第24章 解直角三角形单元检测试题A卷(含解析)

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名称 第24章 解直角三角形单元检测试题A卷(含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 华东师大版
科目 数学
更新时间 2018-12-10 13:48:06

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第24章 解直角三角形单元检测试题A卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1.Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=46°,则∠A=( )
A. 44° B. 34° C. 54° D. 64°
2.如图,为测河两岸两抽水泵,的距离,在距点的处测得,则,间的距离为( )
A. B. C. D.
3.将的各边都扩大倍,则锐角的余弦值( )
A. 不变 B. 扩大2倍 C. 是原来的0.5倍 D. 不能确定
4.如图,在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树,要求它们之间的水平距离AC为6m,则这两棵树之间的坡面AB的长为(  )
A. 12m B. 3m C. 4m D. 12m
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,如果AC=3, AB=6,那么AD的值为( )
A. B. C. D.
6.如图,在边长为的小正方形组成的网格中,的三个顶点均在格点上,则的值为( )
A. B. C. D.
7.若,则锐角的值是( )
A. 20° B. 50° C. 40° D. 30°
8.如图,小颖利用有一锐角是的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离,她的眼睛距地面的距离,那么这棵树高( )
A. B. C. D.
9.在中,已知,则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图,在中.,,,则
A. B. C. D.
二、填空题
11.在ΔABC中,∠C=900,如果tanA=,那么sinB的值等于___________
12.已知不等臂跷跷板长.如图①,当的一端碰到地面时,与地面的夹角为;如图②,当的另一端碰到地面时,与地面的夹角为.则跷跷板的支撑点到地面的高度是________.(用含、的式子表示)
13.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则cosC的值为_______.
14.如图,一束光线从轴上点出发,经过轴上点反射后经过点,则光线从点到点经过的路线长是________.
15.某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°,那么此时飞机离控制点之间的距离是 米.
16.为抵御百年不遇的洪水,某市政府决定将长的大堤的迎水坡面铺石加固,堤高,堤面加宽,则完成这一工程需要的石方数为________.
17.如图,甲、乙两渔船同时从港口出发外出捕鱼,乙沿南偏东方向以每小时海里的速度航行,甲沿南偏西方向以每小时海里的速度航行,当航行小时后,甲在处发现自己的渔具掉在乙船上,于是迅速改变航向和速度,仍以匀速沿南偏东方向追赶乙船,正好在处追上.则甲船追赶乙船的速度为________海里/小时.
18.如图,小红站在水平面上的点A处,测得旗杆BC顶点C的仰角为60°,点A到旗杆的水平距离为a米.若小红的水平视线与地面的距离为b米,则旗杆BC的长为________米。(用含有a、b的式子表示)
三、解答题
19.计算:
(1)3tan30°+cos245°-2sin60°; (2)tan260°-2sin45°+cos60°.
20.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=15°,过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D,求△ACD的周长.
21.北京市在城市建设中,要折除旧烟囱,在烟囱正西方向的楼的顶端,测得烟囱的顶端的仰角为,底端的俯角为,已量得.拆除时若让烟囱向正东倒下,试问:距离烟囱东方远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着?请说明理由.
(参考数据:,)
22.衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内.如图,为了测量来雁塔的高度,在E处用高为1.5 m的测角仪AE,测得塔顶C的仰角为30°,再向塔身前进10.4 m,又测得塔顶C的仰角为60°,求来雁塔的高度.(结果精确到0.1 m)
23.某国发生8.1级强烈地震,我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作,如图,某探测队在地面A,B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象,已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°,且AB=4米,求该生命迹象所在位置C的深度(结果精确到1米,参考数据:sin25°≈0.4,cos25°≈0.9,tan25°≈0.5,≈1.7).
24.据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一,所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s,在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪,如平面几何图,AD=24m,∠D=90°,第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶,测得∠ABD=31°,2秒后到达C点,测得∠ACD=50°(tan31°≈0. 6,tan50°≈1.2,结果精确到1m)
(1)求B,C的距离.
(2)通过计算,判断此轿车是否超速.
