沪科版数学八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
第2课时 角平分线的性质与判定
基础达标 提升训练
1. 三角形中到三边距离相等的点是( )
A. 三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条角平分线的交点
2. 如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A. PC=PD B. ∠CPD=∠DOP
C. ∠CPO=∠DPO D. OC=OD
第2题 第3题
3. 如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD的值是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处
第4题 第5题
5. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
6. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
第6题 第7题
7. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( )
A. ∠BAC=70° B. ∠DOC=90° C. ∠BDC=35° D. ∠DAC=55°
8. 如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为 ，理论根据为 .?
第8题 第9题
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为 .?
10. 点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为 .
11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线. 若CD=3，则△ABD的面积为 .?
第11题 第12题
12. 如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4， △ABC的面积是 .?
13. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积为36 cm2，AB=18 cm，BC=12 cm，求DE的长.
14. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC.
求证：∠1=∠2.
15. 已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF.
16. 如图所示，△ABC的∠B，∠C的外角平分线交于D点.
求证：AD是∠BAC的平分线.
17. 如图所示，∠B=∠C=90°.M是BC中点，DM平分∠CDA交BC于M点.
求证：∠BAM=∠DAM.
?拓展探究 综合训练
18. 如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.
(1)求证：BD=CE；
(2)若AB=6 cm，AC=10 cm，求AD的长.
参考答案
1. D 【解析】由角平分线的判定可知，这个点一定在每一个内角的平分线上.故选D.
2. B 【解析】因为OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，所以PC=PD，故A正确；因为OP=OP，所以△OCP≌△ODP，所以∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C，D正确；不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误.故选B.
3. B 【解析】作PE⊥OA于E，因为CP∥OB，所以∠ECP=∠AOB=30°，在Rt△EPC中，PE=PC=×4=2，因为P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，所以PD=PE=2.故选B.
4. D 【解析】如图所示，地址选在P1，P2，P3，P4处均可.故选D.
5. C 【解析】过点P作PE⊥BC于E，因为AB∥CD，PA⊥AB，所以PD⊥CD，因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，所以PA=PE，PD=PE，所以PE=PA=PD，因为PA＋PD=AD=8，所以PA=PD=4，所以PE=4.故选C.
6. A 【解析】过点D作DF⊥AC于F，因为AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，所以DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD＋S△ACD，所以×4×2＋×AC×2=7，解得AC=3.故选A.
7. B 【解析】因为∠ABC=50°，∠ACB=60°，所以∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=180°－50°－60°=70°，故A选项正确；因为BD平分∠ABC，所以∠ABO=∠ABC=×50°=25°. 在△ABO中，∠AOB=180°－∠BAC－∠ABO=180°－70°－25°=85°，所以∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；因为CD平分∠ACE，所以∠ACD=(180°－60°)=60°，所以∠BDC=180°－85°－60°=35°，故C选项正确；因为BD，CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，所以AD是△ABC的外角平分线，所以∠DAC=(180°－70°)=55°，故D选项正确.故选B.
8. 2 角平分线上的点到角两边的距离相等 【解析】过P作PQ⊥OM于Q，此时PQ的长最短，因为OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=2，所以PQ=PA=2(角平分线上的点到角两边的距离相等).
9. 4 【解析】作DE⊥AB，垂足为E，由AD平分∠BAC，得DE=DC=4.
10. 120° 【解析】由角平分线的判定定理可知，点O是内角平分线的交点，因为∠A=60°，所以∠B＋∠C=120°，易证∠OBC＋∠OCB=∠B＋∠C=60°，所以∠BOC=120°.
11. 15 【解析】作DE⊥AB于E.因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，所以DE=CD=3. 所以△ABD的面积为×3×10=15.
12. 42 【解析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，因为OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，所以OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，所以△ABC的面积是S△AOB＋S△AOC＋S△OBC=×AB×OE＋×AC×OF＋×BC×OD=×4×(AB＋AC＋BC)=×4×21=42.
13. 解：作DF⊥BC于F，因为BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，所以DE=DF，所以×BC×DF＋×AB×DE=36，所以DE=DF=.
14. 证明：因为CD⊥AB，BE⊥AC，所以∠ODB=∠OEC，在△OBD和△OCE中，因为∠ODB=∠OEC，∠DOB=∠EOC，OB=OC，所以△OBD≌△OCE. 所以OD=OE. 又因为CD⊥AB，BE⊥AC，所以∠1=∠2.
15. 证明： 连接AD，在△ACD和△ABD中，所以△ACD≌△ABD，所以∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，因为DE⊥AE，DF⊥AF，所以DE=DF.
16. 证明：过D点作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，DP⊥BC于P点. 因为BD平分∠CBM，所以DM=DP，因为CD平分∠BCN，所以DP=DN. 所以DM=DN. 即点P到∠BAC的两边距离相等，所以AD是∠BAC的平分线.
17. 证明：过点M作ME⊥AD于点E，因为∠C=90°，DM平分∠ADC，所以EM=CM. 又因为M是BC中点，所以CM=BM，所以EM=BM，又因为∠B=90°，所以点M在∠DAB的平分线上，即∠BAM=∠DAM.
