1C均成60°角,共8条.答案:(2)8谢谢观赏！课件24张PPT。2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.直线与平面的位置关系a?α无数个探究1:“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?
答案:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.a∩α=A一个a∥α无2.平面与平面的位置关系α∥β无公共点α∩β=l一条直线上探究2:分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系?
答案:分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点,故它们的位置关系是平行或异面.自我检测1.(直线与平面的位置关系)直线l与平面α有两个公共点,则( )
(A)l∈α (B)l∥α
(C)l与α相交 (D)l?αD2.(平面与平面的位置关系)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是( )
(A)平行 (B)相交
(C)平行或相交 (D)不能确定C3.(线面关系)若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
(A)α内的所有直线均与a异面
(B)α内不存在与a平行的直线
(C)α内的直线均与a相交
(D)直线a与平面α有公共点D解析:直线a不平行于平面α,即直线a在α内或a与α相交,当a?α时,A,
B均不正确,当a与α相交时,α内存在直线与a异面,故C不正确.4.(线面、线线关系)直线a?平面α,直线b?平面α,则a,b的位置关系是 .?答案:平行、相交或异面5.(线面、面面关系)下列命题:①若直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;②若直线l在平面α外,则l∥α;③若a?α,α∥β,则β内有无数条直线与直线a平行,其中是真命题的序号是 .?解析:由直线与平面平行的定义可知①正确;由直线与平面的位置关系知②不正确;由平面与平面之间的位置关系可知③正确.
答案:①③题型一 直线与平面的位置关系【思考】
直线在平面外,包括几种情况?
提示:两种,平行与相交.课堂探究·素养提升【例1】 如图所示,ABCD-A1B1C1D1为正方体,试判定BC1与六个面的位置关系.解:因为B∈面BCC1B1,C1∈面BCC1B1,所以BC1?面BCC1B1.
又因为BC1与面ADD1A1无公共点,所以BC1∥面ADD1A1.
因为C1∈面CDD1C1,B?面CDD1C1,
所以BC1与面CDD1C1相交,
同理BC1与面ABB1A相交,
BC1与面ABCD相交,BC1与面A1B1C1D1相交.误区警示 解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.即时训练1-1:下列说法:
①若直线a在平面α外,则a∥α;②若直线a∥b,直线b?α,则a∥α;③若直线a∥b,b?α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中说法正确的个数为( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个解析:对于①,直线a在平面α外包括两种情况:a∥α或a与α相交,所以a和α不一定平行,所以①说法错误.对于②,因为直线a∥b,b?α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,所以a不一定平行于α.所以②说法错误.对于③,因为a∥b,b?α,所以a?α或a∥α,所以a与平面α内的无数条直线平行.所以③说法正确.故选B.【备用例1】设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面( )
(A)有且只有一个 (B)恰有两个
(C)没有或只有一个 (D)有无数个解析:(1)当直线b(或a)平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时,则过P与a,b都平行的平面不存在.
(2)当直线b(或a)不平行于直线a(或b)与点P所确定的平面时,过P有且只有一个平面与a,b都平行.故选C.题型二 平面与平面的位置关系【例2】α,β是两个不重合的平面,下面说法中,正确的是( )
(A)平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β
(B)平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β
(C)若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β
(D)平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β解析:对于A,α与β可能相交或平行,错;对于Β,α与β可能相交或平行,错;对于C,α与β可能相交或平行,错;D符合面面平行的定义,正确.选D.方法技巧 判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.即时训练2-1:平面α与平面β平行且a?α,下列四种说法中,①a与β内的所有直线都平行;②a与β平行;③a与β内的无数条直线平行,其中正确的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:因为α∥β,a?α,所以a与β无公共点,所以a∥β,故②正确,所以a与β内的所有直线都没有公共点,所以a与β内的直线平行或异面,故①不正确,③正确.故选C.【备用例2】 一个平面将空间分成两部分,那么两个平面呢?三个平面呢?(2)三个平面有五种情形
①当三个平面互相平行时,将空间分成四部分(如图(3));②当两个平面平行,第三个平面与它们相交时,将空间分成六部分(如图(4));③当三个平面相交于同一条直线时,将空间分成六部分(如图(5));④当三个平面相交于三条直线,且三条交线相交于一点时,将空间分成八部分(如图(6));⑤当三个平面相交于三条直线,且三条交线相互平行时,将空间分成七部分(如图(7)).谢谢观赏！课件28张PPT。2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究直线与平面平行的判定定理平行a?α a∥b 探究:若a∥b,a∥α,则b∥α,这个推理正确吗?
答案:不正确.b可能在α内.自我检测1.(理解定理)若A是直线m外一点,过A且与m平行的平面( )
(A)存在无数个 (B)不存在
(C)存在但只有一个 (D)只存在两个A2.(定理应用)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=
CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交
(C)在平面内 (D)异面A3.(定理应用)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个D解析:如图正方体四个侧面AA′B′B,BB′C′C,CC′D′D,DD′A′A都与EF平行.故选D.4.(定理应用)能保证直线a与平面α平行的条件是( )
(A)b?α,a∥b
(B)b?α,c∥α,a∥b,a∥c
(C)b?α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
(D)a?α,b?α,a∥bD5.(定理应用)若线段AB,BC,CD不共面,M,N,P分别为其中点,则直线BD与平面MNP的位置关系是( )
(A)平行 (B)直线在平面内
(C)相交 (D)以上均有可能解析:因为N,P分别为BC,CD的中点,
所以NP∥BD.
又因为NP?平面MNP,BD?平面MNP,
所以BD∥平面MNP.A6.(定理应用)考查①②两个命题,在“ ”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为直线,α为平面),则此条件为 .?解析:①由线面平行的判定定理知l?α;②易知l?α.
