第24章 解直角三角形单元检测试题B卷（含解析）

第24章 解直角三角形单元检测试题B卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（10×4=40分）
1．在直角三角形中，有一个锐角为，则另一个锐角为（ ）
A． B． C． D． 不能确定
2．如图，在中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为度，米，则树高为（ ）米．
A． B． C． D．
4．如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在处观测到楼在北偏东方向上，行驶小时后到达处，此时观测到楼在北偏东方向上，那么该车继续行驶（ ）分钟可使汽车到达离楼距离最近的位置．
A． B． C． D．
5．根据图中的信息，经过估算，下列数值与正方形网格中ɑ的正切值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知中，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在上找一点，取，，，要使，，成一直线，那么开挖点离点的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，．且、、满足：，，，则
A． B． C． D．
9．在中，，，，则
A． 2 B． 1 C． 4 D． 3
10．身高不同的三个小朋友甲、乙、丙一起在学校操场放风筝，他们放出的线长分别为，，；线与地面所成的角度分别为，，（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）
A． 甲的最高 B． 乙的最高 C． 丙的最高 D． 无法确定
二、填空题（8×4=32分）
11．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为__m（结果保留根号）．
12．如图，小明为了测量校园里旗杆的高度，将测角仪竖直放在距旗杆底部点的位置，在处测得旗杆顶端的仰角为，若测角仪的高度是，则旗杆的高度约为________．（精确到．参考数据：，，）
13．按从小到大的顺序用“”把，，，连接起来________
14．某人从水平地面沿坡角为的斜面前进，则此时他离地面的高度为________．
15．若，则锐角的度数是________．
16．如图所示，小杨在广场上的处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端处的仰角为，然后他正对大楼方向前进到达处，又测得该屏幕上端处的仰角为．若该楼高为，小杨的眼睛离地面，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离是________（取，结果精确到）．
17．如图是拦水坝的横断面，斜坡的高度为米，斜面的坡比为，则斜坡的长为________米．（保留根号）
18．如图，在一间房子的两墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点；当它靠在另一侧墙上时梯子的顶端在点．已知，，点到地面的垂直距离为米，则点到地面的垂直距离约是________米（精确到）．
三、解答题（共78分）
19．计算：
(1)sin230°＋cos245°＋sin60°·tan45°；
(2)＋sin245°.
20．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，若这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？，结果精确到
21．如图，我省在修建泛亚铁路时遇到一座山，要从地向地修一条隧道（，在同一水平面上），为了测量，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发垂直上升?米到达处，在处观察地的俯角为，然后保持同一高度向前平移米到达处，在处观察地的俯角为，则、两地之间的距离为多少米？（参考数据：；结果保留整数）
22．如图，在水上治安指挥塔西侧两条航线、上有两艘巡逻艇与所在航线靠近，直线、间的距离，点在点的南偏西方向上，且，在的北偏东方向上．求：
巡逻艇与塔之间的距离．（结果保留根号）
已知巡逻艇的速度每小时比巡逻艇快，当两艘巡逻艇同时到达指挥塔的正南方向时，求巡逻艇的速度．
23．随着近几年我市私家车日越增多，超速行驶成为引发交通事故的主要原因之一．某中学数学活动小组为开展“文明驾驶、关爱家人、关爱他人”的活动，设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点，在笔直的车道上确定点，使和垂直，测得的长等于米，在上的同侧取点、，使，．
求、之间的路程（保留根号）；
已知本路段对校车限速为米/秒若测得某校车从到用了秒，这辆校车是否超速？请说明理由．
24．一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为米、宽为米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡的坡度由改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．
（1）求整修后背水坡面的面积；
（2）如果栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，那么种植花草至少需要多少元？
25．数学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下点出发沿斜坡到达点，再从点沿斜坡到达山顶点，路线如图所示．斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知点海拔米，点海拔米．
问点测得点的俯角为________，并求点的海拔；
求斜坡的坡度；
为了方便上下山，若在到之间架设一条钢缆，求钢缆的长度．
26．如图，已知等腰直角三角形中，、、分别为边、、的中点，点为斜边所在直线上一动点，且三角形为等腰直角三角形（，、、呈逆时针）．
如图点在边上，判断和的数量和位置关系，请直接写出你的结论．
如图点在点左侧时；如图，点在点右侧．其他条件不变，中结论是否仍然成立，并选择图或图的一种情况来说明理由．
在图中若，连接，请猜测与的数量关系，即________?．（用含的三角函数的式子表示）
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的两锐角互余即可解答.
