课件32张PPT。第三章 直线与方程本章概览
一、地位作用
解析几何是几何学的一个分支,是通过坐标法,运用代数工具研究几何问题的一门学科,坐标法是在坐标系的基础上,把几何问题转化成代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.通过学习本章内容,学生不断地体会“数形结合”的思想方法.在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后,还可以画出其图形,验证代数结果;同时,通过观察几何图形得到的数学结论,对结论进行代数证明,即用解析方法解决某些代数问题.二、内容标准
直线与方程
(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
(3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
(4)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.
(5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
(6)探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.三、核心素养
通过本章学习学生经历如下的过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法.3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.直线的倾斜角
(1)直线l的倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准, 正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.x轴向上(2)倾斜角的范围
当直线l与x轴 时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为 .
探究1:若直线l与x轴垂直,其倾斜角是多少度?
答案:90°.平行或重合0°≤α<180°2.斜率的概念及斜率公式正切值tan α探究2:若直线l与x轴平行,其斜率是多少?
答案:0.自我检测1.(直线倾斜角的概念)下列说法正确的是( )
(A)一条直线和x轴的正方向所成的正角,叫做这条直线的倾斜角
(B)直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角
(C)与x轴平行的直线的倾斜角为180°
(D)每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率D2.(斜率公式的应用)已知点A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上,则y的值为( )C3.(由两点计算斜率)过两点A(1, ),B(4,2 )的直线的倾斜角为( )
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°A4.(倾斜角与斜率)已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角 .?
答案:90°5.(斜率公式)若A(2,-3),B(4,3),C(5, )在同一条直线上,则k= .
答案:12题型一 直线的倾斜角、斜率的定义【例1】(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为( )
(A)30° (B)60°
(C)30°或150° (D)60°或120°课堂探究·素养提升答案:(1)D(2)直线l的倾斜角为α,斜率为k,则当k= 时,α=60°;当k= 时,α=135°;当k>0时,α的范围是 ;当k<0时,α的范围是 .?方法技巧 (1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图,则直线向上的方向与x轴的正方向所成的角,即为直线的倾斜角.
(2)直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况:
①当0°≤α<90°时,随α的增大,k在[0,+∞)范围内增大;
②当90°<α<180°时,随α的增大,k在(-∞,0)范围内增大.即时训练1-1:(1)已知一条直线过点(4,-2)与点(1,-2),则这条直线的倾斜角为( )
(A)0° (B)45° (C)60° (D)90°(2)已知直线l过点O(0,0),A(1,1),将l绕点O逆时针方向旋转75°,得到直线l′,则直线l′的倾斜角为 ,斜率为 .?【备用例1】 (1)设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( )
(A)α+45°
(B)α-135°
(C)135°-α
(D)当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°,当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°解析:(1)由倾斜角的取值范围知只有当45°≤α+45°<180°,即0°≤α<135°时,l1的倾斜角才是α+45°;又0°≤α<180°,所以当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为α-135°(如图所示),故选D.
答案:(1)D解析:(2)设直线l2的倾斜角为α,由图可知,α=15°+75°=90°,
所以直线l2的倾斜角为90°.
答案:(2)90° (2)设直线l1过原点,其倾斜角α=15°,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向之间所成的角为75°,则直线l2的倾斜角为 .?题型二 斜率公式的应用【例2】已知点M,N的坐标分别是(2,-3),(-3,-2),直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交.
(1)求直线PM与PN的斜率;(2)求直线l的斜率k的取值范围.误区警示 求斜率的范围不仅是求出边界的范围就可以,更要注意数形结合观察斜率不存在的情况对于斜率范围的影响.即时训练2-1:(1)过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y等于( )
(2)经过两点A(2,1),B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是
( )
(A)(-∞,1) (B)(-1,+∞)
(C)(-1,1) (D)(1,+∞)∪(-∞,-1)【备用例2】求经过下列每两个点的直线的斜率,若对应的倾斜角是特殊角,则求出其倾斜角.
