1．1 二次函数
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数的概念及自变量的取值范围
1．下列函数是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x2＋2 D．y＝x－2
2．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是( )
A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
3．下列函数中，是二次函数的是( )
A．圆的周长l关于它的半径r的函数
B．购买单价相同的笔记本的总钱数y(元)关于购买数量x(台)的函数
C．正三角形的面积S关于它的边长a的函数
D．当路程一定时，汽车行驶的速度v关于行驶时间t的函数
4．函数y＝－2x2＋4x中，自变量x的取值范围是______________．
知识点 2 建立简单的二次函数模型
5．在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆，剩余部分的面积为y cm2，则y关于x的函数表达式为(不要求写出自变量的取值范围)( )
A．y＝πx2－4 B．y＝π(2－x)2
C．y＝－(x2＋4) D．y＝－πx2＋16π
6．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，面积为y cm2，其中一直角边长为x cm，则y与x之间的函数表达式是(不要求写出自变量的取值范围)( )
A．y＝10x B．y＝x(20－x)
C．y＝x(20－x) D．y＝x(10－x)
7．用长为24 m的篱笆，一面利用围墙围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1－1－1，设花圃垂直于墙的一边长为x m，面积为S m2，则S与x之间的函数表达式是(不要求写出自变量的取值范围)( )
图1－1－1
A．S＝－3x2＋24x B．S＝－2x2＋24x
C．S＝－3x2－24x D．S＝－2x2－24x
8. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品的售价，每件每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为(不考虑x的取值范围)( )
A．y＝60(300＋20x) B．y＝(60－x)(300＋20x)
C．y＝300(60－20x) D．y＝(60－x)(300－20x)
9．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份的研发资金y(元)关于增长率x的函数表达式为y＝____________．(不要求写出自变量的取值范围)
10．教材习题1.1第3题变式如图1－1－2，一块矩形田地的长为100 m，宽为80 m，现计划在该矩形田地中修3条宽度均为x m的小路，其中两条小路与AB垂直，另一条小路与AB平行，剩余部分种庄稼．设剩余部分的面积为y m2，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
图1－1－2
规律方法综合练 提升能力
11．下列各式：①y＝x＋2；②y＝2x2；③y＝；④y＝；⑤y＝(x－1)(x＋2)；⑥y＝2(x－1)2＋2；⑦y＝(2x＋1)(x－2)－2x2.其中y是x的二次函数的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．下列结论正确的是( )
A．关于x的二次函数y＝a(x＋2)2中，自变量的取值范围是x≠－2
B．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量的取值范围是全体实数
C．在函数y＝－中，自变量的取值范围是x≠0
D．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量的取值范围是所有非零实数
13．如果y＝(a＋1)x2＋ax是二次函数，那么a的取值范围是________．
图1－1－3
14．2017·常德如图1－1－3，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上，若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数表达式为____________________________．(不要求写出自变量的取值范围)
15．已知关于x的函数y＝(m2＋m)xm2－2m＋2.
(1)当函数是二次函数时，求m的值；
(2)当函数是一次函数时，求m的值．
16．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款每件成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售．经过调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系y＝－10x＋1200.
(1)求出每天的利润S(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式(不要求写出x的取值范围，利润＝销售额－成本)．
(2)当销售单价定为50元/件时，该公司每天获取的利润是多少？
(3)当该公司每天获取的利润是12000元时，销售单价为多少？
拓广探究创新练 冲刺满分
17．为了改善小区环境，某小区决定在一块空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙(墙的长为25 m)，其他三边用总长为60 m的栅栏围成(如图1－1－4)．设绿化带的边BC的长为x m，绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(2)绿化带的面积能为450 m2吗？若能，请求出此时BC的长；若不能，请说明理由．
图1－1－4
教师详解详析
1．C
2．D [解析] 将原二次函数化为一般形式为y＝5x2－3x＋1，故a＝5，b＝－3，c＝1.
3．C 4.全体实数 5.D
6．C [解析] 一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(20－x)cm，根据题意得出y＝x(20－x)．
7．A [解析] 由题意知AB＝x m，BC＝(24－3x)m，利用长方形的面积公式可得S＝(24－3x)x＝24x－3x2.故选A.
8．B [解析] 每件降价x元，则每件售价为(60－x)元，每星期的销售量为(300＋20x)件，根据题意，得y＝(60－x)(300＋20x)．故选B.
9．a(1＋x)2
10．解：依题意，得y＝(100－2x)(80－x)＝2x2－260x＋8000.
由得x<50.
又∵x>0，
∴自变量x的取值范围是0∴所求函数表达式为y＝2x2－260x＋8000(0＜x＜50)．
11．B [解析] ②⑤⑥是二次函数．
12．B 13.a≠－1
14．y＝2x2－4x＋4
[解析] 由题中条件，可知图中的四个直角三角形是全等三角形，设AE＝x，则BE＝2－x，BF＝x.在Rt△EBF中，由勾股定理，可得EF2＝(2－x)2＋x2＝2x2－4x＋4，即y＝2x2－4x＋4.
15．解：(1)依题意，得m2－2m＋2＝2，解得m＝2或m＝0.
又因为m2＋m≠0，解得m≠0且m≠－1.
因此m＝2.
(2)依题意，得m2－2m＋2＝1，解得m＝1.
又因为m2＋m≠0，解得m≠0且m≠－1.
因此m＝1.
16．解：(1)S＝y(x－40)＝(－10x＋1200)(x－40)＝－10x2＋1600x－48000.
(2)当x＝50时，S＝－10×502＋1600×50－48000＝7000，即当销售单价定为50元/件时，该公司每天获取的利润是7000元．
(3)当S＝12000时，－10x2＋1600x－48000＝12000，解得x＝60或x＝100，经检验均符合题意，
即该公司每天获取的利润是12000元时，销售单价为60元/件或100元/件．
17．解：(1)由题意得y＝x×＝－x2＋30x，自变量x的取值范围是0＜x≤25.
(2)不能．理由如下：若绿化带的面积为450 m2，则有450＝－x2＋30x，解得x1＝x2＝30.
∵0＜x≤25，∴x＝30不合题意，∴绿化带的面积不能为450 m2.
1.2 第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
一、选择题
1．二次函数y＝x2的图象的开口方向是( )
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
2．二次函数y＝2019x2的对称轴是( )
A．直线y＝1 B．直线x＝1
C．y轴 D．x轴
3．若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )
A．(2，4) B．(－2，－4)
C．(－4，2) D．(4，－2)
4．下列关于函数y＝2x2的图象的说法：(1)图象有最低点；(2)图象为轴对称图形；(3)图象与y轴的交点为原点；(4)图象的开口向上．其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．已知原点是二次函数y＝(m－2)x2的图象上的最低点，则m的取值范围是( )
A．m>2 B．m>－2
C．m<2 D．m<0
6．已知点(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数y＝2018x2的图象上，则下列关于y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2
D．y3＜y2＜y1
二、填空题
7．二次函数y＝x2的图象开口向________，对称轴是________，图象最低点的坐标是________，当x＝2时， y＝________，当y＝1时，x＝________．
8．2018·广州已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
图K－2－1
9．已知二次函数y＝x2的图象如图K－2－1所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A，B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长为________．
三、解答题
10．已知二次函数y＝x2.
(1)根据下表给出的x值，求出对应的y值后填写在表中；
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
3
…
(2)在图K－2－2给出的平面直角坐标系中画出函数y＝x2的图象；
图K－2－2
(3)根据图象指出，当x＞0时，y随x的增大怎样变化？
11．二次函数y＝ax2的图象经过点(－1，2)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在平面直角坐标系内画出这个二次函数的图象；
(3)从图象可看出在对称轴的左侧，y随x的增大怎样变化？在对称轴的右侧，y随x的增大又是怎样变化的？
12．已知矩形ABCD的两个顶点A，B分别在函数y＝4x2，y＝x2的图象上，并且A，B两点的横坐标都为1.点D也在函数y＝x2的图象上，且点D在第一象限，点C在函数y＝ax2的图象上，求a的值．
13．如图K－2－3，P是第一象限内二次函数y＝x2的图象上的一个点，点A的坐标为(3，0)．
(1)设点P的坐标为(x，y)，求△OPA的面积S关于y的函数表达式．
(2)S是y的什么函数？S是x的什么函数？
图K－2－3
14．如图K－2－4，已知直线l过A(4，0)，B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P.若△AOP的面积为，求a的值．
图K－2－4
1．A 2.C 3.A 4.D
5．[解析] A ∵原点是二次函数图象的最低点，∴图象开口向上，∴m－2>0，∴m>2.
6．A
7．上 y轴 (0，0) 1 2或－2
8．增大
9．[答案] 4
[解析] 根据抛物线的对称性．
∵线段AB∥x轴，点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标是－2，
∴AB＝2－(－2)＝2＋2＝4.
10．解：(1)3 0
(2)略
(3)当x＞0时，y随x的增大而增大．
11．解：(1)将(－1，2)代入y＝ax2，得2＝a，所以二次函数的表达式为y＝2x2.
(2)略．
(3)在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
12．解：∵矩形ABCD的两个顶点A，B分别在函数y＝4x2，y＝x2的图象上，并且A，B两点的横坐标都为1，
∴点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为1，
∴A(1，4)，B(1，1)．
∵函数y＝x2的图象过点D，点D在第一象限，
∴点D的纵坐标为4，得4＝x2，解得x＝2(负值已舍去)，即D(2，4)，
∴C(2，1)．
∵点C在函数y＝ax2的图象上，
∴1＝4a，解得a＝.
13．解：(1)如图，过点P作PB⊥OA于点B，则PB＝|y|.
∵P(x，y)是第一象限内函数y＝x2的图象上的点，
∴PB＝y，
∴S＝PB·OA＝×y×3＝y(y>0)．
(2)∵S＝y，
∴S是y的正比例函数．
∵y＝x2，
∴S＝y＝x2，
∴S是x的二次函数．
14．解：设点P的坐标为(x，y)，直线l的函数表达式为y＝kx＋b，将A(4，0)，B(0，4)分别代入y＝kx＋b，计算可得k＝－1，b＝4，故y＝－x＋4.
∵△AOP的面积为＝×4×y，
∴y＝.
再把y＝代入y＝－x＋4，得x＝，
∴P(，)．
把P(，)代入y＝ax2中，得a＝.
