第24章 解直角三角形单元检测试题A卷（含解析）

第24章 解直角三角形单元检测试题A卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（ ）
A． 44° B． 34° C． 54° D． 64°
2．如图，为测河两岸两抽水泵，的距离，在距点的处测得，则，间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．将的各边都扩大倍，则锐角的余弦值（ ）
A． 不变 B． 扩大2倍 C． 是原来的0.5倍 D． 不能确定
4．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（　　）
A． 12m B． 3m C． 4m D． 12m
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3， AB=6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则锐角的值是（ ）
A． 20° B． 50° C． 40° D． 30°
8．如图，小颖利用有一锐角是的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离，她的眼睛距地面的距离，那么这棵树高（ ）
A． B． C． D．
9．在中，已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中．，，，则
A． B． C． D．
二、填空题
11．在ΔABC中，∠C=900，如果tanA=，那么sinB的值等于___________
12．已知不等臂跷跷板长．如图①，当的一端碰到地面时，与地面的夹角为；如图②，当的另一端碰到地面时，与地面的夹角为．则跷跷板的支撑点到地面的高度是________．（用含、的式子表示）
13．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则cosC的值为_______．
14．如图，一束光线从轴上点出发，经过轴上点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是________．
15．某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是 米．
16．为抵御百年不遇的洪水，某市政府决定将长的大堤的迎水坡面铺石加固，堤高，堤面加宽，则完成这一工程需要的石方数为________．
17．如图，甲、乙两渔船同时从港口出发外出捕鱼，乙沿南偏东方向以每小时海里的速度航行，甲沿南偏西方向以每小时海里的速度航行，当航行小时后，甲在处发现自己的渔具掉在乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东方向追赶乙船，正好在处追上．则甲船追赶乙船的速度为________海里/小时．
18．如图，小红站在水平面上的点A处，测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的水平距离为a米．若小红的水平视线与地面的距离为b米，则旗杆BC的长为________米。（用含有a、b的式子表示）
三、解答题
19．计算：
(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°； (2)tan260°－2sin45°＋cos60°.
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝15°，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，求△ACD的周长．
21．北京市在城市建设中，要折除旧烟囱，在烟囱正西方向的楼的顶端，测得烟囱的顶端的仰角为，底端的俯角为，已量得．拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱东方远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由．
（参考数据：，）
22．衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内．如图，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5 m的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4 m，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1 m)
23．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7)．
24．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0. 6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）
（1）求B，C的距离．
（2）通过计算，判断此轿车是否超速．
25．如图,防洪大堤的横断面是梯形ABCD,其中AD//BC,坡长AB=10cm,坡角,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角．(注：请在结果中保留根号)
（1）试求出防洪大堤的横断面的高度;
（2）请求出改造后的坡长AE．
26．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（ +1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
参考答案
1．A
【解析】
解：∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°．故选A．
2．A
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，tan∠ACB=，代入数据求得AB的长即可．
【详解】
在△ABC中，
∵BC⊥BA，∴tan∠ACB= ．
又∵BC=25m，∠BCA=50°，
∴AB=BCtan50°=25tan50°m．
故选A．
【点睛】
本题考查了正切的概念和运用，关键是把实际问题转化成数学问题，把它抽象到直角三角形中解决entity．
3．A
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】
∵Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，∴扩大后形成的三角形与原三角形相似，锐角B的余弦值不变．
故选A．
【点睛】
本题比较简单，解答此题的关键是熟知三角函数值是一个比值，与角的边长无关．
4．C
【解析】
试题分析：在Rt△ABC中，cos∠A=cos30°=，则AB=m，故选C．
5．A
【解析】
试题分析：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，
∵AC=3，AB=6，∴AD=．故选A．
考点：相似三角形的判定与性质．
6．D
【解析】
【分析】
根据网格结构，找出合适的直角三角形，根据正切的定义计算即可．
【详解】
在Rt△ABD中，BD=4，AD=3，∴tan∠ABC==．
故选D．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
7．B
【解析】
