1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
1.1.2 简单组合体的结构特征
【选题明细表】
知识点、方法
题号
空间几何体的结构特征
1,2,3,8,10,11
折叠与展开
4,6,12,13
简单组合体的结构特征
5,10
简单几何体中的计算问题
7,9
1.下列命题中,正确的是( D )
(A)有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱
(B)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
(C)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形
(D)棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形
解析:根据棱柱的概念及性质可知D正确.
2.下面关于棱锥的说法正确的是( D )
(A)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
(B)底面是正多边形的棱锥是正棱锥
(C)正棱锥的侧棱不一定相等
(D)过棱锥的不相邻的两侧棱的截面是三角形
解析:由于A中缺少了定义中的“其余各面是有一个公共顶点的三角形”,故A不正确;由于正棱锥的概念中除了底面是正多边形外,还要求顶点在底面上的射影是底面的中心,否则就不是正棱锥,故B不正确;根据正棱锥的概念可知,正棱锥的侧棱长相等,故C不正确,D显然正确.
3.下列命题,其中正确命题的个数是( C )
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个(注:轴截面是指过旋转轴的截面)
②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面
③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:由圆柱、圆锥与球的结构特征可知①②正确,故选C.
4.(2018·辽宁省鞍山市第一中学高二上期末)正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为,侧棱长为1,则动点从A沿表面移到点D1时的最短的路程是( A )
(A)2 (B)28 (C)2 (D)24
解:如图所示.
将正六棱柱的侧面展开,只需展开一半,即可求A与D1之间的距离.A=AD2+D=(3)2+1=28.所以AD1=2.
5.(2018·安徽合肥模拟)如图所示,模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为( A )
(A)模块①②⑤ (B)模块①③⑤
(C)模块②④⑤ (D)模块③④⑤
解析:逐个选择检验可知,①②⑤符合要求.
6.在下面的四个平面图形中,哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图 .(填序号)?
解析:结合展开图与四面体,尝试折叠过程,可知①、②正确.
答案:①②
7.(2018·浙江衢州期中)用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥,截得的圆台上、下底面的半径分别为2 cm,5 cm,圆台的母线长为9 cm,则圆锥的母线长为 .?
解析:用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥,截得的圆台上、下底面的半径分别为2 cm,5 cm,圆台的母线长为9 cm,设圆锥的母线长为x,则=,即=,解得x=15.
答案:15
8.如图,在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器中灌进一些水,将容器底面一边BC置于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜程度的不同,水的形状形成如图(1)(2)(3)三种形状.(阴影部分)
请你说出这三种形状分别是什么名称,并指出其底面.
解:(1)是四棱柱,底面是四边形EFGH和四边形ABCD;(2)是四棱柱,底面是四边形ABFE和四边形DCGH;(3)是三棱柱,底面是△EBF和△HCG.
9.(2018·山西忻州一中高一测试)一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为 cm.?
解析:如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.
在Rt△ABC中,AC=12 cm,
BC=8-3=5(cm).
所以AB==13(cm).
答案:13
10.如图中的组合体的结构特征有以下几种说法:
(1)由一个长方体割去一个四棱柱构成.
(2)由一个长方体与两个四棱柱组合而成.
(3)由一个长方体挖去一个四棱台构成.
(4)由一个长方体与两个四棱台组合而成.
其中正确说法的序号是 .?
解析:本题中的组合体可以看成是一个大的长方体割去一个四棱柱构成,也可以看成是一个小的长方体在肩上加两个四棱柱组合而成.
答案:(1)(2)
11.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何体的4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号).?
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解析:在如图正方体ABCDA1B1C1D1中,
若所取四点共面,则只能是正方体的表面或对角面.
即正方形或长方形,所以①正确,②错误.
棱锥A-BDA1符合③,所以③正确;
棱锥A1BDC1符合④,所以④正确;
棱锥AA1B1C1符合⑤,所以⑤正确.
答案:①③④⑤
12.在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,现沿DE,DF,EF把
△ADE,△CDF,△BEF折起,使A,B,C三点重合,则折成的几何体为 .?
