《4.5 角的比较与补（余）角》
上一节我们学习了角和角的相关概念，掌握了角的度量单位以及单位之间的换算.本节就是进一步探究有关角的知识，通过引导学生观察比较角的大小，加深学生对角的关系的认识，使学生掌握角的比较方法.帮助学生理解角的和差，掌握角的平分线的定义，以及余角、补角的概念及性质，为进一步学习角的画法奠定基础.
【知识与能力目标】
1. 会比较两个角的大小，理解角的和差；
2. 了解角平分线的意义及概念；
3. 理解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质.
【过程与方法目标】
通过实际观察、操作，体会角的大小，掌握比较角的大小的比较方法，培养学生的观察思维能力及合情推理能力.
【情感态度价值观目标】
在操作、观察、思考、发现的过程中，体会学习几何知识的思想方法，培养学生分析问题、解决问题的能力以及合作学习和独立思考的良好学习习惯.
【教学重点】
1. 角的大小比较方法以及角平分线的概念；
2. 两角互补、互余的概念及性质.
【教学难点】
从图形中观察角的数量关系.
多媒体课件.
情境引入
问题：如何比较两条线段的长短的？
/
①度量法：分别量出两条线段的长度，然后再比较大小.
②叠合法：把两条线段叠合在一起比较大小.
问题：要如何比较角的大小呢？
【设计意图】通过学过的比较线段的方法，运用类比的思想，引出比较角的大小的方法.
二、探究新知
1．角的比较.
角的大小的比较方法：
(1)度量法：
①将量角器的中心点与角的顶点重合；
②量角器的零度刻度线与角的一边重叠；
③角的另一边落在量角器的什么刻度线上.
/
(2)叠合法：
叠合∠DEF与∠ABC，把∠DEF移动，使它的顶点E移到和∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，另一边EF和BC落在BA的同旁.
如图①，如果EF和BC重合，那么∠DEF＝∠ABC；
如图②，如果EF落在∠ABC的内部，那么∠DEF＜∠ABC；
如图③，如果EF落在∠ABC 的外部，那么∠DEF＞∠ABC.
/ /
【设计意图】运用类比的思想，通过探究，使学生掌握角的大小的比较方法，为进一步学习角的和差等知识做铺垫.
2. 角平分线的定义及性质.
(1)认识角的和差.
问题：你能将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式吗？
/
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
∠AOB是∠AOC与∠COB的差，记作∠AOB＝∠AOC－∠COB.
类似地，∠AOC－∠AOB＝∠COB.
例1 如图④，求解下列问题：
(1)比较∠ AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小；
(2)将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式.
解：(1)由图④可以看出：
∠AOC＞∠BOC(OB在∠AOC 内)
∠BOD＞∠COD(OC在∠BOD内)
(2)∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
∠AOC＝∠AOD—∠DOC.
/
(2)认识角的平分线.
定义：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
如图⑤，OC是∠AOB的平分线，这时有：
/
∠AOC＝∠COB＝
1
2
∠AOB，
∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB.
【设计意图】通过探究，使学生认识角的和差，掌握角平分线的定义及性质，为进一步学习余角、补角等知识做铺垫.
3. 余角和补角的概念及性质.
问题：已知∠α、∠β、∠γ的，比较它们的大小，并思考∠α与∠β、∠β与∠γ之间有什么特殊关系？
/
互为余角定义：
/
如果两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．
若∠α＋∠β＝90°，那么∠α与∠β互余. 反之若∠α与∠β互余 ，那么∠α＋∠β＝90°.
∠α是∠β的余角，同样∠β也是∠α的余角.
互为补角定义：
/
如果两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角.
若∠β＋∠γ＝90°，那么∠β与∠γ互补. 反之若∠β与∠γ互补 ，那么∠β＋∠γ＝180°.
∠β是∠γ的补角，同样∠γ也是∠β的余补.
例2 如图⑥，∠1＝∠3，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，那么∠2与∠4有什么关系？
/
图⑥
解：因为∠1与∠2互补，所以∠2＝180°－∠1.
因为∠3与∠4互补，所以∠4＝180°－∠3.
又因为∠1＝∠3，所以∠2＝∠4.
可以得到补角的性质：同角(或等角)的补角相等.
问题：余角有无上面补角类似的性质？如果有，你能说明道理吗？
余角的性质：
同角的余角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠C＝90°，则∠B＝∠C；等角的余角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠C＝90°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.
【设计意图】通过具体的例子，使学生认识余角、补角的概念，并掌握余角、补角的性质.