【详解】
在直角三角形中，两个锐角和为90°，
∴另一个锐角的度数为：90°-50°=40°．
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解决问题的关键．
2．D
【解析】
【分析】
根据sinB的值结合sin2B+cos2B=1即可得出cosB的值，此题得解．
【详解】
∵在△ABC中,，，
∴
故选:D.
【点睛】
考查同角三角函数之间的关系，掌握sin2B+cos2B=1是解题的关键.
3．A
【解析】
【分析】
根据三角形的定义，在直角三角形中可以得出正切值.
【详解】
tan=,则BC=，所以答案选择A项.
【点睛】
本题考查了三角形的定义，了解正切的含义是解决本题的关键.
4．B
【解析】
【分析】
距离H最近的地方在H的正下方，可设速度为x，，先求出B到H最下方的距离，运用比例即可得出答案.
【详解】
设速度为x，HD⊥AB于D点，于由∠BAH=∠BHD，所以△BAH∽△BHD,所以,又,所以可得,所以答案选择B项.
【点睛】
本题考查了相似的证明，了解对应边成比例是解决本题的关键.
5．C
【解析】
【分析】
可以由网格中ɑ的正切值为，即可得出答案.
【详解】
ɑ的正切值==≈1.2252，所以答案选择C项.
【点睛】
本题考查了正切值的定义，熟悉掌握定义是解决本题的关键.
6．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理逆定理判断出三角形AOC为直角三角形，根据OA=OC可知，△AOC为等腰直角三角形，得到∠OAC=45°，利用三角函数求出∠CAB的度数，相减即可得到∠OAC的度数．
【详解】
解答：
∵，
，
∴，
∴∠O=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=45°，
在Rt△ACB中，
∵tan∠BAC=，
∴∠BAC=30°，
∴∠OAB=45°?30°=15°，
故选B.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值,灵活运用勾股定理逆定理及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
7．B
【解析】
【分析】
根据已知利用∠D的余弦函数表示即可．
【详解】
在Rt△BDE中，cosD=，
∴DE=BD?cosD=500cos55°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
利用完全平方公式把这个式子写成平方几个非负数的和的形式，求得a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．再运用三角函数定义求解即可．
【详解】
∵?8b=?23, ?10c=?34, ?6a=7，
∴?8b+?10c+?6a=?50，
∴?6a+9+?8b+16+?10c+25=0，
∴=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∴这个三角形的形状是直角三角形，
∴2sinA+sinB=2，
故选C.
【点睛】
本题主要考查判定三角形形状和三角函数定义，熟悉掌握是关键.
9．B
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义和特殊角的三角函数值求解．
【详解】
∵∠C=90°,cosB=，
∴B=30°，
∵a=，
tanB==，
∴b=1.
故选B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的定义和特殊角的三角函数值，灵活运用是关键.
10．B
【解析】
【分析】
利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可．
【详解】
甲放的高度为：300×sin30°=150米.
乙放的高度为：260×sin45°=130≈183.82米.
丙放的高度为：200×sin60°=100≈173.2米.
虽然身高不同，但乙放的风筝高出丙近10米，
所以乙的最高.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用正确的边角关系解之.
11．10
【解析】试题分析：由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．
解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=AB?tan30°=30×=10（米）．
∴楼的高度AC为10米．
故答案为：10．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
12．
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB，根据矩形的性质得出BC=DE=6m根据正切函数的定义，由AE=DE?tan53°算出AE的长，根据AB=AE+BE=AE+CD算出答案.
【详解】
过D作DE⊥AB于点E，

∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，
∴∠ADE=53°．
∵BC=DE=6m，
∴AE=DE?tan53°≈6×1.33≈7.98m，
∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m．
故答案为:9.5.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造出直角三角形模型是解决问题的关键.
13．
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数的增减性解答即可.
【详解】
∵20°＜40°＜60°＜80°，
∴.
故答案为：t.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键．
14．
【解析】
【分析】
在三角函数中根据坡度角的正弦值=垂直高度:坡面距离即可解答.
【详解】
由已知得:如图,
∠A = 30°,∠C= 90°，则他上升的高度BC= ABsin30°= 10×=5 (米)，故答案为:5.
【点睛】
此题主要考查了坡角问题的应用，通过构造直角三角形解答问题,利用锐角三角函数求解是解题关键.
15．
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数值，可得(α – 20°)的度数，根据有理数的减法，可得答案.
【详解】
由3tan(α－20°)＝，得α－20°＝ 30°，解得α＝ 50°,故答案为: 50°.
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数知识是解题关键.
