湘教版九年级数学下《第一章二次函数》单元检测试卷（有答案）

湘教版九年级数学下册第一章 二次函数 单元检测试卷
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
1. 下列函数中，是二次函数的为（ ）
A.??=8
??
2
+1
B.??=8??+1
C.??=
8
??
D.??=
8
??
2
?2. 函数??=
1
2
??
2
+1与??=
1
2
??
2
的图象的不同之处是（ ）
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
?3. 抛物线??=
??
2
?3??+2不经过（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
?4. 抛物线??=
??
2
?2???1的顶点坐标是（ ）
A.(1,??1)
B.(?1,?2)
C.(?1,??2)
D.(1,??2)
?5. 如图所示，满足??>0，??<0的函数??=??
??
2
+????的图象是（ ）
A.
/
B.
/
C.
/
D.
/
?6. 二次函数??=
??
2
的图象向上平移2个单位得到的图象的解析式为（ ）
A.??=(??+2
)
2
B.??=
??
2
+2
C.??=(???2
)
2
D.??=
??
2
?2
?7. 已知点(?1,?
??
1
)，(2,?
??
2
)，(?3,?
??
3
)都在函数??=
??
2
的图象上，则（ ）
A.
??
1
<
??
2
<
??
3
B.
??
1
<
??
3
<
??
2
C.
??
3
<
??
2
<
??
1
D.
??
2
<
??
1
<
??
3
?8. 二次函数??=
??
2
?4??+5的最小值是（ ）
A.?1
B.1
C.3
D.5
?9. 已知二次函数??=3(???1
)
2
+??的图象上有三点??(0.5,?
??
1
)，??(2,?
??
2
)，??(?2,?
??
3
)，则
??
1
、
??
2
、
??
3
的大小关系为（ ）
A.
??
1
>
??
2
>
??
3
B.
??
3
>
??
2
>
??
1
C.
??
3
>
??
1
>
??
2
D.
??
2
>
??
3
>
??
1
?10. 如图示，抛物线??=??
??
2
+????+??的对称轴是??=1，则下列关系式成立的是（ ）
/
A.??????>0
B.??+??+??<0
C.
??
2
D.
??
2
?4????>0
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ）
11. 二次函数??=
??
2
+1的图象，可以由??=
??
2
向上平移________个单位得到．
?
12. 某抛物线和抛物线??=7
??
2
的形状、开口方向都相同，且顶点为(?2,?5)，则它的解析式为________．
?13. 已知二次函数??=
??
2
?4??+???3的最小值为3，则??=________．
?14. 二次函数??=2
??
2
?1，∵??=________，∴函数有最________值．
?15. 如图所示的抛物线是二次函数??=??
??
2
?(
??
2
?1)??+1的图象，那么??的值是________．
/
?16. 二次函数??=2??
??
2
?3????+4中，二次项系数是________，一次项系数是________．
?17. 已知抛物线??=??
??
2
+????+??与??轴有两个交点，那么一元二次方程??
??
2
+????+??=0的根的情况是________．
?18. 已知二次函数
??
1
=??
??
2
+????+??与一次函数
??
2
=????+??的图象相交于???(?2,?4)、??(8,?2)两点，则能使关于??的不等式??
??
2
+(?????)??+?????>0成立的??的取值范围是________．
19. 校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度??（米）与水平距离??（米）满足关系式??=?
1
12
??
2
+
2
3
??+
5
3
，则小林这次铅球推出的距离是________米．
20. 抛物线??=??
??
2
+?????2与??轴交于点??(?1,?0)，??(??,?0)两点，与??交于点??，且∠??????=
90
°
，则该抛物线的解析式为________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ， ） ?21. 已知抛物线
??
1
=
??
2
+(??+1)??+???4与??轴交于??、??两点（点??在点??左侧），且对称轴为??=?1．
/
(1)求??的值；
(2)画出这条抛物线；(2)若直线
??
2
=????+??过点??且与抛物线交于点??(?2??,??3??)，根据图象回答：当??取什么值时，
??
1
≥
??
2
．
?
22. 抛物线??=??
??
2
+????+??的顶点坐标为(1,??4)，图象又经过点(2,??3)．求：
(1)抛物线??=??
??
2
+????+??的解析式．
(2)求抛物线??=??
??
2
+????+??与一次函数??=3??+11的交点坐标．
(3)求不等式??
??
2
+????+??>3??+11的解集（直接写出答案）．
?23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利??元，每件衬衫降价??元，请你写出??与??之间的关系式．
?
24. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度????为12米，现在??点为
/
原点，????所在直线为??轴建立直角坐标系（如图所示）．
(1)直接写出点??及抛物线顶点??的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”????????，使??、??点在抛物线上，??、??点在地面????上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆????、????、????的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
?
25. 如图，在平面直角坐标系中，点??的坐标为(1,?
3
)，△??????的面积是
3
．
/
(1)求点??的坐标；
(2)求过点??、??、??的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点??，使△??????的周长最小？若存在，求出点??的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在(2)中??轴下方的抛物线上是否存在一点??，过点??作??轴的垂线，交直线????于点??，线段????把△??????分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形????????面积比为2:3？若存在，求出点??的坐标；若不存在，请说明理由．
?
26. 如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用??=??
??
