课件30张PPT。第四章 圆与方程本章概览
一、地位作用
解析几何是几何学的一个分支,是通过坐标法,运用代数工具研究几何问题的一门学科,它把数学的两个基本对象——形与数有机地联系起来,一方面,几何概念可用代数表示,几何目标可通过代数方法达到;另一方面,又可给代数语言以几何的解释,使代数语言更直观、更形象地表达出来,这对人们发现新结论具有重要的意义,近代数学的发展,在很大程度上应该归功于解析几何.
本章在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互关系,体会数形结合思想,初步培养用代数方程解决几何问题的能力,为以后选修圆锥曲线打下基础.二、内容标准
1.圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
(2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
2.空间直角坐标系
(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置.
(2)会推导空间两点间的距离公式.
本章的重点是直线的点斜式方程、一般式方程和圆的方程.难点是坐标法的应用.坐标法是研究解析几何的基本方法,由曲线求方程和由方程研究曲线是解析几何的基本问题,应注意展现过程,揭示思想方法,强调学生的感受和体验.在活动中逐步提高认识和加深理解.三、核心素养
在学习过程中,学生体会几何问题代数化,用代数语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题、处理代数问题、分析代数结果的几何意义,最终解决几何问题,不断体会“数形结合”的思想方法,对学生达成直观想象,数学运算对数学核心素养大有帮助. 4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究圆的标准方程
(1)以C(a,b)为圆心,r(r>0)为半径的圆的标准方程为 .
(2)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2.(x-a)2+(y-b)2=r2探究:若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此圆的半径一定是a吗?圆心坐标是(m,n)吗?
答案:圆的半径不一定是a,当a>0时,半径是a;当a<0时,半径是-a.圆心坐标不是(m,n),应是(-m,-n),因为(x+m)2+(y+n)2=a2化为标准形式是[x-(-m)]2
+[y-(-n)]2=|a|2.自我检测1.(圆的标准方程)已知点A(-4,-3),B(2,7),则以线段AB为直径的圆的方程是( )
(A)(x+1)2+(y-2)2=136
(B)(x-1)2+(y+2)2=34
(C)(x+1)2+(y-2)2=34
(D)(x-1)2+(y+2)2=136C2.(点与圆的位置关系)若点A(a,a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部,则实数a的取值范围是( )
(A)(2,4) (B)(-∞,2)
(C)(4,+∞) (D)(-∞,2)∪(4,+∞)D3.(圆的标准方程)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
(A)(x-1)2+(y-1)2=1 (B)(x+1)2+(y+1)2=1
(C)(x+1)2+(y+1)2=2 (D)(x-1)2+(y-1)2=2D4.(点与圆的位置关系)已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)( )
(A)是圆心 (B)在圆上
(C)在圆内 (D)在圆外C5.(圆的标准方程)与圆(x-2)2+(y+3)2=16同心,且过点P(-1,1)的圆的方程是 .?答案:(x-2)2+(y+3)2=25题型一 点与圆的位置关系课堂探究·素养提升【思考】
1.在平面几何中,点与圆有哪几种位置关系?
提示:在圆内,在圆上,在圆外.
2.在平面几何中,如何确定点与圆的位置关系?
提示:利用点和圆心之间的距离与半径的大小关系来判断.
3.在平面直角坐标系中,已知点M(x0,y0)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,如何判断点M在圆外、圆上、圆内.
提示:当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆上;
当(x0-a)2+(y0-b)2
当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆外.【例1】 写出圆心为A(2,-3),半径等于5的圆的标准方程,并判断点M1(5,-7),M2(4,-1),M3(6,1)与圆的位置关系.解:圆心为A(2,-3)半径等于5的圆的标准方程为
(x-2)2+(y+3)2=25.
把点M1(5,-7)代入圆的方程得(5-2)2+(-7+3)2=25,
所以点M1在圆上;
把点M2(4,-1)代入圆的方程得
(4-2)2+(-1+3)2<25,所以点M2在圆内;
把点M3(6,1)代入圆的方程得
(6-2)2+(1+3)2>25,
所以点M3在圆外.方法技巧 判断点与圆的位置关系有两种方法
(1)几何法:计算点与圆心的距离与半径的大小关系;
(2)代数法:将点的坐标代入圆的方程,判断式子两边的大小关系,并得出 结论.即时训练1-1:若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )
(A)(-1,1) (B)(0,1)
(C)(-∞,-1)∪(1,+∞) (D)a=±1解析:若点(1,1)在圆的内部,则(1-a)2+(1+a)2<4,化简得a2<1,因此-11.确定圆的标准方程的条件是什么?