解析:由于E,F分别为AB,BC的中点,折起后A,B,C三点重合,DA,DC重合,EA,EB重合,FB,FC重合,故会形成一个三棱锥.
答案:三棱锥
13.有一根长为3π cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为 cm.?
解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD
(如图),
由题意知BC=3π cm,AB=4π cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
AC==5π(cm).
故铁丝的最短长度为5π cm.
答案:5π
1.2.3 空间几何体的直观图
【选题明细表】
知识点、方法
题号
斜二测画法的概念及应用
1,2,10
平面图形的直观图
3,7,11
直观图还原为平面图
4,5,6,8,9,12
1.在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( C )
①角的水平放置的直观图一定是角;
②相等的角在直观图中仍然相等;
③相等的线段在直观图中仍然相等;
④若两条线段平行且相等,则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等;
⑤同一个平面图形,由于在直角坐标系中的位置不同,它们直观图的形状可能不同.
(A)①②③ (B)①③⑤
(C)①④⑤ (D)④⑤
解析:角在直观图中可以与原来的角不等,但仍然为角,故①正确;由正方形的直观图可排除②③;由于斜二测画法保持了平行性不变,因此④正确;而⑤显然正确.故选C.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( D )
(A)45° (B)135°
(C)90° (D)45°或135°
解析:由斜二测画法知,平行于坐标轴的线段仍平行于x′,y′轴,故∠A′为45°或135°.选D.
3.用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为( C )
(A)12 (B)24 (C)6 (D)12
解析:因为原矩形的面积S=6×4=24,所以其直观图的面积为24×=6.
4.如图是水平放置的三角形的直观图,D为△ABC中BC的中点,则原图形中AB,AD,AC三条线段中( B )
(A)最长的是AB,最短的是AC
(B)最长的是AC,最短的是AB
(C)最长的是AB,最短的是AD
(D)最长的是AC,最短的是AD
解析:因为AB∥y轴,BC∥x轴,根据斜二测画法规则,在原图中应有AB⊥BC,所以△ABC为B=90°的直角三角形,所以在AB,AD,AC三条线段中AC最长,AB最短.
5.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图,且O′A′=2,
O′B′=3,则△AOB的周长为( A )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)7
解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5,
所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.
6.如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为 .?
解析:过C′作C′M′∥y′轴,且交x′轴于M′.
过C′作C′D′⊥x′轴,且交x′轴于D′,且C′D′=a.
所以∠C′M′D′=45°,
所以C′M′=a.
所以原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2,或S直观=S原,
所以S原=·a2=a2.
答案:a2
7.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点
B′到x′轴的距离为 .?
解析:点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d,
而O′A′=OA=1,∠C′O′A′=45°,所以d=O′A′=.
答案:
8.一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形,则原三角形的面积是( C )
(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2
解析:因为S△A′B′C′=a2sin 60°=a2,
所以S△ABC=2S△A′B′C′=a2.
9.如图,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,B′在x′轴上,A′O′和x′轴垂直,且A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为 .?
解析:由直观图与原图形中边OB长度不变,
且S原=2S直观,
得OB·h=2×·2O′B′.
因为OB=O′B′,
所以h=4.
答案:4
10.在△ABC中,AC=10 cm,边AC上的高BD=10 cm,则其水平放置的直观图的面积为 .?
解析:S△ABC=×10×10=50(cm)2,其直观图的面积为S=S△ABC=(cm)2.
答案: cm2
11.有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3 cm,高为3 cm,画出这个正六棱锥的直观图.
解:(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图,如图①
所示;
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,画出正六棱锥的顶点V′,在
z′轴上截取O′V′=3 cm,如图②所示;
(3)连接V′A′,V′B′,V′C′,V′D′,V′E′,V′F′,如图③ 所示;
(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.
12.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′,如图,其中的对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其
面积.
解:四边形ABCD的真实图形如图所示,
因为A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形,
所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°,
所以在原四边形ABCD中,
DA⊥AC,AC⊥BC,
因为DA=2D′A′=2,
AC=A′C′=,
所以S四边形ABCD=AC·AD=2.