答案:l?α题型一 线面平行的判定定理的理解【例1】下列说法中正确的是( )
(A)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α
(B)若直线a在平面α外,则a∥α
(C)若直线a∥b,b?α,则a∥α
(D)若直线a∥b,b?α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线课堂探究·素养提升解析:选项A中,直线l?α时l与α不平行;
直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况,所以选项B不正确;
选项C中直线a可能在平面α内;
选项D正确.故选D.即时训练1-1:有以下三种说法,其中正确的是( )
①若直线a与平面α相交,则α内不存在与a平行的直线;②若直线b∥平面α,直线a与直线b垂直,则直线a不可能与α平行;③直线a,b满足a∥α,且b?α,则a平行于经过b的任何平面.
(A)①② (B)①③
(C)②③ (D)①解析:①正确.②错误,反例如图(1)所示.③错误,反例如图(2)所示,a,b可能在同一平面内.故选D.【备用例1】现给出下列命题:
①平行于同一个平面的两条直线平行;②直线与平面平行,那么该直线与平面内每条直线都平行;③直线在平面外,这条直线一定与平面平行;④经过两条异面直线a,b之外的一点P,必有1个平面与a,b都平行.其中正确命题的个数是( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个解析:①错,这两条直线可平行、相交、异面.②错,直线关系应为平行或异面;③错,直线与平面平行或相交;④错误,也可能不存在这样的平面与a,b都平行.故选A.题型二 直线与平面平行的判定【思考】
1.证明直线与平面平行有哪些常用方法?
提示:①定义法,②判定定理法.
2.要证线面平行,需寻求什么条件?体现了什么思想?
提示:要证线面平行,需寻求线线平行;将线面平行关系(空间问题)转化为线线平行关系(平面问题),体现了转化与化归的思想方法.【例2】 (12分)如图,M,N分别是底面为矩形的四棱锥P-ABCD的棱AB,PC的中点,求证:MN∥平面PAD.方法技巧 利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线,常利用平行四边形的性质、三角形与梯形中位线性质、平行线截线段成比例定理、平行公理等.变式探究:改变本例中的设题背景,如在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.证明:如图,连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.
在三棱台DEF-ABC中,
AB=2DE,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.
即M为CD的中点,
又H为BC的中点,
所以HM∥BD.
又HM?平面FGH,BD?平面FGH,
所以BD∥平面FGH.即时训练2-1:如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D为C1B的中点,P为AB的中点,证明DP∥平面ACC1A1.证明:连接AC1,
因为P为AB的中点,D为C1B的中点,
所以DP∥AC1,
又因为AC1?平面ACC1A1,
DP?平面ACC1A1,
所以DP∥平面ACC1A1.【备用例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.题型三 易错辨析——证明线面、面面平行时考虑问题不全面【例4】已知平面α∥平面β,AB,CD是夹在α,β间的两条线段,A,C在α内,
B,D在β内,点E,F分别在AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD=m∶n.求证:EF∥平面α.错解:如图,连接AC,BD.
因为α∥β,所以AC∥BD.
因为AE∶EB=CF∶FD,
所以EF∥AC∥BD且EF在α外.
因为AC?α,所以EF∥平面α.纠错:导致上述错解的原因为:考虑问题不全面,把空间问题仍当作平面问题处理.
正解:(1)当AB,CD共面时(如图①),连接AC,BD.
因为α∥β,所以AC∥BD.
因为AE∶EB=CF∶FD,
所以EF∥AC∥BD且EF在α外.
因为AC?α,
所以EF∥平面α.(2)当AB,CD异面时(如图②),过点A作AH∥CD交β于点H.
在AH上取点G,使AG∶GH=m∶n,
连接GF,EG,由证明(1),可得FG∥HD.
因为AG∶GH=AE∶EB,
所以EG∥BH,
所以平面EFG∥平面β∥平面α.
又因为EF?平面EFG,
所以EF∥平面α.谢谢观赏！课件25张PPT。2.2.2 平面与平面平行的判定目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究平面与平面平行的判定定理相交a∩b=P 探究:如果两个平面都与第三个平面平行,这两个平面平行吗?
答案:平行.
探究2:如果两个平面都平行于某一条直线,这两个平面平行吗?
答案:不一定平行.自我检测1.(理解定理)下列说法中正确的是( )
(A)如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行
(B)如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行
(C)如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行
(D)如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面平行C2.(面面平行的判定)如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)不确定A3.(理解定理)平面α内有两条直线a和b,且a∥β,b∥β,则α与β的位置关系是 . 答案:平行或相交4.(定理应用)在如图的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,平面ABC与平面A1B1C1是否平行 .(填“是”或“否”)?答案:是题型一 对面面平行判定定理的理解【思考】
1.平面α内有无数条直线与β平行,α与β平行吗?
平面α内任一条直线与平面β平行,α与β平行吗?
提示:不一定,平行.
2.如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线.那么这两个平面平行吗?
提示:平行.课堂探究·素养提升【例1】 已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )
(A)l∥β,l?α?α∥β
(B)l∥β,m∥β,l?α,m?α?α∥β
(C)l∥m,l?α,m?β?α∥β
(D)l∥β,m∥β,l?α,m?α,l∩m=M?α∥β解析:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,则AB∥平面DC1,AB?平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1,B1C1?平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;可证AD∥B1C1,AD?平面AC,
B1C1?平面BC1,又平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是面面平行的判定定理,所以选项D正确.故选D.方法技巧 解决此类问题的关键有两点:(1)借助常见几何体进行分析,使得抽象问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”.即时训练1-1:平面α与平面β平行的条件可以是( )
(A)α内有无穷多条直线都与β平行
(B)直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内
(C)α内的任何直线都与β平行
(D)直线a在α内,直线b在β内,且a∥β,b∥α【备用例】给出下列三个结论:
①一个平面α内有两条不平行的直线都平行于另一个平面β,则α∥β;②过平面α外一点且与α平行的所有直线在同一平面内;③如果平面α∩γ=a,平面γ∩β=b,a∥b,则α∥β,其中不正确的结论有 个. 解析:①,②正确;满足条件α∩γ=a,β∩γ=b,a∥b时,可能有α∥β,也可能有α与β相交,故③错误.
