课件23张PPT。第一章 集合本章概览
一、地位作用
集合是中学数学的一个重要的概念,在小学数学中就渗透了集合的初步概念,到了初中,更进一步应用集合的语言表述一些问题,如代数中用到的数集;几何中用到的点集.
集合也是基本的数学语言,是将来提高数学交流能力所必备的知识.在高中数学中,集合的语言将贯彻始终,用集合的思想去揭示事物的内涵与外延,成为认识事物、解决问题的重要思想方法.因此,本章是高中数学学习的起点.
二、内容标准
1.集合的含义与表示
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
三、核心素养
通过集合含义的学习及用Venn图表示集合,培养数学抽象和直观想象的核心素养,而通过集合中元素的特征和元素与集合、集合与集合之间的关系培养逻辑推理的核心素养,通过集合之间的运算培养数学运算的核心素养.1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,这个整体就构成
,构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
2.如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作 ;a?A表示a不属于集合A.
3.集合中元素的确定性说明了作为一个集合的元素必须是 ;互异性说明了对于一个给定的集合,集合中的元素一定是 (或说是互异的).a∈A 集合确定的不同的4.常见的数集及记法:非负整数全体构成的集合,叫做自然数集,记作 ;正整数集记作 ;整数全体构成的集合,叫做整数集,记作 ;有理数全体构成的集合,叫做有理数集,记作 ;实数全体构成的集合,叫做实数集,记作 .NN+或N* ZQR【拓展延伸】
集合中元素的特征性质
将集合看成一个“箱子”,则任意一个元素就可以看成“物品”,这件“物品”要么在“箱子”里,要么在“箱子”外,这就是确定性;相同的对象进入同一集合,只能算一个元素,要把一批元素写入一个集合时,也意味着它们应当互不相同,这就是互异性,在解决集合中含参数的问题时,互异性是重要的检验步骤,也是易忽略点之一,在解答此类问题时切记最后的检验;如果两个集合中的元素相同,即使排列顺序不同,我们也认为这两个集合是相同的,这就是无序性.自我检测1.以下元素的全体不能够构成集合的是( )
(A)中国古代四大发明
(B)周长为10 cm的三角形
(C)方程x2-1=0的实数解
(D)地球上的小河流D2.下列说法正确的是( )C解析:函数y=x的图象是一条直线,而直线上的点有无数个,所以构成的集合是无限集.故选C.3.由2,2,4组成的集合A共有 个元素.?答案:两答案:∈ ? ? ? ∈ ?类型一 集合的概念和元素的性质课堂探究·素养提升【例1】 (2018·河北邢台联考)在“①个子较高的人;②所有的正方形;③方程x2+6=0的实数解”中,能够表示成集合的是( )
(A)② (B)③ (C)①②③ (D)②③思路点拨:判断所给对象能否构成集合,主要看所给对象是否具有明确的特征.
解析:①个子较高的人,不满足集合中元素的确定性,不能构成集合;②所有的正方形满足集合元素的确定性、互异性,可以构成集合;③方程x2+6=0的实数解,能构成集合.故选D.方法技巧 判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准,给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的,如果是“确定无疑”的,就可构成集合,如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.变式训练1-1:下列对象能构成集合的是 .?
①数组1,3,5,1 ②不等式x+2>3的实数解 ③所有斜边长为5的直角三角形 ④著名的斯诺克球手 ⑤某校高一(3)班中成绩优秀的同学解析:①中有重复数字1,不能构成集合;②③可构成集合;④⑤中元素不确定,不能构成集合.