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【选题明细表】
知识点、方法
题号
几何体的侧面积与表面积
3,4,5,10
几何体的体积
1,2,7
组合体的表面积与体积
6,9
综合问题
8,11
1.已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( B )
(A) (B) (C)2π (D)4π
解析:由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为,
高为的圆锥的组合体,
其体积为2××π×()2×=π.
2.(2018·河南焦作期末)一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,则该圆锥的体积为( D )
(A)2π (B)π (C) (D)
解析:由题圆锥的底面周长为2π,底面半径为1,圆锥的高为,圆锥的体积为π·12·=π,故选D.
3.(2018·河北沧州高一检测)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( A )
(A)7 (B)6 (C)5 (D)3
解析:设上、下底面半径为r,R.
则2πR=3×2πr,
所以R=3r.
又π(r1+r2)l=S侧,
所以S侧=π(3r+r)×3=84π,所以r=7.
4.(2018·安徽马鞍山期中)若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( C )
(A)1∶2 (B)1∶ (C)1∶ (D)∶2
解析:若圆锥的高等于底面直径,则h=2r,则母线l==r,
而圆锥的底面面积为πr2,圆锥的侧面积为πrl=πr2,
故圆锥的底面积与侧面积之比为1∶,故选C.
5.(2018·桂林调研)正六棱柱的一条最长的对角线长是13,侧面积为180,棱柱的全面积为 .?
解析:如图,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,
易知CF′是正六棱柱的一条最长的对角线,
即CF′=13.
因为CF=2a,FF′=h,
所以CF′===13. ①
因为正六棱柱的侧面积为180,
所以S侧=6a·h=180, ②
联立①②解得或
当a=6,h=5时,S底=6×a2×2=108.
所以S全=180+108.
当a=,h=12时,S底=6×a2×2=,
所以S全=180+.
答案:180+或180+108
6.如图,直三棱柱ABCA1B1C1的高为6 cm,底面直角三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,以上、下底的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分形成的几何体的体积为 .(π取3.14)?
解析:由题意知,Rt△ABC的内切圆O的半径为r=1(cm),
所以所求几何体的体积为
V=×3×4×6-π×12×6≈17.16(cm3).
即剩余部分形成的几何体的体积为17.16 cm3.
答案:17.16 cm3
7.若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为 .?
解析:由题底面半径是1,圆锥的母线为2,则圆锥的高为,所以圆锥的体积为××π=.
答案:
8.(2018·湖南郴州二模)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( B )
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式V=(S上++S下)·h)
(A)2寸 (B)3寸 (C)4寸 (D)5寸
解析:如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸.
因为积水深9寸,
所以水面半径为(14+6)=10寸,
则盆中水的体积为
π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸),
所以平地降雨量等于=3(寸).故选B.
9.(2018·辽宁抚顺一中月考)如图,多面体ABCDEF中,BA,BC,BE两两垂直,且AB∥EF,CD∥BE,AB=BE=2,BC=CD=EF=1,则多面体ABCDEF的体积为 .?
解析:多面体ABCDEF的体积等于四棱锥DABEF和三棱锥ABCD的体积之和.
因为=×S四边形ABEF×BC
=×(1+2)×2×1=1,
=×S△BCD×AB
=××1×1×2
=.
所以多面体ABCDEF的体积V多面体ABCDEF=+1=.
答案:
10.已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.
解:如图,正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE.
因为OE=2 cm,∠OPE=30°,
所以PE=2OE=4 cm.
因此S侧=4×PE·BC=4××4×4=32(cm2),S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2).
11.(2018·江苏省连云港市高一期末)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.
(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;
(2)求三棱锥B1-DBQ的体积;
(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S.
解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,
理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为△DD1O的中位线,
所以C为DO的中点,延长AP、DC交于点O′,则PC为△ADO′的中位线,所以C为DO′的中点,
所以点O与点O′重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.
(2)==×(×2×2)×2=.
(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1∥PQ,
所以梯形APQD1为所求截面,
梯形APQD1的高为=,
S=(+2)×=.
1.3.2 球的体积和表面积
【选题明细表】
知识点、方法
题号
球的表面积、体积
1,3,7,9
与球有关的“切”“接”问题
2,4,5,6,8,10,11
1.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为( C )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:令S球1=4πR2,S球2=4πr2,
由题可知4πR2-4πr2=48π, ①
又2πR+2πr=12π, ②
得R-r=2.