答案:1题型二 平面与平面平行的判定【例2】 (12分)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C.规范解答:(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.…………………………5分
取BB1的中点G,连接AG,GF,易得AE∥B1G, ……………………………6分
又因为AE=B1G,所以四边形AEB1G是平行四边形, ……………………7分
所以B1E∥AG.易得GF∥AD. ……………………………………………8分
又因为GF=AD,
所以四边形ADFG是平行四边形, ……………………………………9分
所以AG∥DF,所以B1E∥DF, …………………………………………10分
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF=D,所以平面EB1D1∥平面FBD. ………………………12分(2)若E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.变式探究:本例中,条件(2)分别改为
(1)E,F分别是AA1与CC1上的点,且A1E= A1A,问:F在何位置时,平面EB1D1∥
平面FBD?(2)E,F分别是AA1与CC1上的点,且A1E=λA1A(0<λ<1),
问: 为何值时,平面EB1D1∥平面FBD?方法技巧 证明面面平行一般转化为证明线面平行,即证明在一个平面内有两条与另一个平面平行的相交直线,而证明线面平行,又需先证线线平行.即即时训练2-1:已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面MNQ∥平面PBC.证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP,
而BP?平面PBC,NQ?平面PBC,
所以NQ∥平面PBC,
又因为四边形ABCD为平行四边形,BC∥AD,
所以MQ∥BC.
而BC?平面PBC,MQ?平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q,
所以平面MNQ∥平面PBC.谢谢观赏！课件24张PPT。2.2.3 直线与平面平行的性质目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究直线与平面平行的性质定理平行a∥b探究:若直线a∥平面α,直线a与平面α内的直线有怎样的位置关系?
答案:平行或异面. 自我检测1.(线面平行性质)若直线a平行于平面α,则下列结论错误的是( )
(A)a平行于α内的所有直线
(B)α内有无数条直线与a平行
(C)直线a上的点到平面α的距离相等
(D)α内存在无数条直线与a垂直A2.(定理的理解)直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线a平行的( )
(A)至少有一条 (B)至多有一条
(C)有且只有一条 (D)不可能有B3.(定理应用)在三棱锥A-BCD中,E,F,M,N分别为AB,AD,BC,CD上的点,EF∥MN,则EF与BD( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)以上皆有可能A4.(定理的理解)有以下三个命题:①如果一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②过直线外一点,有且只有一个平面和已知直线平行;③如果直线l∥平面α,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内,其中正确命题的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3C5.(定理的理解)梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
(A)平行 (B)平行或异面
(C)平行或相交 (D)异面或相交B6.(定理应用)如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则( )
(A)EF与BC相交
(B)EF∥BC
(C)EF与BC异面
(D)以上均有可能解析:因为平面SBC∩平面ABC=BC,又因为EF∥平面ABC,所以EF∥BC.故选B.B题型一 直线与平面平行的性质定理的理解【思考】
目前为止你已学习过哪些证明线线平行的方法,试总结.
提示:同位角相等两直线平行等(初中);公理4,线面平行的性质定理.课堂探究·素养提升解析:结合线面平行的性质定理,可知①②③?④,
结合线面平行的判定定理,可知①②④?③.
答案:①②③?④或①②④?③【例1】 已知直线m,n及平面α,β有下列关系:
①m,n?β,②n?α,③m∥α,④m∥n.
现把其中一些关系看作条件,另一些看作结论,组成一个真命题是 .方法技巧 解决本类问题的技巧是
(1)明确性质定理的关键条件.
(2)充分考虑各种可能的情况.
(3)特殊的情况注意举反例来说明.即时训练1-1:(2017·兰州一中高一测试)若直线a∥平面α,α内相交于一点的所有直线中与直线a平行的( )
(A)至少有一条 (B)至多有一条
(C)有且仅有一条 (D)没有解析:选C.题型二 直线与平面平行的性质定理的应用【例2】 (12分)如图,AB,CD为异面直线,且AB∥α,CD∥α,AC,BD分别交α于M,N两点,求证AM∶MC=BN∶ND.变式探究:若本例中的条件不变,BC与平面α相交于点Q,试判断MPNQ的形状.解:因为AB∥α且平面ABC∩α=MQ,
所以MQ∥AB,同理PN∥AB,
所以PN∥MQ,
同理:MP∥QN,
所以四边形MPQN为平行四边形.易错警示 (1)欲证线线平行可转化为线面平行解决,常与判定定理结合使用.
(2)性质定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常利用中位线性质.即时训练2-1:如图,在△ABC中,BC=9,BC∥平面α,且平面ABC∩α=MN,若△ABC的重心G在MN上,则MN= .?答案:6【备用例题】 如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC=2a,E为AB上一点,将B点沿线段EC折起至点P,连接PA,PD,取PD中点F,若有AF∥平面PEC,试确定E点的位置.题型三 易错辨析——忽略必备条件而致误【例3】 证明:已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条也平行于这个平面.
已知:a∥b,a?β,b?β,a∥β,求证:b∥β.错解:因为a∥b,则a,b确定平面γ,设β∩γ=c,因为a∥β,
所以a∥c,又因为a∥b,
所以b∥c.
而c?β,b?β,所以b∥β.