提示:圆心坐标和半径,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗?
提示:不一定.当m=0时表示点(a,b),当m≠0时表示圆.【例2】 (12分)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求该三角形的外接圆的方程.方法技巧 一般地,不在同一条直线上的三点可以确定一个圆;三角形有唯一的外接圆,圆心为三角形三边垂直平分线的交点;已知圆心所在的直线及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线与圆心所在直线的交点为圆心.求圆的标准方程,关键是确定圆心坐标和半径.即时训练2-1:已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y= -x-4上,则圆M的方程为( )
(A)(x+3)2+(y-1)2=1 (B)(x-3)2+(y+1)2=1
(C)(x+3)2+(y+1)2=1 (D)(x-3)2+(y-1)2=1【备用例2】 圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程为 .?答案:(x-1)2+(y+4)2=8题型三 与圆有关的最值问题【例3】 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0).
(1)求此圆的标准方程;解:(1)由题意,结合图(1)可知圆心为(3,0),r=2,
所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.(2)设P(x,y)为圆C上任意一点,求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.方法技巧 一般地,求圆上的点到某定点或某定直线的距离的最值问题,常转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决,充分体现了转化与化归的数学思想.即时训练3-1:已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)圆x2+(y+4)2=4上的点到直线l:x+y=1的距离的最大值为 ,最小值为 .?谢谢观赏！课件30张PPT。4.1.2 圆的一般方程目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.圆的一般方程
当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,此方程叫做圆的一般方
程,其中圆心为 ,半径长为 .2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形3.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.自我检测1.(圆的一般方程)已知圆x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标、半径的长分别是( )
(A)(2,-1),3 (B)(-2,1),3
(C)(-2,-1),3 (D)(2,-1),9AC3.(圆的一般方程的应用)若直线l:ax-by+1=0平分圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则a+2b的值为( )
(A)1 (B)-1
(C)4 (D)-4A4.(求圆的一般方程)以点A(0,0),B(4,3)为直径的两个端点的圆的一般方程是 .?答案:x2+y2-4x-3y=05.(与圆有关的轨迹问题)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是 .?答案:x2+y2=4(y≠0)题型一 二元二次方程与圆的关系课堂探究·素养提升【思考】
1.圆的一般方程的结构有什么特征?
提示:x2和y2的系数相等均为1,没有xy项.
2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具备什么条件才能表示圆?
提示:需同时具备三个条件:①A=C≠0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.【例1】 下列方程各表示什么图形?若表示圆,求出其圆心和半径.
(1)x2+y2+x+1=0;
(2)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0);
(3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).解:(1)D=1,E=0,F=1,D2+E2-4F=1-4=-3<0,所以方程(1)不表示任何图形.
(2)D=2a,E=0,F=a2,D2+E2-4F=4a2-4a2=0,所以方程(2)表示点(-a,0).方法技巧 判断二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的方法
(1)利用圆的一般方程的定义,求出D2+E2-4F利用其符号判断.
(2)将方程配方化为(x-a)2+(y-b)2=m的形式,根据m的符号判断.即时训练1-1:下列方程能表示圆吗?若能表示圆,求出圆心坐标和半径.
(1)2x2+y2-7x+5=0;
(2)x2-xy+y2+6x+yt=0;
(3)2x2+2y2-4x=0;
(4)x2+y2-2x+6y-8=0.解:(1)不能表示圆,因为方程中x2,y2的系数不相同.
(2)不能表示圆,因为方程中含有xy项.
(3)能表示圆,原方程经过约分、配方后得(x-1)2+y2=1,知此方程表示的圆的圆心为(1,0),半径为1.(2)将原方程转化为(x+a)2+y2=a2(a≠0),
表示圆,圆心为(-a,0),半径r=|a|.(4)将原方程转化为(x+10)2+y2=102-162<0,不表示任何图形.(4)因为D2+E2-4F=202+02-4×162=-624<0,所以不表示任何图形.解:(1)由于x2,y2的系数不相等,所以该二元二次方程表示的不是圆.
