24.3.1 锐角三角函数课时作业
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24.3.1 锐角三角函数课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（ ）
A． 7sin35° B． 7cos35° C． 7tan35° D．
2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，点A为∠边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是 （ ）
A． B． C． D．
4.如图CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
5.在中，，，，则cosB=(
A． B． C． D．
6.如图，在中，，，，则的值是
A． B． C． D．
二、填空题
7.在中，，，，那么cosA=________．
8.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________．
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝___，sinB＝___，tanB＝___。
10.在Rt△ABC中，斜边AB=,且tanA+tanB=，则Rt△ABC的面积是___________.
11.如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的是 ．
三、解答题
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，tan∠ABC=，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长.
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD的值．
14.如图，△ABC的三个顶点都在平面直角坐标系的坐标轴上，BC＝6，边AB所在直线的表达式为y＝x＋2，求sin∠ACB．
15.如图，菱形的对角线，相交于点，且，．
求菱形的周长；
过点作于点，求的值．
答案解析
一、选择题
1.【考点】锐角三角函数
【分析】根据余弦的定义列出算式，计算即可．
解：在Rt△ABC中,
∴
故选：B.
【点睛】考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
2.【考点】锐角三角函数
【分析】过点作，得的长，的长，利用锐角三角函数得结果.
解：过点作，如图，
由勾股定理得，
，
，
.
故选：.
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构造直角三角形是解答此题的关键.
3.【考点】锐角三角函数的定义
【分析】利用锐三角函数的定义求解
解:∵AC⊥BC,CD⊥AB,
∴∠a+∠BCD=∠ACD+∠BCD,
∴∠a =∠ACD,
∴cos a =cos∠ACD===
只有选项C错误,符合题意
故选:C
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4.【考点】锐角三角函数
【分析】根据勾股定理求得AB的长，根据同角的余角相等证得∠BCD=∠A，则求cos∠BCD的值就可以转化为求∠A的三角函数值．从而转化为求△ABC的边长的比．
解：由勾股定理得，AB==5，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A==．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等得出∠BCD=∠A，从而将求cos∠BCD的值转化为求∠A的三角函数值是解决此题的关键．
5.【考点】锐角三角函数
【分析】根据余弦的定义求解即可.
解：∵，，，
∴=，
故选A.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.
6.【考点】锐角三角函数定义
【分析】由勾股定理可得：AC=.由正切定义得， .
解：由勾股定理可得：AC=.
所以， .
故选：B
【点睛】本题考核知识点：正切. 解题关键点：先利用勾股定理求出直角边.
二、填空题
7.【考点】锐角三角函数
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据余弦的定义求出cosA的再即可.
解：∵，，
∴AB= = =5，
∴cosA==，
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义并灵活运用勾股定理是解题关键.
8.【考点】锐角三角函数的定义
【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数正切定义即可得出答案.
解：在Rt△ABC中，
∵高AB=8m，BC=16m，
∴tanC= = = .
故答案为：.
9.【考点】锐角三角函数
【分析】根据勾股定理求出斜边c，再根据锐角三角函数即可求出答案.
解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，a＝2，b＝3，
∴，
∴cosA＝，
sinB＝
tanB＝.
故答案为：；；.
【点睛】本题考查了锐角三角函数.牢记正弦、余弦、正切的定义是解题的关键.
10.【考点】解直角三角形,勾股定理
【分析】根据锐角三角函数的定义：anA=,tanB=，代入tanA+tanB=，再根据勾股定理可求出两直角边或其乘积，代入直角三角形面积公式s=AC·BC求解．
解：∵tanA=,tanB=,且AB2=BC2+AC2,由tanA+tanB=,
得+=,即AC·BC=.
∴S△ABC=.