(1)C(10,8),D(4,-4);题型三 直线的斜率的应用【例3】求证:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线.变式探究:若将例3中的条件变为A(1,m),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线,求m的值,应如何解决?方法技巧 若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,那么由任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即kAB=kBC=kAC;若kAB=kBC或kAB=kAC,则直线AB与BC或AB与AC的斜率相同,且又过同一点B或A,因此直线AB与BC或AB与AC重合.即时训练3-1:下列三点能构成三角形的三个顶点的为( )
(A)(1,3),(5,7),(10,12)
(B)(-1,4),(2,1),(-2,5)
(C)(0,2),(2,5),(3,7)
(D)(1,-1),(3,3),(5,7)【备用例3】若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则 + 的值等于( ) 题型四 易错辨析—斜率和倾斜角的关系分析错误【例4】已知A(-2,-3),B(3,0),直线l过点P(-1,2)且与线段AB有交点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是 . 谢谢观赏！课件26张PPT。3.1.2 两条直线平行与垂直的判定目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.两条直线平行的判定
设两条不重合的直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,若l1∥l2,则k1 k2;反之,若k1=k2,则l1 l2.特别地,若两条不重合的直线的斜率不存在,则这两条直线也平行.=∥探究1:如果两条直线平行,则它们的斜率一定相等吗?
答案:不一定,只有在两条直线的斜率都存在的情况下,斜率才相等.
2.两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于 ;反之,如果它们的斜率之积等于 ,那么它们互相垂直,即 ?l1⊥l2,
l1⊥l2? .
探究2:如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗?
答案:不一定.若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜率之积是-1,但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0,另一个不存在.-1-1k1k2=-1k1k2=-1自我检测1.(两直线平行关系)已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )
(A)0 (B)-8 (C)2 (D)10BB3.(两直线平行关系)下列说法正确的有( )
①若两不重合直线斜率相等,则两直线平行;
②若l1∥l2,则k1=k2;
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线垂直;
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4.(垂直关系的应用)以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )
(A)锐角三角形
(B)钝角三角形
(C)以A点为直角顶点的直角三角形
(D)以B点为直角顶点的直角三角形BC5.(两直线平行关系)已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x= .?答案:2 题型一 两条直线的平行关系【例1】 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7);课堂探究·素养提升(4)由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1∥l2.即时训练1-1:(1)下列各对直线互相平行的是( )
(A)直线l1经过A(0,1),B(1,0),直线l2经过M(-1,3),N(2,0)
(B)直线l1经过A(-1,-2),B(1,2),直线l2经过M(-2,-1),N(0,-2)
(C)直线l1经过A(1,2),B(1,3),直线l2经过C(1,-1),D(1,4)
(D)直线l1经过A(3,2),B(3,-1),直线l2经过M(1,-1),N(3,2)答案:(1)A(2)已知?ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为 .?答案:(2)(3,4)题型二 两条直线的垂直关系(2)直线l1的斜率不存在,故直线l1与x轴垂直,直线l2的斜率为0,故直线l2与x轴平行,所以直线l1与l2垂直.方法技巧 使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤
(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则将点的坐标代入斜率公式.
(2)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式要对参数进行讨论.
总之,l1与l2一个斜率为0,另一个斜率不存在时,l1⊥l2;l1与l2斜率都存在时,满足k1·k2=-1.即时训练2-1:经过点M(m,3)和N(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是 .?【备用例1】已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.题型三 直线平行与垂直关系的应用【例3】 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.方法技巧 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率,特别是含参数的问题,必须要分类讨论;其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解.即时训练3-1:已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1), B(1,0),
C(4,3),求顶点D的坐标.【备用例2】 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,
C,D四点,试判定图形ABCD的形状.【备用例3】如图所示,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,四边形PECF是矩形,求证:PA⊥EF.题型四 易错辨析——没有考虑斜率不存在的情况致误【例4】 已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.纠错:当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两直线也垂直.谢谢观赏！课件25张PPT。3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.直线的点斜式方程
(1)定义:如图所示,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则把方程y-y0=k(x-x0)叫做直线l的点斜式方程,简称点斜式.(2)说明:如图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其方程为x-x0=0,或 .
探究1:(1)过点(x0,y0),且平行于x轴的直线应如何表达?
(2)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?
答案:(1)y=y0.
(2)不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示.x=x02.直线的斜截式方程
(1)定义:如图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程 .叫做直线l的斜截式方程,简称斜截式.
(2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的 .倾斜角是 的直线没有斜截式方程.
探究2:直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗?
答案:直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.y=kx+b截距直角自我检测1.(直线的点斜式方程)直线方程可表示成点斜式方程的条件是( )
(A)直线的斜率存在 (B)直线的斜率不存在
(C)直线不过原点 (D)以上均不正确AAA4.(直线的斜截式方程)在y轴上的截距为2,且与直线y=-3x-4平行的直线的斜截式方程为 .答案:y=-3x+25.(两直线平行或垂直关系)若直线l过点(0,7),且与直线y=-4x+2垂直,则直线l的方程为 .?题型一 直线的点斜式方程【例1】 (2018·烟台调研)求满足下列条件的直线方程:
(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;
(2)过点P(3,-4),斜率k=3;课堂探究·素养提升解:(1)因为直线过点P(-4,3),斜率k=-3,所以直线的点斜式方程为y-3= -3(x+4),即y=-3x-9.