25.如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD//BC,坡长AB=10cm,坡角,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角.(注:请在结果中保留根号)
(1)试求出防洪大堤的横断面的高度;
(2)请求出改造后的坡长AE.
26.如图,在南北方向的海岸线MN上,有A、B两艘巡逻船,现均收到故障船C的求救信号.已知A、B两船相距100( +1)海里,船C在船A的北偏东60°方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一观测点D,测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.
(1)分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号,请保留根号).
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中有无触暗礁危险?(参考数据:≈1.41,≈1.73)
参考答案
1.A
【解析】
解:∵∠C=90°,∠B=46°,∴∠A=90°﹣46°=44°.故选A.
2.A
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中,tan∠ACB=,代入数据求得AB的长即可.
【详解】
在△ABC中,
∵BC⊥BA,∴tan∠ACB= .
又∵BC=25m,∠BCA=50°,
∴AB=BCtan50°=25tan50°m.
故选A.
【点睛】
本题考查了正切的概念和运用,关键是把实际问题转化成数学问题,把它抽象到直角三角形中解决entity.
3.A
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质及锐角三角函数的定义解答即可.
【详解】
∵Rt△ABC中,若各边的长度同时都扩大2倍,∴扩大后形成的三角形与原三角形相似,锐角B的余弦值不变.
故选A.
【点睛】
本题比较简单,解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值,与角的边长无关.
4.C
【解析】
试题分析:在Rt△ABC中,cos∠A=cos30°=,则AB=m,故选C.
5.A
【解析】
试题分析:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∴△ACD∽△ABC,∴AC:AB=AD:AC,
∵AC=3,AB=6,∴AD=.故选A.
考点:相似三角形的判定与性质.
6.D
【解析】
【分析】
根据网格结构,找出合适的直角三角形,根据正切的定义计算即可.
【详解】
在Rt△ABD中,BD=4,AD=3,∴tan∠ABC==.
故选D.
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
7.B
【解析】
【分析】
先根据cot(α+10°)=1求出cot(α+10°)=,再根据特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】
∵cot(α+10°)=1,
∴cot(α+10°)=,
又∵α为锐角,cot60°=,
∴α+10°=60°,α=50°.
故选:B.
【点睛】
解题的关键是熟记特殊角的三角函数值.
8.B
【解析】
【分析】
构造直角△ACD,利用三角函数根据已知特殊角和已知长度来求解.
【详解】
在直角△ACD中,∠CAD=30°,AD=6m,∴CD=ADtan30°=6×=2,∴CE=CD+DE=2+1.5(m).
故选B.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用,将实际问题转化到直角三角形中是解题的关键.
9.D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形,利用cosB=,表示出三角形各边长,进而得出答案.
【详解】
如图所示:∵cosB=,∴设BC=7x,则AB=25x,故AC=24x,则tanB==.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的关系,利用同一未知数表示出各边长是解题的关键.
10.B
【解析】
【分析】
本题中直角三角形的角不是特殊角,故过A作AD交BC于D,使∠BAD=15°,根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数,再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可.
【详解】
过A作AD交BC于D,使∠BAD=15°,
∵△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=15°,
∴∠BAC=75°,
∴∠DAC=∠BAC?∠BAD=75°?15°=60°,
∴∠ADC=90°?∠DAC=90°?60°=30°,
∴AC=AD,
又∵∠ABC=∠BAD=15°
∴BD=AD,
∵BC=1,
∴AD+DC=1,
CD=x,则AD=1?x,AC=(1?x),
∴AD2=AC2+CD2,即(1?x)2=(1?x)2+x2,
解得:x=?3+2,
∴AC=(4?2)=2?,
故选:B.
【点睛】
本题考查的是特殊角的三角函数值,解答此题的关键是构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化.(1)求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形.(2)求(已知)锐角三角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等的比来转换.
11.
【解析】试题解析:∵在△ABC中,∠C=90°,tanA=,
∴设BC=5x,则AC=12x,
∴AB=13x,sinB==.
12.