2.(2018·河南平顶山高一期末)长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点落在球O的表面上,已知AB=3,AD=4,BB1=5,那么球O的表面积为( D )
(A)25π (B)200π (C)100π (D)50π
解析:由长方体的体对角线为外接球的直径,
设球半径为r,则2r==5,
则r=,
4πr2=4×()2π=50π.
3.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是( B )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)5
解析:BD=,
AC=2,
CD=OD-OC
=-
=-=1.
解得R=3.
4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是( D )
(A) cm
(B)2 cm
(C)3 cm
(D)4 cm
解析:设球的半径为r,
则V水=8πr2,V球=4πr3,
加入小球后,液面高度为6r,
所以πr2·6r=8πr2+4πr3,解得r=4.故选D.
5.已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积是( D )
(A)π (B) (C) (D)6π
解析:如图所示,圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,
所以该圆柱底面圆周半径为
r==,
所以该圆柱的体积为V=Sh=π·()2·2=6π.故选D.
6.(2018·湖南郴州二模)底面为正方形,顶点在底面的投影为底面中心的棱锥PABCD的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则这个球的表面积为 .?
解析:正四棱锥PABCD外接球的球心在它的高PO1上,记为O,OP=OA=R,PO1=4,OO1=4-R,
或OO1=R-4(此时O在PO1的延长线上).
在Rt△AO1O中,R2=8+(R-4)2得R=3,
所以球的表面积S=36π.
答案:36π
7.如图所示(单位:cm)四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.
解:S球=×4π×22=8π(cm2),
S圆台侧=π(2+5)=35π(cm2),
S圆台下底=π×52=25π(cm2),
即该几何体的表面积为8π+35π+25π=68π(cm2).
又V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),
V半球=××23=(cm3).
所以该几何体的体积为V圆台-V半球=52π-=(cm3).
8.(2018·南昌八一中学高一测试)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是π,那么这个三棱柱的体积是( D )
(A)96 (B)16
(C)24 (D)48
解析:设球的半径为R,由πR3=π,得R=2.所以正三棱柱的高为h=4,设其底面边长为a,得×a=2,a=4.
所以V=×(4)2×4=48.
9.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3),每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1 cm,
2.243≈11.240 98).
解:由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9×π×()3≈516 792(g),
街心花园中钢球的质量为145 000 g,
而145 000<516 792,
所以钢球是空心的.
设球的内径为2x cm,
那么球的质量为7.9×[π×()3-πx3]=145 000.
解得x3≈11 240.98,
所以x≈22.4,2x≈45(cm).
即钢球是空心的,其内径约为45 cm.
10.(2018·陕西咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为,求该三棱锥的内切球的体积.
解:如图,AE⊥平面BCD,设O为正四面体A-BCD内切球的球心,
则OE为内切球的半径,设OA=OB=R,又正四面体ABCD的棱长为,
在等边△BCD中,BE=,
所以AE==.
由OB2=OE2+BE2,
得R2=(-R)2+,解得R=,
所以OE=AE-R=,即内切球的半径是,
所以内切球的体积为π×()3=π.
11.据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则V圆柱=πr2h,由已知知圆锥的底面半径为r,高为h,
所以V圆锥=πr2h,球的半径为r,
所以V球=πr3.又h=2r,
所以V圆锥∶V球∶V圆柱=(πr2h)∶(πr3)∶(πr2h)=(πr3)∶(πr3)∶(2πr3)=1∶2∶3.
第一章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
空间几何体的结构
1,2
直观图
4
空间几何体的侧面积与表面积
3,7,8
空间几何体的体积
5,6,9,10,11,14,15
综合应用
12,13,17,18,19,20,21
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列说法正确的是( D )
(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
(C)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
(D)九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形
解析:选项A,B都不正确,反例如图所示.选项C也不正确,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.
2.如图所示是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形,若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体,下面说法不正确的是( A )
(A)该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
(B)该组合体仍然关于轴l对称
(C)该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
(D)该组合体中的球和半球只有一个公共点
解析:组合体中只有一个球体和一个半球.故选A.