16．
【解析】
【分析】
易得CE=BE，利用30°的正切值即可求得CE长，进而可求得DE长．CE减去DE长即为广告屏幕上端与下端之间的距离．
【详解】
解：设AB、CD的延长线相交于点E．∵∠CBE=45°，CE⊥AE，∴CE=BE．∵CE=26.65-1.65=25，∴BE=25．∴AE=AB+BE=30．在Rt△ADE中，∠DAE=30°，∴DE=AE×tan30°=30×=10 ，∴CD=CE-DE=25-10≈25-10×1.732=7.68≈7.7（m）．故答案为：7.7 ．
【点睛】
考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．
17．
【解析】
【分析】
由题意可知斜面坡度为1：2，BC=6m，由此求得AC=12m，再由勾股定理求得AB的长即可.
【详解】
由题意可知：斜面坡度为1：2，BC=6m，
∴AC=12m，
由勾股定理可得，AB= m．
故答案为：6m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度构造直角三角形是解决问题的关键．
18．1.7
【解析】
【分析】
由点A到地面的垂直距离为2.4米和∠APB=45°，可求出梯子的长度，在Rt△DPC中利用∠DPC=30°即可求出点D到地面的垂直距离．
【详解】
由题意可知AB⊥BC，DC⊥BC，
∵∠APB=45°，点A到地面的垂直距离为2.4米，
∴AP=AB=2.4×1.414≈3.4米，
∴DP=AP=3.4米，
∵∠DPC=30°，
∴DC=DP=1.7米，
∴点D到地面的垂直距离约是1.7米.
故答案为：1.7.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用.
19．（1）;（2）
【解析】【分析】（1）（1）直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；
（2）把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】（1）sin230°＋cos245°＋sin60°·tan45°
=
=
=；
（2）＋sin245°
=
=1+
=.
【点睛】本题考查了不同特殊角的三角函数值的混合运算，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
20．这栋高楼有
【解析】
【分析】
在图中有两个直角三角形，可以利用30°、60°角的正切值分别求出BD和CD，然后求和即可．
【详解】
在Rt△ABD中，AD=120，
∵tanα=，
∴BD=AD(tanα=120×=40.
在Rt△ACD中，
∵tanβ=，
∴CD=AD(tanβ=120×=120.
∴BC=BD+CD=40+120=160≈276.8，
答：这栋高楼有276.8m.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用.
21．、两地之间的距离为米
【解析】
【分析】
分别过A、B作AE⊥CD、BN⊥CD垂足分别为E、N，可得∠AEC=∠BND=90°，在Rt△BND中，求出DN和BN的长度，在Rt△AEC中，根据∠ACE=60°，求出CE的长度，然后即可求出AB的长度．
【详解】
分别过A、?B作AE⊥CD、BN⊥CD垂足分别为E.?N，
∴∠AEC=∠BND=90°，
由题意知AE=BN=150，CD=200，
在Rt△BND中,∠BDN=45°，
∴DN=BN=150，
在Rt△AEC中,∠ACE=60°，
∴CE= ==50，
故AB=EN=ED+DN=CD?CE+DN=200?50+150≈264(米).
答：A、B两地之间的距离为264米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用.
22．（1）巡逻艇与塔之间的距离为；（2）巡逻艇的速度是小时．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ABF中根据cos30°=求出AF的长，即可求得AE的长，在Rt△AEC中根据sin30°=即可求得AC的长，由此即可解答；（2）设巡逻艇B的速度为xkm/小时，则巡逻艇C的速度为（x+5）km/小时，根据两艘巡逻艇同时到达指挥塔A的正南方向列出方程，解方程即可求解．
【详解】
（1）由题意可得：四边形CDFE是矩形，故EF=CD=km，
在Rt△ABF中，cos30°=，
∴AF=ABcos30°=6×=3 km，
∴AE=AF-EF=3-=2 km，
在Rt△AEC中，∠ACE=30°，
∴sin30°= ，即AC=km．
答：巡逻艇C与塔A之间的距离AC为4km；
在中，，．
∴，
在中，，，
∴，
设巡逻艇的速度为小时，则巡逻艇的速度为小时，依题意有
，
解得，
经检验可知是原方程的解．
故巡逻艇的速度是小时．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．同时考查了分式方程，分式方程注意要验根．
23．米；这辆校车超速
【解析】
【分析】
（1）Rt△OPC与Rt△BOP中，先根据锐角三角函数的定义求出AO及BO的长，再根据AB=AO-BO即可得出结果；（2）先根据汽车从A到B用时2秒求出其速度，再与已知相比较即可．
【详解】
在中，∵米，，
∴（米）；
在中，∵米，，
∴（米），
∴米；这辆校车超速；理由如下：
∵校车从到用时秒，
∴速度为（米/秒）米/秒，
∴这辆校车在路段超速．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用.
