24.2 直角三角形的性质课时作业
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24.2 直角三角形的性质课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A.1.5 B.2 C.5 D.2.5
如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，点D为斜边AB上的中点，DE⊥CD交AC于点E，则∠AED的度数为（? ）
A.?105°?????B.?110°??????C.?115°???????D.?125°
如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B． 0.6km C． 0.9km D． 1.2km
如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2a B．2a C．3a D．
二、填空题
在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若CD=18cm，则AB=________．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF= ．
在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是________，________．
如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为 （用含α的式子表示）．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．
三、解答题
如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=Rt∠，E是BC边上的中线．请你说明CE=DE的理由．
如图，已知△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，D是BC的中点，求证：DE=DF．
如 图,在△ABC 中,点D在AB上,且 CD＝CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连结EF交CD 于点M,连接AM．
(１)求证:EF＝ AC;
(２)若∠BAC＝４５°,求线段 AM,DM,BC 之间的数量关系．
已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
答案解析
一 、选择题
【考点】直角三角形斜边上的中线;勾股定理
【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题
解：直角三角形的两直角边为3、4， 则斜边长为=5， 故斜边的中线长为?×5=2.5． 故选D
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】∠AED是△CED的外角，而∠CDE=90°，只要求∠ACD的度数；由直角三角形斜边长定理可得AD=CD，则∠ACD=∠A=25°，从而解得。
解：∵∠A=25°，∠ACB=90°，
∴∠B=65°，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∴AD=CD，∠ACD=∠A=45度，
∴∠AED=∠ACD+∠CDE=25°+90°=115°，
故选C。
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．
【考点】 直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=1.2km．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC=AB=AM=1.2km．
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
【考点】 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．
解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=AB=3．
又CE=CD，
∴CE=1，
∴ED=CE+CD=4．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF=2ED=8．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据勾股定理得到CE=a，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，
∴CE=a，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴AB=2CE=2a，
故选B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能求出AE=CE是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
二 、填空题
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出AB=2CD，代入求出即可．
解：∵在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，CD=18cm，
∴AB=2CD=36cm，
故答案为：36cm．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是根据性质得出AB=2CD，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】利用直角三角形斜边中线定理以及三角形的中位线定理即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=2．
故答案为2
【点评】本题考查三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理以及直角三角形中线的性质解决问题，属于中考常考题型．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD，再根据等边对等角求出∠ACD=∠A，然后求出∠BCD即可．
解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴CD=AD=BD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BCD=90°﹣30°=60°．
故答案为：30°，60°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
【考点】角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理
【分析】根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α，结合图形计算即可．
解：∵∠ACD=90°，∠D=α，
∴∠DAC=90°﹣α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，
∵∠ABC=90°，E为AC的中点，
∴BE=AE=EC，
∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，
∴∠CEB=180°﹣2α，
∵E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，
∴∠CEF=∠D=α，
∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，
故答案为：270°﹣3α．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．
【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．
解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM=AB=3，
∴DN=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
三 、解答题
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】CE和DE是直角△ABC和直角△ABD斜边上的中线，根据直角三角形的性质即可证得．
证明：∵直角△ABC中，E是BC的中点，即CE是中线，
∴CE=AB，
同理，DE=AB，
∴CE=DE．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，理解性质定理是关键．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FD= BC，ED= CB，进而可得ED=DF．
证明：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高， ∴∠CFB=90°，∠CEB=90°，
在Rt△BFC中，
∵D是BC的中点，
∴FD= BC，
在Rt△BEC中，
∵D是BC的中点，
∴ED= CB，
∴DE=DF．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．.