纠错:导致上述错解的原因为:a,b确定的γ不一定和β相交,所以解答中的直线c可能是不存在的,所以上述解法是有漏洞的.正解:在平面β内任选一点A,因为a∥β,所以A?a,
设点A和直线a确定平面γ,β∩γ=c.
因为a∥β,所以a∥c,
又因为a∥b,所以b∥c.
而c?β,b?β,
所以b∥β.谢谢观赏！课件26张PPT。2.2.4 平面与平面平行的性质目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究平面与平面平行的性质定理平行a∥b探究:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?
答案:平行. 自我检测1.(定理理解)设有不同的直线a,b和不同的平面α,β,γ,给出下列三个命题,其中正确的命题有( )
①若a∥α,b∥α,则a∥b ②若a∥α,a∥β,则α∥β ③若α∥β,a?
α,则a∥β
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个B2.(理解定理、定义)若a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是( )
(A)平行 (B)异面
(C)相交 (D)平行或异面或相交D3.(定理理解)下列说法正确的是( )
(A)平行于同一条直线的两个平面平行
(B)平行于同一个平面的两个平面平行
(C)一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
(D)若三直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行B4.(定理应用)已知α∥β,a?α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中
( )
(A)不一定存在与a平行的直线
(B)只有两条与a平行的直线
(C)存在无数条与a平行的直线
(D)存在唯一一条与a平行的直线D5.(定理应用)如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,
α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶5,则△A′B′C′与△ABC的面积比为 .?答案:4∶49题型一 平面与平面平行的性质定理的应用【思考】
1.若两个平面互相平行,则其中一个平面内的直线与另一个平面什么关系?与另一个平面内的直线又有何关系?
提示:若两平面平行,其中一个平面内的直线与另一个平面平行;与另一个平面内的直线平行或异面.
2.平行于同一个平面的两个平面什么关系?
提示:平行.课堂探究·素养提升规范解答:因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,又DE?平面ABC,AB?平面ABC,所以DE∥平面ABC,………………………………4分
同理EF∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC, …………8分
又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF∥MC. …………………………………………………………12分【例1】 (12分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.解析:因为平面ABFE∥平面CDHG,平面EFGH与两平面分别交于EF,GH.由面面平行的性质定理得EF∥GH,同理可得EH∥FG,所以四边形EFGH为平行四边形.
答案:平行四边形变式探究:将本例中的三棱锥改为长方体,如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 .?方法技巧 面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面.即时训练1-1:已知如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.若平面BC1D∥平面AB1D1,求 的值.题型二 平行关系的综合应用【例2】 (12分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;(2)求PQ的长;(3)求证:EF∥平面BB1D1D.法二 取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,
则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,且FE1∩EE1=E1,
所以平面EE1F∥平面BB1D1D. ………………………………………10分
又EF?平面EE1F,
所以EF∥平面BB1D1D. ………………………………………………12分方法技巧 直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系,具体转化过程如图所示.即时训练2-1:如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A1B1C1分别在平面α,β内,线段AA1,BB1,CC1相交于点O,点O在α,β之间,若AB=2,AC=1,OA∶OA1=3∶
2,且BA⊥AC,则△A1B1C1的面积为 .?【备用例题】 如图(1),在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC= AP,
D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图(2).求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.证明:在四棱锥P-ABCD中,
因为E,F分别为PC,PD的中点,所以EF∥CD.
因为AB∥CD,所以EF∥AB.
因为EF?平面PAB,AB?平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,
所以平面EFG∥平面PAB.
因为AP?平面PAB,所以AP∥平面EFG.谢谢观赏！课件34张PPT。2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.直线与平面垂直的概念
如果直线l与平面α内的 都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作 ,直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 ,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做 .
探究1:若直线a⊥平面α,直线b?α,则a与b互相垂直吗?
答案:垂直.任意一条直线l⊥α垂线垂面垂足2.直线与平面垂直的判定定理两条相交直线a∩b=P探究2:若直线a⊥b,直线a⊥c,且b?α,c?α,直线a⊥平面α吗?
答案:不一定垂直,当b与c相交时,a⊥平面α.3.直线与平面所成的角
(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面 ,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做 ,过斜线上 的一点向平面引垂线PO,过垂足O和 的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ,叫做这条直线和这个平面所成的角.垂直斜足以外斜足斜足A锐角(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 ;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是 的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.直角0°自我检测1.(线面垂直的性质)已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为( )
(A)a∥b (B)a⊥b
(C)a,b相交不垂直 (D)a,b异面不垂直B2.(线面垂直定理的理解)下列条件中,能使直线m⊥α的是( )
(A)m⊥b,m⊥c,b?α,c?α (B)m⊥b,b∥α
(C)m∩b=A,b⊥α (D)m∥b,b⊥αD3.(线面垂直的判定)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
(A)平面OAB (B)平面OAC
(C)平面OBC (D)平面ABCC4.(直线与平面所成的角)空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是( )
(A)垂直且相交 (B)相交但不一定垂直
(C)垂直但不相交 (D)不垂直也不相交C解析:取BD的中点O,连接AO,CO,
则BD⊥AO,BD⊥CO,
所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC异面,故选C.5.(直线与平面所成的角)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为 .?答案:题型一 线面垂直的概念与定理的理解【例1】列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;
④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;
⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4课堂探究·素养提升解析:由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.方法技巧 线面垂直的判定定理中,直线垂直于平面内的两条相交直线,“相交”两字必不可少,否则,就是换成无数条直线,这条直线也不一定与平面垂直.即时训练1-1:下列说法中错误的是( )
①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,该直线与这个平面必相交;
②如果一条直线和平面的一条平行线垂直,该直线必在这个平面内;
③如果一条直线和平面的一条垂线垂直,该直线必定在这个平面内;
④如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直于平面内的任何直线.
