课件42张PPT。第一章 空间几何体本章概览
一、地位作用
本章充分注意到对学生数学思维能力的培养,在本章,学生将从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形,了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法,在历年高考中,突出了对空间想象能力的考查.
二、内容要求
1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.会用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图.3.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).
三、核心素养
本章从具体实物入手,加强从实物模型到图形,再由图形到实物的训练,提高学生画图、识图和解释图的水平,帮助学生逐渐形成空间想象能力,有序建立图形、文字、符号语言表示的联系,帮助学生达成直观想象、逻辑推理等数学核心素养.1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1.1.2 简单组合体的结构特征目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.空间几何体的分类平面多边形它所在平面内封闭几何体多边形公共边棱与棱定直线2.柱体的结构特征平行四边形平行两个互相平行 其余各面公共边公共顶点ABCD-A′B′C′D′矩形的一边轴垂直于轴平行于轴母线柱体圆柱OO′3.锥体的结构特征多边形三角形多边形面三角形面公共顶点公共边S-ABCD一条直角边锥体圆锥SO探究1:根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;
(2)由五个面围成,其中一个面是正方形,其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形.
答案:(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形,可满足每相邻两个面的公共边都相互平行,故该几何体是六棱柱.
(2)该几何体的其中一个面是四边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公共顶点,因此该几何体是四棱锥.4.台体的结构特征平行于棱锥底面底面截面ABCD-A′B′C′D′平行于圆锥底面截面圆台圆台OO′5.球的结构特征直径球体球球心半径直径球O6.简单组合体的结构特征
(1)简单组合体:由 组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成有两种基本形式:
①由简单几何体 而成;
②由简单几何体 一部分而成.简单几何体拼接截去或挖去探究2:如图所示,将一个直角三角形绕其一边旋转,得到的几何体是什么?
答案:如图所示.
绕任一直角边旋转,都将得到一个圆锥,但是底面半径不同,分别是BC,AB,母线长都是斜边AC.
绕其斜边AC旋转,得到的是一个组合体,由两个同底面的圆锥组成.拓展延伸:特殊棱柱 棱锥、棱台的结构特征
(1)特殊棱柱 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱;底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体是长方体,棱长都相等的长方体是正方体.(2)特殊棱锥 如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形;等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高,正棱锥是一种特殊棱锥,判断一棱锥是正棱锥必须满足下面两个条件:一是底面是正多边形,二是底面水平放置时,它的顶点与底面正多边形的中心都在铅垂线上.这也是掌握正棱锥定义的两个要点.
(3)特殊棱台
得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高.自我检测1.(简单几何体的结构特征)下列几何体是棱柱的有( )
(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个D2.(多面体的结构特征)下列四个命题中,正确的有( )
①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面;②各个面都是三角形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;④四棱锥有4个顶点.
(A)0个 (B)1个 (C)3个 (D)4个A3.(简单组合体的结构特征)如图是由哪个平面图形旋转得到的( )D4.(旋转体的结构特征)下列命题中正确的是( )
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
④圆柱的任意两条母线相互平行.
(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)②④D5.(棱锥的结构特征)如果一个棱锥的侧面都是正三角形,则该棱锥最多是 棱锥.?答案:五 6.(组合体的结构特征)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′,则剩下的几何体是 ,截去的几何体是 .?答案:五棱柱 三棱柱题型一 简单几何体的结构特征【思考】1.有两个面互相平行,其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗?课堂探究·素养提升提示:不一定.如图所示的几何体中,平面ABC与平面A′B′C′互相平行.其余各面是平行四边形,但它不是棱柱.反之,若一个几何体是棱柱,则它有两个面互相平行,其余各面均是平行四边形是正确的.2.若一个几何体有两个面互相平行,其余面均为梯形,那么它一定是棱台吗?