(2)由于该二元二次方程中含有xy项,所以该二元二次方程表示的不是圆.
(3)由于D2+E2-4F=4+16-24=-4<0,所以该二元二次方程表示的不是圆.【备用例1】 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心和半径.
(1)3x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+xy+1=0;(3)x2+y2+2x-4y+6=0;(4)x2+y2+x+2y+1=0;(5)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.题型二 求圆的方程【例2】 (12分)已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC外接圆的方程.变式探究:若本例改为已知圆过A(2,2),C(3,-1),且圆关于直线y=x对称,求圆的一般方程.方法技巧 对圆的一般方程和标准方程的选择
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再利用待定系数法求出常数D,E,F.【备用例2】 求圆心在y=-x上且过两点(2,0),(0,-4)的圆的一般方程,并把它化成标准方程.题型三 求动点的轨迹方程(或轨迹)【例3】 已知直角△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;法二 同法一得x≠3且x≠-1.
由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).(2)直角边BC中点M的轨迹方程.方法技巧 求与圆有关的轨迹方程的常用方法
(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点所满足的条件,并用坐标表示,化简即得轨迹方程.
(2)定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可直接写出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程.即时训练3-1:(1)动圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程为 .?
(2)如图,经过圆x2+y2=4上任意一点P作x轴的垂线,垂足为Q.
求线段PQ的中点M的轨迹方程.答案:(1)x-2y-1=0【备用例3】 已知线段AB的端点B的坐标为(8,6),端点A在圆C:x2+y2+4x=0上运动,求线段AB的中点P的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么?题型四 易错辨析——忽略二元二次方程表示圆的条件而致误【例4】 已知圆的方程是x2+y2+kx+2y+k2=0,且点(1,2)在圆外,求k的取值范围.谢谢观赏！课件30张PPT。4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.直线与圆有三种位置关系两个一个2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断两 一零<=>>=<自我检测1.(直线与圆的位置关系判定)直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )
(A)相交
(B)相切
(C)相交且过圆心
(D)相离DBCD答案:(x-2)2+(y+1)2=4题型一 直线与圆位置关系的判断课堂探究·素养提升【例1】 已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),过点P的直线的斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆:(1)相交;(2)相切;(3)相离.并写出过点P的切线方程.方法技巧 判定直线与圆位置关系的常用方法
(1)几何法:根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断.
(3)直线系法:若动直线过定点P,则点P在圆内时,直线与圆相交;当P在圆上时,直线与圆相切或相交;当P在圆外时,直线与圆位置关系不确定.即时训练1-1:已知点P(x0,y0),圆O:x2+y2=r2(r>0),直线l:x0x+y0y=r2,有以下几个结论:①若点P在圆O上,则直线l与圆O相切;②若点P在圆O外,则直线l与圆O相离;③若点P在圆O内,则直线l与圆O相交;④无论点P在何处,直线l与圆O恒相切.其中正确的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【备用例1】 已知圆C的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线l的方程为y=x+m,求:当m为何值时,
(1)直线平分圆;
(2)直线与圆相切;
(3)直线与圆有两个公共点.解:(1)因为直线平分圆,所以圆心在直线上,即有m=0.题型二 直线被圆截得的弦长问题【例2】 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.方法技巧 求直线与圆相交时弦长的两种方法:【备用例2】 设直线x+2y+4=0和圆x2+y2-2x-15=0相交于点A,B.
(1)求弦AB的垂直平分线方程;解:(1)因为圆x2+y2-2x-15=0化成标准方程得(x-1)2+y2=16,
所以圆心为C(1,0),半径r=4.
因为直线x+2y+4=0和圆x2+y2-2x-15=0相交于点A,B,
所以设弦AB的垂直平分线方程为l:2x-y+m=0,
由垂径定理,可知点C(1,0)在l上,得2×1-0+m=0,
解得m=-2.
因此,弦AB的垂直平分线方程为2x-y-2=0.(2)求弦AB的长.题型三 直线与圆相切问题(2)过点Q(2,4)作圆O的切线,求切线l的方程.变式探究:若本例中(2)改为过点Q(2,4)作圆的切线,则切线长为 .?方法技巧 (1)用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形.
(2)直线与圆相切用几何法列式计算比较简单,一般不用代数法(判别式法).