2
+????(??≠0)表示．已知抛物线上??，??两点到地面的距离均为
3
4
??，到墙边似的距离分别为
1
2
??，
3
2
??．
(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
(2)若该墙的长度为10??，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？
/
答案
1. A
2. C
3. C
4. D
5. A
6. B
7. A
8. B
9. B
10. D
11. 1
12. ??=7(??+2
)
2
+5
13. 10
14. 2小
15. ?1
16. 2???3??
17. 两个不相等的实数根
18. ??8
19. 10
20. ??=0.5
??
2
?1.5???2
21. 解：(1)由题意，有?
??+1
2
=?1，解得??=1．(2)∵??=1，∴
??
1
=
??
2
+2???3，∴
??
1
=(??+1
)
2
?4，列表为：
??
…
?3
?2
?1
0
1
…
??=
??
2
+2???3
…
0
?3
?4
?3
0
…
描点并连线为：
/
(3)∵??=1∴??(?2,??3)，∴可以画出直线的图象．
/
∴由图象得??≤?2或??≥1时，
??
1
≥
??
2
．
22. 解：(1)设顶点式解析式为??=??(???1
)
2
?4，把点(2,??3)代入得，??(2?1
)
2
?4=?3，解得??=1，∴??=(???1
)
2
?4=
??
2
?2???3，即??=
??
2
?2???3；(2)联立
??=
??
2
?2???3
??=3??+11
，解得
??
1
=?2
??
1=5
，
??
2
=7
??
2
=32
，所以，交点坐标为(?2,?5)，(7,?32)；(3)不等式的解集为??>?2或??<7．
23. 解：降价??元后的销量为：(20+2??)，单价的利润为：(40???)，故可得利润??=(40???)(20+2??)=2(40???)(10+??)=?2
??
2
+60??+800(024. 解：（1）??(12,?0)，??(6,?6)(2)∵顶点坐标(6,?6)∴设??=??(???6
)
2
+6(??≠0)
/
又∵图象经过(0,?0)∴0=??(0?6
)
2
+6∴??=?
1
6
∴这条抛物线的函数解析式为??=?
1
6
(???6
)
2
+6，即??=?
1
6
??
2
+2??；(3)设??(??,???)∴??(??,??
1
6
(???6
)
2
+6)∵四边形????????是矩形，∴????=????=?
1
6
(???6
)
2
+6，根据抛物线的轴对称性，可得：????=????=??，∴????=12?2??，即????=12?2??，∴令??=????+????+????=2[?
1
6
(???6
)
2
+6]+12?2??=?
1
3
??
2
+2??+12=?
1
3
(???3
)
2
+15．∴当??=3，??最大值为15∴????、????、????的长度之和最大值为15米．
25. 解：(1)由题意得
1
2
?????
3
=
3
，∴??(?2,?0)．(2)设抛物线的解析式为??=????(??+2)，代入点??(1,?
3
)，得??=
3
3
，∴??=
3
3
??
2
+
2
3
3
??，(3)存在点??、过点??作????垂直于??轴于点??，抛物线的对称轴??=?1交??轴于点??、当点??位于对称轴
/
与线段????的交点时，△??????的周长最小，∵△??????∽△??????，∴
????
????
=
????
????
，∴????=
?????????
????
=
3
3
，∴??(?1,?
3
3
)．(4)存在．如图，设??(??,???)，直线????为??=????+??，则
??+??=
3
?2??+??=0
，解得
??=
3
3
??=
2
3
3
，∴直线????为??=
3
3
??+
2
3
3
，
??
四????????
=
??
△??????
+
??
△??????
=
1
2
|????||
??
??
|+
1
2
|????||
??
??
|=|
??
??
|+|
??
??
|
/
=
3
3
??+
2
3
3
?(
3
3
??
2
+
2
3
3
??)，=?
3
3
??
2
?
2
3
3
??+
3
3
??+
2
3
3
，=?
3
3
??
2
?
3
3
??+
2
3
3
，∵
??
△??????
=
??
△??????
?
??
△??????
=
3
?
1
2
×2×|
3
3
??+
2
3
3
|=?
3
3
??+
3
3
，∴
??
△??????
??
四????????
=
?
3
3
??+
3
3
?
3
3
??
2
?
3
3
??+
2
3
3
=
2
3
，∴
??
1
=?
1
2
，
??
2
=1（舍去），∴??(?
1
2
,??
3
4
)，又∵
??
△??????
=
3
3
??+
2
3
3
，∴
??
△??????
??
四????????
=
3
3
??+
2
3
3
?
3
3
??
2
?
3
3
??+
2
3
3
=
2
3
，∴
??
1
=?
1
2
，
??
2
=?2．??(?2,?0)，不符合题意．∴存在，点??坐标是(?
1
2
,??
3
4
)．
26. 解：(1)根据题意得：??(
1
2
,?
3
4
)，??(
3
2
,?
3
4
)，把??，??代入??=??
??
2
+????得
3
4
=
1
4
??+
1
2
??
3
4
=
9
4
??+
3
2
??
，解得：
??=?1
??=2
，∴拋物线的函数关系式为??=?
??
2
+2??；∴图案最高点到地面的距离=
?
2
2
4×(?1)
=1；(2)令??=0，即?
??
2
+2??=0，∴
??
1
=0，
??
2
=2，∴10÷2=5，∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．