提示:不一定.因为棱台是由棱锥得到,其侧棱延长应相交于一点,若侧棱延长后不相交于一点,则它不是棱台.【例1】 (1)(2018·嘉兴市一中期中)下列命题中,正确的命题是( )
①有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
③有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
④四面体都是三棱锥.
(A)②④ (B)①② (C)①②③ (D)②③④解析:(1)①错误;反例:将两个相同的斜平行六面体叠放;②正确,在长方体中可以截出;③错误,侧棱可能无法聚成一点;④正确.故选A.(2)下列叙述正确的是( )
(A)直角三角形围绕一边旋转而成的几何体是圆锥
(B)用一个平面截圆柱,截面一定是圆面
(C)圆锥截去一个小圆锥后,剩下的是一个圆台
(D)通过圆台侧面上一点有无数条母线解析:(2)直角三角形绕斜边所在直线旋转形成的是两个对底的圆锥,为组合体,故A错;用平行于底面的平面去截圆柱,截面才是圆面,故B错.通过圆台侧面上一点有且只有一条母线,故D错.C正确.选C.方法技巧 准确理解几何体的定义,把握几何体的结构特征,并且学会通过举反例进行辨析.即时训练1-1:(1)下列说法中正确的是( )
(A)顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正棱锥
(B)底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
(C)底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥
(D)底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥解析:(1)选项A,到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心,该三角形不一定为正三角形,故A错;选项B,如图所示,△ABC为正三角形,若PA=PB=AB=BC=AC≠PC,
△PAB,△PBC,△PAC都为等腰三角形,但它不是正三棱锥,故B错;选项C,顶点在底面面上的射影为底面三角形的垂心,底面为任意三角形皆可,故C错;选项D,顶点在底面上的射影是底面三角形的外心,又底面三角形为正三角形,因此,外心即中心,故D正确.故选D.(2)下列命题正确的是( )
(A)圆柱的轴是经过圆柱上、下底面圆的圆心的直线
(B)圆柱的母线是连接圆柱上底面和下底面上一点的直线
(C)矩形较长的一条边所在的直线才可以作为旋转轴
(D)矩形绕任意一条直线旋转,都可以围成圆柱解析:(2)由圆柱的定义和有关概念可知,A正确;圆柱的母线必须在侧面上且垂直于底面,所以B不正确;矩形的任意一条边所在的直线都可以作为旋转轴,C错误;矩形绕任意直线旋转不一定形成圆柱,因此D错误,故选A.题型二 折叠与展开问题【例2】 (2018·江西省九江市一中月考)如图所示平面图形沿虚线折起后,①为 ,②为 ,③为 .?解析:由图①知几何体各侧面是矩形,底面为四边形.该几何体是四棱柱;由图②知几何体各侧面是三角形,底面是三角形,该几何体是三棱锥;由图③知几何体侧面是三角形,底面为四边形,故该几何体是四棱锥.
答案:四棱柱 三棱锥 四棱锥方法技巧 (1)对于所给展开图发挥空间想象力,若想象力不足,应当动手折纸做实验.
(2)对于给出的几何体的展开图,应当给顶点标上字母,先把底面画出来,再依次画出侧面,还原出几何体的形状.即时训练2-1:(2018·湖南师大附中高一测试)如图底面半径为1,高为2的圆柱,在A点有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点,则蚂蚁爬行的最短距离是 .?题型三 简单组合体的结构特征【例3】(1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( ) 解:(1)A.解:(2)旋转后的图形草图分别如图(1),(2)所示.
其中图(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图(2)是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的.(2)如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?变式探究:(1)(变换条件)若将典例(1)选项B中的平面图形旋转一周,想象并说出它形成的几何体的结构特征.解:(1)①是直角三角形,旋转后形成圆锥;②是直角梯形,旋转后形成圆台;③是矩形,旋转后形成圆柱,所以旋转后形成的几何体如图所示.通过观察可知,该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的.解:(2)可把原图看成由①,②两部分构成,即大梯形挖去一个小梯形,则旋转一周后得到一个大圆台挖去一个以大圆台上底面为下底面的小圆台组合而成.(2)若将典例(1)选项B中的图形改为以下面的底边所在直线为轴旋转一周,说出它形成的几何体的结构特征.方法技巧 不规则平面图形旋转形成的几何体的结构特征的分析策略
(1)分割:首先要对原平面图形适当分割,一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形.