(A)①② (B)②③④ (C)①②④ (D)①②③解析:由线面垂直的判定定理可得①②③错误,④正确.故选D.D【备用例1】 下列命题中,正确命题的序号是 .?
①若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;②过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;③若a∥α,b⊥α,则a⊥b;④若a∥b,a⊥α,则b⊥α.解析:当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故①不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故②正确;③,④显然正确.
答案:②③④题型二 直线与平面垂直的判定【思考】
1.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”,直线与平面一定垂直吗?
提示:当这两条直线平行时,直线可与平面相交但不一定垂直.
2.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面吗?
提示:垂直.【例2】 (12分)在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证:PH⊥平面ABC.变式探究:在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,且PH⊥平面ABC,求证:AB⊥PC,
BC⊥AP.方法技巧 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线,证明它们都和这条直线垂直.证明:因为∠ACB=90°,
所以BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.
又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.
因为AD?平面SAC,所以BC⊥AD.
又SC⊥AD,SC∩BC=C,
所以AD⊥平面SBC.即时训练2-1:如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC.【备用例2】 如图,在锥体P-ABCD中,ABCD是菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,E,
F分别是BC,PC的中点.
证明:AD⊥平面DEF.题型三 直线与平面所成的角(1)证明:如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,
所以EF∥BA1.又因为EF?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(1)求证:EF∥平面A1B1BA;(2)求证:直线AE⊥平面BCB1;(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.方法技巧 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤:
(1)确定斜线与平面的交点(斜足);(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角;(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.即时训练3-1:(2018·福州一中高一测试)已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为 .?【备用例3】 (2015·浙江卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,
AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.(1)证明:设E为BC的中点,连接A1E,AE.由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.
因为AB=AC,所以AE⊥BC.
故AE⊥平面A1BC.
连接DE,由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,
从而DE∥A1A且DE=A1A,
所以AA1DE为平行四边形.
于是A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.(1)证明:A1D⊥平面A1BC;(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.题型四 易错辨析——忽视条件限制而致误【例4】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,B1B,C1C的中点,求证:B1E⊥平面A1FGD1.错解:因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以BC∥FG.
因为BC⊥AB,BC⊥B1B,且B1B∩AB=B,
所以BC⊥平面A1ABB1.
又因为B1E?平面A1ABB1,
所以BC⊥B1E,
即FG⊥B1E.
同理A1D1⊥B1E,所以B1E⊥平面A1FGD1.
纠错:本题的错误在于只证明了直线和平面内的两条平行直线垂直,不符合判定定理的要求.根据线面垂直的判定定理,直线要垂直于平面内的两条相交直线时才能垂直于这个平面.正解:因为E,F分别为AB,B1B的中点,且AB=B1B,所以B1F=BE.
所以Rt△A1B1F≌Rt△B1BE,所以∠B1A1F=∠BB1E.
因为∠B1A1F+∠B1FA1=90°,所以∠B1FA1+∠BB1E=90°,
所以B1E⊥A1F.
因为F,G分别为棱B1B,C1C的中点,所以FG∥BC.
又因为BC⊥BA,BC⊥B1B,且BA∩B1B=B,
所以BC⊥平面A1ABB1.
又因为B1E?平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.
所以FG⊥B1E.
因为FG∩A1F=F,
所以B1E⊥平面A1FGD1.谢谢观赏！课件43张PPT。2.3.2 平面与平面垂直的判定目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.二面角
(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的 ,这两个半平面叫二面角的 .图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.棱面(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是 的二面角叫做直二面角.垂直于棱l探究2:教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?
答案:可以构成三个二面角,如图所示.
分别是α-a-β,β-c-γ,α-b-γ.
这三个二面角都是90°.直角2.平面与平面垂直
(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作 .直二面角α⊥β(2)判定定理另一个平面的垂线探究2:过平面外一点,可以作多少个与已知平面垂直的平面?
答案:无数多个.
过平面外一点可以作平面的一条垂线,过此垂线可以作出无数个平面,这些平面都与已知平面垂直.自我检测1.(二面角)下列结论:(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角;
(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.
(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角;
(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是( )
(A)①③ (B)②④
(C)③④ (D)①②B2.(判定定理)对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )
(A)m⊥n,m∥α,n∥β (B)m⊥n,α∩β=m,n?α
(C)m∥n,n⊥β,m?α (D)m∥n,m⊥α,n⊥β3.(二面角)在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是( )
(A)AO⊥BO,AO?α,BO?β
(B)AO⊥l,BO⊥l
(C)AB⊥l,AO?α,BO?β
(D)AO⊥l,BO⊥l,且AO?α,BO?βCD4.(面面垂直的判定)已知l⊥α,则过l与α垂直的平面( )
(A)有1个 (B)有2个
(C)有无数个 (D)不存在C5.(二面角)三棱锥P-ABC的两侧面PAB,PBC都是边长为2的正三角形,AC= ,则二面角A-PB-C的大小为 .? 答案:60°6.(面面垂直判定定理)在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有 对.?答案:3 题型一 求二面角【例1】如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:课堂探究·素养提升(1)求二面角D′-AB-D的大小;解:(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,
AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,
∠D′AD=45°.
所以二面角D′-AB-D的大小为45°.(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.解:(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.
从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.
所以二面角M-AB-D的大小为45°.方法技巧 (1)二面角的平面角满足:①顶点在二面角的棱上;②两边分别在二面角的两个半平面内;③两边分别与二面角的棱垂直.