答案:②③类型二 元素与集合的关系思路点拨:判断待求元素是否能够化为集合中元素的一般形式.方法技巧 元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系,判断一个元素是否属于某集合,一是明确集合中的所含元素的共同特征;二是看元素是否满足集合中元素的共同特征,满足即为属于关系,不满足即为不属于关系.类型三 集合中元素的特性应用【例3】 已知集合由元素a+2,2a2+a构成,若3∈A,求实数a的值.思路点拨:根据3∈A,则a+2或2a2+a等于3,求出a的值,然后根据集合中元素的互异性检验是否满足题意.方法技巧 利用集合中元素的确定性和互异性可以求与集合中元素有关的参数值,求解时,先根据集合中元素的确定性解出参数的所有可能的值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.变式训练3-1:已知集合A是由0,x,x+1三个元素组成的集合且2∈A,则实数x的值为( )
(A)1 (B)2
(C)1或2 (D)不确定解析:由已知可得x=2或x+1=2,解得x=1或x=2,经检验x=1或x=2均满足题意.故选C.类型四 易错辨析【例4】 方程(x-a)(x-1)=0的解集中含有元素的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)1或2 (D)不能确定错解:B
纠错:错解中没有注意到字母a的取值具有不确定性,认为方程的解为x1=a,
x2=1,所以解集中含有2个元素,事实上,若a=1,则解集中只有1个元素.
正解:C谢谢观赏！课件28张PPT。1.1.2 集合的表示方法目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.列举法
把集合中的所有元素 ,写在 表示这个集合的方法.
2.描述法
(1)集合的特征性质
如果在集合I中,属于集合A的任意一个元素x ,而不属于集合A的元素 ,则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.花括号“{}”内都列举出来都不具有性质p(x) 都具有性质p(x) (2)特征性质描述法
集合A可以用它的特征性质p(x)描述为 ,它表示集合A是由集合I中 的所有元素构成的.这种表示集合的方法,叫做特征性质描述法,简称描述法.{x∈I|p(x)} 具有性质p(x)【拓展延伸】
在表示集合时,要依据对象的特点或个数的多少采用适当的形式,当集合中元素个数较少或集合中元素呈现一定的规律性时,一般采用列举法;当集合中元素的共同特征简明清晰且易于表述时,常采用描述法.大多数集合既可用列举法表示,也可用描述法表示.两种方法可用表格对比如下:从表格可以看出,变换表示集合的两种方法时重点在于对元素特征的提炼及具体元素的寻找.自我检测1.下列语句:
①0与{0}表示同一个集合;
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};
③方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};
④集合{x|4
正确的是( )
(A)①和④ (B)②和③
(C)② (D)以上语句都不对C解析:①错误,③由集合中元素的互异性知错误,④集合是无限集,不能列举,故错误,只有②正确.2.(2018·福建三明三地三校联考)已知集合M={x∈Z|-2(A)4 (B)3 (C)7 (D)8B解析:由题意得M={-1,0,1},故选B.3.用列举法表示集合{x|x2-3x+2=0}为( )
(A){(1,2)} (B){(2,1)}
(C){1,2} (D){x2-3x+2=0}C解析:由x2-3x+2=0,得x=1或x=2.所以{x|x2-3x+2=0}={1,2}.选C.4.大于0且小于6的全体奇数组成的集合用列举法表示为 ,用描述法表示为 .?解析:因为大于0且小于6的奇数有1,3,5,所以用列举法表示该集合为{1,3,5}.又因为这个集合的一个特征性质可以描述为0n∈N,所以用描述法表示该集合为{x|0答案:{1,3,5} {x|0(1)方程(x+1)(x2-4)=0的解集;
(2)不大于10的非负偶数集;
(3)A={(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N}.思路点拨:先弄清集合元素的性质特点,然后将集合中的元素一一列举.
解:(1)由方程(x+1)(x2-4)=0得x=-2或x=-1或x=2,所以方程的解集是{-2,-1,2}.(2)不大于10即为小于或等于10,非负是大于或等于0,
故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}.方法技巧 用列举法表示集合时,必须注意如下几点:①元素与元素之间必须用“,”隔开;②集合的元素必须是明确的;③不必考虑元素出现的先后顺序;④集合的元素不能重复;⑤集合的元素可以表示任何事物,如人、物、地点、数等;⑥对含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素具有明显的规律,也可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+={1,2,3,…},所有正偶数组成的集合可写成
{2,4,6,8,…}.变式训练1-1:用列举法表示下列给定的集合:
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A;
(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;
(3)小于8的质数组成的集合C;解:(1)大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.