(2)定形:然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.即时训练3-1:将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( )
(A)一个圆台、两个圆锥 (B)一个圆台、一个圆柱
(C)两个圆台、一个圆柱 (D)一个圆柱、两个圆锥解析:设等腰梯形ABCD,较长的底边为CD,则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥(如轴截面图),故选D.【备用例题】 一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为 (只填写序号).?解析:当截面与正方体的一面平行时,截面图形如①,
当截面不与正方体的一面平行,截面图形如②③.
答案:①②③谢谢观赏！课件37张PPT。1.2.3 空间几何体的直观图目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.斜二测画法的规则
(1)在已知图形中取 的x轴和y轴,两轴相交于O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′= .
,它们确定的平面表示水平面.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于 或
的线段.互相垂直 45°(或135°) x′轴y′轴(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度 ;平行于y轴的线段,长度为原来的 .
2.空间图形直观图的画法
空间图形与平面图形相比多了一个z轴,其直观图中对应于z轴的是z′轴,平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面.平行于z轴的线段,在直观图中平行性和长度都不变.不变一半自我检测1.(几何体的直观图画法)下列说法中正确的是( )
(A)互相垂直的两条直线的直观图仍然是两条互相垂直的直线
(B)梯形的直观图可能是平行四边形
(C)矩形的直观图可能是梯形
(D)正方形的直观图可能是平行四边形D2.(由直观图还原几何体)如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,其中A′B′=
A′C′,那么△ABC是( )
(A)等腰三角形
(B)直角三角形
(C)等腰直角三角形
(D)钝角三角形B3.(斜二测画法规则)若AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,在直观图中,AB的直观图
为A′B′,CD的直观图为C′D′,则( )
(A)A′B′=2C′D′ (B)A′B′=C′D′
(C)A′B′=4C′D′ (D)A′B′= C′D′C4.(由直观图还原几何体)△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )
(A)AB (B)AD
(C)BC (D)ACD5.(由直观图还原几何体)利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的
直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图),则原图形的形状是
( )A6.(直观图与原图形的关系)一水平放置的平面四边形OABC,用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′,此直观图恰好是一个边长为1的正方形,则原平面四边形OABC面积为 .?题型一 画水平放置的平面图形的直观图【例1】按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.课堂探究·素养提升名师导引:画直观图时,在平面图形上建立坐标系,应使图形的顶点尽量多的在坐标轴上.解:画法:
(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于O′,
使∠x′O′y′=45°.(4)连接A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线G′A′,H′D′,及点O,x′轴与y′轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).方法技巧 画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意点:画图的关键是确定顶点的位置,画图时要注意原图和直观图中线段的长度关系是否发生改变.即时训练1-1:(2018·河北黄骅一中高一测试)如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O′A′B′C′,在直观图中梯形的高为 .?【备用例1】 画出上底DC为1,下底AB为3,高为2的等腰梯形ABCD的直观图,并求直观图的面积.解:(1)如图所示,取AB所在的直线为x轴,AB的中点O为原点,建立直角坐标系,画出对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.题型二 画空间几何体的直观图【例2】有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3 cm,高为5 cm,画出这个正六棱锥的直观图.解:(1)先画出边长为3 cm的正六边形水平放置的直观图,如图①所示.(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,画出正六棱锥的顶点V′,如图②所示.(3)连接V′A′,V′B′,V′C′,V′D′,V′E′,V′F′,如图③所示.(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.方法技巧 (1)画空间几何体的直观图,可先画出底面的平面图形,然后画出竖轴.此外,坐标系的建立要充分利用图形的对称性,以便方便、准确地确定顶点;
(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以又快又准的画出.即时训练2-1:一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几何体的直观图.解:(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画圆柱的两底面,在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3 cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4 cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图.如图2所示.【备用例2】 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.解:画法:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=
45°,∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;
在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.