【解析】
【分析】
根据三角函数的知识分别用OH表示出AO,BO的长,再根据不等臂跷跷板AB长4m,即可列出方程求解即可.
【详解】
依题意有:AO=OH÷sinα,BO=OH÷sinβ,AO+BO=OH÷sinα+OH÷sinβ,即OH÷sinα+OH÷sinβ=4m,则OH=m.
故跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是m.
故答案为:m.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键.
13.
【解析】连接BD,
∵E、F分别是AB、AD的中点,
∴EF∥BD,且BD=2EF=4,
∵BD=4,BC=5,CD=3,
∴△BDC是直角三角形,
∴tan C=,
故答案为: .
14.5
【解析】
试题分析:如图设A关于x轴的对称点A'坐标是(0,-1),作DB∥A'A,A'D∥OC,交DB于D,在Rt△A'BD中,利用勾股定理即可求出A'B,也就求出了从A点到B点经过的路线长.
试题解析:A关于x轴的对称点A'坐标是(0,-1)连接A′B,交x轴于点C,
作DB∥A'A,A'D∥OC,交DB于D,
故光线从点A到点B所经过的路程A'B=
考点:解直角三角形的应用.
15.2400.
【解析】
试题解析:根据题意,飞机到控制点的距离是=2400(米).
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
16.
【解析】
【分析】
由题意可知,要求的石方数其实就是横截面为ABCD的立方体的体积.那么求出四边形ABCD的面积即可.
【详解】
∵Rt△BFD中,∠DBF的坡度为1:2,∴BF=2DF=8,∴S△BDF=BF×FD÷2=16.
∵Rt△ACE中,∠A的坡度为1:2.5,∴CE:AE=1:2.5,CE=DF=4,AE=10.
S梯形AFDC=(AE+EF+CD)×DF÷2=28,∴S四边形ABCD=S梯形AFDC﹣S△BFD=12.
那么所需的石方数应该是12×1200=14400(立方米).
故答案为:14400.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
17.
【解析】
【分析】
根据题意画图,过O向AB作垂线,根据特殊角的三角函数值求得AC、BC的值,从而求得AB的值.根据追及问题的求法求甲船追赶乙船的速度.
【详解】
如图:乙沿南偏东30°方向航行则∠DOB=30°,甲沿南偏西75°方向航行,则∠AOD=75°,当航行1小时后甲沿南偏东60°方向追赶乙船,则∠2=90°﹣60°=30°.
∵∠3=∠AOD=75°,∴∠1=90°﹣75°=15°,故∠1+∠2=15°+30°=45°.
过O向AB作垂线,则∠AOC=90°﹣∠1﹣∠2=90°﹣15°﹣30°=45°.
∵OA=10,∠OAB=∠AOC=45°,∴OC=AC=OA?sin45°=10×=10.
在Rt△OBC中,∠BOC=∠AOD+∠BOD﹣∠AOC=75°+30°﹣45°=60°,∴BC=OC?tan60°=10,∴AB=AC+BC=10+10.
因为OC=10海里,∠B=30°,所以OB=2OC=2×10=20,乙船从O到B所用时间为20÷10=2小时,由于甲从O到A所用时间为1小时,则从A到B所用时间为2﹣1=1小时,甲船追赶乙船的速度为(10+10)海里/小时.
【点睛】
本题是一道方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.
18.b+a
【解析】
试题分析:利用三角函数的知识即可得出结果.画出图形有利我们解决问题.
解:如图所示,BC=BE+CE.
CE=DE?tan(∠CDE)=a,
即BC=b+a.
故答案为:b+a.
考点:1.仰角、俯角;2.特殊角的三角函数值.
19.(1) ;(2)
【解析】试题分析:(1)根据特殊角的三角函数值代入原式计算即可;
(2)根据特殊角的三角函数值代入原式计算即可.
试题解析: (1)原式=3×+-2×=+-=;
(2)原式=()2-2× +=3- +=-.
20.
【解析】试题分析:利用等腰三角形的性质、三角形外角定理即可求得的内角则由勾股定理求得,然后根据三角形的周长公式进行解答.