(2)二面角的平面角θ是两条射线所成的角,因此二面角不一定是锐角,其范围为0°≤θ≤180°.即时训练1-1:已知D,E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点,且A1D=2B1E=B1C1.求过D,E,C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.解:如图所示,在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F,则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点.于是C1F为这两个平面的交线.因而,所求二面角即为二面角D-C1F-A1.
因为A1D∥B1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分别为DF和A1F的中点.
因为A1B1=B1C1=A1C1=B1F,所以FC1⊥A1C1.
又因为CC1⊥平面A1B1C1,FC1?平面A1B1C1,所以CC1⊥FC1.
又因为A1C1,CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线,
所以FC1⊥平面AA1C1C.
因为DC1?平面AA1C1C,所以FC1⊥DC1.
所以∠DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角.
由已知A1D=A1C1,
则∠DC1A1=45°.
故所求二面角的大小为45°.【备用例1】在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,PD⊥平面ABCD,
PD=a.
(1)求证:AC⊥平面PBD;(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,
所以AC⊥BD,
又PD⊥平面ABCD,
所以AC⊥PD,
又PD∩BD=D,
所以AC⊥平面PBD.(2)求二面角P-BC-D的平面角;(2)解:因为四边形ABCD为正方形,所以BC⊥CD,
又PD⊥平面ABCD,所以BC⊥PD.
又CD∩PD=D,所以BC⊥平面PCD,
所以BC⊥PC,
所以∠PCD为二面角P-BC-D的平面角,
在Rt△PCD中,因为PD=DC=a,
所以∠PCD=45°,
即二面角P-BC-D的平面角为45°.(3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值.题型二 平面与平面垂直的判定【例2】 (1)如图(1)在四面体ABCD中,BD= a,AB=AD=CB=CD=AC=a.
求证:平面ABD⊥平面BCD;(2)如图(2),在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E.
①求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1;
②求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明:(2)①因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,
所以BB1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,
所以AD⊥BB1,又D为BC的中点,
所以AD⊥BC,又BC∩BB1=B,
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADA1,
所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
②因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,
所以AA1⊥平面ABC,又DE?平面ABC,
所以AA1⊥DE,又DE⊥A1E,A1E∩AA1=A1,所以DE⊥平面ACC1A1,
又DE?平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,
所以AA1⊥平面A1B1C1,
又FB1?平面A1B1C1,所以AA1⊥FB1,
又△A1B1C1为等边三角形,
F为A1C1的中点,所以B1F⊥A1C1,
又A1C1∩AA1=A1,所以B1F⊥平面ACC1A1,又B1F?平面AB1F,
所以平面AB1F⊥平面ACC1A1.变式探究:若本例中(2)改为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F为A1C1的中点,求证:平面AB1F⊥平面ACC1A1.方法技巧 判定两平面垂直的常用方法:(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.即时训练2-1:如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.证明:法一 (利用定义证明)法二 (利用判定定理)因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
所以SA=AB=AC,
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形,
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD?平面ABC,
所以平面ABC⊥平面SBC.【备用例2】 (2018·石家庄期末)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点.若PA⊥平面ABCD,PA=AD,求证:平面AEC⊥平面PDC.证明:因为PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
所以PA⊥CD,
又AD⊥CD,且AD∩PA=A,
所以CD⊥平面PAD,
又AE?平面PAD,
所以CD⊥AE.
因为PA=AD,E为PD中点,
所以AE⊥PD.
又CD∩PD=D,
所以AE⊥平面PDC,
又AE?平面AEC,
所以平面AEC⊥平面PDC.【备用例3】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=
AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)证明:因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面
所以BB1⊥AB,
又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,
所以AB⊥平面B1BCC1,
因为AB?平面ABE.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.题型三 线面垂直、面面垂直的综合问题【思考】
如何作二面角的平面角?
提示:作二面角的三种常用方法:
(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.【例3】 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2 .
(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30°,求BE的长.方法技巧 (1)证明垂直关系时要注意利用线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的转化.
(2)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,这就需要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点是否在棱上;角的两边是否分别在两个半平面内;这两边是否都与棱垂直.在具体作图时,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:线面的垂直,图形的对称性,与棱垂直的面等.即时训练3-1:如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
又BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC,又BD∩BE=B,
所以AC⊥平面BED,又AC?平面AEC,
所以平面AEC⊥平面BED.(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.谢谢观赏！课件40张PPT。2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.直线与平面垂直的性质定理a∥b平行探究1:(1)垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗?
(2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗?
(3)过一点有几条直线与已知平面垂直?
答案:(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.
(2)不可以.若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形.
(3)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.2.平面与平面垂直的性质定理a⊥l垂直于交线探究2:(1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?
(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?
答案:(1)正确.若设α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.
(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直,否则不垂直.自我检测1.(面面垂直的性质定理)已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,
n?α,要使n⊥β,则应增加的条件是( )
(A)m∥n (B)n⊥m
(C)n∥α (D)n⊥αB2.(线面垂直的性质定理)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合),则( )
(A)B1B⊥l (B)B1B∥l
(C)B1B与l异面 (D)B1B与l相交B3.(线面、面面垂直的综合应用)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m∥α,n?β,则下列叙述正确的是( )
(A)若α∥β,则m∥n (B)若m∥n,则α∥β
(C)若n⊥α,则m⊥β (D)若m⊥β,则α⊥β4.(面面垂直的性质定理)下列命题中错误的是( )
(A)如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
(B)如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平
面β
(C)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
(D)如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βDD5.(面面垂直的性质定理)已知m,n,l是直线,α,β是平面,α⊥β,α∩β=l,
n?β,n⊥l,m⊥α,则直线m与n的位置关系是 .?答案:平行6.(线面、面面垂直的应用)设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: (用序号表示).?答案:①③④?②(或②③④?①) 题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用【例1】(1)已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面四个命题:
①m∥n,m⊥α?n⊥α;②α∥β,m?α,n?β?m∥n;③m∥n,m∥α?
n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β.
