24.4 解直角三角形课时作业（1）
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24.4 解直角三角形课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）
A．144cm B.180cm C.240cm D.360cm
如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）
A．50 B．51 C．50+1 D．101
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A. B．2 C．5 D．10
如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
、填空题
如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为 cm．（用根式表示）
如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是 ．
某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的A，B两点之间的距离．根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，点C在BD上，有四位技术人员分别测量处以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③DE，DC，BC；④EF、DE、BD．根据所测数据，能求出A、B间的距离的有 （填上所有能求出A、B间距离的序号）
如图，?ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3，则AC的长等于 ．
如图，已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的是 ．
、解答题
如图,已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=15，根据定义求∠A,∠B的三角函数值.
如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．
如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E．
（1）求证：AF=CE；
（2）若DE=2，BE=4，求sin∠DAF的值．
关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．
（1）求sinA的值；
（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．
答案解析
、选择题
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据题意可知:△AEO∽△ABD,从而可求得BD的长,然后根据锐角三角函数的定义可求得AD的长
解：由题平面图如图所示,
根据题意可知:△AFO∽△ACD,OF=EF=30cm
=
∴ ∴CD=72cm， ∵tanα= ∴ ∴AD==180cm． 故选：B．
【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．
解：设AG=x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠AEG=，
∴EG==x，
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG=，
∴CG==x，
∴x﹣x=100，
解得：x=50．
则AB=50+1（米）．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
【考点】菱形的性质，勾股定理，解直角三角形
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD==，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
【考点】菱形的性质；解直角三角形；几何概率
【分析】根据题意可以分别求得矩形的面积和菱形的面积，从而可以解答本题．
解：设CD=5a，
∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=，
∴CF=4a，DF=3a，
∴AF=2a，
∴命中矩形区域的概率是：=，
故选：B．
【点评】本题考查几何概率、菱形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
、填空题
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】过P作AB的垂线，则水杯的水深为10cm，减去PM的长，在Rt△ABP与Rt△BPM中利用三角函数即可求得PM的长，从而求解．
解：如图，过P作PM⊥AB于M．
在Rt△ABP中，PB=AB?cos30°=8×=4；
在Rt△BPM中，PM=PB?sin30°=4×=2．
故此时水杯中的水深为10﹣2cm．
故答案为：10﹣2．
【点评】本题考查解直角三角形在生活中应用，背景新颖．
【考点】菱形的性质；解直角三角形
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC==，
∴OB=1，
∴BD=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
【考点】相似三角形的应用．解直角三角形的应用
【分析】①②根据解直角三角形的应用解答；③仅仅知道直角三角形一条边长无法求出另一边；④利用相似三角形的性质解答．
解：①∵已知BC，∠ACB，
∴AB=BC?tan∠ACB，故本选项正确；
②∵已知CD，∠ACB，∠ADB，
∴CB=，DB=，
∴DB﹣CB=CD，
即﹣=CD，
解出AB即可，故本选项正确．
③仅知道DE，DC，BC无法求出AB；
④由于已知EF、DE、BD，
根据△FED∽△ABD即可求出AB的长，故本选项正确．
故答案为①②④．
【点评】本题考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，熟悉相似三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质,解直角三角形
【分析】设对角线AC和BD相交于点O，在直角△AOE中，利用三角函数求得OA的长，然后根据平行四边形的对角线互相平分即可求得．
解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC=，
∴OA===2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA=4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了三角函数的应用，以及平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，正确求得OA的长是关键．
【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相似比，求出面积比，求出△OFC的面积，即可得出答案．
解：∵双曲线的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
连接OC，如图所示，
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°，
∴tan∠OAC==，
∴OC=OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，相似比，
∴面积比，
∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），
∵点A在双曲线上，
∴S△AEO=ab=，
∴S△OFC=FC?OF=，
∴设点C坐标为（x，y），
∵点C在双曲线上，
∴k=xy，
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FC?OF=x?（﹣y）=﹣xy=﹣，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．
、解答题
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系求出即可．
解：在Rt△ABC中，∠B=90°－∠A=90°－60°=30°.
b=c,c2=a2+b2=152+c2.