分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,
设它们的交点分别为A,B,C,D,
四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.
(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).题型三 直观图还原为平面图形【例3】(10分)如图是一梯形OABC的直观图,其直观图面积为S,求梯形OABC的面积. 规范解答:设O′C′=h,
则原梯形是一个直角梯形且高为2h.
C′B′=CB,O′A′=OA.………………………………2分变式探究:如例题图所示,若在O′A′上取点D′,且梯形A′B′C′D′的面积是S,求梯形ABCD的面积. 方法技巧 (1)还原图形的过程是画直观图的逆过程,关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段.平行于x′轴的线段长度不变,平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)求图形的面积,关键是能先正确画出图形,然后求出相应边的长度,利用公式求解.即时训练3-1:(2018·安徽省合肥市一中月考)一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′,如图若O′B′=1,那么原△ABO的面积与直观图的面积之比为 .?【备用例3】 如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,求原图形的周长.题型四 易错辨析——忽视了边长的变化导致计算出错【例4】 (2018·合肥期末质检)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图
是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 .?纠错:导致上述错解的原因为:在计算梯形面积时忽视了直观图边长的变化,误认为原图形的高就是直观图的高的2倍.谢谢观赏！课件32张PPT。1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.柱体、锥体、台体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的 和.面积(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式底面半径侧面母线长底面半径侧面母线长上底面半径下底面半径侧面母线长探究1:把一张长为6,宽为4的矩形纸片卷成一个圆柱形,使其对边恰好重合,所围矩形的底面半径是多少?2.柱体、锥体与台体的体积公式底面积 高底面积高上、下底面面积高探究2:探究1中所得圆柱的体积是多少?自我检测1.(求体积)已知圆锥的母线长为5,底面周长为6π,则它的体积为( )
(A)36π (B)30π (C)24π (D)12πD2.(圆台的体积)圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是( )D3.(面积与体积)长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是
( )A4.(求表面积)一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为 .?答案:2∶1题型一 空间几何体的表面积【例1】将圆心角为120°,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积为 .?课堂探究·素养提升答案:4π方法技巧 (1)多面体的表面积转化为各面面积之和.
(2)解决有关棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中去解决;二是把棱台还原成棱锥,利用棱锥的有关知识来解决.
(3)旋转体中,求面积应注意侧面展开图,上下面圆的周长是展开图的弧长.圆台通常还要还原为圆锥.即时训练1-1:如图在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱,求圆柱的表面积.【备用例1】 (1)已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )答案:(1)A(2)如图直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,各棱长如图,则棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面积为 .?答案:(2)92(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为 .?答案:(3)168π题型二 空间几何体的体积【例2】(12分)圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16 π,求圆锥的体积.方法技巧 (1)常见的求几何体体积的方法
①公式法:直接代入公式求解.
②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.
③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.
(2)求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.即时训练2-1:如图,在三棱柱A1B1C1--ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2= .答案:1∶24【备用例2】 (1)已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为4π和2π的矩形,求这个圆柱的体积;解:(1)设圆柱的底面半径为R,高为h,当圆柱的底面周长为2π时,h=4π,
由2πR=2π,得R=1,
所以V圆柱=πR2h=4π2.
当圆柱的底面周长为4π时,h=2π,
由2πR=4π,得R=2,
所以V圆柱=πR2h=4π·2π=8π2.
所以圆柱的体积为4π2或8π2.(2)如图,圆台高为3,轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°,轴截面中一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.题型三 组合体的表面积与体积【例3】如图所示,一圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的顶点是圆柱底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的另一个底面.圆柱的母线长为6,底面半径为2,则该组合体的表面积等于 ,体积等于 .? 方法技巧 求组合体表面积与体积时应注意的问题
(1)首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应怎样求其面积,然后把这些面的面积相加或相减;求体积时也要先弄清组成,求出各简单几何体的体积,然后再相加或相减.