1．2 第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数y＝ax2(a>0)的图象
1．二次函数y＝2x2的图象可能是( )
图1－2－1
2．画出函数y＝x2的图象．
知识点 2 二次函数y＝ax2(a>0)的性质
3．函数y＝3x2的图象的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，当x________时，y随x的增大而减小，当x________时，y随x的增大而增大．
4．二次函数y＝8x2的图象的开口方向是( )
A．向上 B．向下
C．向上或向下 D．不能确定
5．关于函数y＝5x2的图象与性质的叙述，错误的是( )
A．其图象的顶点是原点
B．y有最大值
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x<0时，y随x的增大而减小
6．若原点是二次函数y＝(m－2)x2的图象上的最低点，则m的取值范围是( )
A．m>2 B．m>－2
C．m<2 D．m<0
7．2017·连云港已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2，y1)，B两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1>0>y2 B．y2>0>y1
C．y1>y2>0 D．y2>y1>0
8．分别写出下列各抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝x2； (2)y＝x2.
规律方法综合练 提升能力
9．若E(a，h1)，F(b，h2)是二次函数y＝x2的图象上不同的两个点，且h1＝h2，则a，b的大小关系是( )
A．a＝b B．a＝－b
C．a>b D．无法确定
10．二次函数y1＝mx2与y2＝nx2的图象如图1－2－2所示，则m________n(填“＞”或“＜”)．
图1－2－2
拓广探究创新练 冲刺满分
11．已知点A(2，a)在抛物线y＝x2上．
(1)求点A的坐标．
(2)在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
教师详解详析
1．C
2．解：列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
13.5
6
1.5
0
1.5
6
13.5
…
描点、连线如图所示：
3．上 (0，0) y轴 ＜0 ＞0
4．A [解析] 二次函数y＝ax2(a＞0)的图象开口向上．
5．B
6.A [解析] ∵原点是二次函数图象的最低点，
∴图象开口方向向上，∴m－2>0，∴m>2.
7．C [解析] ∵a>0，∴抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴为y轴，点A(－2，y1)在对称轴的左侧，点B(1，y2)在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，
∴y1>y2>0，因此选C.
8．解：(1)抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，0)．
(2)抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，0)．
9．B
10．＞ [解析] 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，可得m＞n.
11．解：(1)∵点A(2，a)在抛物线y＝x2上，∴a＝22＝4，∴点A的坐标为(2，4)．
(2)存在．如图所示，在Rt△AOE中，AO＝＝2 .以O为顶角的顶点时，
AO＝P1O＝2 或AO＝P2O＝2 ，
∴P1(－2 ，0)，P2(2 ，0)；以A为顶角的顶点时，AO＝AP，∴P(4，0)；以P为顶角的顶点时，OP′＝AP′.
在Rt△AEP′中，AE2＋P′E2＝AP′2.
设AP′＝x，则42＋(x－2)2＝x2，
解得x＝5，∴P′(5，0)．
综上所述，使△OAP是等腰三角形的点P的坐标为(－2 ，0)或(2 ，0)或(4，0)或(5，0)．
[1.2 第2课时 二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质]
一、选择题
1．抛物线y＝ax2(a＜0)一定经过( )
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
2．2017·娄底模拟若抛物线y＝ax2经过点P(1，－2)，则它也经过点( )
A．(2，1) B．(－1，2)
C．(－1，－2) D．(1，2)
3．在同一平面直角坐标系中，与函数y＝x2的图象关于x轴对称的抛物线的函数表达式为( )
A．y＝－x2 B．y＝4x2
C．y＝－4x2 D．y＝x2
4．二次函数y＝(a－1)x2(a为常数)的图象如图K－3－1所示，则a的取值范围为( )
图K－3－1
A．a＞1 B．a＜1
C．a＞0 D．a＜0
5．关于抛物线y＝ax2和y＝－ax2(a≠0)，有下列说法：
①两条抛物线都关于x轴对称；
②两条抛物线都关于原点对称；
③两条抛物线各自关于y轴对称；
④两条抛物线有公共的顶点．
其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．函数y＝(a≠0)与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
图K－3－2
7．抛物线y＝－4x2上有(4，y1)，(5，y2)，(6，y3)三个点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
图K－3－3
二、填空题
8．如图K－3－3所示，写出一个符合该抛物线特征的二次函数表达式____________．
9．抛物线y＝－x2的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，顶点是该抛物线的最________点，当x＝________时，函数有最________值，这个最值为________．
10．已知二次函数y＝mx2有最大值，则m的取值范围是________，y的最大值是________．
11．将抛物线y＝－3x2绕顶点旋转180°得到抛物线y＝ax2，则a＝________．
12．若二次函数y＝(m－1)x2＋m2－m－2的图象经过坐标原点，且开口向下，则m＝________．
图K－3－4
13．如图K－3－4，边长为2的正方形ABCD的中心在平面直角坐标系的原点O处，且AD∥x轴．以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．
三、解答题
14．在同一平面直角坐标系中作出二次函数y＝3x2和y＝－3x2的图象，并比较两者的异同.
15．作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：
(1)在y轴左侧的图象上任取两点A，B，且使x2＜x1＜0，试比较y1与y2的大小；
(2)在y轴右侧的图象上任取两点C，D，且使x3>x4>0，试比较y3与y4的大小；
(3)由(1)(2)你能得出什么结论？
16．已知抛物线y＝ax2与直线y＝－2x－4交于点(2，b)．
(1)求a和b的值；
(2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出此抛物线；
(3)对于二次函数y＝ax2，当x取何值时，y随x的增大而增大？
17．已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象交于A，B两点，如图K－3－5所示，其中点A的坐标为(－1，－1)，求△OAB的面积．
图K－3－5
18．已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件的m的值．
(2)当m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标．此时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
(3)当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？此时，当x为何值时，y随x的增大而减小？
1．[解析] B ∵a＜0，∴抛物线y＝ax2(a＜0)的图象经过坐标原点，且开口向下，∴抛物线一定经过第三、四象限，故选B.
2．[解析] C 将(1，－2)代入函数表达式，得－2＝a×12，解得a＝－2，故函数表达式为y＝－2x2，当x＝－1时，y＝－2×(－1)2＝－2，故C正确．
3．A
4．[解析] B 抛物线的开口向下，则a－1＜0，解得a＜1.
5．[解析] B ∵二次函数y＝ax2和y＝－ax2中二次项系数互为相反数，∴两条抛物线各自关于y轴对称，且公共的顶点为原点，故③④正确；两条抛物线组成的图形关于x轴对称，也关于原点对称，但是说两条抛物线都关于x轴对称和原点对称不正确．∴正确的说法有两个．
6．[解析] D 当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝的图象在第一、三象限，四个选项中没有符合此条件的；当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝的图象在第二、四象限，符合此条件的只有D.故选D.本题也可以根据每个选项中各函数中a的正负性是否一致来判断．
7．[解析] D 因为a＝－4＜0，所以抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．又因为4＜5＜6，所以y3＜y2＜y1.故选D.
8．[答案] 答案不唯一，如y＝－x2
[解析] 形如y＝ax2且a＜0的二次函数均可．
9．下 (0，0) y轴 高 0 大 0
10．m＜0 0
11．3
12．[答案] －1
[解析] 因为函数图象开口向下，所以m－1＜0.又因为图象经过坐标原点，所以m2－m－2＝0，解得m1＝2(不合题意，舍去)，m2＝－1.故答案为－1.
13．[答案] 2
[解析] 根据正方形与抛物线的对称性可知：正方形被x轴分割成的上下两部分的面积相等，正方形中x轴上方的两个空白部分的面积分别等于x轴下方的两个阴影部分的面积．因此，四个阴影部分的面积的和恰好等于整个正方形面积的一半．由此，可得图中阴影部分的面积是2.
14．解：图象如图所示．
两函数图象的开口大小、形状相同，但是开口方向不同．
15．解：图象如图所示．
(1)由图象，可知y1>y2.
(2)由图象，可知y3(3)当x<0时，随着x值的增大，函数y＝－x2的函数值也增大；
当x>0时，随着x值的增大，函数y＝－x2的函数值减小．
16．解：(1)把(2，b)代入y＝－2x－4，得b＝－4－4＝－8；把(2，－8)代入y＝ax2，得4a＝－8，解得a＝－2.
(2)抛物线y＝－2x2的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．
列表：
x
…
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
…
y
…
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
…
描点、连线，作出的图象如图：
(3)当x＜0时，y随x的增大而增大．
17．解：∵一次函数y＝kx－2的图象过点A(－1，－1)，
∴－1＝－k－2，解得k＝－1，
∴一次函数表达式为y＝－x－2.
设一次函数的图象与y轴交于点G.
令x＝0，得y＝－2，
∴G(0，－2)．
∵抛物线y＝ax2过点A(－1，－1)，
∴－1＝a×1，解得a＝－1，
∴二次函数表达式为y＝－x2.
由得
∴B(2，－4)，
∴S△OAB＝OG·|点A的横坐标|＋OG·|点B的横坐标|＝×2×1＋×2×2＝1＋2＝3.
18．解：(1)由题意，得m2＋m－4＝2且m＋2≠0，
解得m＝2或m＝－3.
(2)∵抛物线有最低点，
∴m＋2>0，
∴m>－2，
∴m＝2.
即当m＝2时，抛物线有最低点，这个最低点的坐标是(0，0)．
当x>0时，y随x的增大而增大．
(3)∵函数有最大值，
∴函数图象开口向下，
∴m＋2<0，m<－2，
∴m＝－3.
即当m＝－3时，函数有最大值，最大值是0.
