参考答案
知识梳理 复习巩固
考点一 1. 完全重合 对称轴 2. (1)重合 对应点 对称点 轴对称 (2)任何一对对应点所连线段垂直平分线 3. (1)轴对称 轴对称 (2)位置 4. (x，－y) (－x，y)
考点二 1. 中点 垂直于 中垂线 2. 相等 3. 这条线段的垂直平分线上
考点三 1. (1)①底角 等边对等角 ②顶角平分线 底边上的中线 底边上的高 三线合一 ③底边上的中线(顶角平分线，底边上的高)所在直线 (2)①两边 ②两个角 这两个角所对的边 等角对等边 2. (1)①都相等 60° ②三条 ③互相重合 (2)①三条边 ②三个角 ③60° 等腰 3. 它所对的直角边 一半
考点四 1. 角的两边 2. 角的平分线 3. 三边
同步练习 单元测试
1. B 【解析】根据轴对称图形的概念A，C，D不是轴对称图形，B是轴对称图形.故选B.
2. B 【解析】由点A(m＋3，2)与点B(1，n－1)关于x轴对称，得m＋3=1，n－1=－2，解得m=－2，n=－1.故选B.
3. B 【解析】因为DE是线段AC的垂直平分线，所以DA=DC，所以∠DCA=∠A=50°，所以∠BDC=∠DCA＋∠A=100°.故选B.
4. C 【解析】根据角平分线的性质，可知DE=DC=3，所以BC=3CD=9.故选C.
5. D 【解析】D选项中作的是AB的中垂线，所以PA=PB，因为PB＋PC=BC，所以PA＋PC=BC.故选D.
6. C 【解析】因为△ABC的周长是a，所以AB＋BC＋CA=a，因为BC=a－2AB，所以AB＋a－2AB＋CA=a，所以AB=AC，所以△ABC中BC边中线所在的直线是△ABC的对称轴.故选C.
7. A 【解析】因为AD=BD，所以∠A=∠ABD，所以∠ABC>∠A，所以AC>BC.故选A.
8. D 【解析】
如图所示，作B点关于y轴的对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，因为点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，所以B′点坐标为(－3，0)，AE=4，则B′E=4，即B′E=AE，因为C′O∥AE，所以B′O=C′O=3，所以点C′的坐标是(0，3)，此时△ABC的周长最小.故选D.
9. C 【解析】因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD，因为ED∥BC，所以∠CBD=∠BDE，所以∠ABD=∠BDE，所以BE=DE，△AED的周长=AE＋DE＋AD=AE＋BE＋AD=AB＋AD，因为AB=3，AD=1，所以△AED的周长=3＋1=4.故选C.
10. (4，6) 【解析】因为△ABC与△DEF关于y轴对称，A(－4，6)，所以D(4，6).
11. 20 【解析】(1)当等腰三角形的腰为4 cm，底为8 cm时，不能构成三角形. (2)当等腰三角形的腰为8 cm，底为4 cm时，能构成三角形，周长为4＋8＋8=20 cm.故这个等腰三角形的周长是20 cm.
12. 87° 【解析】因为DE垂直平分BC，所以BD=DC，因为∠C=31°，所以∠DBE=∠C=31°，因为BD平分∠ABC，所以∠ABC=2∠DBE=62°，所以∠A=180°－∠ABC－∠C=180°－62°－31°=87°.
13. 45 【解析】设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x＋y，∠BCE=90°－∠ACE=90°－x－y，因为AE=AC，所以∠ACE=∠AEC=x＋y，因为BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=∠BCE＋∠DCE=90°－x－y＋x=90°－y.在△DCE中，因为∠DCE＋∠CDE＋∠DEC=180°，所以x＋(90°－y)＋(x＋y)=180°，解得x=45°，所以∠DCE=45°.
14. 60° 【解析】因为△ABC三个内角的平分线交于点O，所以∠ACO=∠BCO，在△COD和△COB中，所以△COD≌△COB，所以∠D=∠CBO，因为∠BAC=80°，所以∠BAD=100°，所以∠BAO=40°，所以∠DAO=140°，因为AD=AO，所以∠D=20°，所以∠CBO=20°，所以∠ABC=40°，所以∠BCA=60°.
15. 解：如图所示，作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求点.
16. 证明：因为AB=AC，所以∠B=∠C，因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED，所以∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，所以△ABD≌△ACE. 所以BD=EC.