【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AC；
(2)判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解．
解:(１)∵CD＝CB,且E 为BD 中点,
∴CE⊥BD,∴∠AEC＝９０°,
∵点F 为AC 的中点,
∴EF 为 Rt△AEC 斜边上的中线,
∴EF＝AC．
(２)AM＋DM＝BC．理由:
∵∠BAC＝４５°,
∴△AEC 为等腰直角三角形,
∵EF 为斜边上中线,
∴EF⊥AC,
∴EF 垂直平分AC,
∴AM＝CM,
∴AM＋DM＝CM＋DM＝CD＝BC．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于(2)判断出EF垂直平分AC．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可； （2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可； （3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
解：（1）AE∥BF，QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF．
（2）QE=QF，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线，
∴QE=QF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A.1.5 B.2 C.5 D.2.5
如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，点D为斜边AB上的中点，DE⊥CD交AC于点E，则∠AED的度数为（? ）
A.?105°?????B.?110°??????C.?115°???????D.?125°
如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B． 0.6km C． 0.9km D． 1.2km
如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2a B．2a C．3a D．
二、填空题
在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若CD=18cm，则AB=________．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF= ．
在直角三角形中一个锐角是30°，则斜边上的中线把直角分别两部分，它的度数分别是________，________．
如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为 （用含α的式子表示）．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．
三、解答题
如图，△ABC和△ABD中，∠C=∠D=Rt∠，E是BC边上的中线．请你说明CE=DE的理由．
如图，已知△ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，D是BC的中点，求证：DE=DF．
如 图,在△ABC 中,点D在AB上,且 CD＝CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连结EF交CD 于点M,连接AM．
(１)求证:EF＝ AC;
(２)若∠BAC＝４５°,求线段 AM,DM,BC 之间的数量关系．
已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
答案解析
一 、选择题
【考点】直角三角形斜边上的中线;勾股定理
【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题
解：直角三角形的两直角边为3、4， 则斜边长为=5， 故斜边的中线长为?×5=2.5． 故选D
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】∠AED是△CED的外角，而∠CDE=90°，只要求∠ACD的度数；由直角三角形斜边长定理可得AD=CD，则∠ACD=∠A=25°，从而解得。
解：∵∠A=25°，∠ACB=90°，
∴∠B=65°，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∴AD=CD，∠ACD=∠A=45度，
∴∠AED=∠ACD+∠CDE=25°+90°=115°，
故选C。
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．
【考点】 直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=1.2km．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC=AB=AM=1.2km．
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
【考点】 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．
解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=AB=3．
又CE=CD，
∴CE=1，
∴ED=CE+CD=4．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF=2ED=8．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据勾股定理得到CE=a，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵CD⊥AB，CD=DE=a，
∴CE=a，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点，
∴AB=2CE=2a，
故选B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，能求出AE=CE是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
二 、填空题
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出AB=2CD，代入求出即可．
解：∵在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，CD=18cm，
∴AB=2CD=36cm，
故答案为：36cm．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是根据性质得出AB=2CD，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】利用直角三角形斜边中线定理以及三角形的中位线定理即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=2．
故答案为2
【点评】本题考查三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理以及直角三角形中线的性质解决问题，属于中考常考题型．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD，再根据等边对等角求出∠ACD=∠A，然后求出∠BCD即可．
解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴CD=AD=BD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BCD=90°﹣30°=60°．
故答案为：30°，60°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
【考点】角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理
【分析】根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α，结合图形计算即可．
解：∵∠ACD=90°，∠D=α，
∴∠DAC=90°﹣α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，
∵∠ABC=90°，E为AC的中点，
∴BE=AE=EC，
∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，
∴∠CEB=180°﹣2α，
∵E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，
∴∠CEF=∠D=α，
∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，
故答案为：270°﹣3α．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．
【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．
解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM=AB=3，
∴DN=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
三 、解答题
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】CE和DE是直角△ABC和直角△ABD斜边上的中线，根据直角三角形的性质即可证得．
证明：∵直角△ABC中，E是BC的中点，即CE是中线，
∴CE=AB，
同理，DE=AB，
∴CE=DE．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，理解性质定理是关键．
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FD= BC，ED= CB，进而可得ED=DF．
证明：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高， ∴∠CFB=90°，∠CEB=90°，
在Rt△BFC中，
∵D是BC的中点，
∴FD= BC，
在Rt△BEC中，
∵D是BC的中点，
∴ED= CB，
∴DE=DF．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．.
【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AC；
(2)判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解．
解:(１)∵CD＝CB,且E 为BD 中点,
∴CE⊥BD,∴∠AEC＝９０°,
∵点F 为AC 的中点,
∴EF 为 Rt△AEC 斜边上的中线,
∴EF＝AC．
(２)AM＋DM＝BC．理由:
∵∠BAC＝４５°,
∴△AEC 为等腰直角三角形,
∵EF 为斜边上中线,
∴EF⊥AC,
∴EF 垂直平分AC,
∴AM＝CM,
∴AM＋DM＝CM＋DM＝CD＝BC．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于(2)判断出EF垂直平分AC．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】（1）证△BFQ≌△AEQ即可； （2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可； （3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
解：（1）AE∥BF，QE=QF，
理由是：如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF．
（2）QE=QF，
证明：如图2，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图3，
延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是斜边DE上的中线，
∴QE=QF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．