(3)求动点P的轨迹方程要用坐标变量表示P点,即P(x,y),然后利用条件列出(x,y)满足的方程化简则得解.【备用例3】自点P(-3,3)发出的光线l经过x轴反射,其反射光线所在
直线正好与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求入射光线l所在直线的方程.题型四 易错辨析——忽视方程中未知量的取值范围谢谢观赏！课件29张PPT。4.2.2 圆与圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.圆与圆的位置关系及判断方法
(1)几何法其中r1和r2分别是圆C1和圆C2的半径,d=|C1C2|.(2)代数法
联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:相交外切或内切探究:当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆是否一定相离?只有一组解时两圆是否一定外切?
答案:不一定.当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆无公共点,两圆可能相离也可能内含;只有一组解时,两圆只有一个公共点, 两圆可能外切也可能内切.2.直线和圆的方程的应用
直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.自我检测1.(圆与圆位置关系判断)圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )
(A)相离 (B)外切
(C)相交 (D)内切CA2.(两圆相交问题)圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程为( )
(A)x+y-1=0 (B)2x-y+1=0
(C)x-2y+1=0 (D)x-y+1=0答案:(x-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=1693.(两圆位置关系的应用)以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程是 .?答案:±34.(与两圆相切有关问题)若圆O1:x2+y2=4与圆O2:(x-a)2+y2=1外切,则a= .?题型一 圆与圆位置关系的判断课堂探究·素养提升【思考】
1.在相离、外切、相交、内切和内含的位置关系下,两圆的公切线条数分别为多少条?
提示:2.若用代数法判断两圆位置关系:当Δ=0时,两圆的位置关系是什么?
提示:外切或内切.【例1】 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问m为何值时,
(1)圆C1与圆C2相外切?
(2)圆C1与圆C2内含?方法技巧 判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种,几何法比代数法简便,因此解题时常用几何法,用几何法判断两圆位置关系的步骤如下:
(1)将两圆的方程化为标准方程.
(2)求出两圆的圆心距d和半径r1,r2.
(3)根据d与|r1-r2|、r1+r2的大小关系作出判断.即时训练1-1:(1)圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(2)(2018·北京模拟)已知圆M:x2+y2=2与圆N:(x-1)2+(y-2)2=3,那么两圆的位置关系是( )
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)外离【备用例1】 a为何值时,两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.
(1)外切;(2)相交;(3)外离.解:将两圆方程化为标准方程,C1:(x-a)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-a)2=4,从而C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2.
设两圆的圆心距为d,
则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.
①当d=r1+r2,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或a=2.
②当1③当d>r1+r2,即d2>25,也即2a2+6a+5>25时,两圆外离,此时a<-5或a>2.题型二 两圆位置关系的综合应用【例2】 (12分)已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.试判断两圆的位置关系;若两圆相交,求公共弦所在的直线方程及公共弦的弦长.变式探究:本例中两圆的公切线有 条.?方法技巧 (1)将两圆的方程相减即可得到两相交圆的公共弦所在的直线方程.
(2)在两圆中选定一个圆,利用半弦长、弦心距、半径的关系,可求出公共弦的弦长.
(3)注意:两相交圆的圆心的连线垂直平分相交弦.(注:本题只用了几何法,同学们也可以试试用代数法求解)即时训练2-1:点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是 .?【备用例2】 求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.题型三 直线和圆的方程的应用【例3】 装修房间时,准备在过道顶部设计如图所示的圆弧造型.
(1)请你建立适当的平面直角坐标系,求出圆弧所在圆的方程;规范解答:(1)如图,以AD所在直线为x轴,以AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则点F(60,160).
设圆的方程为x2+[y-(200-r)]2=r2(r>0),
因为点F在圆上,
所以602+[160-(200-r)]2=r2(r>0),解得r=65,
故圆的方程为x2+(y-135)2=4 225.(2)现有一个长方体形的冰箱,其长、宽、高分别为100 cm,80 cm,180 cm,用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道?规范解答:(2)当y=180时,x2+(180-135)2=652,
解得x2=2 200>402,
故冰箱可以通过此过道.方法技巧求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤
(1)认真审题,明确题意;
(2)建立平面直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与曲线的方程;
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题;
(4)把代数结果还原为实际问题的解.即时训练3-1:
为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.【备用例3】 已知Rt△ABC的斜边BC为定长2m,以斜边的中点O为圆心作直径为定长2n(n>m)的圆,直线BC交此圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.题型四 易错辨析——位置关系判断失误【例4】 已知圆C1:x2+y2+2x+2y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y=0,判断圆C1与圆C2的位置关系.谢谢观赏！课件27张PPT。4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
4.3.2 空间两点间的距离公式目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.空间直角坐标系如图,以正方体OABC-D′A′B′C′为载体,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长,建立三条数轴: ,这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做 , 叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 、 、 ,通常建立的坐标系为 ,即 指向x轴的正方向, 指向y轴的正方向, 指向z轴的正方向.