当x>0时，y随x的增大而减小．
第2课时 二次函数y＝ax2(a＜0)的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数y＝ax2(a<0)的图象
1．已知函数y＝－3x2，当x＜0时，函数图象在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．画出二次函数y＝－x2的图象．
知识点 2 二次函数y＝ax2(a<0)的性质
3．抛物线y＝－5x2的开口________，当x＝________时，y有最________值，是________；当x________时，y随x的增大而减小．
4．二次函数y＝－x2的最大值是( )
A．x＝－ B．x＝0 C．y＝－ D．y＝0
5．若二次函数y＝－2x2的函数值y随x的增大而增大，则自变量x的取值范围为( )
A．x>0 B．x>－2
C．x<0 D．x＜－2
6．下列关于二次函数y＝－x2的图象与性质的描述，正确的是( )
A．顶点坐标为(0，－) B．对称轴是y轴
C．当y＝－时，x＝1 D．函数有最小值
规律方法综合练 提升能力
7．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝ D．y＝－2x2
8．函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的图象的共同特征是( )
A．开口都向上，且都关于y轴对称
B．开口都向下，且都关于x轴对称
C．顶点都是原点，且都关于y轴对称
D．顶点都是原点，且都关于x轴对称
9．若二次函数y＝－x2的图象过点A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
10．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且函数图象有最高点．
(1)求k的值；
(2)求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
拓广探究创新练 冲刺满分
11．如图1－2－3，在抛物线y＝－x2上取三点A，B，C，设点A，B的横坐标分别为a(a＞0)，a＋1，直线BC与x轴平行．
(1)把△ABC的面积S用a表示出来；
(2)当△ABC的面积S为15时，求a的值．
图1－2－3
教师详解详析
1．C
2．解：列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝－x2
…
－9
－4
－1
0
－1
－4
－9
…
描点和连线如图所示：
3．向下 0 大 0 >0 [解析] 因为y＝－5x2的二次项系数小于0，所以抛物线的开口向下，y有最大值．
4．D [解析] 二次函数y＝ax2(a＜0)的图象的顶点坐标为(0，0)，其最大值为y＝0.
5．C 6.B
7．D [解析] 函数y＝－2x2的对称轴为直线x＝0，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故D选项正确．
8．C
9．D [解析] 开口向下的抛物线上，离对称轴越远的点，其纵坐标越小．
10．解：(1)∵y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，∴k2＋k－4＝2，∴k2＋k－6＝0，∴(k＋3)(k－2)＝0，∴k＝－3或k＝2.
∵函数图象有最高点，∴k＋2＜0，∴k<－2，∴k的值为－3.
(2)∵k＝－3，∴二次函数的表达式为y＝－x2，
∴该函数图象的顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴．
11．解：(1)当x＝a时，y＝－x2＝－a2，则A(a，－a2)；当x＝a＋1时，y＝－x2＝－(a＋1)2，则B(a＋1，－(a＋1)2)．
∵抛物线y＝－x2的对称轴为y轴，且BC与x轴平行，∴点C与点B为对称点，
∴点C的坐标为(－(a＋1)，－(a＋1)2)，
∴△ABC的面积S＝(a＋1＋a＋1)·[－a2＋(a＋1)2]＝2a2＋3a＋1.
(2)当△ABC的面积S为15时，2a2＋3a＋1＝15，整理得2a2＋3a－14＝0，
解得a1＝－，a2＝2，而a>0，∴a的值为2.
1.2 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
一、选择题
1．下列抛物线中，顶点坐标是(－2，0)的是( )
A．y＝x2＋2 B．y＝x2－2
C．y＝(x＋2)2 D．y＝(x－2)2
2．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的函数表达式是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2
3．二次函数y＝2(x－1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )
A. 开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，0)
B．开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，0)
C．开口向下，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，0)
D．开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，0)
4．二次函数y＝a(x－1)2与一次函数y＝ax＋a在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
图K－4－1
5．顶点坐标为(－5，0)，且开口方向、形状与二次函数y＝－x2的图象均相同的抛物线的函数表达式是( )
A．y＝－(x－5)2 B．y＝－x2－5
C．y＝－(x＋5)2 D．y＝(x＋5)2
6．2018·潍坊已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6 B．1或6
C．1或3 D．4或6
二、填空题
7．2017·杨浦区一模抛物线y＝2(x＋4)2的顶点坐标是________．
8．将抛物线y＝(x＋m)2向右平移2个单位后，新抛物线的对称轴是y轴，那么m的值是________．
9．已知函数y＝－3(x＋1)2，当x________时，函数值y随x的增大而减小；当x＝________时，函数取得最________值，最________值y＝________．
10．若点A(－1，4)，B(m，4)都在抛物线y＝a(x－3)2上，则m的值为________．
11．2017·浦东新区一模二次函数y＝(x－1)2的图象上有两个点(3，y1)，，那么y1______y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
12．将抛物线y＝ax2向左平移后，所得新抛物线的顶点的横坐标为－2，且新抛物线经过点(1，3)，则a的值为________.
13．一条抛物线与二次函数y＝3x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标为(－2，0)，则此抛物线的函数表达式为____________．
14．如图K－4－2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(点P不与点B，C重合)．连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是________．
图K－4－2
三、解答题
15．画出函数y＝(x－1)2的图象，并回答下列问题．
(1)写出图象的顶点坐标与对称轴；
(2)指出函数的最大值或最小值；
(3)指出y随x增大而减小时的x的取值范围．
16．已知二次函数y＝a(x－h)2的图象的对称轴为直线x＝－2，且过点(1，－3)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)画出此函数的大致图象；
(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)？
17.分别经过怎样的平移，可以由抛物线y＝2x2得到抛物线y＝2(x＋2)2和y＝2(x－2)2？抛物线y＝2(x＋2)2和y＝2(x－2)2具有怎样的位置关系？
18．已知抛物线y＝a(x－h)2经过点(1，3)，且当x＝2时函数y有最小值．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若(－100，y1)，(－99，y2)，(103，y3)三点都在(1)中所求的抛物线上，请比较y1，y2，y3的大小.
19．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2相同．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)将(1)中抛物线向右平移4个单位得到的抛物线的函数表达式是什么？
(3)若(2)中所得抛物线的顶点不动，将此抛物线绕其顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的函数表达式．
1．[解析] C ∵抛物线顶点坐标是(－2，0)，∴可设其函数表达式为y＝a(x＋2)2，∴只有选项C符合．
2．C
3．[解析] B 因为在函数y＝2(x－1)2中，a＝2>0，所以图象开口向上．因为h＝1，所以对称轴为直线x＝1，所以顶点坐标为(h，0)，即(1，0)．故选B.
4．B 5.C
6．B [解析] 二次函数y＝－(x－h)2，当x＝h时，函数有最大值0，而当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，故h＜2或h＞5.当h＜2，2≤x≤5时，y随x的增大而减小，故当x＝2时，y有最大值，此时－(2－h)2＝－1，解得h1＝1，h2＝3(舍去)，此时h＝1；当h＞5，2≤x≤5时，y随x的增大而增大，故当x＝5时，y有最大值，此时－(5－h)2＝－1，解得h3＝6，h4＝4(舍去)，此时h＝6.综上，可知h＝1或6，故选B.
7．(－4，0)
8．[答案] 2
[解析] 将抛物线y＝(x＋m)2向右平移2个单位后，得到的抛物线的函数表达式为y＝(x＋m－2)2，其对称轴为直线x＝2－m＝0，解得m＝2.故答案是2.
9．>－1 －1 大 大 0
10．[答案] 7
[解析] 由点A(－1，4)，B(m，4)都在抛物线y＝a(x－3)2上，得点(－1，4)与点(m，4)关于直线x＝3对称，∴m－3＝3－(－1)，解得m＝7.
11．[答案] ＜
[解析] 当x＝3时，y1＝(3－1)2＝4；当x＝时，y2＝＝，所以y1＜y2.
12．[答案]
[解析] 将抛物线y＝ax2向左平移后，所得新抛物线的顶点的横坐标为－2，则表达式为y＝a(x＋2)2.将(1，3)代入，可得a＝.
13．[答案] y＝3(x＋2)2或y＝－3(x＋2)2
[解析] 一条抛物线与二次函数y＝3x2的图象形状相同，所以此抛物线的函数表达式中二次项系数a的绝对值等于3，则a＝±3.又因为对称轴平行于y轴，并且顶点坐标为(－2，0)，所以抛物线的函数表达式为y＝±3(x＋2)2.
14．[答案] 4
[解析] ∵抛物线y＝(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A(2，0)，B(0，4)．∵抛物线y＝(x－2)2的对称轴为直线x＝2，BC∥x轴，AD∥y轴，∴直线AD就是抛物线y＝(x－2)2的对称轴，∴点B，C关于直线AD对称，∴BD＝DC＝2.∵顶点A到直线BC的距离最大，∴当点P与点A重合时，△PCD的面积最大，最大为DC·AD＝×2×4＝4.
15．解：函数图象如图所示：
(1)顶点坐标为(1，0)，对称轴是直线x＝1.
(2)∵顶点(1，0)是图象上的最低点，
∴当x＝1时，函数y有最小值0.
(3)当x＜1时，y随x的增大而减小．
16．解：(1)因为二次函数y＝a(x－h)2的图象的对称轴为直线x＝－2，所以y＝a(x＋2)2.
又因为图象过点(1，－3)，所以－3＝a×32，解得a＝－，
所以二次函数的表达式为y＝－(x＋2)2.
(2)略．
(3)当x＜－2时，y随x的增大而增大，当x＝－2时，函数有最大值．
17．解：抛物线y＝2(x＋2)2是由抛物线y＝2x2向左平移2个单位得到的，抛物线y＝2(x－2)2是由抛物线y＝2x2向右平移2个单位得到的．抛物线y＝2(x＋2)2和y＝2(x－2)2关于y轴对称．
18．解：(1)∵函数y＝a(x－h)2在x＝2处有最小值，
∴抛物线的顶点坐标为(2，0)，
∴可设其表达式为y＝a(x－2)2.
将(1，3)代入表达式，得3＝a(1－2)2，
解得 a＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2.
(2)由(1)，得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，且图象左降右升．
∵－100<－99<2，
∴ y1 >y2.
又∵＝，
∴根据对称性，知y2 ＝y3.
综上所述，y1 >y2＝y3.
19．解：(1)设这条抛物线的函数表达式为y＝a(x＋h)2.
∵所求抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，
∴a＝3.
又∵所求抛物线的顶点与抛物线y＝(x＋2)2相同，
∴y＝3(x＋2)2.
(2)抛物线y＝3(x＋2)2的顶点为(－2，0)，点(－2，0)向右平移4个单位得到点(2，0)，故平移后的抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2.
(3)抛物线y＝3(x－2)2绕顶点旋转180°后开口向下，形状不变，故旋转后的抛物线的函数表达式为y＝－3(x－2)2.
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象的关系
1．把抛物线y＝3x2向左平移1个单位后，所得的抛物线表示的二次函数的表达式为( )
A．y＝3x2－1 B．y＝3(x－1)2
C．y＝3x2＋1 D．y＝3(x＋1)2
2．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则下列平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
3．下列关于抛物线y＝2(x－1)2与y＝2x2的说法，错误的是( )
A．形状相同 B．开口方向相同
C．顶点相同 D．对称轴不同
4．抛物线y＝(x＋3)2向________平移________个单位后得到抛物线y＝x2.
