2018-2019学年九年级数学上册第二十二章二次函数小专题7二次函数与几何图形综合习题（新版）新人教版

小专题7　二次函数与几何图形综合
类型1　线段相关问题
1．(山西农业大学附中月考)如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三点在抛物线上，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－.
(2)∵抛物线的解析式为y＝x2－2x－，
∴其对称轴为直线x＝－＝－＝2，
连接BC，交抛物线对称轴于点P，P点即为所求点．
∵B(5，0)，C(0，－)，
∴设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∴解得
∴直线BC的解析式为y＝x－，
当x＝2时，y＝1－＝－.
∴P(2，－)．
类型2　图形面积问题
2．(阳泉市平定县月考)如图所示，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(－4，0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请求出点P的坐标．
解：(1)由已知条件，得

解得
∴此二次函数的解析式为y＝－x2－4x.
(2)∵点A的坐标为(－4，0)，∴AO＝4.
设点P到x轴的距离为h，则S△AOP＝×4h＝8.
解得h＝4.
①当点P在x轴上方时，－x2－4x＝4.
解得x＝－2.
∴点P的坐标为(－2，4)．
②当点P在x轴下方时，－x2－4x＝－4.
解得x1＝－2＋2，x2＝－2－2.
∴点P的坐标为(－2＋2，－4)或(－2－2，－4)．
综上所述，点P的坐标是(－2，4)，(－2＋2，－4)，(－2－2，－4)．
3．(吕梁孝义市期末)综合与探究：
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.抛物线W与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，它的顶点为D，直线l经过A，C两点．
(1)求点A，B，C，D的坐标；
(2)将直线l向下平移m个单位，对应的直线为l′.
①若直线l′与x轴的正半轴交于点E，与y轴的正半轴交于点F，△AEF的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②求m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？
(3)若将抛物线W也向下平移m个单位，再向右平移1个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点P落在△AOC的内部(不包括△AOC的边界)．请直接写出m的取值范围．
解：(1)当y＝0时，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1.
∴A，B两点坐标分别为(3，0)，(－1，0)．
当x＝0时，得y＝3，∴点C坐标为(0，3)．
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴点D坐标为(1，4)．
(2)①设直线l的解析式为y＝kx＋b，则有
解得
∴直线l的解析式为y＝－x＋3.
∴直线l′的解析式为y＝－x＋3－m.
当y＝0时，解得x＝3－m，∴E点坐标为(3－m，0)．
当x＝0时，解得y＝3－m，∴F点坐标为(0，3－m)．
∴AE＝3－(3－m)＝m，OF＝3－m.
∴S＝AE·OF＝m(3－m)＝－m2＋m(0＜m＜3)．
②∵S＝－m2＋m＝－(m－)2＋，－<0，
∴当m＝时，S的值最大，最大值为.
(3)3＜m＜4.
类型3　特殊图形相关问题
4．(阳泉市平定县月考)综合与探究：
如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；
(3)若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由y＝ax2＋bx－3得C(0，－3)，∴OC＝3，
∵OC＝3OB，∴OB＝1.∴B(－1，0)．
把A(2，－3)，B(－1，0)代入y＝ax2＋bx－3得解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，如图1，
∵A(2，－3)，C(0，－3)，∴AF∥x轴，∴F(－1，－3)．
∴BF＝3，AF＝3，∴∠BAC＝45°.
设D(0，m)，则OD＝|m|，
∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45°，∴OD＝OB＝1，
∴|m|＝1，∴m＝±1，
∴D1(0，1)，D2(0，－1)．
(3)设M(a，a2－2a－3)，N(1，n)，
①以AB为边，则AB∥MN，AB＝MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME(AAS)，
∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，
∴|a－1|＝3，∴a＝4或a＝－2，
∴M(4，5)或(－2，5)．
②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，∴M(0，－3)．
综合上述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．