探究:(1)空间直角坐标系中点A(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标是什么?
(2)空间直角坐标系中点A(a,b,c)关于xOy平面的对称点的坐标是什么?
(3)空间直角坐标系中,点A(a,b,c)关于原点(0,0,0)的对称点坐标是什么?
答案:(1)(a,-b,-c) (2)(a,b,-c) (3)(-a,-b,-c)x轴、y轴、z轴坐标原点x轴、y轴、z轴xOy平面yOz平面zOx平面右手直角坐标系右手拇指食指中指2.空间直角坐标系中点的坐标
空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 ,其中x叫做点M的 ,
y叫做点M的 ,z叫做点M的 .
3.空间两点间的距离公式
(1)在空间直角坐标系Oxyz中,任意一点P(x,y,z)与原点间的距离|OP|=
.
(2)空间中,两点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=
.M(x,y,z) 横坐标纵坐标竖坐标自我检测1.(空间直角坐标系)点P(3,0,4),Q(0,0,-3)在空间直角坐标系中的位置分别是在( )
(A)y轴上、x轴上 (B)xOz平面上、y轴上
(C)xOz平面上、z轴上 (D)xOy平面上、yOz平面上CD3.(空间两点间的距离)已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC为( )
(A)等腰三角形 (B)等边三角形
(C)直角三角形 (D)等腰直角三角形答案:(-3,2,1)4.(空间中点的对称)点P(-3,2,-1)关于平面xOy的对称点是 .?C5.(空间两点间的距离)设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|= .?题型一 空间中点的坐标的确定课堂探究·素养提升【例1】如图所示,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的等边三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°,G是棱PB的中点,请建立适当的空间直角坐标系,求出点P,A,B,C,D,G的坐标.方法技巧 (1)建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上.
(2)对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱为x,y,z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点的坐标的关键.即时训练1-1:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱
BC,CC1上的点, |CF|=|AB|=2|CE|,|AB|∶|AD|∶|AA1|=1∶2∶4.
试建立适当的坐标系,写出E,F点的坐标.【备用例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
(1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;解:(1)很明显A(0,0,0),
由于点B在x轴的正半轴上,且|OB|=4,所以B(4,0,0).同理,可得D(0,3,0),A1(0,0,5).由于点C在坐标平面xOy内,BC⊥AB,CD⊥AD,则点C(4,3,0).
同理,可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与C的坐标相比,点C1的坐标中只有竖坐标不同,CC1=AA1=5,则点C1(4,3,5).(2)求点N的坐标.【备用例2】已知如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,且|PA|=|AB|=2,E为PD的中点.建立适当的坐标系,求A,B,C,D,P,E的坐标.解:如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
由|PA|=|AB|=2,四边形ABCD为正方形,可知
A,B,C,D,P,E的坐标分别为A(0,0,0,),B(2,0,0),
C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).题型二 空间直角坐标系中点的对称问题【例2】 已知点P(2,3,-1),求:
(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标;规范解答:(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′,则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P在x轴上的坐标及在y轴上的坐标相同,而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数.
所以,点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1).
同理,点P关于yOz,zOx坐标平面的对称点的坐标分别为(-2,3,-1),(2, -3,-1).(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标;
(3)点P关于坐标原点对称的点的坐标.规范解答:(2)设点P关于x轴的对称点为Q,则点Q在x轴上的坐标与点P在x轴上的坐标相同,而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数.
所以,点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2,-3,1).
同理,点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(-2,3,1),(-2,-3,-1).