知识点 2 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
5．函数y＝－3(x＋1)2，当x________时，y随x的增大而减小；当x＝________时，函数取得最________值，最________值为________．
6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝3(x－2)2的图象可能是( )
图1－2－4
7．下列抛物线中，对称轴为直线x＝的是( )
A．y＝x2 B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝
8．关于二次函数y＝(x＋2)2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．最低点是(2，0)
C．对称轴是直线x＝2
D．对称轴右侧的部分是上升的
9．在函数y＝2(x＋1)2中，y随x的增大而减小，则x的取值范围为( )
A．x＞－1 B．x＞1 C．x＜－1 D．x＜1
10．画出函数y＝－4(x－5)2的图象，并指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标．
11．已知二次函数y＝2(x－1)2.
(1)当x＝2时，函数值y是多少？
(2)当y＝4时，x的值是多少？
(3)当x在什么范围内时，y值随着x值的增大逐渐增大？当x在什么范围内时，y值随着x值的增大逐渐减小？
(4)这个函数有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少？这时x的值是多少？
规律方法综合练 提升能力
12．若点M(－3，a)，N(－1，b)均在函数y＝－3(x－1)2的图象上，则( )
A．aB．a＝b
C．a>b
D．a与b的大小关系不确定
13．二次函数y＝a(x－h)2的图象的顶点位置( )
A．只与a有关 B．只与h有关
C．与a，h有关 D．与a，h无关
14．2017·衡阳已知函数y＝－(x－1)2的图象上的两个点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“<”“>”或“＝”)．
15．写出一个对称轴是直线x＝－3，且开口向下的抛物线所表示的二次函数的表达式_____________________________________________．
16．已知抛物线y＝(x－h)2，当x＝2时，y有最小值．
(1)写出该抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)若(－100，y1)，(－99，y2)，(103，y3)三点都在该抛物线上，请比较y1，y2，y3的大小．
17．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同．
(1)求这条抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)将(1)中的抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线表示的二次函数的表达式是什么？
拓广探究创新练 冲刺满分
18．将二次函数y＝2x2的图象(如图1－2－5①)向右平移1个单位，所得的二次函数的图象的顶点为D(如图1－2－5②)，并与y轴交于点A.
(1)写出平移后的二次函数图象的对称轴与点A的坐标．
(2)设平移后的二次函数图象的对称轴与函数y＝2x2的图象的交点为B，试判断四边形OABD是哪种特殊的四边形，并证明你的结论．
(3)能否在函数y＝2x2的图象上找到一点P，使△DBP是以线段DB为直角边的直角三角形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请简要说明理由．
图1－2－5
教师详解详析
1．D [解析] 把抛物线y＝3x2向左平移1个单位后，得到的抛物线表示的函数的表达式为y＝3(x＋1)2.故选D.
2．A [解析] 将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程是向左平移2个单位．故选A.
3．C 4.右 3 5.>－1 －1 大 大 0
6．D [解析] 二次函数y＝3(x－2)2的图象的顶点坐标为(2，0)，它的顶点坐标在x轴右半轴上．故选D.
7．D [解析] 已知对称轴为直线x＝，表明在抛物线y＝a(x－h)2中，h＝，在四个选项中只有抛物线y＝符合．故选D.
8．D [解析] 二次函数y＝(x＋2)2的图象在对称轴右侧的部分是上升的．
9．C [解析] 函数y＝2(x＋1)2的图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故选C.
10．解：图略．图象的开口向下，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为(5，0)．
11．解：(1)当x＝2时，y＝2×(2－1)2＝2.
(2)当y＝4时，2(x－1)2＝4，解得x＝1±.
(3)当x>1时，y值随着x值的增大逐渐增大；
当x<1时，y值随着x值的增大逐渐减小．
(4)这个函数有最小值，最小值是0，这时x的值为1.
12．A
13．B [解析] ∵二次函数y＝a(x－h)2的图象的顶点坐标为(h，0)，当h＝0时，顶点在原点处，当h＞0时，顶点在x轴的正半轴上，当h＜0时，顶点在x轴的负半轴上，∴图象的顶点位置只与h有关．
14．> [解析] 因为函数的二次项系数为－1，小于0，对称轴为直线x＝1，所以在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．因为a>2>1，所以y1>y2.故填“>”．
15．答案不唯一，如y＝－2(x＋3)2
16．解：(1)∵函数y＝(x－h)2在x＝2处取得最小值，
∴该抛物线的顶点坐标为(2，0)，则此抛物线表示的二次函数的表达式为y＝(x－2)2.
(2)由题意，知函数y＝(x－2)2有最小值，图象开口向上，函数的增减性为“左降右升”．
∵－100<－99<2，∴ y1 >y2.
又∵＝，根据抛物线的对称性，可知y2＝y3.综上所述，y1 >y2＝y3.
17．解：(1)∵所求抛物线的顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同，∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2.
∵所求抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，∴a＝3.
∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝3(x＋2)2.
(2)点(－2，0)向右平移4个单位后得点(2，0)，故平移后的抛物线表示的二次函数的表达式为y＝3(x－2)2.
18．解：(1)平移后的二次函数图象的对称轴为直线x＝1，点A的坐标为(0，2)．
(2)四边形OABD是矩形．
证明：把x＝1代入y＝2x2，得y＝2，
∴点B的坐标为(1，2)．
根据题意，得平移后的二次函数的图象表示的函数表达式为y＝2(x－1)2，
∴顶点D的坐标为(1，0)，
∴OA＝DB＝2，OA∥BD，
∴四边形OABD是平行四边形．
又∵∠AOD＝90°，∴?OABD是矩形．
(3)能．①当∠DBP＝90°时，
∵四边形OABD是矩形，∴∠DBA＝90°，
即点P在直线AB上，直线AB表示的一次函数的表达式为y＝2.
把y＝2代入y＝2x2，得x＝±1(正值舍去)．
∴点P的坐标为(－1，2)．
②当∠BDP＝90°时，
∵四边形OABD是矩形，∴∠BDO＝90°，即点P在x轴上．
又∵点P在函数y＝2x2的图象上，
∴点P与点O重合，即点P的坐标为(0，0)．
综上所述，点P的坐标为(－1，2)或(0，0)．
1.2 第4课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
一、选择题
1．2018·临安抛物线y＝3(x－1)2＋1的顶点坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(－1，－1) D．(1，－1)
2．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．某抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的函数表达式为( )
A．y＝－2(x－1)2＋3
B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝－(2x＋1)2＋3
D．y＝－(2x－1)2＋3
4．二次函数y＝(x＋1)2－2的大致图象是( )
图K－5－1
5．2017·金华对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )
A．对称轴是直线x＝1，最小值是2
B．对称轴是直线x＝1，最大值是2
C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2
D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2
6．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过(0，5)，(10，8)两点，若a＜0，0＜h＜10，则h的值可能是( )
A．7 B．5 C．3 D．1
图K－5－2
7．图K－5－2中是有相同最小值的两个二次函数的图象，则下列关系正确的是( )
A．k＜n
B．h＝m
C．k＋n＝0
D．h＜0，m＞0
二、填空题
8．2018·淮安将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位，得到的图象的函数表达式是________.
9．已知函数y＝－(x＋3)2＋1，当x________时，y随x的增大而减小．
10．已知抛物线y＝a(x－1)2＋h(a≠0)与x轴交于A(x，0)，B(3，0)两点，则线段AB的长度为________．
11．设A(－6，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为____________(用“＞”连接)．
三、解答题
12．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝(x＋1)2－3和y＝(x－1)2＋3的图象，并写出它们的顶点坐标和对称轴．
13．已知函数y＝－3(x－2)2＋9.
(1)当x＝________时，函数有最大值________；
(2)当x________时，y随x的增大而增大；
(3)该函数图象可由函数y＝－3x2的图象经过怎样的平移得到？
(4)求出该函数图象与y轴交点的坐标.
14．已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，2)，且过点.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求证：对任意实数m，点M(m，－m2)都不在这个二次函数的图象上.
15．把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝(x＋1)2－1的图象．
(1)试确定a，h，k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
16．如图K－5－3(a)，有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面AB的宽为20 m，这时拱高(点O到AB的距离)为4 m.
(1)你能求出在图K－5－3(a)的平面直角坐标系中抛物线的函数表达式吗？
(2)如果将平面直角坐标系建成如图K－5－3(b)的形式，那么抛物线的形状、函数表达式有变化吗？
图K－5－3
1．A 2.C 3.B
4．[解析] C 在函数y＝(x＋1)2－2中，由a＝1＞0，知抛物线的开口向上，故A错误；其对称轴为直线x＝－1，在y轴的左侧，故B错误；由y＝(x＋1)2－2＝x2＋2x－1，知抛物线与y轴的交点为(0，－1)，在y轴的负半轴，故D错误．故选C.
5．[解析] B 由二次函数的表达式y＝－(x－1)2＋2，可知函数图象的对称轴为直线x＝1，图象开口向下，函数有最大值．
6．[解析] A ∵a＜0，∴抛物线开口向下．∵图象经过(0，5)，(10，8)两点，0＜h＜10，∴对称轴在直线x＝5和直线x＝10之间，∴h的值可能是7.
7．[解析] D ∵两个函数有相同的最小值，∴k＝n.∵顶点分别位于第三和第四象限，∴h＜0，m＞0.故选D.
8．y＝x2＋2
9．[答案] >－3
[解析] 因为－<0，所以函数y＝－(x＋3)2＋1的图象开口向下，增减性为左升右降．
10．[答案] 4
[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x＝1，所以点B到对称轴的距离与点A到对称轴的距离相等，都等于2，故AB的长度为4.
11．y2＞y3>y1
12．解：它们的图象如图所示．
抛物线y＝(x＋1)2－3的顶点坐标是(－1，－3)，对称轴是直线x＝－1；
抛物线y＝(x－1)2＋3的顶点坐标是(1, 3)，对称轴是直线x＝1.
13．解：(1)当x＝2时，函数有最大值9.
(2)∵函数图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，∴当x＜2时，y随x的增大而增大．
(3)函数y＝－3(x－2)2＋9的图象可由函数y＝－3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移9个单位得到．
(4)令x＝0，得y＝－3×(0－2)2＋9＝－3，故该函数图象与y轴交点的坐标为(0，－3)．
14．解：(1)y＝－x2－x＋.
