圆的定义与对称性同步练习(解析版)

圆的定义与对称性

题号 一 二 三 总分
得分


一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（　　）


A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　）
A.
B. 3cm
C.
D. 6cm



如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（　　）
A.
B.
C.
D.



如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ACD=30°,则∠BAD为（? ? ）



A. B. C. D.
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，点D是BA延长线上一点，且AC=AD，若∠B=30°，AB=2，则CD的长是（　　）


A. B. 2 C. 1 D.
一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（　　）
A. B. C. D.
如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）
A.
B.
C.
D.



如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A=36°，则∠BOC的度数为（　　）
A.
B.
C.
D.



如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（　　）
A.
B.
C.
D.



如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　）
A.
B. 3cm
C.
D. 6cm



一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（　　）
A. 1cm B. 3cm C. 6cm D. 9cm
如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为（　　）


A. 1 B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
一个扇形的圆心角是45°，扇形的弧长是3π，则该扇形的面积是______．
如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=22.5°，AB=6cm，则阴影部分面积为______．






如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB=______．






如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若∠ABC=40°，则∠AOC=______度．






三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．

（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．







如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．







如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．

(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的长．







如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM=18，BM=8，求CD的长．














如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．求证：


（1）DE⊥AE；
（2）AE+CE=AB．







如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??








答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：由题意可得，
OA=13，∠ONA=90°，AB=24，
∴AN=12，
∴ON=，
故选A．
根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
2.【答案】A
【解析】
解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴圆心O到弦CD的距离为OE；
∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，
∴∠COB=60°；
在Rt△OCE中，
OC=5cm，OE=OC?cos∠COB，
∴OE=cm．
故选A．
根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．
本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
3.【答案】C
【解析】
解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
4.【答案】C
【解析】
解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=60°．
故选：C．
连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．
本题考查了圆周角定理，解答本题的关键是掌握圆周角定理中在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
5.【答案】D
【解析】
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠B=30°，
∴∠BAC=60°．
∵AC=AD，
∴∠D=∠ACD=30°．
∵OC=OB，∠B=30°，
∴∠DOC=60°，
∴∠OCD=90°．
∵AB=2，
∴OC=1，
∴CD===．
故选D．
连接OC，先根据AB是⊙O的直径得出∠ACB=90°，再由∠B=30°得出∠BAC=60°，根据AC=AD可知∠D=∠ACD，由三角形外角的性质得出∠D=∠ACD=30°，再由OC=OB，∠B=30°得出∠DOC=60°，故可得出∠OCD=90°，再由AB=2可知OC=1，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】
解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，
∴S=Rl，即60π=×R×10π，
解得：R=12，
∴S=60π=，
解得：n=150°，
故选B
利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．
此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】
解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB?cos∠OBC=4×=2，
∴BC=4．
故选：B．
首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
8.【答案】D
【解析】
解：由题意得∠BOC=2∠A=72°．
故选D．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案．
本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
故选：D．
由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+∠BAD=90°，即可得出答案．
本题考查了圆周角定理；熟记圆周角定理是解决问题的关键．
10.【答案】A
【解析】
解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴圆心O到弦CD的距离为OE；
∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，
∴∠COB=60°；
在Rt△OCE中，
OC=5cm，OE=OC?cos∠COB，
∴OE=cm．
故选A．
根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．
本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
11.【答案】B
【解析】
解：设扇形的半径为R，
由题意：3π=，解得R=±3，
∵R＞0，
∴R=3cm，
∴这个扇形的半径为3cm．
故选：B．
根据扇形的面积公式：S=代入计算即可解决问题．
本题考查扇形的面积公式，关键是记住扇形的面积公式：S==LR（L是弧长，R是半径），属于中考常考题型．
12.【答案】D
【解析】
解：作OD⊥BC于D，连接OB，如图所示：
则BD=CD=BC，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OBD=∠ABC=30°，
∴OD=OB=1，
∴BD=OD=，
∴BC=2BD=2，
即等边△ABC的边长为2；
故选：D．
作OD⊥BC于D，连接OB，由垂径定理得出BD=CD=BC，由等边三角形的性质和已知条件得出∠OBD=∠ABC=30°，求出OD，再由三角函数求出BD，即可得出BC的长．
本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13.【答案】18π
【解析】
解：∵圆心角为45°，弧长为3π，
∴=3π，解得r=12，
∴扇形的面积=×3π×12=18π．
故答案为：18π．
先求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
14.【答案】π-9，
【解析】
解：连接OA，OB，
∵∠C=22.5°，
∴∠AOD=45°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOB=90°，
∴OE=AB=3，OA=OB=AB=3，
∴S阴影=S扇形-S△AOB=-6×3=π-9，
故答案为：π-9．
连接OB，OA，根据圆周角定理得出∠AOD的度数，再根据弦AB⊥CD，得到OA，OE的长，然后根据图形的面积公式即可得到结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15.【答案】32°
【解析】
解：∵AO=OC，
∴∠ACB=∠OAC，
∵∠AOB=64°，
∴∠ACB+∠OAC=64°，
∴∠ACB=64°÷2=32°．
故答案为：32°．
根据AO=OC，可得：∠ACB=∠OAC，然后根据∠AOB=64°，求出∠ACB的度数是多少即可．
此题主要考查了圆周角定理的应用，以及圆的特征和应用，要熟练掌握．
16.【答案】80
【解析】
解：∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为：80．
直接根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
17.【答案】（1）解：
?
∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，
又∵BC=3，AB=5，
∴由勾股定理得AC=4；