(2)方程x2-9=0的实数根为-3,3,所以B={-3,3}.
(3)小于8的质数有2,3,5,7,所以C={2,3,5,7}.(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.类型二 用描述法表示集合解:(1)函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为
{(x,y)|y=-2x2+x}.
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}.【例2】用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合;
(2)不等式2x-3<5的解组成的集合;(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合;
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合.(4)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的正的公倍数构成的集合是
{x|x=12n,n∈N*}.方法技巧 (1)使用描述法表示集合时,要明确集合中的代表元素是什么,元素满足什么条件.如果一个集合中所有元素均是数,那么这个集合称为数集.同样,如果一个集合中所有元素均是点,那么这个集合称为点集.形如{x|x满足的条件}的集合是数集,形如{(x,y)|x,y满足的条件}的集合是
点集.
(2)使用描述法表示集合时,所有描述内容应写在花括号内.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.
(5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.变式训练2-1:用描述法表示下列集合:
(1)被5除余1的正整数集合;
(2)坐标平面内,两坐标轴上点的集合;
(3)三角形的全体构成的集合.思路点拨:用描述法表示集合,要清楚集合中代表元素是什么,元素满足什么条件.
解:(1){x|x=5k+1,k∈N}.
(2){(x,y)|xy=0}.
(3){x|x是三角形}.类型三 集合表示方法的灵活应用【例3】 用适当方法表示下列集合,并说明集合是有限集,还是无限集.
(1)由所有非负奇数组成的集合;
(2)由所有小于10且既是奇数又是质数的自然数组成的集合;
(3)由抛物线y=x2上所有点组成的集合;
(4)“Welcome to ShanDong”中的所有字母组成的集合;
(5)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合.思路点拨:根据题意选取适当的表示方法,关键是弄清集合中元素是什么,有限个还是无限个.
解:(1)由所有非负奇数组成的集合可用描述法表示为
A={x|x=2n+1,n∈N},集合A是无限集.(2)满足条件的数有3,5,7,则所求集合可用列举法表示为B={3,5,7},集合B是有限集.
(3)所求集合可用描述法表示为C={(x,y)|y=x2,x∈R,y∈R},集合C是无限集.
(4)“Welcome to ShanDong”中共有13个不同的字母:W,e,l,c,o,m,t,
S,h,a,n,D,g,故用列举法可表示为D={W,e,l,c,o,m,t,S,h,a,n,D,g},集合D是有限集.
(5)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合可用描述法表示为P={x|x是周长等于10 cm的三角形}.P为无限集.方法技巧 对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合,可采用列举法.对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,不能将它们一一列举出来,可以将集合中元素的共同特征描述出来,即采用描述法.变式训练3-1:用适当方法表示下列集合,并说明集合是有限集,还是无限集.
(1)不等式2x+4>6的整数解组成的集合;解:(1)因为2x+4>6,所以x>1.又因为x∈Z,所以所求集合可用描述法表示为{x|x>1且x∈Z},且是无限集.类型四 易错辨析【例4】 用列举法表示下列集合:
(1)A={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};
(2)B={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N};
(3)C={x∈N|x3=x};错解:(1)A={0,1,2}.
(2)B={0,6,1,5,2,2}.
(3)C={-1,0,1}.
(4)D={x=1,y=2}.
纠错:(1)中集合A的代表元素是自然数y,它是二次函数y=-x2+6当x∈N的函数值,而不是x的值.
(2)集合B的代表元素是实数对,它是函数y=-x2+6,x∈N,y∈N时图象上的点,必须是点集的形式.
(3)忽视了集合C中元素是自然数致错.