(2)因为直线过点P(3,-4),斜率k=3,所以直线的点斜式方程为y+4=3(x-3),即y=3x-13.解:(3)直线过点P(5,2),且与x轴平行,故斜率k=0,由直线的点斜式方程得y-2=0(x-5),即y=2.
(4)直线过点P(3,2),且与y轴平行,故斜率k不存在,所以直线方程为x=3.(3)过点P(5,2),且与x轴平行;
(4)过点P(3,2),且与y轴平行.误区警示 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标,均可用直线方程的点斜式表示,直线方程的点斜式,应在直线斜率存在的条件下使用.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=x0.即时训练1-1:已知三角形的顶点坐标分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程.【备用例1】 直线l经过点P(-5,-4),且l与坐标轴围成的三角形的面积为5,试求l的方程.题型二 直线的斜截式方程解:由题知,直线l与l1平行,
所以直线l的斜率为-2,直线l与l2在y轴上的截距相同,
故在y轴上的截距是-2,
由斜截式方程知l的方程为y=-2x-2.【例2】 已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.变式探究:若将本例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解?方法技巧 直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程.即时训练2-1:(2018·河北唐山一中周练)写出下列直线的斜截式方程:
(1)直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是5;
(2)直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2.题型三 平行与垂直的应用【例3】 当a为何值时,
(1)两直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直?解:(1)设两直线的斜率分别为k1、k2,
则k1=a,k2=a+2.
因为两直线互相垂直,
所以k1·k2=a(a+2)=-1.
解得a=-1.
所以当a=-1时,两条直线互相垂直.(2)两直线y=-x+4a与y=(a2-2)x+4互相平行?方法技巧 设直线l1和l2的斜率k1,k2都存在,其方程分别为l1:y=k1x+b1,
l2:y=k2x+b2,那么①l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;②k1=k2且b1=b2?两条直线重合;③l1⊥l2?k1·k2=-1.即时训练3-1:△ABC中,A(1,-1),B(4,a),C(3,3).若△ABC是以B为直角的直角三角形.
(1)求a;(2)求直线AB的方程.【备用例2】 (1)当a为何值时,直线l1:y=-2x+2a与直线l2:y=(a2-3a)x+2 平行;
(2)若点A(1,2)在直线l上的射影为B(-1,4),求直线l的方程.谢谢观赏！课件29张PPT。3.2.2 直线的两点式方程目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.直线的两点式方程探究:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示?
答案:不一定.
(1)若x1=x2且y1≠y2,则直线垂直于x轴,方程为x-x1=0或x=x1.
(2)若x1≠x2且y1=y2,则直线垂直于y轴,方程为y-y1=0或y=y1.2.直线的截距式方程
(1)定义:如图所示,直线l与两个坐标轴的交点分别是
P1(a,0),P2(0,b)(其中a≠0,b≠0),则方程 叫
做直线l的截距式方程,简称截距式.
(2)说明:一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.自我检测CBD4.(中点坐标公式)已知M(-1,2),N(3,-4),线段MN的中点坐标是 .?答案:(1,-1)5.(直线两点式方程)经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是 .?答案:x-y-1=0题型一 直线的两点式方程【例1】 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.课堂探究·素养提升方法技巧 求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不垂直于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求 方程.
(2)由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系.即时训练1-1:若点P(6,m)在过点A(3,2),B(4,3)的直线上,则m= .?解析:因为过点A(3,2),B(4,3)的直线方程为y=x-1,P(6,m)在直线上,所以6-1=m,即m=5.
答案:5【备用例1】 一条光线从点A(3,2)出发,经x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.题型二 直线的截距式方程【例2】 (12分)已知直线l经过点P(4,3),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.变式探究:将本例中的“截距相等”改为“截距互为相反数”,如何?方法技巧 利用截距式求直线方程的策略
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式求直线方程,用待定系数法确定其系数即可;
(2)选用截距式求直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”等条件时,采用截距式求直线方程,要注意考虑“零截距”的情况.即时训练2-1:过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有
条.?解析:一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不为0)共三条.
答案:3【备用例2】 已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点(6, -2),求直线l的方程.【备用例3】 求过点A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程.题型三 直线方程的应用(2)△AOB的面积为6.