(2)证明：若点M(m，－m2)在此二次函数的图象上，则－m2＝－m2－m＋，得m2－2m＋3＝0，Δ＝4－12＝－8＜0，该方程无实根，所以原结论成立．
15．解：(1)图象的平移不改变图象的形状和大小，故a＝.
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，顶点坐标为(h－2，k＋4)，
故h－2＝－1，k＋4＝－1，
解得h＝1，k＝－5.
∴a＝，h＝1，k＝－5.
(2)原二次函数为y＝(x－1)2－5，其图象开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
16．解：(1)由图，可知抛物线的顶点坐标为(0，0)，且抛物线过点A(－10，－4)，B(10，－4)，可设抛物线的函数表达式为y＝ax2，把点A或点B的坐标代入，可得a＝－，所以抛物线的函数表达式为y＝－x2.
(2)由图，可知抛物线的顶点坐标为(0，4)，可设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋4，又因为图象过点A(－10，0)，B(10，0)，把点A或点B的坐标代入，得0＝100a＋4，解得a＝－，
所以抛物线的函数表达式为y＝－x2＋4.
因为两条抛物线的函数表达式中a相同，所以两抛物线的形状相同，即抛物线的形状不变，函数表达式改变．
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象的关系
1．2017·常德将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为( )
A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5
C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－5
2．抛物线y＝(x－3)2＋2可以由抛物线y＝x2先向右平移________个单位，再向上平移________个单位得到．
3．函数y＝－2(x－1)2－1的图象可以由函数y＝－2(x＋2)2＋3的图象先向右平移________个单位，再向________平移________个单位得到．
知识点 2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
4．教材习题1.2第6题变式二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象大致是( )
图1－2－6
5．2017·长沙抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )
A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4)
6．设二次函数y＝(x－3)2－4的图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )
A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)
7．设A(6，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为____________(用“>”连接)．
8．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝－4(x＋3)2＋5
y＝3(x＋1)2－2
y＝(x－5)2－7
y＝－2(x－2)2＋6
9.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x＋1)2－3和y＝(x－1)2＋3的图象，并写出它们的顶点坐标和对称轴．
知识点 3 根据图象的顶点坐标求二次函数的表达式
10．已知抛物线的顶点坐标为(－1，－2)，且过点(1，6)，求抛物线所表示的二次函数的表达式．
解：设二次函数的顶点式为____________，
把点(1，6)代入表达式得____________，
解方程得________，
所以抛物线所表示的二次函数的表达式为____________．
11．若某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2相同，顶点坐标为(－2，1)，则此抛物线表示的二次函数的表达式为( )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝－(x＋2)2＋1
规律方法综合练 提升能力
12．关于二次函数y＝2－(x＋1)2，下列说法：(1)函数的图象开口向上；(2)有最小值2；(3)有最大值2；(4)函数图象的对称轴是直线x＝1；(5)函数图象的对称轴是直线x＝－1.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．图1－2－7中有对称轴相同的两条抛物线，则下列关系不正确的是( )
图1－2－7
A．h＝m B．k＞n C．k＝n D．h＞0，k＞0
14．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
15．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝－2x2不动，而将x轴，y轴分别向上、向左各平移3个单位，那么新抛物线表示的二次函数的表达式是( )
A．y＝－2(x－3)2＋3 B．y＝－2(x＋3)2＋3
C．y＝－2(x－3)2－3 D．y＝－2(x＋3)2－3
16．如图1－2－8，二次函数的图象的顶点坐标是(－1，3)，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是________．
图1－2－8
17．将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝(x＋1)2－1的图象．
(1)试确定a，h，k的值；
(2)请写出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．如图1－2－9，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且图象经过点B(3，0)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
图1－2－9
拓广探究创新练 冲刺满分
19．如图1－2－10，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于点C，D.P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
图1－2－10
教师详解详析
1．A [解析] 抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0，0)，将(0，0)向右平移3个单位，再向下平移5个单位后的坐标为(3，－5), ∴平移后的抛物线的表达式为y＝2(x－3)2－5.故选A.
2．3 2 3.3 下 4
4．C [解析] ∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上．
∵二次函数的表达式为y＝2(x＋2)2－1，
∴图象的顶点坐标为(－2，－1)，对称轴为直线x＝－2.
5．A 6.B
7．y2＞y3>y1
8．解：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝－4(x＋3)2＋5
向下
直线x＝－3
(－3，5)
y＝3(x＋1)2－2
向上
直线x＝－1
(－1，－2)
y＝(x－5)2－7
向上
直线x＝5
(5，－7)
y＝－2(x－2)2＋6
向下
直线x＝2
(2，6)
9.解：它们的图象如图所示．
抛物线y＝(x＋1)2－3的顶点坐标是(－1，－3)，对称轴是直线x＝－1；
抛物线y＝(x－1)2＋3的顶点坐标是(1，3)，对称轴是直线x＝1.
10．y＝a(x＋1)2－2 6＝a(1＋1)2－2 a＝2 y＝2(x＋1)2－2
11．C 12.B
13．C [解析] 由题意，可知抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)；抛物线y＝(x－m)2＋n的顶点坐标为(m，n)．选项A，由两抛物线有相同的对称轴，可得h＝m，故本选项不合题意；选项B，由两抛物线顶点的位置可知，k＞n，故本选项不合题意；选项C，由两抛物线顶点的位置可知，k>n，故本选项符合题意；选项D，由抛物线y＝(x－h)2＋k的位置可知，h＞0，k＞0，故本选项不合题意．
14．B
15．C [解析] 如果抛物线y＝－2x2不动，把x轴，y轴分别向上、向左平移3个单位，相当于平面直角坐标系不动，将抛物线向下、向右各平移3个单位，得到的新抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－2(x－3)2－3.故选C.
16．x＜－1
17．解：(1)∵平移不改变图象的形状和大小，
∴a＝.
将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的顶点坐标为(h－2，k＋4)，故h－2＝－1，k＋4＝－1，解得h＝1，k＝－5.∴a＝，h＝1，k＝－5..
(2)由(1)知二次函数的表达式为y＝(x－1)2－5，故其图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
18．解：(1)设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4.
∵二次函数的图象经过点B(3，0)，
∴0＝4a－4，解得a＝1，
∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4.
(2)令y＝0，得(x－1)2－4＝0，
解方程，得x1＝3，x2＝－1，
∴二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(3，0)和(－1，0)，
∴将该二次函数的图象向右平移1个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为(4，0)．
19．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)，
∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋4.
∵抛物线过点B(0，3)，
∴3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4，
即y＝－x2＋2x＋3.
(2)作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连接AE，交x轴于点P，连接PB，此时PA＋PB的值最小．
设直线AE的函数表达式为y＝kx＋b，
则解得
∴y＝7x－3.
当y＝0时，x＝，
∴点P的坐标为(，0)．
1.2 第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
一、选择题
1．2018·山西用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化成y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
2．二次函数y＝－x2－2x＋3的大致图象是( )
图K－6－1
3．2018·成都关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( )
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
4．若二次函数y＝x2－mx＋1的图象的顶点在x轴上，则m的值是( )
A．2 B．－2 C．0 D．±2
图K－6－2
5．已知二次函数的图象(0≤x≤4)如图K－6－2.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最大值2，有最小值－2.5
B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值1.5，有最小值－2.5
D．有最大值2，无最小值
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是( )
图K－6－3
二、填空题
7．2017·广州当x＝________时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________．
8．已知二次函数y＝x2＋bx＋c，其图象的顶点坐标为(5，－2)，则b＝________，c＝________．
9．已知函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝________；当1＜x＜2时，y随x的增大而________(填写“增大”或“减小”)．
10．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)在对称轴左侧的部分是上升的，那么a________0.(填“＜”或“＞”)
11．A(2，y1)，B(3，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上的两点，则y1与y2的大小关系为y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．
12．把抛物线y＝ax2＋bx＋c先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的函数表达式是y＝x2－3x＋5，则a＋b＋c的值为________．
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围是________．
图K－6－4
14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K－6－4所示，它与x轴的两个交点分别为(－1，0)，(3，0)．下列命题：①b－2a＝0；②abc＜0；③a－2b＋4c＜0；④8a＋c＞0.其中正确的有________．(填序号)
三、解答题
15．已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6.
(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴和图象与x轴，y轴的交点坐标，并在图K－6－5的网格中画出这个函数的大致图象；
(2)根据函数图象回答：
①当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
②当x在什么范围内时，y＞0？
图K－6－5
16．已知二次函数y＝mx2－5mx＋1(m为常数，且m＞0)，设该函数的图象与y轴交于点A，该图象上的点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．
(1)求点A，B的坐标；
(2)点O为坐标原点，M为该函数图象对称轴上一动点，当M运动到何处时，△MAO的周长最小．
17．如图K－6－6，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A(－1，－1)和点B(3，－9)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)写出该函数图象的对称轴及顶点坐标；
(3)点P(m，m)与点Q均在该函数图象上(其中m>0)，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．
图K－6－6
18．2017·郴州设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中的较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4.参照上面的材料，解答下列问题：
(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；
(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；
(3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，函数y＝x2－2x－4的图象如图K－6－7所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值.
图K－6－7
1．B
2．[解析] A 二次函数y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，因为a＝－1＜0，所以图象开口向下，且顶点坐标为(－1，4)，符合条件的图象是A，故选A.
3．D [解析] 因为当x＝0时，y＝－1，所以图象与y轴的交点坐标为(0，－1)，故A错误；图象的对称轴为直线x＝－＝－1，在y轴的左侧，故B错误；因为当－1＜x＜0时，y的值随x值的增大而增大，故C错误；y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3，图象开口向上，所以函数有最小值－3，D正确．故选D.
4．[解析] D ∵二次函数y＝x2－mx＋1的图象的顶点在x轴上，∴二次函数的表达式为y＝(x±1)2，∴m＝±2，故选D.
5．[解析] A 观察图象，可得当0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值－2.5，故选A.
6．[解析] C A．对于直线y＝ax＋b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2－bx来说，对称轴为直线x＝＞0，应在y轴的右侧，故不合题意．
B．对于直线y＝ax＋b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2－bx来说，对称轴为直线x＝＜0，应在y轴的左侧，故不合题意．
C．对于直线y＝ax＋b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2－bx来说，图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，应在y轴的右侧，故符合题意．
D．对于直线y＝ax＋b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2－bx来说，图象开口应向上，故不合题意．故选C.