∴c2=300,即c=.
∴b=.
∴sinA=,cosA==,
tanA=,sinB==,
cosB=,tanB=
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确得出各边长是解题关键．
【考点】解直角三角形
【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH=BC=6，BH==6，
在Rt△ACH中，tanA==，
∴AH=8，
∴AC==10，
∴AB=AH+BH=8+6．
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】菱形的性质；解直角三角形．
【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得BF=DE，根据线段的和差关系可得AF=CE；
（2）根据勾股定理可得AF，AD的长，根据三角函数可得sin∠DAF的值．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DF⊥AB，BE⊥CD，
∴DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF=DE，
∴AF=CE；
（2）∵DE=2，BE=4，
∴设AD=x，则AF=x﹣2，DF=BE=4，
在Rt△DAF中，x2=42+（x﹣2）2，
解得x=5，
∴sin∠DAF==．
【点评】考查了菱形的性质，解直角三角形，涉及的知识点有：平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角函数，综合性较强，有一定的难度．
【考点】根的判别式，解直角三角形．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得sinA=；
（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；
当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．
解：（1）根据题意得△=25sin2A﹣16=0，
∴sin2A=，
∴sinA=或 ，
∵∠A为锐角，
∴sinA=；
（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0有两个实数根，
则△≥0，
∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，
∴﹣（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2≤0，
又∵（k﹣2）2≥0，
∴k=2，
把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，
解得y1=y2=5，
∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：
当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5
∵sinA=，
∴AD=3，BD=4∴DC=2，
∴BC=．
∴△ABC的周长为；
当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，
∵sinA=，
∴A D=DC=3，
∴AC=6．
∴△ABC的周长为16，
综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解直角三角形．
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2
如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）
A．144cm B.180cm C.240cm D.360cm
如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）
A．50 B．51 C．50+1 D．101
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A. B．2 C．5 D．10
如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
、填空题
如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为 cm．（用根式表示）
如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是 ．
某地进行广场修建时，遇到了一个池塘，为了测量池塘隔开的A，B两点之间的距离．根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，点C在BD上，有四位技术人员分别测量处以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③DE，DC，BC；④EF、DE、BD．根据所测数据，能求出A、B间的距离的有 （填上所有能求出A、B间距离的序号）
如图，?ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC=30°，AE=3，则AC的长等于 ．
如图，已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的是 ．
、解答题
如图,已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=15，根据定义求∠A,∠B的三角函数值.
如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．
如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E．
（1）求证：AF=CE；
（2）若DE=2，BE=4，求sin∠DAF的值．
关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．
（1）求sinA的值；
（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．
答案解析
、选择题
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据题意可知:△AEO∽△ABD,从而可求得BD的长,然后根据锐角三角函数的定义可求得AD的长
解：由题平面图如图所示,
根据题意可知:△AFO∽△ACD,OF=EF=30cm
=
∴ ∴CD=72cm， ∵tanα= ∴ ∴AD==180cm． 故选：B．
【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．
解：设AG=x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠AEG=，
∴EG==x，
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG=，
∴CG==x，
∴x﹣x=100，
解得：x=50．
则AB=50+1（米）．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
【考点】菱形的性质，勾股定理，解直角三角形
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD==，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
【考点】菱形的性质；解直角三角形；几何概率
【分析】根据题意可以分别求得矩形的面积和菱形的面积，从而可以解答本题．
解：设CD=5a，
∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=，
∴CF=4a，DF=3a，
∴AF=2a，
∴命中矩形区域的概率是：=，
故选：B．
【点评】本题考查几何概率、菱形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
、填空题
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】过P作AB的垂线，则水杯的水深为10cm，减去PM的长，在Rt△ABP与Rt△BPM中利用三角函数即可求得PM的长，从而求解．
解：如图，过P作PM⊥AB于M．
在Rt△ABP中，PB=AB?cos30°=8×=4；
在Rt△BPM中，PM=PB?sin30°=4×=2．
故此时水杯中的水深为10﹣2cm．
故答案为：10﹣2．
【点评】本题考查解直角三角形在生活中应用，背景新颖．
【考点】菱形的性质；解直角三角形
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC==，
∴OB=1，
∴BD=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
【考点】相似三角形的应用．解直角三角形的应用
【分析】①②根据解直角三角形的应用解答；③仅仅知道直角三角形一条边长无法求出另一边；④利用相似三角形的性质解答．
解：①∵已知BC，∠ACB，
∴AB=BC?tan∠ACB，故本选项正确；
②∵已知CD，∠ACB，∠ADB，
∴CB=，DB=，
∴DB﹣CB=CD，
即﹣=CD，
解出AB即可，故本选项正确．
③仅知道DE，DC，BC无法求出AB；
④由于已知EF、DE、BD，
根据△FED∽△ABD即可求出AB的长，故本选项正确．
故答案为①②④．
【点评】本题考查了相似三角形的应用和解直角三角形的应用，熟悉相似三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质,解直角三角形
【分析】设对角线AC和BD相交于点O，在直角△AOE中，利用三角函数求得OA的长，然后根据平行四边形的对角线互相平分即可求得．
解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC=，
∴OA===2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA=4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了三角函数的应用，以及平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，正确求得OA的长是关键．
【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相似比，求出面积比，求出△OFC的面积，即可得出答案．
解：∵双曲线的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
连接OC，如图所示，
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°，
∴tan∠OAC==，
∴OC=OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，相似比，
∴面积比，
∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），
∵点A在双曲线上，
∴S△AEO=ab=，
∴S△OFC=FC?OF=，
∴设点C坐标为（x，y），
∵点C在双曲线上，
∴k=xy，
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FC?OF=x?（﹣y）=﹣xy=﹣，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．
、解答题
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系求出即可．
解：在Rt△ABC中，∠B=90°－∠A=90°－60°=30°.
b=c,c2=a2+b2=152+c2.
∴c2=300,即c=.
∴b=.
∴sinA=,cosA==,
tanA=,sinB==,
cosB=,tanB=
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确得出各边长是解题关键．
【考点】解直角三角形
【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH=BC=6，BH==6，
在Rt△ACH中，tanA==，
∴AH=8，
∴AC==10，
∴AB=AH+BH=8+6．
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】菱形的性质；解直角三角形．
【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得BF=DE，根据线段的和差关系可得AF=CE；
（2）根据勾股定理可得AF，AD的长，根据三角函数可得sin∠DAF的值．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DF⊥AB，BE⊥CD，
∴DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF=DE，
∴AF=CE；
（2）∵DE=2，BE=4，
∴设AD=x，则AF=x﹣2，DF=BE=4，
在Rt△DAF中，x2=42+（x﹣2）2，
解得x=5，
∴sin∠DAF==．
【点评】考查了菱形的性质，解直角三角形，涉及的知识点有：平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角函数，综合性较强，有一定的难度．
【考点】根的判别式，解直角三角形．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得sinA=；
（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；
当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．
解：（1）根据题意得△=25sin2A﹣16=0，
∴sin2A=，
∴sinA=或 ，
∵∠A为锐角，
∴sinA=；
（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0有两个实数根，
则△≥0，
∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，
∴﹣（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2≤0，
又∵（k﹣2）2≥0，
∴k=2，
把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，
解得y1=y2=5，
∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：
当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5
∵sinA=，
∴AD=3，BD=4∴DC=2，
∴BC=．
∴△ABC的周长为；
当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，
∵sinA=，
∴A D=DC=3，
∴AC=6．
∴△ABC的周长为16，
综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解直角三角形．