【分析】
先根据cot（α+10°）=1求出cot（α+10°）=，再根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】
∵cot（α+10°）=1，
∴cot（α+10°）=，
又∵α为锐角，cot60°=，
∴α+10°=60°，α=50°．
故选：B．
【点睛】
解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
8．B
【解析】
【分析】
构造直角△ACD，利用三角函数根据已知特殊角和已知长度来求解．
【详解】
在直角△ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=ADtan30°=6×=2，∴CE=CD+DE=2+1.5（m）．
故选B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，将实际问题转化到直角三角形中是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用cosB=，表示出三角形各边长，进而得出答案．
【详解】
如图所示：∵cosB=，∴设BC=7x，则AB=25x，故AC=24x，则tanB==．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的关系，利用同一未知数表示出各边长是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD＝15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．
【详解】
过A作AD交BC于D，使∠BAD＝15°，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，
∴∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝∠BAC?∠BAD＝75°?15°＝60°，
∴∠ADC＝90°?∠DAC＝90°?60°＝30°，
∴AC＝AD，
又∵∠ABC＝∠BAD＝15°
∴BD＝AD，
∵BC＝1，
∴AD＋DC＝1，
CD＝x，则AD＝1?x，AC＝（1?x），
∴AD2＝AC2＋CD2，即（1?x）2＝（1?x）2＋x2，
解得：x＝?3＋2，
∴AC＝（4?2）＝2?，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是特殊角的三角函数值，解答此题的关键是构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．（1）求（已知）非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求（已知）锐角三角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
11．
【解析】试题解析：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=，
∴设BC=5x，则AC=12x，
∴AB=13x，sinB==．
12．
【解析】
【分析】
根据三角函数的知识分别用OH表示出AO，BO的长，再根据不等臂跷跷板AB长4m，即可列出方程求解即可．
【详解】
依题意有：AO=OH÷sinα，BO=OH÷sinβ，AO+BO=OH÷sinα+OH÷sinβ，即OH÷sinα+OH÷sinβ=4m，则OH=m．
故跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是m．
故答案为：m．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
13．
【解析】连接BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD，且BD=2EF=4，
∵BD=4，BC=5，CD=3，
∴△BDC是直角三角形，
∴tan C=，
故答案为： .
14．5
【解析】
试题分析：如图设A关于x轴的对称点A'坐标是（0，-1），作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，在Rt△A'BD中，利用勾股定理即可求出A'B，也就求出了从A点到B点经过的路线长．
试题解析：A关于x轴的对称点A'坐标是（0，-1）连接A′B，交x轴于点C，
作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，
故光线从点A到点B所经过的路程A'B=
考点：解直角三角形的应用．
15．2400.
【解析】
试题解析：根据题意，飞机到控制点的距离是=2400（米）．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
16．
【解析】
【分析】
由题意可知，要求的石方数其实就是横截面为ABCD的立方体的体积．那么求出四边形ABCD的面积即可．
【详解】
∵Rt△BFD中，∠DBF的坡度为1：2，∴BF=2DF=8，∴S△BDF=BF×FD÷2=16．
∵Rt△ACE中，∠A的坡度为1：2.5，∴CE：AE=1：2.5，CE=DF=4，AE=10．
S梯形AFDC=（AE+EF+CD）×DF÷2=28，∴S四边形ABCD=S梯形AFDC﹣S△BFD=12．
那么所需的石方数应该是12×1200=14400（立方米）．
故答案为：14400．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】
根据题意画图，过O向AB作垂线，根据特殊角的三角函数值求得AC、BC的值，从而求得AB的值．根据追及问题的求法求甲船追赶乙船的速度．
【详解】
如图：乙沿南偏东30°方向航行则∠DOB=30°，甲沿南偏西75°方向航行，则∠AOD=75°，当航行1小时后甲沿南偏东60°方向追赶乙船，则∠2=90°﹣60°=30°．
∵∠3=∠AOD=75°，∴∠1=90°﹣75°=15°，故∠1+∠2=15°+30°=45°．
过O向AB作垂线，则∠AOC=90°﹣∠1﹣∠2=90°﹣15°﹣30°=45°．
∵OA=10，∠OAB=∠AOC=45°，∴OC=AC=OA?sin45°=10×=10．
在Rt△OBC中，∠BOC=∠AOD+∠BOD﹣∠AOC=75°+30°﹣45°=60°，∴BC=OC?tan60°=10，∴AB=AC+BC=10+10．
因为OC=10海里，∠B=30°，所以OB=2OC=2×10=20，乙船从O到B所用时间为20÷10=2小时，由于甲从O到A所用时间为1小时，则从A到B所用时间为2﹣1=1小时，甲船追赶乙船的速度为（10+10）海里/小时．
【点睛】
本题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
18．b+a
【解析】
试题分析：利用三角函数的知识即可得出结果．画出图形有利我们解决问题．
解：如图所示，BC=BE+CE．
CE=DE?tan（∠CDE）=a，
即BC=b+a．
故答案为：b+a．
考点：1．仰角、俯角；2．特殊角的三角函数值．
19．(1) ；(2)
【解析】试题分析：（1）根据特殊角的三角函数值代入原式计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值代入原式计算即可．
试题解析： (1)原式＝3×＋－2×＝＋－＝；
(2)原式＝()2－2× ＋＝3－ +＝－.