答案：
【点评】本题主要考查解直角三角形，勾股定理和三角函数的定义，难度适中．
11.【考点】翻折变换（折叠问题）．
分析：根据折叠的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可．
解：①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误；
②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知）
∵OB⊥AC，
∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
∵，
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL），
则全等三角形共有4对，故②正确；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，
∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD为三角形ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
易得∠BDF=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，故④正确；
⑤连接CF，
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S△AOF=S△COF，
∵∠AEF=∠ACD=45°，
∴EF∥CD，
∴S△EFD=S△EFC，
∴S四边形DFOE=S△COF，
∴S四边形DFOE=S△AOF，
故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
三 、解答题
12.【考点】锐角三角函数定义
【分析】首先根据∠ACB=90°，tanB=求出AC,再利用勾股定理求出AB，CD⊥AB在Rt△BCD中，利用三角函数，代入相应数值即可求出．
解：∵ tanB=
设：，则，即
综上：，，
【点评】此题主要考查了解直角三角形
13.【考点】三角函数锐角-正弦
【分析】 由勾股定理可求出AB=5，再由已知条件不难证明∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，所以求出sinB、tanA的值即可.
解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠B＋∠BCD＝90°，∠A＋∠ACD＝90°.
又∵∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，
∴sin∠ACD＝sinB＝＝，
tan∠BCD＝tanA＝＝.
【点睛】本题关键在于将要求的角转化为与之相等的角.
14.【考点】锐角三角函数的定义
【分析】由直线AB的解析式求出OA，OB的长，进而求得OC，AC，在Rt△ACO中，根据正弦的定义求解.
解：∵直线AB的表达式为y＝x＋2，
∴当y＝0时，x＝－2，当x＝0时，y＝2，
∴点A(0，2)，点B(－2，0)，
∴OA＝2，OB＝2，
∵BC＝6，
∴OC＝BC－OB＝6－2＝4，
∴AC＝，
∴sinC＝.
【点睛】求一个角的正弦，即是要求出这个角所在的三角形的斜边与这个角的邻边的比.
15.【考点】锐角三角函数的定义，菱形的性质和勾股定理的应用
【分析】（1）由已知条件可求出菱形的边长，进而可求出其周长；
（2）由的面积为菱形面积的四分之一，可求出的长，进而可求出的值.
解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长；
∵菱形的面积，
∴的面积，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，熟记菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积是解题关键.
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（ ）
A． 7sin35° B． 7cos35° C． 7tan35° D．
2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，点A为∠边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是 （ ）
A． B． C． D．
4.如图CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
5.在中，，，，则cosB=(
A． B． C． D．
6.如图，在中，，，，则的值是
A． B． C． D．
二、填空题
7.在中，，，，那么cosA=________．
8.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________．
9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝___，sinB＝___，tanB＝___。
10.在Rt△ABC中，斜边AB=,且tanA+tanB=，则Rt△ABC的面积是___________.
11.如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的是 ．
三、解答题
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，tan∠ABC=，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长.
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD的值．
14.如图，△ABC的三个顶点都在平面直角坐标系的坐标轴上，BC＝6，边AB所在直线的表达式为y＝x＋2，求sin∠ACB．
15.如图，菱形的对角线，相交于点，且，．
求菱形的周长；
过点作于点，求的值．
答案解析
一、选择题
1.【考点】锐角三角函数
【分析】根据余弦的定义列出算式，计算即可．
解：在Rt△ABC中,
∴
故选：B.
【点睛】考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
2.【考点】锐角三角函数
【分析】过点作，得的长，的长，利用锐角三角函数得结果.
解：过点作，如图，
由勾股定理得，
，
，
.
故选：.
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构造直角三角形是解答此题的关键.
3.【考点】锐角三角函数的定义
【分析】利用锐三角函数的定义求解
解:∵AC⊥BC,CD⊥AB,
∴∠a+∠BCD=∠ACD+∠BCD,
∴∠a =∠ACD,
∴cos a =cos∠ACD===
只有选项C错误,符合题意
故选:C
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4.【考点】锐角三角函数
【分析】根据勾股定理求得AB的长，根据同角的余角相等证得∠BCD=∠A，则求cos∠BCD的值就可以转化为求∠A的三角函数值．从而转化为求△ABC的边长的比．
解：由勾股定理得，AB==5，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A==．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等得出∠BCD=∠A，从而将求cos∠BCD的值转化为求∠A的三角函数值是解决此题的关键．
5.【考点】锐角三角函数
【分析】根据余弦的定义求解即可.