17. 证明：因为AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF. 所以点D在EF的垂直平分线上. 在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，所以Rt△ADE≌Rt△ADF，所以AE=AF，所以点A在EF的垂直平分线上，所以AD垂直平分EF.
18. 解：BP为∠MBN的平分线.理由如下：过点P作PE⊥AC于点E. 因为PA，PC分别是∠MAC与∠NCA的平分线，且PD⊥BM，PF⊥BN. 所以PD=PE，PF=PE. 所以PD=PF. 又因为PD⊥BM，PF⊥BN，所以点P在∠MBN的平分线上，所以BP为∠MBN的平分线.
19. 证明：(1)因为AB=AC，D是BC的中点，所以∠BAE=∠EAC，在△ABE和△ACE中，所以△ABE≌△ACE，所以BE=CE.
沪科版数学八年级上册第15章《轴对称图形与等腰三角形》
复习与测试
知识梳理 复习巩固
考点一 轴对称图形
1. 轴对称图形
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的 .
2. 轴对称
(1)定义：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的两点叫做 (也叫 ).两个图形关于直线对称也叫做 .?
(2)性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是 ；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.?
3. 轴对称与轴对称图形
(1)联系：把轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形成 的位置关系；如果把成轴对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形是 图形.?
(2)区别：轴对称是指两个图形之间的 关系，轴对称图形是一个具有特殊形状的图形.?轴对称图形是一个具有特殊形状的图形.?
4. 关于坐标轴对称
点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标是 ，点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标是 .
考点二 线段的垂直平分线
1. 定义
经过线段的 并且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(或线段的 ).?
2. 性质定理
线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ；?
3. 判定定理
与一条线段两个端点距离相等的点在 .
考点三 等腰三角形
1. 等腰三角形
(1)性质
①等腰三角形的两个 相等(简称“ ”).
②等腰三角形的 ， ， 相互重合(简称“ ”).?
③等腰三角形是轴对称图形， 是它的对称轴.?
(2)判定方法
①定义：有 相等的三角形叫等腰三角形；?
②判定定理：如果一个三角形有 相等，那么 也相等(简称“ ”).?
2. 等边三角形
(1)性质
①等边三角形的三个内角 ，并且每一个角都等于 .?
②等边三角形是轴对称图形，共有 对称轴.?
③等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线 .
(2)判定方法
① 都相等的三角形是等边三角形；?
② 都相等的三角形是等边三角形；?
③有一个角是 的 三角形是等边三角形.?
3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 等于斜边的 .?
考点四 角平分线
1. 性质定理
角平分线上的点到 的距离相等.?
2. 判定定理
到角的两边距离相等的点在 上.?
3. 三角形的角平分线的性质
三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三角形 的距离相等.
同步练习 单元测试
一、选择题
1. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( )
A B C D
2. 已知点A(m＋3，2)与点B(1，n－1)关于x轴对称，则m，n分别为( )
A. －4，3 B. －2，－1 C. 4，－3 D. 2，1
3. 如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC等于( )
A. 50° B. 100° C. 120° D. 130°
第3题 第4题
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，则BC的长度是( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
5. 如图，已知△ABC(ACA B
C D
6. 已知△ABC的周长是a，BC=a－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )
A. △ABC的边AB的垂直平分线 B. ∠ACB的平分线所在的直线
C. △ABC的边BC上的中线所在的直线 D. △ABC的边AC上的高所在的直线
7. 如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD=BD，则下列结论正确的是( )
A. AC>BC B. AC=BC C. ∠A>∠ABC D. ∠A=∠ABC
第7题 第8题
8. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是y轴上的一个动点，
且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是( )
A. (0，0) B. (0，1) C. (0，2) D. (0，3)
9. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题
10. 如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为 .
11. 一个等腰三角形的两条边分别为4 cm和8 cm，则这个三角形的周长为 cm.
12. 如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= .?
第12题 第13题
13. 如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为 度.
14. 如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为 .?
?三、解答题
15. 如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)
16. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=EC.
17. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF.
18. 如图，PA，PC分别是△ABC外角∠MAC，∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，则BP是∠MBN的平分线吗?说明理由.
19. 如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.
(1)求证：BE=CE；
(2)如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其他条件不变.求证：△AEF≌△BCF.