7．[答案] 1 5
[解析] ∵y＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，∴当x＝1时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值5.
8．[答案] －10 23
[解析] 设二次函数的表达式为y＝(x－h)2＋k，∵图象的顶点坐标为(5，－2)，∴y＝(x－5)2－2＝x2－10x＋23，∴b＝－10，c＝23.
9．－1 增大
10．[答案] ＜
[解析] ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴a＜0.
11．[答案] <
[解析] 方法一：二次函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，在对称轴的右边，y随x的增大而增大．∵2<3，∴y1方法二：把x＝2和x＝3分别代入函数表达式，可求得y1＝22－2×2＋1＝1，y2＝32－2×3＋1＝4，∴y112．[答案] 17
[解析] ∵y＝x2－3x＋5＝＋，将抛物线y＝x2－3x＋5向左平移4个单位，再向上平移2个单位可得抛物线y＝ax2＋bx＋c, ∴y＝＋＋2＝x2＋5x＋11, ∴a＋b＋c＝17.
13．0＜x＜4 14.③④
15．解：(1)∵a＝－2，b＝4，c＝6，∴－＝－＝1，＝＝8，
∴顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x＝1.当y＝0时，－2x2＋4x＋6＝0，
∴x1＝3，x2＝－1，当x＝0时，y＝6，
∴函数图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，6)．图象如图．
(2)由图象，可知：①当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小．
②当－1＜x＜3时，y＞0.
16．解：(1)当x＝0时，y＝1，则点A的坐标为(0，1)．
∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝，
∴点B的坐标为(5，1)．
(2)设直线OB的函数表达式为y＝kx，把B(5，1)代入，可得5k＝1，解得k＝，
∴直线OB的函数表达式为y＝x.由轴对称的性质，可知当点M运动到直线OB与二次函数图象的对称轴的交点处时，△MAO的周长最小．当x＝时，y＝，
∴点M的坐标为.
17．[解析] (1)用待定系数法将点A和点B的坐标代入表达式求出a，c的值；(2)可用配方法或顶点坐标公式求抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)将点P(m，m)代入表达式，结合m>0，求得m的值，又因为点P与点Q关于对称轴对称，可求点Q到x轴的距离．
解：(1)将点A(－1，－1)，B(3，－9)分别代入y＝ax2－4x＋c，
得
解得
所以该二次函数的表达式为y＝x2－4x－6.
(2)对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－10)．
(3)将P(m，m)代入y＝x2－4x－6，得m＝m2－4m－6，解得 m1＝－1，m2＝6.
又因为m>0，
所以m1＝－1不合题意，舍去，
所以m＝6.
又因为点P与点Q关于直线x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为点P到x轴的距离，
所以点Q到x轴的距离为6.
18．解：(1)max{5，2}＝5，max{0，3}＝3.
(2)∵max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，
∴3x＋1≤－x＋1，解得x≤0.
(3)联立两函数表达式，得方程组
解得
∴交点坐标为(－2，4)和(3，－1)．
画出函数y＝－x＋2的图象，如图所示．
观察函数图象，可知当x＝3时，max{－x＋2，x2－2x－4}取最小值－1.
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 用配方法将二次函数由一般式化为顶点式
1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4
C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
2．用配方法把二次函数y＝2x2－4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
解：y＝2x2－4x＋5＝2(________)＋5＝2(x2－2x＋________－________)＋5＝2[(x－1)2－________]＋5＝2(x－1)2＋________．
知识点 2 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的关系
3．2017·淄博将二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位后，得到的图象表示的二次函数的表达式是( )
A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋2
C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－2
4．将二次函数y＝x2－2x＋2的图象平移后得到抛物线y＝(x＋2)2－1，则其平移方式是( )
A．向左平移3个单位，向上平移2个单位
B．向右平移3个单位，向下平移2个单位
C．向右平移3个单位，向上平移2个单位
D．向左平移3个单位，向下平移2个单位
5．将抛物线y＝x2－4x＋3向左平移2个单位后，所得抛物线表示的二次函数的表达式为__________．
知识点 3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
6．抛物线y＝x2－4x－4的对称轴是( )
A．直线x＝－2 B．直线x＝2 C．直线x＝4 D．直线x＝－4
7．2018·攀枝花抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(1，3) D．(－1，3)
8．对于抛物线y＝－4x＋x2－7，下列说法：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝2；③顶点坐标为(2，－3)；④点在该抛物线上；⑤在对称轴右侧，抛物线是上升的．其中正确的说法有________(填序号)．
9．若A(2，y1)，B(3，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．
10．若抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．
11．已知二次函数y＝x2＋4x＋3.
(1)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)当x为何值时，y随x的增大而增大？当x为何值时，y随x的增大而减小？
(3)当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？
规律方法综合练 提升能力
12．将二次函数y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象表示的二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值分别为( )
A．2，－6 B．2，0 C．－6，8 D．－6，2
13．2017·六盘水已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－2－11所示，则( )
图1－2－11
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
15．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图1－2－12所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1图1－2－12
16．已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1.
(1)求m，n的值．
(2)x取什么值时，y随x的增大而减小；x取什么值时，y随x的增大而增大？
17．如图1－2－13，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为直线x＝1，交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为(3，0)．
(1)写出点A的坐标；
(2)求抛物线的函数表达式．
图1－2－13
拓广探究创新练 冲刺满分
18．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中函数y1的图象经过点A(1，1)，若函数y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
教师详解详析
1．D [解析] y＝x2－2x＋3＝x2－2x＋1＋2＝(x－1)2＋2.
2．x2－2x 1 1 1 3
3．D [解析] ∵y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，∴二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位后，得到的图象的函数表达式是y＝(x＋1－2)2－2＝(x－1)2－2，故选D.
4．D [解析] y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∴函数图象的顶点为(1，1)．抛物线y＝(x＋2)2－1的顶点为(－2，－1)，故应将函数的图象向左平移3个单位，向下平移2个单位．
5．y＝x2－1
6．B [解析] 根据题意，可知a＝1，b＝－4，依据抛物线的对称轴公式x＝－求解即可．
7．A
8．①②⑤
9．< [解析] 思路一：二次函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．∵1<2<3，∴y1思路二：把x＝2和x＝3分别代入函数表达式中，可求得y1＝22－2×2＋1＝1，y2＝32－2×3＋1＝4，∴y110．4 [解析] 由－＝1，解得b＝4.
11．解：(1)∵－＝－＝－2，＝＝－1，∴顶点坐标为(－2，－1)，对称轴为直线x＝－2.
(2)当x＞－2时，y随x的增大而增大；
当x＜－2时，y随x的增大而减小．
(3)当x＝－2时，函数有最小值，最小值是－1.
12．B [解析] 将点(1，－4)向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到点(－1，－1)，所以原抛物线表示的二次函数的表达式为y＝(x＋1)2－1，化成一般形式为y＝x2＋2x，所以b＝2，c＝0.故选B.
13．B [解析] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，∴a＜0.∵二次函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0.又∵对称轴为直线x＝－，且－＞0，∴b＞0，故选B.
14．D [解析] 从表格中得知当x＝－3和x＝－2时，y＝－2，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－，故选D.
15．< [解析] 由图象，可知抛物线的对称轴为直线x＝1.∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，且x116．解：(1)∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1，
∴ 解得
即m，n的值分别为2，－2.
(2)∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上．
当x＜－1时，y随x的增大而减小；
当x＞－1时，y随x的增大而增大．
17．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为直线x＝1，交x轴于A，B两点，其中点B的坐标为(3，0)，∴点A的横坐标为－1，
∴点A的坐标为(－1，0)．
(2)将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3，得解得
∴抛物线的函数表达式是y＝x2－2x－3.
18．解：(1)答案不唯一，如y＝x2和y＝2x2.
(2)将点A(1，1)代入y1＝2x2－4mx＋2m2＋1，得2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1，
所以y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，
即函数y1的图象的顶点坐标为(1，1)．
又∵y1＋y2＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8，
函数y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴函数y1＋y2＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8的图象的顶点坐标为(1，1)，
∴解得
∴y2＝5x2－10x＋5.
当0≤x≤3时，易知x＝3时，y2最大值＝5×32－10×3＋5＝20.
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
一、选择题
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(1，0)，(2，0)，(3，4)三点，则该抛物线的函数表达式为( )
A．y＝x2－3x＋2 B．y＝2x2－6x＋4
C．y＝2x2＋6x－4 D．y＝x2－3x－2
2．如果抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点坐标是(0，－4)，那么它的函数表达式是( )
A．y＝－x2－2x－4
B．y＝－x2＋2x－4
C．y＝－(x＋3)2＋1
D．y＝－x2＋6x－12
3．如图K－7－1，该抛物线的函数表达式是( )
图K－7－1
A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
4．已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴也经过点A，则该抛物线的函数表达式为( )
A．y＝x2＋2x B．y＝－x2＋2x
C．y＝x2－2x D．y＝－x2－2x
5．已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点(2，4)，且其顶点在直线y＝2x＋1上，则该二次函数的表达式为( )
A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2－2x＋3
C．y＝x2－2x＋5 D．y＝x2－2x＋4
二、填空题
6．2017·上海已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的表达式可以是________________．(只需写一个)
7．已知点P(－1，5)在抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是4，则该抛物线的函数表达式为________________．
三、解答题
8．根据下面的条件，求二次函数的表达式．
(1)图象经过点(1，－4)，(－1，0)，(－2，5)；
(2)图象的顶点是(－2，3)，且过点(－1，5).
9．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？
10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
—1
0
2
3
4
…
y
…
5
2
2
5
10
…
(1)根据上表填空：
①这条抛物线的对称轴是________，抛物线一定经过点(－2，________)；
②抛物线在对称轴右侧的部分是________的(填“上升”或“下降”)；
(2)将抛物线y＝ax2＋bx＋c向上平移，使它经过点(0，5)，求平移后的抛物线的函数表达式．
11．2017·鄞州区模拟已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－1，0)和点C(2，3)．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)如果将此抛物线沿y轴平移一次后过点(－2，1)，试确定这次平移的方向和距离．
12．2017·黑龙江模拟如图K－7－2，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，且OA＝2，AB＝1.将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，此时抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B，D两点．求这条抛物线的函数表达式．
图K－7－2
1．[解析] B 把(1，0)，(2，0)，(3，4)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得
所以y＝2x2－6x＋4.故选B.