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.方法技巧即时训练3-1:已知直线l过点P(4,1),
(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.题型四 易错辨析——忽略过原点的直线【例4】 求过点A(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.纠错:忽略了过原点的直线也是符合条件的.
正解:当直线不过原点时,解法同错解.
当直线过原点时,直线在两坐标轴上的截距也相等且等于0,直线方程为2x-y=0符合题意.
故所求方程为2x-y=0或x+y-3=0.谢谢观赏！课件27张PPT。3.2.3 直线的一般式方程目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究直线的一般式方程
(1)定义:关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
(2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.Ax+By+C=0(4)二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标.这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的.探究1:当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+By+C=0分别表示什么样的直线?③若C=0,则Ax+By=0,表示过原点的一条直线.探究2:在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程?自我检测C2.(一般式方程的应用)过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线在y轴上的截距是( )
(A)1 (B)-1 (C)3 (D)-3BC4.(一般式方程的应用)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .?答案:15.(求直线的一般式方程)过点P(1,2),且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等的直线的一般式方程为 .?答案:2x+y-4=0题型一 直线的一般式方程课堂探究·素养提升(2)由斜截式得直线方程为y=4x-2,
即4x-y-2=0.(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点.
(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.方法技巧 根据已知条件求直线方程的策略
在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为:
(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;
(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;
(3)已知直线上两点坐标时,选用两点式;
(4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.即时训练1-1:直线l过点P(-2,3),且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若点P恰为AB的中点,则直线l的方程的一般式为 .?答案:3x-2y+12=0【备用例1】 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定实数m的值.
(1)l在x轴上的截距为-3;(2)斜率为1.题型二 利用直线一般式方程解决平行、垂直问题【例2】 (12分)已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下列条件的a的值:
(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.变式探究:本例中的直线l2,当a取何值时,直线l2不过第四象限?方法技巧 所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用l1⊥l2?A1A2+B1B2=0和l1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在的情况,比用斜率来判定更简便.即时训练2-1:(2018·重庆巴蜀中学月考)已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l′的方程,使l′满足:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.解:(1)由l′与l平行,可设l′的方程为3x+4y+m=0.
将点(-1,3)代入上式得m=-9.
所以所求直线方程为3x+4y-9=0.
(2)由l′与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.
将(-1,3)代入上式得n=13.
所以所求直线方程为4x-3y+13=0.题型三 直线的一般式方程的应用【例3】 直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.方法技巧 (1)已知直线的方程可确定其斜率、截距,从而可解决与斜率、截距有关的问题.
(2)已知直线的大致位置,可确定斜率、截距的范围(或符号),从而可建立不等式求解参数的范围,反之若已知斜率、截距的范围(或符号)也可确定直线的大致位置.即时训练3-1:直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过定点A(-3,4);(2)与直线6x+y-3=0垂直.【备用例2】 (1)求证:不论m为何实数,直线(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0必过定点;(2)过这定点引一直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分,求这条直线的方程.题型四 易错辨析——忽略直线的特有条件【例4】 若直线(m+1)x+(m2-m-2)y=m+1在y轴上的截距为1,求实数m的值.纠错:这种解法忽略了直线方程Ax+By+C=0中的隐含条件A2+B2≠0,当m=-1时两系数都等于零,这时(m+1)x+(m2-m-2)y=m+1已不能表示一条直线.
正解:在错解中,将m=3和m=-1分别代入直线方程验证.当m=-1时,方程(m+1)x+(m2-m-2)y=m+1不表示直线,应舍去m=-1.
综上可知m=3.谢谢观赏！课件26张PPT。3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究2.平面上两点间的距离公式
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= .
(2)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= .自我检测C1.(两直线的交点)直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,则k的值为( )
(A)-24 (B)6
(C)±6 (D)-6CB4.(两直线的交点)不论a为何实数,直线l:(a+2)x-(a+1)y=2-a恒过一定点,则此定点的坐标为 .?答案:(3,4)5.(两点间的距离)已知点A(5,12),若P点在x轴上,且|PA|=13,则P到原点的距离为 .?答案:10或0 3.(两点间的距离)以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形题型一 两条直线的交点问题课堂探究·素养提升提示:有三种:平行、相交、重合.
2.已知直线l1,l2的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断两条直线的位置关系?【思考】
1.同一平面直角坐标系中两条直线的位置关系有几种情况?变式探究1:本例(1)改为:当m>4时,直线5x+4y=8+m和3x+2y=6的交点在第 .