3.长方体的高为1,底面积为2,垂直于底的对角面的面积是,则长方体的侧面积等于( C )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)3
解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,
则c=1,ab=2,·c=,
所以a=2,b=1,
故S侧=2(ac+bc)=6.
4.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形,其中O′A′=2,∠B′A′O′=45°,B′C′∥O′A′.则原平面图形的面积为( A )
(A)3 (B)6
(C) (D)
解析:因为O′A′=2,∠B′O′A′=∠B′A′O′=45°,所以O′B′=
,又B′C′∥O′A′,所以∠C′B′O′=45°,∠O′C′B′=90°,所以B′C′=1,所以原图形为梯形,其上底为1,下底为2,高为2,所以S==3.
5.底面是边长为1的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:底面ABCD外接圆的半径是,即AO=,
则PO==,
所以四棱锥的外接球的半径为,
所以四棱锥的外接球的体积为π·3=.
故选A.
6.如图,正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D′C′上,则三棱锥A′EFQ的体积( D )
(A)与点E,F的位置有关
(B)与点Q的位置有关
(C)与点E,F,Q的位置都有关
(D)与点E,F,Q的位置均无关,是定值
解析:==×·EF·AA′·A′D′=,
所以三棱锥A′EFQ的体积为定值,与点E,F,Q的位置均无关.故选D.
7.已知圆台的上下底面半径分别为1和2,高为1,则该圆台的表面积为( B )
(A)3π (B)(5+3)π
(C)π (D)π
解析:设圆台上底面的半径为r′,下底面的半径为r,高为h,母线长为l.则r′=1,r=2,h=1.则l==.由圆台表面积公式得S圆台=π(r′2+r2+r′l+rl)=π(1+4++2)=(5+3)π.故选B.
8.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,表面积的最大值是( B )
(A)22πR2 (B)πR2
(C)πR2 (D)πR2
解析:如图所示为组合体的轴截面,记BO1的长度为x,由相似三角形的比例关系,得=,则PO1=3x,圆柱的高为3R-3x,所以圆柱的表面积为S=2πx2+2πx·(3R-3x)=-4πx2+6πRx,则当x=R时,S取最大值,Smax=πR2.故选B.
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( B )
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
解析:设圆锥底面半径为r,
因为米堆底部弧长为8尺,
所以r=8,r=≈(尺),
所以米堆的体积为
V=××π×()2×5≈(立方尺),
又1斛米的体积约为1.62立方尺,
所以该米堆有÷1.62≈22(斛),选B.
10.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为
6π,则两球的半径之差为( A )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:设两球的半径分别为R、r(R>r),
则由题意得解得
故R-r=1.
11.如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB=AC=,
BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,则多面体BB1C1CEF的体积为( A )
(A)30 (B)18
(C)15 (D)12
解析:=--=S△ABC×6-S△ABC·A1F-S△ABC·
AE=S△ABC·[6-(A1F+AE)]=5S△ABC.
因为AC=AB=,BC=6,
所以S△ABC=×6×=6.
所以=5×6=30.故选A.
12.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE和△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥PDCE的外接球的体积为( C )
(A) (B)
(C) (D)
解析:因为ABCD为等腰梯形,AB=2DC,E为AB的中点,所以AD=DE=CE=BC,又∠DAB=60°,所以△ADE,△DCE,△CEB均为边长为1的正三角形,故翻折后的三棱锥PDCE为正四面体,其高PO1=
=,设球的半径为R,所以R2=(-R)2+()2,得R=,所以V=
π.故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若圆锥的表面积是15π,侧面展开图的圆心角是60°,则圆锥的体积为 .?
解析:设圆锥的底面半径是r,母线长是l,高为h,
则有
所以l=6r,r2=,l2=.h2=l2-r2=75,
所以h=5.
所以V=πr2·h=π××5=π.
答案:π
14.如图所示,扇形的中心角为90°,弦AB将扇形分成两个部分,这两部分各以AO为轴旋转一周,所得的旋转体体积V1和V2之比为 .?