三、巩固练习
1. 根据图⑦，回答下列问题：
(1)比较∠FOD与∠FOE的大小；
(2)借助三角尺比较∠DOE 与∠DOF的大小．
/
图⑦
2. 一个角的补角比它的余角的4倍少30°，求这个角的度数．
四、课堂总结
问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？
1. 角的大小的比较方法：
(1)度量法；(2)叠合法.
2. 角平分线的定义及性质：
在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠COB＝
1
2
∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB.
3. 余角和补角的概念及性质：
余角的定义：如果两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．
余角的性质：同角(或等角)的余角相等.
补角的定义：如果两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角.
补角的性质：同角(或等角)的补角相等.
略.
课件17张PPT。情境引入问题：如何比较两条线段的长短的？①度量法：分别量出两条线段的长度，然后再比较大小.
②叠合法：把两条线段叠合在一起比较大小. 问题：要如何比较角的大小呢？探究新知1．角的比较.角的大小的比较方法：(1)度量法：
①将量角器的中心点与角的顶点重合；
②量角器的零度刻度线与角的一边重叠；
③角的另一边落在量角器的什么刻度线上.探究新知(2)叠合法：
叠合∠DEF与∠ABC，把∠DEF移动，使它的顶点E移到和∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，另一边EF和BC落在BA的同旁.
如图①，如果EF和BC重合，那么∠DEF＝∠ABC.B(E)A(D)C(F)图①探究新知(2)叠合法：
如图②，如果EF落在∠ABC的内部，那么∠DEF＜∠ABC；
如图③，如果EF落在∠ABC 的外部，那么∠DEF＞∠ABC.B(E)A(D)C图②FB(E)A(D)F图③C探究新知2. 角平分线的定义及性质.(1)认识角的和差.问题：你能将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式吗？OACB∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，
记作∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
∠AOB是∠AOC与∠COB的差，
记作∠AOB＝∠AOC－∠COB.
类似地，∠AOC－∠AOB＝∠COB.探究新知例1 如图④，求解下列问题：
(1)比较∠ AOC与∠BOC，∠BOD与∠COD的大小；
(2)将∠AOC写成两个角的和与两个角的差的形式.解：(1)由图④可以看出：
∠AOC＞∠BOC(OB在∠AOC 内)
∠BOD＞∠COD(OC在∠BOD内)
(2)∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
∠AOC＝∠AOD—∠DOC.ODACB图④探究新知2. 角平分线的定义及性质.(2)认识角的平分线.定义：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.OAB C?图⑤探究新知问题：已知∠α、∠β、∠γ的，比较它们的大小，并思考∠α与∠β、∠β与∠γ之间有什么特殊关系？ 3. 余角和补角的概念及性质.探究新知如果两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．
若∠α＋∠β＝90°，那么∠α与∠β互余. 反之若∠α与∠β互余 ，那么∠α＋∠β＝90°.
∠α是∠β的余角，同样∠β也是∠α的余角.探究新知如果两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角.
若∠β＋∠γ＝90°，那么∠β与∠γ互补. 反之若∠β与∠γ互补 ，那么∠β＋∠γ＝180°.
∠β是∠γ的补角，同样∠γ也是∠β的余补. 探究新知例2 如图⑥，∠1＝∠3，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，那么∠2与∠4有什么关系？解：因为∠1与∠2互补，所以∠2＝180°－∠1.
因为∠3与∠4互补，所以∠4＝180°－∠3.
又因为∠1＝∠3，所以∠2＝∠4.图⑥补角的性质：
同角(或等角)的补角相等.探究新知问题：余角有无上面补角类似的性质？如果有，你能说明道理吗？余角的性质：
同角的余角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠C＝90°，则∠B＝∠C.
等角的余角相等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠C＝90°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.巩固练习1. 根据图⑦，回答下列问题：
(1)比较∠FOD与∠FOE的大小；
(2)借助三角尺比较∠DOE 与∠DOF的大小．解：(1)∠FOD＜∠FOE.
(2)用含有45°角的三角尺比较,
可得∠DOE＞45°,∠DOF＜45°,所以∠DOE＞∠DOF.图⑦巩固练习2. 一个角的补角比它的余角的4倍少30°，求这个角的度数．解：设这个角为x，由题意得
180°－x＝4(90°－x)－30°，
解得x＝50°.
答：这个角的度数是50°.课堂总结问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？1. 角的大小的比较方法：(1)度量法；(2)叠合法.?课堂总结问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？3. 余角和补角的概念及性质：
余角的定义：如果两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．
余角的性质：同角(或等角)的余角相等.
补角的定义：如果两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角.
补角的性质：同角(或等角)的补角相等.