(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义,以确保不重复、不遗漏.即时训练3-1:如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( )【备用例3】 如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,C到AB与AD的距离分别为1和2,若将四边形ABCD绕y轴旋转一周,求所得旋转体的体积.谢谢观赏！课件22张PPT。1.3.2 球的体积和表面积目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.半径是R的球的体积为V= .
2.半径是R的球的表面积为S= .4πR2自我检测1.(球的表面积与体积公式)一个球的表面积是16π,则它的体积是( )D2.(球的体积)把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为( )
(A)R (B)2R
(C)3R (D)4RD3.(球的体积)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为 ,则此球的体积为( )BD 5.(表面积体积)若两个球的表面积之比是4∶9,则它们的体积之比是 .答案:8∶276.(球的切接)将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中,水面升高
4 cm,则钢球的半径是 .?答案:3 cm 题型一 球的表面积与体积【例1】 圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆柱、圆锥的高都是2r,
(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比;课堂探究·素养提升(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比.方法技巧 球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题.即时训练1-1:(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,
C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
(A)36π (B)64π (C)144π (D)256π【备用例1】 64个直径都为 的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则( )
(A)V甲>V乙且S甲>S乙 (B)V甲(C)V甲=V乙且S甲>S乙 (D)V甲=V乙且S甲=S乙题型二 与球相关的“切”“接”问题【思考】
1.若半径为R的球内接一长、宽、高分别为a、b、c的长方体,则球半径R与a、b、c有何关系?2.若半径为R的球内切于棱长为a的正方体,则球半径R与棱长a有什么关系?
提示:球的直径为正方体的棱长,即2R=a.【例2】 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边长为4,则该球的表面积为( )方法技巧 解决几何体与球相切或相接的策略:
(1)要注意球心的位置,一般情况下,由于球的对称性球心在几何体的特殊位置,比如,几何体的中心或长方体对角线的中点等.
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.即时训练2-1:已知球面上的四点P、A、B、C,PA、PB、PC的长分别为3、4、5,且这三条线段两两垂直,则这个球的表面积为( )【备用例2】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为 π,那么这个正三棱柱的体积是( )【备用例3】 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )
(A)4∶3 (B)3∶1 (C)3∶2 (D)9∶4题型三 易错辨析——球的切接问题容易出错【例3】已知球的内接正方体的体积为V,求球的表面积. 谢谢观赏！课件31张PPT。章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱.( )×2.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫做棱台.( )
3.圆锥是由一个直角三角形绕其一边旋转得来的.( )
4.到定点的距离等于定长的点的集合是球.( )
5.正方形利用斜二测画法画出的直观图是菱形.( )
6.圆台的侧面积公式是π(r+R)l,其中r和R分别是圆台的上、下底面半径,l是其母线长.( )
7.用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台.( )
8.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台.( )××××√××题型探究真题体验题型探究·素养提升题型一 空间几何体的结构特征【典例1】 根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由六个面围成,其中一个面是正五边形,其余各面是有公共顶点的三角形;
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;解:(1)由棱锥的几何特点知几何体是五棱锥.