20．
【解析】试题分析：利用等腰三角形的性质、三角形外角定理即可求得的内角则由勾股定理求得，然后根据三角形的周长公式进行解答．
试题解析：如图,在△ABC中,AB=AC=2,
又∵CD⊥BA，
∴
∴根据勾股定理得到
∴△ACD的周长
答：△ACD的周长是
21．距离烟囱东方远的一棵大树被歪倒的烟囱砸不着，理由详见解析.
【解析】
【分析】
根据题意可以求得AG和GB的长，从而可以求得AB的长，然后与35比较大小即可解答本题．
【详解】
距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸着．理由如下：
∵DB=21m，∠GCB=30°，∠ACG=45°，∴CG=21m，∴BG=CG?tan30°=21×=7m，AG=CG?tan45°=21×1=21m，∴AB=AG+GB=21+7=21+7×1.73=33.11m．
∵33.11＜35，∴距离烟囱东方35m远的一棵大树被歪倒的烟囱砸不着．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．来雁塔的高度约为10.5 m.
【解析】
分析：首先证明AB=BC=10.4 m，在Rt△BCD中，根据∠CBD的正弦函数求出CD的长，然后用CD的长加上测角仪的高即可解决问题．
详解：∵∠CBD＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴AB＝BC＝10.4 m.
在Rt△CBD中，BC＝10.4 m，∠CBD＝60°，
∴CD＝BCsin∠CBD ＝10.4×≈9.0，
∴塔高为9.0＋1.5＝10.5 m.
答：来雁塔的高度约为10.5 m.
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．该生命迹象所在位置C的深度约为3米．
【解析】试题分析：过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．
试题解析：解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．
在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．
Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°=，解得：x≈3．
即生命迹象所在位置C的深度约为3米．
24．（1）20m；（2）没有超速.
【解析】
解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，
∴tan31°=，即BD==40m，
在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，
∴tan50°=，即CD==20m，
∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，
则B，C的距离为20m；
（2）根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s，
则此轿车没有超速．
25．（1）防洪大堤的横断面的高度为5m;（2）改造后的坡长AE为m．
【解析】
试题分析：过点A作AF⊥BC于点F,在Rt△ABF中求出AF,然后在Rt△AEF中求出AE即可．
试题解析：(1)过点A作AF⊥BC于点F,
在Rt△ABF中,∠ABF=∠2=60°,
则AF=ABsin60°=5m,
答：防洪大堤的横断面的高度为5m.
(2)在Rt△AEF中,∠E=∠1=45°,
则AE=m．
答：改造后的坡长AE为m．
考点：解直角三角形的应用．
26．（1）AC为200海里，AD为200（﹣1）海里；（2）没有触暗礁危险；
【解析】
试题分析: （1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=x海里．根据AB=AE+BE=x+x=100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；
（2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案．
试题解析:
(1)如图过C作CE⊥AB,
由题意得：∠ABC=45°,∠BAC=60°，
设AE=x海里，
在Rt△AEC中,CE=AE?tan60°=x；
在Rt△BCE中,BE=CE=x.
∴AE+BE=x+x=100(+1)，
解得：x=100.
AC=2x=200.
在△ACD中,∠DAC=60°,∠ADC=75°,则∠ACD=45°.
过点D作DF⊥AC于点F，
设AF=y,则DF=CF=y，
∴AC=y+y=200，
解得：y=100(?1)，
∴AD=2y=200(?1).
答：A与C之间的距离AC为200海里,A与D之间的距离AD为200(?1)海里。
(2)由(1)可知,DF=AF=×100(?1)≈126.3海里，
∵126.3>100，
所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险。