其中正确命题的序号是( )
(A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③课堂探究·素养提升(1)解析:由线面垂直的性质定理可知①正确;对于②,当α∥β,m?α,n
?β时,m与n可能平行也可能异面,故②不正确;对于③,当m∥n,m∥α时,
n∥α或n?α,故③不正确;对于④,由m∥n,m⊥α,得n⊥α,又α∥β,所以n⊥β,故④正确.故选C.(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,
MN⊥平面A1DC.
求证:①MN∥AD1;(2)证明:①因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1?平面ADD1A1,
所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.②M是AB的中点.方法技巧 证明两条直线平行的方法常见的有:(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.即时训练1-1:如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,
AD=DE=2AB,F为CD的中点.
求证:平面BCE⊥平面CDE.【备用例1】 如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F.(1)求证:AF⊥SC;证明:(1)因为SA⊥平面AC,
BC?平面AC,所以SA⊥BC,
因为ABCD为矩形,所以AB⊥BC,
又SA∩AB=A,
所以BC⊥平面SAB,所以BC⊥AE.又SB⊥AE,BC∩SB=B,所以AE⊥平面SBC,所以AE⊥SC.
又EF⊥SC,AE∩EF=E,
所以SC⊥平面AEF,所以AF⊥SC.(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AG⊥SD.证明:(2)因为SA⊥平面AC,所以SA⊥DC,
又AD⊥DC,SA∩AD=A,所以DC⊥平面SAD.
所以DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF,AG?平面AEF,
所以SC⊥AG,
又DC∩SC=C,
所以AG⊥平面SDC,所以AG⊥SD.题型二 平面与平面垂直的性质定理的应用【例2】 (12分)如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB
=60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.规范解答:(1)如图所示,连接BD.
因为四边形ABCD是菱形,
且∠DAB=60°,
所以△ABD是正三角形,………………………………2分
因为G是AD的中点,
所以BG⊥AD. …………………………………………3分
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD.
所以BG⊥平面PAD. …………………………………6分(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.规范解答:(2)连接PG.
因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,
所以PG⊥AD. ………………………………………7分
由(1)知BG⊥AD,
而PG∩BG=G,
PG?平面PBG,
BG?平面PBG.
所以AD⊥平面PBG. ………………………………10分
又因为PB?平面PBG,
所以AD⊥PB. ………………………………………12分方法技巧 利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.即时训练2-1:已知:如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.证明:(1)在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC于点F,作DG⊥AB于点G.
因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,
所以DF⊥平面PAC.
因为PA?平面PAC,
所以DF⊥PA.
同理可证,DG⊥PA.
因为DG∩DF=D,
所以PA⊥平面ABC.(1)求证:PA⊥平面ABC;证明:(2)连接BE并延长交PC于点H.
因为E是△PBC的垂心,所以PC⊥BH.
又因为AE⊥平面PBC,所以PC⊥AE.
因为BH∩AE=E,
所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.
又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.
因为PA∩PC=P,
所以AB⊥平面PAC.
所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.【备用例2】 如图,平行四边形ABCD中,BD=2 ,AB=2,AD=4,将△BCD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证:AB⊥DE(2)求三棱锥E-ABD的侧面积.题型三 线面、面面垂直的综合问题【例3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC
=4,AB=6,BC=3.
(1)证明:BC∥平面PDA;(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,
又BC?平面PDA,AD?平面PDA,
所以BC∥平面PDA.(2)证明:取CD的中点H,连接PH,
因为PD=PC,所以PH⊥CD.
又因为平面PDC⊥平面ABCD,
平面PDC∩平面ABCD=CD,
所以PH⊥平面ABCD.
又因为BC?平面ABCD,所以PH⊥BC.
又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,
所以BC⊥平面PDC.
又因为PD?平面PDC,
所以BC⊥PD.(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.方法技巧 直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.即时训练3-1:如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,
EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP.证明:(2)因为EP⊥平面ABCD,AQ?平面ABCD,
所以AQ⊥EP.
因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.
所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.
因为AQ?平面AEQ,
所以平面AEQ⊥平面DEP.题型四 易错辨析——推理不严谨致误【例4】 求证:如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直.
已知:α⊥β,β∥γ.求证:α⊥γ.错解:设α∩β=a,α∩γ=b,
在β内作直线m⊥a,
因为α⊥β,α∩β=a,m?β,m⊥a,
所以m⊥α.
因为β∥γ,所以在γ内存在直线n,使n∥m.
因为n∥m,m⊥α,所以n⊥α,因为n?γ,所以α⊥γ.纠错:上述证法错在逻辑推理不严谨,对面面平行的性质定理理解不透彻.
正解:证明m⊥α同上.
由β∥γ,在γ内任取一点P,
则直线m与点P确定一个平面.
设∩γ=n,因为β∥γ, ∩β=m, ∩γ=n,
所以m∥n.
又因为m⊥α,所以n⊥α.
又因为n?γ,所以α⊥γ.谢谢观赏！课件45张PPT。章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.如果一条直线过平面内一点与平面外一点,那么这条直线与这个平面有且只有一个交点.( )√2.如果两个平面有一个交点,则这两个平面有一条过这个点的公共直线.( )
3.如果两个平面平行,则这两个平面没有交点.( )
4.若一条直线上有两个点在某一平面内,则这条直线上有无数个点在这个平面内.( )
5.平行于同一条直线的两个平面平行.( )
6.一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线垂直于这个平面.( )√√√××7.两个相交平面组成的图形叫做二面角.( )
8.垂直于同一条直线的两个平面平行.( )
9.垂直于同一个平面的两条直线平行.( )
10.过一点垂直于一个平面的直线有且只有一条.( )×√√√题型探究真题体验题型探究·素养提升题型一 平面基本性质的应用【典例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并说明理由.解:在平面AA1D1D内,延长D1F,
因为D1F与DA不平行,所以D1F与DA必相交于一点,
设为P,则P∈FD1,P∈DA.