(2)两底边中点的连线与两底垂直,因此旋转得到的几何体是圆台.(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.解:(3)绕较长的底边所在直线旋转一周形成的几何体是一圆柱与一圆锥组成的组合体.规律方法 有关空间几何体的概念辨析问题,要紧紧围绕基本概念、结构特征逐条验证,且勿想当然做出判断.即时训练1-1:(2018·安徽宿州期中)以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是( )
(A)一个圆柱 (B)一个圆锥
(C)两个圆锥 (D)一个圆台解:三角形ABC为正三角形,以其底边AB所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是两个共底面的圆锥,故选C.题型二 空间几何体的直观图【典例2】 (1)在下列选项中,利用斜二测画法,边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )答案:(1)C (2)如图所示为水平放置的△ABC在坐标系中的直观图,其中D′是A′C′的中点,且∠ACB≠30°,∠BAC≠30°, 则原图形中与线段BD的长相等的线段有 条.?解析:(2)由斜二测画法可知,原图形为直角三角形,且∠B=90°,又D为AC的中点,由直角三角形的性质可知,
BD=AD=DC,即与BD的长度相等的线段有2条.答案:(2)2方法技巧 (1)由三视图还原几何体时,要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征,想象整个几何体的特征,从而判断三视图所描述的几
何体.
(2)有关直观图的计算问题,关键是把握直观图与原图形的联系.即时训练2-1:(2018·清华附中模拟)如图,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O′D1=1.请画出原来的平面几何图形的形状,并求原图形的面积.解:如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.
过点D作y轴的平行线,并截取DA=2D1A1=2.
再过点A作x轴的平行线,并截取AB=A1B1=2.
连接BC,即得到原图形.题型三 空间几何体的体积与表面积【典例3】 (1)如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图(3)水平放置时,液面高度为28 cm,则这个简单几何体的总高度为( )
(A)29 cm (B)30 cm (C)32 cm (D)48 cm(1)解析:图(2)和图(3)中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个简单几何体的总高度为h,则有π×12(h-20)=π×32(h-28),解得h=29(cm).故选A.(2)解:正方体的表面积为4×4×6=96(cm2),
圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2).
则挖洞后几何体的表面积约为96+6.28=102.28(cm2).(2)如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞,求挖洞后几何体的表面积是多少?(π取3.14)方法技巧 (1)对于组合体的表面积问题,首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的.若遇到与旋转体有关的问题,应根据条件分清各个旋转体的底面半径和母线,再分别代入公式.
(2)求几何体的体积时,若所给定几何体是规则的柱体、锥体或台体,可直接利用公式求解,若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,常用转换法、分割法、补形法等方法求解.即时训练3-1:如图所示,在上、下底面对应边的比为 1∶2的三棱台中,过上底面一边A1B1作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF,这个平面分三棱台成两部分的体积之比为( )
(A)1∶2
(B)2∶3
(C)3∶4
(D)4∶5即时训练3-2:(2018·烟台检测)一个直角梯形的两底长分别为2和5,高为4,将其绕较长的底旋转一周,求所得旋转体的表面积.解:如图,梯形ABCD中,
AD=2,AB=4,BC=5.
作DM⊥BC,垂足为点M,
则DM=4,MC=5-2=3,
在Rt△CMD中,
由勾股定理得CD= =5.
在旋转生成的旋转体中,AB形成一个圆面,AD形成一个圆柱的侧面,CD形成一个圆锥的侧面,设其面积分别为S1,S2,S3,
则S1=π·42=16π,S2=2π·4·2=16π,S3=π·4·5=20π,
故此旋转体的表面积为S=S1+S2+S3=52π.题型四 球与其他几何体的组合问题【典例4】 已知PA,PB,PC两两垂直且PA= ,PB= ,PC=2,则过P,A,B,C四点的球的体积为 .?规律方法 (1)与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形,充分发挥空间想象能力,做到以下几点:
①明确切点和接点的位置;
②确定有关元素间的数量关系;
③作出合适的截面图.
(2)一般地,作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素,能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系,将立体问题转化为平面问题解决.即时训练4-1:有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.题型五 易错辨析—考虑问题不全面导致漏解【典例5】 把边长分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积.纠错:考虑问题要全面,否则可能会漏解.1.(2017·全国Ⅲ卷,文9)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )真题体验·素养升级B2.(2017·全国Ⅱ卷,文15)长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 .?答案:14π3.(2017·天津卷,文11)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .?4.(2017·江苏卷,6)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则 的值是 .谢谢观赏！