(4)是对方程组的解应为有序实数对认识不足致错,集合{x=1,y=2}是由两个等式构成的集合.正解:(1)因为y=-x2+6≤6,且x∈N,y∈N,
所以x=0,1,2时,y=6,5,2,符合题意,所以用列举法表示为A={2,5,6}.(3)由x3=x,即x(x+1)(x-1)=0,得x=0或x=1或x=-1,
又-1?N,故集合C={x∈N|x3=x}用列举法表示为C={0,1}.谢谢观赏！课件26张PPT。1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.子集、真子集、集合相等的定义、符号表示及图示任意一个元素集合BA?B或B?A都是都是至少有一个元素不属于A=B2.与子集、真子集有关的规定
(1)空集是任意一个集合的 ;
(2)空集是任何一个非空集合的 .
3.子集与真子集的传递性:
(1)对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,则 ;子集真子集A?C4.集合关系及其特征性质的关系
一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},如果A?B,则x∈A?x∈B,即p(x)?q(x);反之,如果p(x)?q(x),则 .
如果p(x)?q(x),则 ;反之,如果 ,则p(x)?q(x).A一定是B的子集A=BA=B【拓展延伸】2.任何集合都有子集,但是不一定有真子集.
3.一个集合的真子集个数比子集个数少1,即少了它本身,所以当集合A中有n(n∈N*)个元素时,其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.5.根据空集、子集、真子集的定义,下面的几种说法都是正确的:
(1)空集有且只有一个子集,就是它本身.
(2)除空集外,其他任何集合都至少有两个子集,并且都有真子集.
(3)如果空集是集合A的真子集,那么集合A必定非空.自我检测1.下列关系正确的是( )B2.集合A={1,2}的非空子集个数为( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1B3.下列说法中:
(1)空集没有子集;
(2)任何集合至少有两个子集;
(3)空集是任何集合的真子集;(5)集合A?B,就是集合A中的元素都是集合B中的元素,集合B中的元素也都是集合A中的元素.
其中正确的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3B解析:因为空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以(1)(2)
(3)不正确,(4)正确,由子集的概念易知(5)不正确.4.设集合A={2,a},B={2,a2-2},若A=B,则a= .?解析:由a=a2-2得a=2或a=-1.
又当a=2时,不满足元素的互异性,故舍去.所以a=-1.
答案:-1类型一 两集合间的关系课堂探究·素养提升【例1】 判断下列集合之间的关系
(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};解:(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是实数对,故A与B之间无包含关系.(3)A={x|-1(4)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z}.方法技巧 判断两个集合间的关系时,主要是根据这两个集合中元素的特征,结合有关定义来判断.对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系;对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.变式训练1-1:判断下列集合A与B的关系,并指出特征性质之间的关系.
(1)A={x|x<2},B={x|x≤3};
(2)A={x|x是3的倍数},B={x|x是6的倍数};
(3)A={x|x是矩形},B={x|x是正方形};(4)A={(x,y)|xy<0},B={(x,y)|x>0,y<0}.类型二 由集合的关系确定参数【例2】 (1)已知集合A={-1,3,m2},且B={3,4},B?A,则m= .?思路点拨:(1)由子集的定义知,3∈A,4∈A.列方程求m.
解析:(1)由于B?A,则有m2=4,
解得m=±2.
答案:(1)±2答案:(2){m|m≤3}方法技巧变式训练2-1:(2018·福建三校联考)已知集合A={x|x<-1或x>5},
B={x|a≤x(A){a|a<-5或a>5} (B){a|a<-5或a≥5}
(C){a|a≤-5或a≥5} (D){a|a≤-5或a>5}解析:由题意知,要使B?A,需有a+4≤-1或a>5,解得a≤-5或a>5,故选D.类型三 集合的相等【例3】 已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N,求a,b的值.思路点拨:可据集合相等的定义,结合集合中元素的互异性,分类讨论,列出方程组求解.方法技巧 解答此类题目的基本方法为:利用集合中元素的特征性质列出方程组求解,求出解后注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性.变式训练3-1:已知集合P={1,a-1,2},Q={a2-2a+2,1,a-1},若P=Q,求a的取值集合.解:因为P={1,a-1,2},Q={a2-2a+2,1,a-1},P=Q,
所以a2-2a+2=2,解得a=0或a=2.