解析:Rt△AOB绕OA旋转一周形成圆锥,
其体积V1=R3,扇形绕OA旋转一周形成半球面,其围成的半球的体积V=R3,
所以V2=V-V1=R3-R3=R3,
所以V1∶V2=1∶1.
答案:1∶1
15.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .?
解析:原两个几何体的总体积V=×π×52×4+π×22×8=π.由题意知新圆锥的高为4,新圆柱的高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r>0),则×π×r2×4+π×r2×8=π,解得r2=7,从而r=.
答案:
16.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF=b(b
解析:==S△QEF·DD1
=×b×a×a
=a2b.
答案:a2b
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.(本小题满分14分)
如图,正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a,连接A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥.
求:(1)三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值;
(2)三棱锥A′BC′D的体积.
解:(1)因为ABCDA′B′C′D′是正方体,
所以A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D=a,
所以三棱锥A′BC′D的表面积为4××a××a=2a2.
而正方体的表面积为6a2,
故三棱锥A′BC′D的表面积与正方体表面积的比值为=.
(2)三棱锥A′ABD,C′BCD,DA′D′C′,BA′B′C′是完全一
样的.
故=V正方体-4=a3-4××a2×a=.
18.(本小题满分14分)
已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.
解:如图所示,在三棱台ABCA′B′C′中,O′,O分别为上、下底面的中心,D,D′分别是BC,B′C′的中点,则DD′是等腰梯形BCC′B′
的高,
所以S侧=3××(20+30)·DD′=75DD′.
又A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为
S上+S下=×(202+302)=325(cm2).
由S侧=S上+S下,
得75DD′=325,所以,DD′=(cm).
又因为O′D′=×20=(cm),
OD=×30=5(cm),
所以棱台的高h=O′O===4(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=(S上+S下+)=×
(325+×20×30)=1 900(cm3).
19.(本小题满分14分)
养路处建造圆锥形无底仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些?
解:(1)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,
则仓库的体积V1=Sh=×π×()2×4=(m3).
如果按方案二,仓库的高变为8 m,
则仓库的体积
V2=Sh=×π×()2×8==96(m3).
(2)如果按方案一,仓库的底面直径变为16 m,半径为8 m,棱锥的母线长为
l==4(m),
则仓库的表面积S1=π×8×4=32π(m2),
如果按方案二,仓库的高变为8 m.
棱锥的母线长为l==10(m),
则仓库的表面积S2=π×6×10=60π(m2).
(3)因为V2>V1,S2所以方案二比方案一更加经济.
20.(本小题满分14分)
如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm,圆柱筒高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少 cm3(结果精确到0.1)?
(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?
解:(1)因为半球的直径是6 cm,可得半径R=3 cm,所以两个半球的体积之和为
V球=πR3=π·27=36π(cm3).
又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).
所以这种“浮球”的体积是
V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).
(2)根据题意,上下两个半球的表面积是
S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为
S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),
所以1个“浮球”的表面积为S==π(m2).
因此,2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S=2 500×π=
12π(m2).
因为每平方米需要涂胶100克,
所以共需要胶的质量为100×12π=1 200π(克).
21.(本小题满分14分)
已知圆柱OO1的底面半径为2,高为4.
(1)求从下底面圆周上一点出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长;
(2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一,求截面
面积;
(3)在(2)的条件下,设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为Ⅰ,较大部分为Ⅱ,求VⅠ∶VⅡ(体积之比).
解:(1)将侧面沿过该点的母线剪开铺平得到一个矩形,邻边长分别是4π和4,
则从下底面圆周上一点出发环绕侧面一周到达上底面的最短路径长即为此矩形的对角线长4.
(2)连接OA,OB,因为截面ABCD将底面圆周截去,
所以∠AOB=90°,
因为OA=OB=2,
所以AB=2,
而截面ABCD是矩形且AD=4,
所以S矩形ABCD=8.
(3)依题知V圆柱=Sh=16π,
三棱柱AOBDO1C的体积是8,
则VⅠ+8=V圆柱=4π,
所以VⅠ=4π-8,
而VⅡ=V圆柱-VⅠ=12π+8,
于是VⅠ∶VⅡ=.
