沪科版数学八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
基础达标 提升训练
1. 如图，△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则图中等腰三角形的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第1题 第2题
2. 如图所示，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD＋CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF. 其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ①
3. 给出下列命题：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形. 其中正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 若等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为2 cm，则它的腰长为( )
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
5. 如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3 cm，则CD等于( )
A. 3 cm B. 4 cm C. 1.5 cm D. 2 cm
第5题 第6题
6. 如图所示，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是( )
A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形
C. 直角三角形 D. 不等边三角形
7. 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第7题 第8题
8. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= .
9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，AC=9，则BD= .?
第9题 第10题
10. 如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点有 个.?
11. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为 .?
第11题 第12题
12. 如图，在平面直角坐标系中，O是原点，已知A(4，3)，P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个.
13. 如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6 cm，DE=2 cm，则BC= cm.?
14. 如图，AD∥BC，BD平分∠ABC. 求证：AB=AD.
15. 如图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE是等边三角形.
16. 在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长.
17. 如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED.
(1)写出图中所有的等腰三角形；
(2)若∠AED=114°，求∠ABD和∠ACB的度数.
?拓展探究 综合训练
18. 如图所示，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形. BE交AC于F，AD交CE于H.
(1)求证：△BCE≌△ACD；
(2)求证：CF=CH；
(3)判断△CFH的形状并说明理由.
参考答案
1. D 【解析】△ABC和△DCB中，∠A=∠D=72°，∠ACB=∠DBC=36°，则题图中等腰三角形的个数是△ABC，△ABE，△CDE，△BEC，△BDC.故选D.
2. A
3. C
4. D 【解析】因为底角为30°，所以底边上的高就等于腰长的一半，所以腰长为4 cm.故选D.
5. A 【解析】因为OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠BOC.因为CD∥OB，所以∠BOC=∠C，所以∠AOC=∠C，所以OD=CD.故选A.
6. A 【解析】易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DE=EF=DF，所以△DEF为等边三角形.故选A.
7. C 【解析】作PH⊥MN于H，因为PM=PN，所以MH=NH=MN=1，在Rt△POH中，因为∠POH=60°，所以∠OPH=30°，所以OH=OP=×10=5，所以OM=OH－MH=5－1=4.故选C.
8. 40° 【解析】因为AB=AD，∠BAD=20°，所以∠B===80°，因为∠ADC是△ABD的外角，所以∠ADC=∠B＋∠BAD=80°＋20°=100°，因为AD=DC，所以∠C===40°.
9. 6 【解析】由题意可知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，所以∠DBC=∠DBA=30°，所以CD=BD，AD=BD，因为CD＋DA=9，所以CD=3，AD=6，BD=6.
10. 5 【解析】画出图形得：共有5个.
11. 12 【解析】因为△ABC平移2个单位得到△A′B′C′，AB=4，BC=6，所以BB′=2，AB=A′B′=4. 所以B′C=BC－BB′=6－2=4，所以A′B′=B′C=4，即△A′B′C是等腰三角形. 又因为∠B=60°，所以△A′B′C是等边三角形. 故△A′B′C的周长为4×3=12.
12. 6 【解析】如图所示，满足条件的点P有6个，
13. 8 【解析】延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AN⊥BC，BN=CN，因为∠EBC=∠E=60°，所以△BEM为等边三角形，所以∠EMB=60°.因为BE=6，DE=2，所以DM=4，因为AN⊥BC，所以∠NDM=30°，所以NM=2，所以BN=6－2=4，所以BC=2BN=8.
14. 证明：因为AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC，因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，所以∠ABD=∠ADB，所以AB=AD.
15. 证明：因为△ABC是等边三角形，CE平分∠ACD，所以∠B=∠ACE=60°，在△ABD和△ACE中，所以△ABD≌△ACE(SAS)，所以AD=AE，∠BAD=∠CAE. 又∠BAC=60°，所以∠DAE=60°，所以△ADE为等边三角形.
16. 解：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，因为DE∥AC，所以∠CAD=∠ADE，所以∠BAD=∠ADE，所以AE=DE，因为AD⊥DB，所以∠ADB=90°，所以∠EAD＋∠ABD=90°，∠ADE＋∠BDE=∠ADB=90°，所以∠ABD=∠BDE，所以DE=BE，因为AB=5，所以DE=BE=AE=AB=2.5.
17. 解：(1)因为∠ABC=∠ACB，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形；因为BE=BD=BC，所以△BCD，△BED是等腰三角形；所以图中所有的等腰三角形有△ABC，△BCD，△BED.
(2)因为∠AED=114°，所以∠BED=66°，因为BD=BE，所以∠BDE=∠BED=66°，所以∠ABD=180°－66°×2=48°，设∠ACB=x°，所以∠ABC=∠ACB=x°，所以∠DBC=x°－48°，因为BC=BD，所以∠BDC=∠ACB=x°. 所以x－48＋x＋x=180，解得x=76，所以∠ACB=76°.