当a=0时,集合P={1,-1,2},Q={2,1,-1},P=Q,满足题意;
当a=2时,集合P={1,1,2},不满足集合中元素的互异性,舍去.
综上所述,a的值为0.类型四 易错辨析【例4】 设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若N?M,求所有满足条件的a的集合.纠错:错解的原因是忽略了集合N=?时的特殊情况,由N?M知N是M的子集,所以N可以是空集.谢谢观赏！课件29张PPT。1.2.2 集合的运算目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.交集A∩BAA2.并集A∪BAAB3.补集不属于A在U中的补集UAAAA==????UA【拓展延伸】集合中元素个数的计算
若用card(A)表示有限集合A的元素个数,则有card(A∪B)=card(A)+card(B)
-card(A∩B).
事实上,由图(1)可知,A∩B的元素在card(A)和card(B)中均计数一次,因而在card(A)+card(B)中计数两次,而在card(A∪B)中只能计数一次,从而有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).类似地,card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+
card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)
+card(A∩B∩C).
它也可由图(2)来解释.自我检测1.设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={1,3,5},则N∩(?UM)等于( )
(A){1,3} (B){1,5}
(C){4,5} (D){3,5}D解析:全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},?UM={2,3,5},N={1,3,5}
所以N∩(?UM)={3,5}.故选D.2.集合M={-1,1,3,5},集合N={-3,1,5},则以下选项正确的是( )
(A)N∈M (B)N?M
(C)N∩M={1,5} (D)N∪M={-3,-1,3}C解析:因为1,5既是集合M={-1,1,3,5}中的元素,又是集合N={-3,1,5}中的元素,且两集合没有其他公共元素,所以N∩M={1,5},故选C.3.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m= .?解析:因为A∩B={2,3},所以3∈B,又因为B={2,m,4},所以m=3.
答案:34.已知集合A={x|x<-3或x>3},B={x|x<1或x>4},则A∩B= ,
A∪B= .?解析:A∩B={x|x<-3或x>4},
A∪B={x|x<1或x>3},
答案:{x|x<-3或x>4} {x|x<1或x>3}类型一 求交集、并集、补集课堂探究·素养提升【例1】 (1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则?UA等于( )
(A){1,3,5,6} (B){2,3,7}
(C){2,4,7} (D){2,5,7}
(2)设全集U=R,集合A={x|x<-1或x≥2},集合B={x|0 .?思路点拨:正确运用交集、并集、补集的定义解题,当给定的集合是不等式形式时,借助于数轴求解更准确.
解析:(1)由题意知?UA={2,4,7}.故选C.
(2)画出数轴,标出集合A,如图(1)所示.
则?RA={x|-1≤x<2},再将集合?RA与B画在同一数轴上,如图(2)所示.
所以(?RA)∪B={x|-1≤x≤3}.
答案:(1)C (2){x|-1≤x≤3}方法技巧 用列举法表示的数集在求集合运算时,可直接通过观察写出满足题意的集合运算;用描述法表示的数集在求集合运算时,如果集合是无限集,且直接观察不出或不易得出运算结果,则应把两个集合在数轴上表示出来,根据集合运算的定义写出结果.(2)若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},则集合A∩B等于( )
(A){x|x≤3,或x>4} (B){x|-1(C){x|3≤x<4} (D){x|-2≤x<-1}解析:(2)在数轴上标出A,B所表示的集合,如图所示,取其公共部分即得A∩B={x|-2≤x<-1},故选D.类型二 已知集合求参数的运算问题【例2】 (1)已知集合S={x|x>5或x<-1},集合T={x|a5}
(1)当a=1时,求A∩B与A∪B;解:(1)当a=1时,A={x|-3所以A∩B={x|-35}
={x|-3A∪B={x|-35}
={x|x<5或x>5}.(2)若A∪B=R,求实数a的取值范围.变式训练2-2:已知A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5},
A∩B={-2},求p,q,r的值.类型三 Venn图在集合运算中的应用【例3】 已知全集U={不大于20的质数},M,N是U的两个子集,且满足M∩
(?UN)={3,5},(?UM)∩N={7,19},(?UM)∩(?UN)={2,17},求M,N.思路点拨:画出U,M,N的Venn图,分别画出M∩(?UN),(?UM)∩N,(?UM)∩(?UN)的区域,根据集合的确定性填写各数.