24．米2元
【解析】
【分析】
（1）本题可通过构建直角三角形来解，过A作AE⊥BC于E，直角三角形ABE中根据AB的坡度，设出AE、BE的长，然后根据勾股定理求出未知数的值，也就求出了AE、BE的长，直角三角形AB′E中，有坡度，有AE的长，就能求出AB′的长，有了AB′的长，坡的面积便可求出了；
（2）可通过不同种植方法的成本来得出最佳种植方案．
【详解】
（1）作AE⊥BC于E．
∵原来的坡度是1：0.75，∴=，设AE=4k，BE=3k，∴AB=5k．
又∵AB=5米，∴k=1，则AE=4米，设整修后的斜坡为AB′，由整修后坡度为1：，有tan∠AB′E=，∴∠AB′E=30°，∴AB′=2AE=8米，∴整修后背水坡面面积为90×8=720米2．
（2）∵要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，∴两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少．
∵整修后背水坡面面积为720米2，∴每一小块的面积是=80米2，∴需要花费20×5×80+25×4×80=16000元．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题．解题的关键是构造直角三角形．两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边是解决此类题目的基本出发点．
25．（1）45°，米；（2）坡度为；（3）米.
【解析】
【分析】
（1）过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，根据斜坡BC的坡度是1：1，可得∠CBD=45°，继而可求得CD的长度，求出B点的高度；（2）根据（1）中求得B点的高度，AB=200米，利用勾股定理求出AE的长度，易求得AB的坡度；（3）根据CF⊥AM，BE⊥AM，BD⊥CF，得出四边形EFDB是矩形，继而可求得AF=800米，CF=600米，利用勾股定理即可求得AC的长度．
【详解】
如图，过作，为垂足，过点作，，、为垂足，
∵斜坡的坡度是，
∴，
∴，
∴
∴在点测得点的俯角为，
∴，又米，
∴（米），
∵点海拔米，点海拔米，
∴（米）
∴点的铅直高度为（米），
即斜坡点处的高度为米；
∵米，
∴米，（米），
∴的坡度，
故斜坡的坡度为．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∴米，米，
∴米．
即钢缆的长度为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题与坡度坡角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用.
26．（1）AN=MF且AN⊥MF；（2）成立，证明详见解析；（3）（sinα+cosα）．
【解析】
【分析】
（1）连接DF，则DF就是△ABC的中位线，即可得△BDF是等腰直角三角形，所以BD=DF=AD，由∠AND+∠FDN=90°，∠FDM+∠FDN=90°可得∠AND=∠FDM，在△AND和△FDM中，DN=DM，∠AND=∠FDM，AD=DF，利用SAS判定△AND≌△FDM，根据全等三角形的性质可得AN=FM，∠DAN=∠DFM=45°，根据等腰三角形的三线合一的性质即可得AN⊥MF；（2）成立，选择图②，类比（1）的方法即可证明；（3）证明△DAN≌△EAN，得出EN=DN，进一步得出DM=EN，作DH⊥BC于H，由∠DFM=45°，证得△DHF是等腰直角三角形，得出FH=DH，然后解直角三角形得出MH=DM?sinα，DH=DM?cosα，从而得出MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN．
【详解】
（1）AN=MF且AN⊥MF；
（2）成立．
连接DF，NF，如图2①，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°．
又∵D，E，F是三边的中点，
∴DF∥AC，DF=AC=AB=AD，
∴∠BDF=90°，∠MFD=∠C=45°，
∴∠MDN=∠BDF，
∴∠FDM=∠ADN，
在△FDM和△ADN中， ，
∴△FDM≌△ADN（SAS），
∴FM=AN，∠DAN=∠MFD=45°．
∴AN是∠BAC的平分线，
∴AN⊥BC，
即AN⊥MF；
（3）由（2）可知：∠DAN=∠EAN，如图2②，
∵D、E分别为边AB、ACC的中点，AB=AC，
∴AD=AE，
在△DAN和△EAN中， ，
∴△DAN≌△EAN（SAS），
∴EN=DN，
∵DM=DN，
∴DM=EN，
作DH⊥BC于H，
∵∠DFM=45°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴FH=DH，
∵MH=DM?sinα，DH=DM?cosα，
∴FH=DH=DM?cosα，
∴MF=MH+FH=DM（sinα+cosα）=（sinα+cosα）EN，
即MF=（sinα+cosα）EN；
故答案为：（sinα+cosα）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，作出辅助线构建全等三角形是解决问题的关键．