2．[解析] B 设y＝a(x－3)2－1，将(0，－4)代入，得－4＝9a－1，∴a＝－，
∴y＝－(x－3)2－1，
即y＝－x2＋2x－4.
故选B.
3．[解析] D 根据题意，把抛物线经过的三点(0，2)，(－1，0)，(2，0)代入函数表达式中，列出方程组，求出各系数即可．
4．[解析] A ∵抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴也经过点A，∴抛物线的顶点坐标是(－3，－3)，∴－＝－3，＝－3，解得a＝，b＝2，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x.故选A.
5．[解析] D 根据题意，二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点(2，4)，∴4＋2m＋n＝4，得n＝－2m.又∵抛物线的顶点坐标是(－，)，代入y＝2x＋1，整理得m2－4m－4n＋4＝0，把n＝－2m代入，得m2＋4m＋4＝0，解得m1＝m2＝－2，所以n＝4，二次函数的表达式为y＝x2－2x＋4，故选D.
6．[答案] 答案不唯一，如y＝x2－1
[解析] ∵函数图象的顶点坐标为(0，－1)，∴该函数的表达式为y＝ax2－1.又∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0, ∴这个二次函数的表达式可以是y＝x2－1.
7．[答案] y＝－x2－2x或y＝－x2－2x＋8
[解析] 根据题意，得顶点坐标为(－1，1)或(－1，9)，∴－＝－1，＝1或9，解得b＝－2，c＝0或c＝8，则该抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x或y＝－x2－2x＋8，故答案为y＝－x2－2x或y＝－x2－2x＋8.
8．解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.依题意，得解得
∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)设二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋3.
∵二次函数的图象过点(－1，5)，
∴5＝a(－1＋2)2＋3，解得a＝2，
∴y＝2(x＋2)2＋3＝2x2＋8x＋11.
9．解：(1)设此二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，将(0，3)，(－3，0)，(2，－5)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得a＝－1，b＝－2，c＝3，
∴此二次函数的表达式是y＝－x2－2x＋3.
(2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上．
10．解：(1)①∵当x＝0和x＝2时，y值均为2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝－2和x＝4时，y值相同，
∴抛物线一定经过点(－2，10)．
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且x＝2，3，4时的y值逐渐增大，∴抛物线在对称轴右侧的部分是上升的．故答案为上升．
(2)将(－1，5)，(0，2)，(2，2)代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，得 解得
∴原二次函数的表达式为y＝x2－2x＋2.
∵点(0，5)在点(0，2)上方3个单位处，
∴平移后的抛物线的函数表达式为y＝x2－2x＋5.
11．解：(1)由题意，可得解得
所以此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)设抛物线沿y轴平移m个单位，
则此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3＋m.
由题意，可知1＝－4－4＋3＋m，
解得m＝6＞0，
所以抛物线向上平移了6个单位．
12．解：∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，
∴CD＝AB＝1，OC＝OA＝2，
则B(2，1)，D(－1，2)．将其代入抛物线的函数表达式，得解得
∴这条抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋.
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
知识要点分类练 夯实基础
知识点 不共线三点确定二次函数的表达式
1．若抛物线过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)，求此抛物线表示的函数的表达式．
解：(1)设抛物线表示的函数的表达式为__________________________________；
(2)将A，B，C三点的坐标代入得方程组___________________________________；
(3)解方程组得
(4)抛物线表示的函数的表达式为____________．
2．某二次函数的图象经过点A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝－10x2＋x B．y＝－10x2＋19x
C．y＝10x2＋x D．y＝－x2＋10x
3．已知一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝4x2＋3x－5 B．y＝2x2＋x＋5
C．y＝2x2－x＋5 D．y＝2x2＋x－5
4．如图1－3－1，该抛物线表示的二次函数的表达式是( )
图1－3－1
A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
5．2017·百色经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线表示的函数的表达式是________．
6．已知三个点的坐标，是否存在一个二次函数的图象经过这三个点？若存在，请求出这个函数表达式；若不存在，请说明理由．
(1)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，0)；
(2)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，－4)．
7．一条抛物线经过点(1，－2)，(－1，2)，(3，2)．
(1)求这条抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)用配方法把函数表达式化为顶点式，并写出抛物线的顶点坐标．
8．已知某二次函数的图象经过点A(－1，－5)，B(0，－4)和C(1，1)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)判断点D(－2，－1)是否在此抛物线上．
规律方法综合练 提升能力
9．已知抛物线经过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2，则这条抛物线表示的二次函数的表达式为( )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
10．如图1－3－2，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交点的坐标是(0，5)，且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线表示的二次函数的表达式是__________________．
图1－3－2
11．如图1－3－3，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．
(1)求抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，求此时抛物线所表示的函数的表达式．
图1－3－3
12．如图1－3－4，已知直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点C(－1，0)．
(1)求点A，B的坐标．
(2)求抛物线表示的二次函数的表达式．
(3)抛物线在x轴上方的部分是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ABO面积的2倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由，并求出能使△ACP的面积最大的点P的坐标．
图1－3－4
拓广探究创新练 冲刺满分
13．2018·永州如图1－3－5，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点E(0，3)．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG＋FG的值最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
(3)如图②，连接AB，若P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB，抛物线交于点M，N(点M，N都在对称轴的右侧)，当MN的长度最大时，求△PON的面积．
图1－3－5
教师详解详析
1．(1)y＝ax2＋bx＋c (2)
(3)a＝1 b＝－4 c＝3 (4)y＝x2－4x＋3
2．D 3.A
4．D [解析] 根据题意，设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，因为抛物线过点(－1，0)，(0，2)，(2，0)，所以
解得故抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2.
5．y＝－x2＋x＋3 [解析] 根据题意设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)(x－4)，把C(0，3)代入，得－8a＝3，即a＝－，则抛物线的表达式为y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋x＋3.
6．解：(1)存在．设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组解得
因此二次函数y＝2x2＋x－1的图象经过A，B，C三点．
(2)不存在．理由：设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组解得
因此一次函数y＝3x－1的图象经过A，B，C三点，这说明不存在一个二次函数的图象经过A，B，C三点．
7．解：(1)设抛物线表示的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.将点(1，－2)，(－1，2)，(3，2)代入，得解得
因此这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝x2－2x－1.
(2)根据抛物线表示的函数的表达式，可知y＝(x－1)2－2，因此抛物线的顶点坐标为(1，－2)．
8．解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
∵二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)，(1，1)，
∴解得
∴二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
(2)当x＝－2时，y＝－2，
∴点D不在此抛物线上．
9．C [解析] 抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，所以点C的坐标是(0，2)或(0，－2)．当点C的坐标是(0，2)时，图象经过A，B，C三点，可以设函数表达式为y＝a(x－2)(x＋1)，把C(0，2)代入函数表达式，得－2a＝2，a＝－1，则函数表达式为y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2.同理可得当点C的坐标是(0，－2)时，函数表达式为y＝x2－x－2.故这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2或y＝x2－x－2.
10．y＝－x2－x＋5 [解析] 根据题意，得抛物线经过点(0，5)，(－4，2)，(2，4)．设抛物线表示的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
则，解得
故抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2－x＋5.
11．解：(1)把点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得，
所以抛物线表示的二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3.
(2)因为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2.
(3)由(1)得y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.平移后抛物线的顶点落在x轴上，此时抛物线所表示的函数的表达式为y＝(x－2)2.
12．解：(1)当x＝0时，y＝－×0＋2＝2，则B(0，2)；
当y＝0时，－x＋2＝0，解得x＝4，则A(4，0)．
(2)设抛物线表示的二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－4)，
把B(0，2)代入，得a×1×(－4)＝2，解得a＝－，
所以函数表达式为y＝－(x＋1)(x－4)，即y＝－x2＋x＋2.
(3)不存在．
理由：假设存在点P(t，－t2＋t＋2)(－1＜t＜4)，使得△ACP的面积是△ABO面积的2倍，所以×(4＋1)×(－t2＋t＋2)＝2××2×4，
整理，得5t2－15t＋12＝0，Δ＝(－15)2－4×5×12＜0，所以方程没有实数解，
即抛物线在x轴上方的部分不存在点P，使得△ACP的面积是△ABO面积的2倍．
当P为抛物线的顶点时，△ACP的面积最大．
因为y＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，
所以此时点P的坐标为(，)．
13．解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋4，把点E(0，3)代入，得a(0－1)2＋4＝3，解得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
(2)存在．如图①，点E关于对称轴直线x＝1的对称点为E′(2，3)，连接E′F，与对称轴直线x＝1交于点G，连接EG，此时EG＋FG的值最小．设过点E′，F的直线的函数表达式为y＝mx＋n，把E′，F两点坐标代入，得解得∴直线E′F的函数表达式为y＝3x－3，把x＝1代入，得y＝0，因此点G的坐标为(1，0)．
(3)连接AN，BN.要使MN的长度最大，即要使△ABN的面积最大，过点N作NK⊥x轴，交直线AB于点H，交x轴于点K.在y＝－x2＋2x＋3中，令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即B(3，0)，过A(1，4)，B(3，0)两点的直线的函数表达式为y＝－2x＋6.设N(t，－t2＋2t＋3)，则H(t，－2t＋6)，∴NH＝－t2＋4t－3.当NH的长度最大时，△ABN的面积最大．∵NH＝－t2＋4t－3＝－(t－2)2＋1，∴t＝2时，△ABN的面积最大，此时N(2，3)．过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q，∴AQ＝4，OQ＝1，BQ＝BO－OQ＝3－1＝2.设直线PN交x轴于点D，∵PN⊥AB，∴∠BMD＝90°，∴∠ABD＋∠BDN＝90°.∵NK⊥x轴，∴∠DKN＝90°，∴∠DNK＋∠BDN＝90°，∴∠ABD＝∠DNK.在△ABQ和△DNK中，∠AQB＝∠DKN＝90°，∠ABD＝∠DNK，∴△ABQ∽△DNK，∴＝，∴＝，∴DK＝6，∴DO＝DK－OK＝6－2＝4，∴D(－4，0)．设直线PN的函数表达式为y＝kx＋c，把点D(－4，0)，N(2，3)代入，得解得∴直线PN的函数表达式为y＝x＋2，与y轴的交点P的坐标为(0，2)，∴S△PON＝×2×2＝2.