试题解析:如图,在△ABC中,AB=AC=2,
又∵CD⊥BA,

∴根据勾股定理得到
∴△ACD的周长
答:△ACD的周长是
21.距离烟囱东方远的一棵大树被歪倒的烟囱砸不着,理由详见解析.
【解析】
【分析】
根据题意可以求得AG和GB的长,从而可以求得AB的长,然后与35比较大小即可解答本题.
【详解】
距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸着.理由如下:
∵DB=21m,∠GCB=30°,∠ACG=45°,∴CG=21m,∴BG=CG?tan30°=21×=7m,AG=CG?tan45°=21×1=21m,∴AB=AG+GB=21+7=21+7×1.73=33.11m.
∵33.11<35,∴距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸不着.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
22.来雁塔的高度约为10.5 m.
【解析】
分析:首先证明AB=BC=10.4 m,在Rt△BCD中,根据∠CBD的正弦函数求出CD的长,然后用CD的长加上测角仪的高即可解决问题.
详解:∵∠CBD=60°,∠CAD=30°,
∴∠ACB=30°,
∴AB=BC=10.4 m.
在Rt△CBD中,BC=10.4 m,∠CBD=60°,
∴CD=BCsin∠CBD =10.4×≈9.0,
∴塔高为9.0+1.5=10.5 m.
答:来雁塔的高度约为10.5 m.
点睛:本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
23.该生命迹象所在位置C的深度约为3米.
【解析】试题分析:过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D,通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x,在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值.
试题解析:解:作CD⊥AB交AB延长线于D,设CD=x米.
在Rt△ADC中,∠DAC=25°,所以tan25°==0.5,所以AD==2x.
Rt△BDC中,∠DBC=60°,由tan 60°=,解得:x≈3.
即生命迹象所在位置C的深度约为3米.
24.(1)20m;(2)没有超速.
【解析】
解:(1)在Rt△ABD中,AD=24m,∠B=31°,
∴tan31°=,即BD==40m,
在Rt△ACD中,AD=24m,∠ACD=50°,
∴tan50°=,即CD==20m,
∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m,
则B,C的距离为20m;
(2)根据题意得:20÷2=10m/s<15m/s,
则此轿车没有超速.
25.(1)防洪大堤的横断面的高度为5m;(2)改造后的坡长AE为m.
【解析】
试题分析:过点A作AF⊥BC于点F,在Rt△ABF中求出AF,然后在Rt△AEF中求出AE即可.
试题解析:(1)过点A作AF⊥BC于点F,
在Rt△ABF中,∠ABF=∠2=60°,
则AF=ABsin60°=5m,
答:防洪大堤的横断面的高度为5m.
(2)在Rt△AEF中,∠E=∠1=45°,
则AE=m.
答:改造后的坡长AE为m.
考点:解直角三角形的应用.
26.(1)AC为200海里,AD为200(﹣1)海里;(2)没有触暗礁危险;
【解析】
试题分析: (1)作CE⊥AB,设AE=x海里,则BE=CE=x海里.根据AB=AE+BE=x+x=100(+1),求得x的值后即可求得AC的长;过点D作DF⊥AC于点F,同理求出AD的长;
(2)作DF⊥AC于点F,根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案.
试题解析:
(1)如图过C作CE⊥AB,
由题意得:∠ABC=45°,∠BAC=60°,
设AE=x海里,
在Rt△AEC中,CE=AE?tan60°=x;
在Rt△BCE中,BE=CE=x.
∴AE+BE=x+x=100(+1),
解得:x=100.
AC=2x=200.
在△ACD中,∠DAC=60°,∠ADC=75°,则∠ACD=45°.
过点D作DF⊥AC于点F,
设AF=y,则DF=CF=y,
∴AC=y+y=200,
解得:y=100(?1),
∴AD=2y=200(?1).
答:A与C之间的距离AC为200海里,A与D之间的距离AD为200(?1)海里。
(2)由(1)可知,DF=AF=×100(?1)≈126.3海里,
∵126.3>100,
所以巡逻船A沿直线AC航线,在去营救的途中没有触暗礁危险。