象限.?答案:二变式探究2:本例(1)中的直线改为l1:5x+4y=8+m,l2:3x+2y=6,若l1与l2的交点在第一象限,求实数m的取值范围.方法技巧 两条直线相交的判定方法即时训练1-1:(1)(2017·漳州高一检测)已知点A(0,-1),直线AB与直线x-y+1=0垂直,垂足为B,则点B的坐标是( )
(A)(-1,0) (B)(1,0)
(C)(0,1) (D)(0,-1)答案:(1)A(2)已知三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5相交于一点,则k的值为 .?【备用例1】 求证:不论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过某一 定点.题型二 两点间距离公式的应用【例2】 已知△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,7),求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程.变式探究:若△ABC的顶点坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(m,7),当m为何值时,
△ABC是以A为直角顶点的直角三角形?解:要使△ABC是以A为直角顶点的直角三角形,
则有AB2+AC2=BC2.
AB2=(-2+1)2+(-1-5)2=37,
AC2=(m+1)2+4=m2+2m+5,
BC2=(m+2)2+64=m2+4m+68,
所以m2+2m+5+37=m2+4m+68,
从而m=-13.
即当m=-13时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.方法技巧 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时,设出所求点的坐标,利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.
(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手,如果边长相等则可能是等腰或等边三角形,如果满足勾股定理则是直角三角形.【备用例2】如图,△ABD和△BCE是在直线AC同一侧的两个等边三角形,
求证:|AE|=|CD|.题型三 对称问题【例3】 已知直线l:y=3x+3,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;(2)直线l1:y=x-2关于l的对称直线的方程.方法技巧 在对称问题中,点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称,处理这类问题要抓住两点:一是过已知点与对称点的直线与对称轴垂直;二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上.即时训练3-1:若点A(1,3)关于直线y=kx+b的对称点为B(-2,1),则k+b= .?谢谢观赏！课件24张PPT。3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究(2)几种特殊情况下的点到直线距离:①点P0(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;
②点P0(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;
③点P0(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离d=|y0-a|;
④点P0(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b(b≠0)的距离d=|x0-b|.探究:使用两平行直线的距离公式解题,对两直线的方程有什么要求?
答案:两条平行直线的方程都是一般式,并且x,y的系数分别对应相等.自我检测D2.(两平行线间的距离)到直线3x-4y-11=0的距离为2的直线方程为( )
(A)3x-4y-1=0
(B)3x-4y-1=0或3x-4y-21=0
(C)3x-4y+1=0
(D)3x-4y-21=0B4.(两平行线间的距离)直线y=2x与直线y=2x+5间的距离是 .?答案:3或-13.(点到直线的距离)过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )
(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0
(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=0A题型一 求点到直线的距离课堂探究·素养提升【思考】
1.点到直线的距离公式中的直线方程一定为一般式吗?
提示:公式中直线方程必须为一般式,如果不是,必须先将方程化为一般式方程,再利用公式求距离.
2.点到直线的距离公式对于A=0,B≠0或A≠0,B=0或P点在直线l上的情况是否适用?
提示:适用.(2)因为直线y=6与y轴垂直,所以点P到它的距离d=|-2-6|=8.
(3)因为直线x=4与x轴垂直,所以点P到它的距离d=|3-4|=1.方法技巧 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.
(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.
(3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.即时训练1-1:(1)已知点A(3,4),B(6,m)到直线3x+4y-7=0的距离相等,则实数m= .?(2)点P(-1,2)到直线3x=2的距离为 .?题型二 两条平行直线间的距离方法技巧 求两平行线间距离一般有两种方法
(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.即时训练2-1:(2018·广东中山市期末)已知两条平行直线l1,l2分别过点P1(1,0),P2(0,5),且l1,l2的距离为5,则直线l1的斜率是 .?【备用例1】 (2018·孝感高中质检)求与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线方程.题型三 距离公式的综合应用【例3】 (12分)(2018·银川一中高二上期末)已知正方形ABCD的中心M(-1,0)和一边CD所在的直线方程为x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程.方法技巧 解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后由题意列方程求参数.也可以应用平面几何的有关知识,判断直线l的特征,然后由已知条件写出l的方程.即时训练3-1:(2018·辽宁大连期末)已知△ABC中,A(2,-1),B(4,3),C(3,-2).
