《2.1 代数式》
在小学我们已经学习了用字母表示数，并用含有字母的式子反映简单的数量关系.通过对实际问题的解决，进一步理解用字母表示数的意义.本节课的教学内容是使学生了解代数式的含义，理解整式、单项式、多项式的概念，从而能够进一步体会代数式的表示作用.通过对代数式的值的认识，学会求代数式的值，能让学生把符号语言转化为文字语言，为后面列方程、列不等式解应用题、列函数表达式等内容奠定基础.
【知识与能力目标】
1. 经历用字母表示规律的过程，体会字母表示数的意义；
2. 经历代数式概念的产生过程，了解代数式的概念并学会书写法则，能用代数式表示简单的数量关系；
3. 理解单项式及单项式系数、次数的概念；
4. 掌握多项式的项及其次数、常数项的概念；
5.会求代数式的值，会利用代数式求值推断代数式所反映的规律.
【过程与方法目标】
1. 理解用字母表示规律的导出过程，培养学生观察、比较、归纳的能力；
2. 经历运用代数式表示和解释简单实际问题中的数量关系的过程，体会代数式的实际意义；
3. 通过学习求代数式的值，使学生认识数与形的联系，进一步渗透数形结合思想.
【情感态度价值观目标】
使学生体验用所学的知识解决实际生活中问题的乐趣，感受数学在生活中的价值，增强应用意识，培养学生初步的应用能力，激发学习数学的兴趣.
【教学重点】
1. 理解用字母表示数的意义，掌握用字母表示规律的方法；
2. 理解代数式的概念和列代数式；
3. 掌握单项式及单项式的系数、次数的概念；
4. 掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念；
5. 会求代数式的值.
【教学难点】
1. 根据现实问题中的数量关系正确列出代数式；
2. 能区别单项式的系数和次数；
3. 理解多项式的次数的概念；
4. 利用代数式求值推断代数式所反映的规律. .
多媒体课件.
一、情境引入
问题①：“神州七号”载人飞船.它在椭圆形轨道上环绕地球飞过45周，历时68h.试求： (1)该飞船绕地球飞行一周需________min(精确到1min)；
(2)该飞船绕地球飞行n周约需________min.
问题②：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数.
设k表示任意一个整数，用含有k的式子表示：
(1)任意一个偶数：________；
(2)任意一个奇数：________.
【设计意图】通过对实际问题的解决，进一步理解用字母表示数的意义，为进一步探究用字母表示规律做铺垫.
二、探究新知
1. 用字母表示数.
问题：上面的问题中，既有已知数，又有用字母表示的未知数，字母表示数有什么意义？用含有字母的式子表示数量关系有什么意义？
用字母表示数，可以把一些数量关系更简明地表示出来，把具体的数换成抽象的字母，使得式子反应的规律具有普遍意义，从而为叙述和研究问题带来方便.
用字母表示运算律：
运 算 定 律
用 字 母 表 示
加法交换律
?
加法结合律
?
乘法交换律
?
乘法结合律
?
乘法分配律
?
【设计意图】经历用字母表示规律的过程，使学生进一步理解用字母表示数的意义.
2. 代数式.
像这样用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，就叫做代数式.
问题：单个的数或字母是代数式吗？
单个的数或字母也是代数式.
问题：代数式中乘号怎样写？能否省略？数与字母相乘，数字写在前面还是后面？
在代数式中，如果出现乘号，可写成“?”或不写.数字与字母相乘时，为省略乘号，数字写在字母前，如91×n写成91n. 字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式，如?????写成
??
2
. 数字与数字相乘时，“×”号不能省.
问题：除法通常怎样写？
如果式中出现除法，一般写成分数形式，如??÷??写成
??
??
.
例1 设甲数为??，乙数为??，用代数式表示：
(1)甲数的3倍与乙数的一半的差；
(2)甲、乙两数和的平方.
解：(1)3???
1
2
??. (2)
??+??
2
.
例2 用代数式表示：
(1)把??本书分给若干名学生，若每人5本，尚余3本，求学生数；
(2)2011年6月30日京沪高铁客运专线正式开通，从北京到上海，高铁列车比动车组列车运行的时间缩短了约3h，假设从北京到上海列车运行全程为s km,动车组列车的平均速度为v km/h，求高铁列车运行全程所需的时间.
解：(1)从??本书中去掉3本后，按每人5本正好分完，故学生数为
???3
5
.
(2)因为动车组列车运行全程需要
??
??
h，所以，高铁列车运行全程需要
??
??
?3
h.
问题：4??，
??
2
，
1
3
??
??
2
?，???，这些式子有什么特点？
这些式子都是数与字母的积.
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.如4??，
??
2
，
1
3
??
??
2
?，???，??，7等都是单项式.
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.如4??，
??
2
，
1
3
??
??
2
?，???，??，7的系数分别是4，1，
1
3
??，－1，1，7.
一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数.如4??，
??
2
，
1
3
??
??
2
?，???，??，7的次数分别是1，2，3，1，1，0.
例3 写出下列单项式的系数和次数：
?15??
2
??，????，
2
3
??
2
??
2
，???，
1
2
???.
解：
?15??
2
??的系数是－15，次数是3；
????的系数是1，次数是2；
2
3
??
2
??
2
的系数是
2
3
，次数是4；
???的系数是－1，次数是1；
1
2
???的系数是
1
2
，次数是2.
问题：??+??，2???1，
??