解:由已知得U={2,3,5,7,11,13,17,19},根据题意画出Venn图,
如图所示,可得M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.方法技巧 含离散的有限数集之间的集合运算,常借助Venn图求解.在使用Venn图时,可将全集分成四部分,如图所示.
Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ这四部分的含义如下:
Ⅰ:A∩(?UB);
Ⅱ:A∩B;
Ⅲ:(?UA)∩B;
Ⅳ:(?UA)∩(?UB)(或?U(A∪B)).解:如图,
因为A∩B={4,5},所以将4,5写在A∩B中.
因为(?SB)∩A={1,2,3},所以将1,2,3写在A中A∩B之外.
因为(?SB)∩(?SA)={6,7,8},
所以将6,7,8写在S中A∪B之外.
因为(?SB)∩A与(?SB)∩(?SA)中均无9,10,
所以9,10在B中A∩B之外.
故A={1,2,3,4,5},B={4,5,9,10}.类型四 易错辨析【例4】 已知集合A={x|-2解决上述问题的关键,一是要正确理解、准确掌握集合、元素、子集、交集、并集、补集等基本概念;二是强化数形结合思想,运用Venn图、数轴的直观性进行分析,提高形象思维能力;三是要逐步学会用集合的符号语言以及集合的思想去分析问题、解决问题.题型探究·素养提升类型一 元素、集合与集合的关系思路点拨:求解本题首先明确集合A和集合B的含义,再判断a与B的关系.
解:a∈A,因为a=n2+1=(n2+4n+4)-4(n+2)+5=(n+2)2-4(n+2)+5.
又因为n∈N+,所以n+2∈N+,所以a∈B.【例1】 设集合A={a|a=n2+1,n∈N+},集合B={b|b=k2-4k+5,k∈N+},若已知a∈A,判断a与集合B的关系.方法技巧 判断元素与集合的关系,首先要明确集合中元素的特征,其次要看元素是否满足集合中元素的公共属性,满足即为属于关系,不满足即为不属于关系.思路点拨:先化简集合A,然后借助数轴,分类讨论.方法技巧 利用不等式表示的集合的问题,常用数轴的直观图来解,特别要注意不等式边界值的取舍,含参数时要注意对集合空集的讨论.类型二 集合的运算【例3】 设A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},已知A∩B={9},求A∪B.思路点拨:根据已知条件先求a,然后分别求出集合A,B,再利用并集的定义求A∪B.
解:因为A∩B={9},所以9∈A.
所以a2=9或2a-1=9,解得a=±3或a=5.
当a=3时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B中元素不满足集合元素的互异性,舍去.
当a=-3时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意,故A∪B={-7,
-4,-8,4,9}.
当a=5时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去.综上所述,A∪B={-7,-4,-8,4,9}.方法技巧 求解含参数的集合交集、并集运算问题,求出参数的值后,应检验该参数的值是否满足集合中元素的性质.方法技巧 利用不等式表示的集合的问题,常用数轴的直观图来解,特别要注意不等式边界值的取舍,含参数时要注意对集合空集的讨论.类型三 补集思想思路点拨:本题所给集合之间的关系是不等关系,求解时可以先从其对立面的相等关系求解,然后取其补集.方法技巧 求解一些与不等式有关的集合问题时,若不易直接求解,或者较难分析,可利用“正难则反”的思想转化.“正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困难,可先求?UA,再由?U(?UA)=A求A.类型五 易错辨析【例6】 设A={1,1+a,1+2a},B={1,b,b2},若A=B,求b的值【例7】 设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,则实数a的取值范围是( )
(A){a|1≤a≤3}
(B){a|a>3}
(C){a|a≥1}
(D){a|1