又因为D1F?平面BED1F,DA?平面ABCD,
所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD,
所以P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,所以连接PB(如图),PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.规律方法 证明三线共点常用的方法是先证明两条直线共面且相交于一点;然后证明这个点在两个平面内,于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.也可以证明直线a、b相交于一点A,直线b与c相交于一点B,再证明A、B是同一点,从而得到a、b、c三线共点.即时训练1-1:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为C1D1,B1C1的中点,AC∩
BD=P,A1C1∩EF=Q,求证:
(1)D,B,F,E四点共面;证明:(1)因为E,F分别为C1D1,B1C1的中点,
所以EF是△B1C1D1的中位线,
所以EF∥D1B1,
因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,
所以BB1∥DD1,BB1=DD1,
所以BB1D1D是平行四边形,
所以DB∥D1B1,
所以EF∥DB,所以D,B,F,E共面.(2)若A1C∩平面DBFE=R,则P,Q,R三点共线.证明:(2)因为AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,
所以PQ是平面AA1C1C和平面DBFE的交线,
因为A1C交平面DBFE于R点,
所以R是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点,
因为两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上,
所以P,Q,R三点共线.题型二 空间线面位置关系的证明【典例2】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AA1,点M,N分别为A1B 和B1C1的中点.
(1)证明:A1M⊥平面MAC;(2)证明:MN∥平面A1ACC1.证明:(2)连接AB1,AC1,由题意知,点M,N分别为AB1和B1C1的中点,所以MN∥
AC1.又MN?平面A1ACC1,AC1?平面A1ACC1,所以MN∥平面A1ACC1.方法技巧 空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的转化主要有:
(1)平行关系的转化.(3)平行与垂直的转化.即时训练2-1:(2016·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥
DC,DC⊥AC,
(1)求证:DC⊥平面PAC;(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,
所以DC⊥平面PAC.(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥AB.
所以AB⊥平面PAC.
所以平面PAB⊥平面PAC.(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.题型三 空间位置关系的证明与空间角的计算【典例3】如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=
PC=4,AB=6,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上.
(1)证明:PE⊥FG;(1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点,
所以PE⊥DC.
又因为平面PDC⊥平面ABCD,
平面PDC∩平面ABCD=DC,
所以PE⊥平面ABCD.
又FG?平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)求二面角P-AD-C的正切值.规律方法 求角度问题时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上,求角度的解题步骤是:(1)找出这个角;(2)证该角符合题意;(3)构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角.空间角包括以下三类:
①两条异面直线所成的角,找两条异面直线所成的角,关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角.
②求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影.
③求二面角关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.即时训练3-1:(2018·河北唐山期中)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值;(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值.题型四 空间几何体中位置关系的证明与体积计算【典例4】 (2017·北京卷)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,
PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;(1)证明:因为PA⊥AB,PA⊥BC,
所以PA⊥平面ABC,
又因为BD?平面ABC,所以PA⊥BD.(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC.
由(1)知,PA⊥BD,
所以BD⊥平面PAC.
所以平面BDE⊥平面PAC.(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.规律方法 (1)求空间几何体的体积的关键是确定几何体的高,若几何体的高容易求出,可直接代入体积公式计算,否则可用下列方法进行转化:
①等体积转化法:对于三棱锥因为任何一个面都可作为底面,所以在求三棱锥的体积时,可将其转化为底面积和高都易求的形式求解.
②补体法:将几何体补成易求体积的几何体,再根据它们的体积关系求解.
③分割法:将几何体分割为易求体积的几部分,分别求解再求和.
(2)有关平面图形翻折成空间图形的问题,应注意翻折前后各元素(直线、线段、角)的相对位置(平行、垂直)和数量的变化,搞清楚哪些发生了变化、哪些不变.即时训练4-1:(2018·陕西延安期末)如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.PO= ,AB=2.
(1)求棱锥P-ABCD体积;(2)求证:平面PAC⊥平面BDE.(2)证明:因为PO⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以PO⊥BD,
因为ABCD是正方形,所以AC⊥BD,
因为PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,
因为BD?平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.题型五 易错辨析——推理过程不严谨导致错误【典例5】 如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的点,且AE=C1F.求证:四边形EBFD1是平行四边形.错解:因为平面A1ADD1∥平面B1BCC1,D1E=平面A1ADD1∩平面BFD1E,BF=平面B1BCC1∩平面BFD1E,所以D1E∥FB.同理可得D1F∥EB.
所以四边形EBFD1是平行四边形.纠错:错解中盲目地认为E,B,F,D1四点共面,由已知条件并不能说明这四点共面,同时条件AE=C1F也没有用到.1.(2017·全国Ⅰ卷,文6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )真题体验·素养升级A解析:如图,O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,
故选A.2.(2017·全国Ⅲ卷,文10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )
(A)A1E⊥DC1 (B)A1E⊥BD
(C)A1E⊥BC1 (D)A1E⊥ACC3.(2017·全国Ⅰ卷,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP
=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,
得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,
从而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.4.(2017·全国Ⅱ卷,文18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为2 ,求四棱锥P-ABCD的体积.5.(2017·全国Ⅲ卷,文19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.6.(2017·山东卷,文18)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E
⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.证明:(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,
所以EM⊥BD.
又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD,
所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又 A1E, EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM.
又B1D1?平面B1CD1,
所以 平面A1EM⊥平面B1CD1.谢谢观赏！