(3)点P(2,3,-1)关于坐标原点对称的点的坐标为(-2,-3,1).(4)点P关于点(1,2,-6)对称的点的坐标.方法技巧 解决有关对称问题时,注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线,坐标平面为参照面,通过平行、垂直确定出对称点的位置.空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题,可以参照如下口诀记忆:“关于谁对称谁不变,其余的符号均相反”.如关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面对称的点横、纵坐标不变,竖坐标相反.特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数.即时训练2-1:(1)在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与点Q(3,-4,-5)两点的位置关系是( )
(A)关于x轴对称 (B)关于xOy平面对称
(C)关于坐标原点对称 (D)以上都不对
(2)在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于xOy平面对称的点的坐标是( )
(A)(-2,1,-4) (B)(-2,-1,-4)
(C)(2,-1,4) (D)(2,1,-4)解析:(1)由于P,Q两点的横坐标相等,纵坐标与竖坐标分别互为相反数,故P,Q两点关于x轴对称.故选A.
(2)过点P向xOy平面作垂线,垂足为N,则N就是点P与它关于xOy平面的对称点的中点,因为N的坐标为(-2,1,0),所以对称点的坐标为(-2,1,-4),故 选A.【备用例3】 在空间直角坐标系中有一个点P(1,3,-2),求:
(1)点P关于坐标原点O的对称点P1的坐标;
(2)点P关于x轴的对称点P2的坐标;(3)点P关于坐标平面yOz的对称点P3的坐标.题型三 空间两点间的距离【例3】 已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.方法技巧 求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.谢谢观赏！课件28张PPT。章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.方程(x-a)2+(y-b)2=r2表示圆.( )×2.当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆.( )
3.若直线x-y+a=0与圆x2+y2=a相切,则a=.( )
4.直线y=kx-k与圆x2+y2=2一定相交.( )
5.若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆方程联立消去x2,y2后得到的方程即为两圆相交弦所在直线方程.( )
6.点A(1,2,3)关于z轴的对称点坐标为A′(1,2,-3).( )
7.点B(2,-3,-5)关于坐标平面xOy的对称点坐标为 B′(-2,3,-5).( )
8.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的半径为r.( )√×√√×××题型探究真题体验题型探究·素养提升题型一 圆的方程【典例1】 已知动圆C经过点A(2,-3)和B(-2,-5)
(1)当圆C面积最小时,求圆C的方程;(2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上,求圆C的方程.规律方法 用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式;
(2)由题意得关于a,b,r(或D,E,F)的方程(组);
(3)解出a,b,r(或D,E,F);
(4)代入圆的方程.即时训练1-1:已知两点A(-1,3),B(3,1),C在坐标轴上,若∠ACB=90°,则这样的点C的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意,点C应该为以AB为直径的圆与坐标轴的交点,以AB为直径的圆的方程是(x+1)(x-3)+(y-3)(y-1)=0,令x=0,解得y=0或4;令y=0,解得x=0或2.所以该圆与坐标轴的交点有三个:(0,0),(0,4),(2,0).故选C.题型二 直线与圆的位置关系规律方法 解决圆中弦长问题常用方法题型三 圆与圆的位置关系【典例3】 已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.规律方法 两圆相交常见问题的解法
(1)若两圆相交,只要x2,y2的系数对应相等,两圆方程作差所得方程即为两圆公共弦所在直线方程.
(2)求两圆公共弦长,①利用两圆方程组成的方程组求得两交点的坐标,再利用两点间距离公式求解即可;②利用圆心到公共弦所在直线的距离及勾股定理也可求得公共弦长.即时训练3-1:已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交,则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程为( )
(A)x+2y+1=0 (B)x+2y-1=0
(C)x-2y+1=0 (D)x-2y-1=0解析:因为圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0相交,所以两圆的方程作差得6x+12y-6=0,即公共弦所在直线方程为x+2y-1=0.故选B.题型四 与圆有关的最值问题规律方法 利用数形结合解决有关圆的最值问题
利用数形结合解决最值问题时,首先将代数表达式赋予几何意义,画出图形,根据图形的几何性质,观察出最值出现的时机和位置,从而解决求代数表达式的最值问题.这是用几何方法解决代数问题的常用方法,即数形结合.题型五 易错辨析——考虑问题不全面造成失解【典例5】 求半径长为4,与圆C:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.纠错:错解只考虑了圆心在直线y=0上方的情形,而漏掉了圆心在直线y=0下方的情形,另外错解没有考虑两圆内切的情况,也是不全面的.真题体验·素养升级AB C D 6.(2015·江苏卷,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .?谢谢观赏！