（2）证明：∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA=∠CBA，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC=90°，
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．
【解析】


（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
此题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

18.【答案】解：（1）∵OA=OD，∠D=70°，
∴∠OAD=∠D=70°，
∴∠AOD=180°-∠OAD-∠D=40°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
即OD⊥AC，
∴=，
∴∠CAD=∠AOD=20°；

（2）∵AC=8，OE⊥AC，
∴AE=AC=4，
设OA=x，则OE=OD-DE=x-2，
∵在Rt△OAE中，OE2+AE2=OA2，
∴（x-2）2+42=x2，
解得：x=5，
∴OA=5，
∴AB=2OA=10．
【解析】

（1）由∠D=70°，可求得∠AOD的度数，由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由OD∥BC，证得OD⊥AC，然后由垂径定理求得=，再由圆周角定理求得∠CAD的度数；
（2）由垂径定理可求得AE的长，然后设OA=x，则OE=OD-DE=x-2，在Rt△OAE中，OE2+AE2=OA2，可得方程（x-2）2+42=x2，解此方程即可求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．注意得到OD⊥AC，应用垂径定理是关键．
19.【答案】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴=，
∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°；

（2）根据勾股定理得，AC===4，
∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AB=2AC=2×4=8．
【解析】

（1）根据垂径定理可得=，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC，再根据垂径定理可得AB=2AC．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
20.【答案】解：连接OC，
∵AM=18，BM=8，
∴半径OC=OA=OB=13，
∴OM=5，
∵直径AB⊥弦CD于点M，
∴CD=2CM=2DM，
在Rt△OCM中，由勾股定理得：CM==12，
∴CD=24．
【解析】

连接OC，求出半径OC和OM，根据勾股定理求出CM，根据垂径定理得出CD=2CM，即可求出答案．
本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，关键是能构造直角三角形、求出CM长和得出CD=2CM．
21.【答案】证明：（1）连接OD，如图1所示．
∵OA=OD，AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AE．
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，
∴DE=DM．
在△DAE和△DAM中，，
∴△DAE≌△DAM（SAS），
∴AE=AM．
∵∠EAD=∠MAD，
∴=，
∴CD=BD．
在Rt△DEC和Rt△DMB中，，
∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），
∴CE=BM，
∴AE+CE=AM+BM=AB．
【解析】

（1）连接OD，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE∥OD，结合切线的性质即可证出DE⊥AE；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，根据角平分线的性质可得出DE=DM，结合AD=AD、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质可得出AE=AM，由∠EAD=∠MAD可得出=，进而可得出CD=BD，结合DE=DM可证出Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），根据全等三角形的性质可得出CE=BM，结合AB=AM+BM即可证出AE+CE=AB．
本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：（1）利用平行线的判定定理找出AE∥OD；（2）利用全等三角形的性质找出AE=AM、CE=BM．
22.【答案】（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AED中，
∵∠D=30°，AE=6，
∴AD=2AE=12，
在Rt△OCD中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，
∴CD===4，
∴S△OCD===8，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，
∴S扇形OBC=×π×OC2=，
∵S阴影=S△COD-S扇形OBC
∴S阴影=8-，
∴阴影部分的面积为8-．
【解析】
本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明OC⊥DE，解（2）的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．
（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；
（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD-S扇形OBC即可得到答案．

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