2
+2???3，这些式子有什么特点？它们与单项式有什么联系？
这些式子都是由单项式的和组成的.
几个单项式的和叫做多项式.如：??+??，2???1，
??
2
+2???3等都是多项式.
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，多项式的每一项都包括它前面的符号.其中不含字母的项，叫做常数项.如
3??
2
+2???3的项是：
3??
2
、2??、?3，其中常数项是?3，而不是3.
一个多项式含有几项，这个多项式就叫做几项式.一个多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.如
3??
2
+2???3是二次三项式.
单项式与多项式统称为整式.即单项式、多项式都是整式.
例4 下列多项式分别是几次几项式？
2
3
???
1
2
??，4
??
2
?????+
??
2
，
??
2
??
2
?
1
3
?????1.
解：
2
3
???
1
2
??是一次二项式；
4
??
2
?????+
??
2
是二次三项式；
??
2
??
2
?
1
3
?????1是四次三项式.
【设计意图】通过具体的实例，使学生理解并掌握单项式的系数、次数，多项式的项、项数、次数等概念，从而能够判定单项式与多项式.
3. 代数式的值.
一项调查研究显示：一个10~50岁的人，每天所需的睡眠时间??h与他的年龄??岁之间的关系为??=
110???
10
.
例如，30岁的人每天所需的睡眠时间为：??=
110?30
10
=8(h).
问题：算一算，你每天需要多少睡眠时间？
像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
例5 当??=?3，??=2时，
(1)
??
2
?
??
2
； (2)
?????
2
.
解：当??=?3，??=2时，
(1)
??
2
?
??
2
=
?3
2
?
2
2
=9?4
=5.
(2)
?????
2
=
?3?2
2
=
?5
2
=25.
【设计意图】由实际问题引出代数式的概念，使学生会求代数式的值.
三、巩固练习
1. 下列代数式：2??，??+??，－10，
3???1
2
，
2
??
，
??
2
?3??+4，6?
1
??
，
3
2
????，其中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
2. 某堤坝的横截面是梯形，测得梯形上底??＝18m，下底??＝36m，高?＝20m，求这个横截面的面积.
四、课堂总结
问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？
1. 代数式的定义：
像这样用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，就叫做代数式.单个的数或字母也是代数式.
2. 代数式的书写规范：
(1)在代数式中，如果出现乘号，可写成“?”或不写.数字与字母相乘时，为省略乘号，数字写在字母前. 字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式. 数字与数字相乘时，“×”号不能省.
(2)如果式中出现除法，一般写成分数形式.
3. 单项式的定义：
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数.
4. 多项式的定义：
几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，多项式的每一项都包括它前面的符号.其中不含字母的项，叫做常数项.
一个多项式含有几项，这个多项式就叫做几项式.一个多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
5. 整式的定义：
单项式与多项式统称为整式.即单项式、多项式都是整式.
6. 代数式的值的定义：
像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
略.
课件22张PPT。 情境引入问题①：“神州七号”载人飞船.它在椭圆形轨道上环绕地球飞过45周，历时68h.试求：(1)该飞船绕地球飞行一周需________min(精确到1min)；
(2)该飞船绕地球飞行n周约需________min.(1) （68×60）÷45=91（min）
(2) （68×60）÷45×n=91n（min） 情境引入问题②：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数.设k表示任意一个整数，用含有k的式子表示：
(1)任意一个偶数：________；
(2)任意一个奇数：________.2k2k+1 探究新知问题：上面的问题中，既有已知数，又有用字母表示的未知数，字母表示数有什么意义？用含有字母的式子表示数量关系有什么意义？1. 用字母表示数.用字母表示数，可以把一些数量关系更简明地表示出来，把具体的数换成抽象的字母，使得式子反应的规律具有普遍意义，从而为叙述和研究问题带来方便. 探究新知用字母表示运算律： 探究新知像这样用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，就叫做代数式.2. 代数式.问题：单个的数或字母是代数式吗？单个的数或字母也是代数式. 探究新知问题：代数式中乘号怎样写？能否省略？数与字母相乘，数字写在前面还是后面？问题：除法通常怎样写？?? 探究新知?? 探究新知?? 探究新知?2. 代数式.这些式子都是数与字母的积.? 探究新知2. 代数式.?? 探究新知?? 探究新知?2. 代数式.这些式子都是由单项式的和组成的.? 探究新知2. 代数式.??单项式与多项式统称为整式.即单项式、多项式都是整式. 探究新知?? 探究新知?3. 代数式的值.?问题：算一算，你每天需要多少睡眠时间？像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 探究新知??? 巩固练习?? 巩固练习?? 课堂总结问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？1. 代数式的定义：
像这样用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，就叫做代数式.单个的数或字母也是代数式.2. 代数式的书写规范：
(1)在代数式中，如果出现乘号，可写成“?”或不写.数字与字母相乘时，为省略乘号，数字写在字母前. 字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式. 数字与数字相乘时，“×”号不能省.
(2)如果式中出现除法，一般写成分数形式. 课堂总结问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？3. 单项式的定义：
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数.4. 多项式的定义：
几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，多项式的每一项都包括它前面的符号.其中不含字母的项，叫做常数项.
一个多项式含有几项，这个多项式就叫做几项式.一个多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 课堂总结问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？5. 整式的定义：
单项式与多项式统称为整式.即单项式、多项式都是整式.6. 代数式的值的定义：
像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