解：∵，，，
∴=，
故选A.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.
6.【考点】锐角三角函数定义
【分析】由勾股定理可得：AC=.由正切定义得， .
解：由勾股定理可得：AC=.
所以， .
故选：B
【点睛】本题考核知识点：正切. 解题关键点：先利用勾股定理求出直角边.
二、填空题
7.【考点】锐角三角函数
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据余弦的定义求出cosA的再即可.
解：∵，，
∴AB= = =5，
∴cosA==，
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义并灵活运用勾股定理是解题关键.
8.【考点】锐角三角函数的定义
【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数正切定义即可得出答案.
解：在Rt△ABC中，
∵高AB=8m，BC=16m，
∴tanC= = = .
故答案为：.
9.【考点】锐角三角函数
【分析】根据勾股定理求出斜边c，再根据锐角三角函数即可求出答案.
解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，a＝2，b＝3，
∴，
∴cosA＝，
sinB＝
tanB＝.
故答案为：；；.
【点睛】本题考查了锐角三角函数.牢记正弦、余弦、正切的定义是解题的关键.
10.【考点】解直角三角形,勾股定理
【分析】根据锐角三角函数的定义：anA=,tanB=，代入tanA+tanB=，再根据勾股定理可求出两直角边或其乘积，代入直角三角形面积公式s=AC·BC求解．
解：∵tanA=,tanB=,且AB2=BC2+AC2,由tanA+tanB=,
得+=,即AC·BC=.
∴S△ABC=.
答案：
【点评】本题主要考查解直角三角形，勾股定理和三角函数的定义，难度适中．
11.【考点】翻折变换（折叠问题）．
分析：根据折叠的知识，锐角正切值的定义，全等三角形的判定，面积的计算判断所给选项是否正确即可．
解：①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误；
②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知）
∵OB⊥AC，
∴∠AOB=∠COB=90°，
在Rt△AOB和Rt△COB中，
∵，
∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL），
则全等三角形共有4对，故②正确；
③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，
∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；
④∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD为三角形ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
易得∠BDF=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，故④正确；
⑤连接CF，
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S△AOF=S△COF，
∵∠AEF=∠ACD=45°，
∴EF∥CD，
∴S△EFD=S△EFC，
∴S四边形DFOE=S△COF，
∴S四边形DFOE=S△AOF，
故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
三 、解答题
12.【考点】锐角三角函数定义
【分析】首先根据∠ACB=90°，tanB=求出AC,再利用勾股定理求出AB，CD⊥AB在Rt△BCD中，利用三角函数，代入相应数值即可求出．
解：∵ tanB=
设：，则，即
综上：，，
【点评】此题主要考查了解直角三角形
13.【考点】三角函数锐角-正弦
【分析】 由勾股定理可求出AB=5，再由已知条件不难证明∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，所以求出sinB、tanA的值即可.
解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠B＋∠BCD＝90°，∠A＋∠ACD＝90°.
又∵∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，
∴sin∠ACD＝sinB＝＝，
tan∠BCD＝tanA＝＝.
【点睛】本题关键在于将要求的角转化为与之相等的角.
14.【考点】锐角三角函数的定义
【分析】由直线AB的解析式求出OA，OB的长，进而求得OC，AC，在Rt△ACO中，根据正弦的定义求解.
解：∵直线AB的表达式为y＝x＋2，
∴当y＝0时，x＝－2，当x＝0时，y＝2，
∴点A(0，2)，点B(－2，0)，
∴OA＝2，OB＝2，
∵BC＝6，
∴OC＝BC－OB＝6－2＝4，
∴AC＝，
∴sinC＝.
【点睛】求一个角的正弦，即是要求出这个角所在的三角形的斜边与这个角的邻边的比.
15.【考点】锐角三角函数的定义，菱形的性质和勾股定理的应用
【分析】（1）由已知条件可求出菱形的边长，进而可求出其周长；
（2）由的面积为菱形面积的四分之一，可求出的长，进而可求出的值.
解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长；
∵菱形的面积，
∴的面积，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，熟记菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积是解题关键.