(1)求BC边上的高所在直线方程的一般式;
(2)求△ABC的面积.【备用例3】 过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,求这条直线的方程.谢谢观赏！课件33张PPT。章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.直线的倾斜角是指直线与x轴所成的锐角或直角.( )×2.直线的点斜式方程可以表示与坐标轴平行的直线.( )
3.直线的截距式方程不能表示过原点的直线.( )
4.若直线l1与直线l2的斜率相等,则l1∥l2.( )
5.若直线l1与直线l2垂直,则它们的斜率之积等于-1或一条直线斜率为0另一条直线斜率不存在.( )√×√×√√7.直线的一般式方程可以表示任何一条直线.( )√题型探究真题体验题型探究·素养提升题型一 直线的斜率与倾斜角【典例1】 (1)求经过下列两点的直线的倾斜角和斜率.
①A(-2,0),B(-5,3);②A(3,2),B(5,2);③A(3,-1),B(3,3);③因为A(3,-1),B(3,3);
所以直线l的倾斜角为90°.(2)已知直线l过点A(2,1),B(m,3),求直线l的倾斜角的范围.规律方法直线倾斜角和斜率及其关系
(1)倾斜角α的范围是0°≤α<180°.
(2)倾斜角α与斜率k的对应关系
①α≠90°时,k=tan α;
②α=90°时,k不存在.
(3)倾斜角与斜率的单调性问题
当直线l的倾斜角为α∈[0°,90°)时,直线l的斜率将随着角度的增大而增大;
当直线l的倾斜角α∈(90°,180°)时,直线l的斜率将随着角度的增大而减小.题型二 直线的方程规律方法 巧设直线方程解决问题
求直线方程时,要根据题目条件灵活选择直线方程的形式,并注意其适用范围:点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线,两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线,一般式虽然可以表示任何直线,但要注意A,B不同时为零,必要时要对特殊情况进行讨论.若不做特殊说明,求出的直线方程一般化为一般式.题型三 两条直线的位置关系【典例3】 已知两条直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使:
(1)l1与l2相交于点(m,-1);
(2)l1∥l2;解:(1)因为l1与l2相交于点(m,-1),所以点(m,-1)在l1,l2上,将(m,-1)代入l2的方程,得2m-m-1=0,解得m=1.
所以直线l1的方程为x+8y+n=0,所以n=7.(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.规律方法 两直线平行与垂直的判定
(1)两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2斜率都存在,l1∥l2?k1=k2且b1≠b2;
l1⊥l2?k1·k2=-1,斜率不存在时单独考虑,即k1,k2中有一个为零,另一个不 存在,则两条直线垂直,若k1,k2均不存在,则两直线平行.
(2)当两条直线给出一般式时,平行与垂直关系利用系数关系解决.即l1:A1x
+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0;l1⊥l2?
A1A2+B1B2=0.解析:由题意可得(k-1)(k+1)-8=0,解得k=3或k=-3,经验证当k=-3时两直线重合,不满足题意.故选A.题型四 距离问题【典例4】 (2018·山东济南一中高一期末)已知正方形的中心为(0,-1),其中一条边所在直线的方程为3x+y-2=0.求其他三条边所在直线的方程.即时训练4-1:(2018·辽宁抚顺期末)点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)7题型五 对称问题【典例5】 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.规律方法 求对称直线的方程,可以转化为点对称问题解决或者用相关点转移法解决.即时训练5-1:(2018·安徽合肥市一模)已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( )
(A)x-2y+1=0 (B)x-2y-1=0
(C)x+y-1=0 (D)x+2y-1=0题型六 最值问题【典例6】 已知A(4,1),B(0,4)两点,在直线l:3x-y-1=0上找一点M,使得||MA|-|MB||的值最大,并求此时点M的坐标及最大值.规律方法 本题是对称问题在求线段和、差的最值上的应用,利用对称问题可以解决类似的两类问题:一类是在定直线上找一点M,使点M到两定点A,B的距离之差||MA|-|MB||最大;一类是在定直线上找一点M,使点M到两定点A,B的距离之和||MA|+|MB||最小,这时还要考虑A,B两点在直线的同侧还是异侧.题型七 易错辨析——忽略斜率不存在而致误【典例7】 已知直线l过点A(1,2),且原点到直线l的距离为1,求直线l的方程.纠错:符合题意的直线有两条,错解中忽略了斜率不存在的情况,从而只得到了一条直线.1.(2013·湖南卷,理8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )真题体验·素养升级D2.(2016·上海卷,理3)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离 .?3.(2013·四川卷,文15)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5), C(3,6),
D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 .?答案:(2,4)谢谢观赏！