1．4 二次函数与一元二次方程的联系
一、选择题
1．若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝1
2．2017·兰州下表是几组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
－1
－0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
3．如果抛物线y＝x2＋(k－1)x＋4与x轴有两个重合的交点，那么正数k的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如果关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个不等实根分别为x1＝1，x2＝2，那么抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线( )
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝ D．x＝－
5．2017·徐州若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1 D．b＜1
6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形．如果水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的函数表达式为h＝30t－5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
二、填空题
7．2018·黔南州已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴另一个交点的坐标是________．
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
8.抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图K－8－1所示，则关于x的一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的解为________．
图K－8－1
9．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则＋的值为________．
10．2017·德阳若抛物线y＝－ax2＋x－与x轴交于An，Bn两点(a为常数且a≠0，n为自然数且n≥1)，用Sn表示An，Bn两点间的距离，则S1＋S2＋…＋S2017＝________．
三、解答题
11．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.
(1)请在图K－8－2中建立平面直角坐标系并画出该函数的图象；
(2)根据图象求方程－x2＋2x＋3＝0的解；
(3)观察图象确定x取何值时，y＜0；
(4)若方程－x2＋2x＋3＝k有两个不相等的实数根，请直接写出k的取值范围.
图K－8－2
12．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围；
(2)如图K－8－3，二次函数的图象经过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.
图K－8－3
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)与x轴的交点为A，B.
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点．
①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．
图K－8－4
14．小明在一次羽毛球比赛中，打出的羽毛球的飞行路线为图K－8－5所示的抛物线的一部分，小明在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝－(x－4)2＋h.
(1)直接写出h的值________；
(2)求羽毛球的落地点与点O之间的水平距离；
(3)若距离点O的水平距离为5 m的点B处有一球网BC，且高度为1.55 m，请你通过计算判断此球能否过网？
图K－8－5
1．[解析] C ∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0一定有一个解为x＝－1.∵函数图象的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象与x轴的另一个交点为(3，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3.
2．[解析] C 观察表格，得方程x2＋3x－5＝0的一个近似根为1.2，故选C.
3．[解析] C ∵抛物线y＝x2＋(k－1)x＋4与x轴有两个重合的交点，∴Δ＝(k－1)2－16＝0，解得k＝5或k＝－3.∵k为正数，∴k＝5.
4．[解析] C ∵方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝2，∴抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，∴抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝＝，故选C.
5．[解析] A ∵函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，∴ Δ＝(－2)2－4b＞0 且b≠0，解得b＜1且b≠0.
6．[解析] A 水流回落到地面时的高度h为0，把h＝0代入h＝30t－5t2，得5t2－30t＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6 s，故选A.
7．(3，0)
8．[答案] x1＝1，x2＝－3
[解析] 观察图象，可知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的一个交点为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，∴抛物线与x轴另一交点的坐标为(－3，0)，∴一元二次方程－x2＋bx＋c＝0的解为x1＝1，x2＝－3，故本题答案为x1＝1，x2＝－3.
9．[答案] －4
[解析] 令y＝0，则2x2－4x－1＝0，∴一元二次方程的解是点A和点B的横坐标，即x1，x2，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝－，
∴＋＝＝－4.
10．[答案]
[解析] ∵y＝－ax2＋x－＝－a(x－)(x－)，∴点An的坐标为(，0)，点Bn的坐标为(，0)(不失一般性，设点An在点Bn的左侧)，∴Sn＝－，∴S1＋S2＋…＋S2017＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
11．解：(1)如图所示：
(2)方程－x2＋2x＋3＝0的解为x1＝－1，x2＝3.
(3)当x＜－1或x＞3时，y＜0.
(4)若方程－x2＋2x＋3＝k有两个不相等的实数根，则k＜4.
12．解：(1)根据题意，知22－4×(－1)×m＞0，解得m＞－1.
(2)将点A(3，0)代入y＝－x2＋2x＋m，得－9＋6＋m＝0，解得m＝3，
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，则抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝0时，y＝3，即点B(0，3)．令直线AB的函数表达式为y＝kx＋b，将点A(3，0)，B(0，3)代入，得解得k＝－1，b＝3，
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3.
由可得x＝1，y＝2，
∴点P的坐标为(1，2)．
13．解：(1)∵y＝mx2－2mx＋m－1＝m(x－1)2－1，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－1)．
(2)①∵m＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x.
令y＝0，得x＝0或2，不妨设A(0，0)，B(2，0)，
∴线段AB上的整点有3个．
②如图所示，
当抛物线经过点(－1，0)时，m＝，
当抛物线经过点(－2，0)时，m＝，
∴m的取值范围为＜m≤.
14．解：(1)根据题意，知点P(0，1)，将P(0，1)代入y＝－(x－4)2＋h，得－×16＋h＝1，解得h＝，故答案为.
(2)由(1)知抛物线的函数表达式为y＝－(x－4)2＋，当y＝0时，－(x－4)2＋＝0，解得x＝4＋2 或x＝4－2 (舍)．
答：羽毛球落地点与点O之间的水平距离为(4＋2 )m.
(3)在y＝－(x－4)2＋中，当x＝5时，y＝－＋＝＝1.625＞1.55，所以此球可以过网．
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象，如图1－4－1，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
图1－4－1
A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x1＝－1，x2＝4
2．二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点情况是( )
A．有两个相同的交点 B．有两个不同的交点
C．没有交点 D．无法确定
3．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是( )
A．2和－3 B．－2和3
C．2和3 D．－2和－3
4．2018·自贡若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．
5．抛物线y＝3x2＋x－10与x轴有无交点？若无，请说明理由；若有，请求出交点坐标．
知识点 2 用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
6．2017·兰州下表是二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的几组对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
－1
－0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
7．用图象法求一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似解(精确到0.1)．
知识点 3 用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题
8．小明同学在体育课上练习推铅球，图1－4－2是某次铅球被推出后所经过的路线，铅球从点A处出手，在点B处落地，它的运行轨迹满足二次函数y＝－x2＋x＋，则小明同学这次推铅球的成绩是________ m.
图1－4－2
9．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端B处，其身体(看成一点)经过的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图1－4－3所示．
(1)求演员弹跳时离地面的最大高度；
(2)已知人梯BC高3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演能否成功？请说明理由．
图1－4－3
规律方法综合练 提升能力
10．2017·徐州若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
11．2017·苏州若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为( )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝，x2＝ D．x1＝－4，x2＝0
12．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
13．2017·牡丹江若将图1－4－4中的抛物线y＝x2－2x＋c向上平移，使它经过点(2，0)，此时抛物线位于x轴下方的图象对应的x的取值范围是________．
图1－4－4
14．已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线表示的函数的表达式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？
拓广探究创新练 冲刺满分
15．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心位置，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图1－4－5①所示．建立如图②所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的表达式是y＝－x2＋2x＋，请回答下列问题：
(1)柱子OA的高度为多少米？
(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在水池外面？
图1－4－5
教师详解详析
1．D
2．A [解析] 在二次函数y＝x2－2x＋1中，∵Δ＝4－4＝0，∴二次函数的图象与x轴有两个相同的交点．
3．A [解析] 解方程x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.∴函数图象与x轴交点的横坐标是2和－3.
4．－1 [解析] 由二次函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，可得b2－4ac＝22－4×1×(－m)＝0，∴4m＋4＝0，解得m＝－1，∴m的值为－1.
5．解：有．令y＝0，得3x2＋x－10＝0.∵Δ＝12－4×3×(－10)＝121＞0，∴抛物线y＝3x2＋x－10与x轴有交点．∵解方程3x2＋x－10＝0，得x1＝－2，x2＝，∴抛物线y＝3x2＋x－10与x轴的交点坐标是(－2，0)，(，0)．
6．C
7．[解析] 方程x2＋2x－10＝0的解可以看成抛物线y＝x2＋2x－10与x轴交点的横坐标．因此应先画出抛物线，由抛物线与x轴交点的位置确定方程的根的取值范围，观察图象求得近似解．
解：画出函数y＝x2＋2x－10的图象如图所示．
由图象，知方程有两个根，一个根在－4和－5之间，另一个根在2和3之间．先求－5和－4之间的根，利用计算器进行探索：
x
－4.1
－4.2
－4.3
－4.4
y
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
因此，x＝－4.3是方程的一个精确到0.1的近似解．同理，可求得另一个精确到0.1的近似解为x＝2.3.故一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似解为x1≈－4.3，x2≈2.3.
[点评] 本题还可以将方程化为x2＝－2x＋10的形式，利用函数y＝x2和y＝－2x＋10的图象的交点求解．
8．10 [解析] 当y＝0时，－x2＋x＋＝0，解得x1＝10，x2＝－2(不合题意，舍去)，所以小明同学这次推铅球的成绩是10 m.
9．解：(1)将二次函数y＝－x2＋3x＋1化成y＝－＋的形式，
当x＝时，y有最大值，y最大值＝＝4.75.
因此，演员弹跳时离地面的最大高度是4.75米．
(2)这次表演能成功．理由：
当x＝4时，y＝－×42＋3×4＋1＝3.4.
即点B(4，3.4)在抛物线y＝－x2＋3x＋1上，
因此，这次表演能成功．
10．A [解析] ∵函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，
∴解得b＜1且b≠0.
11．A [解析] ∵二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，∴4a＋1＝0，解得a＝－.
∴方程－(x－2)2＋1＝0的实数根为x1＝0，x2＝4.故选A.
12．D [解析] 由题意，得二次函数图象的对称轴为直线x＝2，由对称轴公式得－＝2，解得b＝－4，代入一元二次方程，得x1＝－1，x2＝5.故选D.
13．0＜x＜2 [解析] 设平移后抛物线的函数表达式为y＝x2－2x＋c＋b，把A(2，0)代入，得c＋b＝0，则该函数表达式为y＝x2－2x.当y＝0时，x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴此时抛物线位于x轴下方的图象对应的x的取值范围是0＜x＜2.
14．解：(1)证明：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，
∵Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1>0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)①根据对称轴公式，得x＝－＝，∴m＝2，
∴抛物线表示的函数表达式为y＝x2－5x＋6.
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线表示的函数表达式为y＝x2－5x＋6＋k，
∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝(－5)2－4(6＋k)＝0，解得k＝.
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
15．解：(1)当x＝0时，y＝，故柱子OA的高度为米．
(2)解方程－x2＋2x＋＝0，得x1＝－，
x2＝，∴点B的坐标为，∴OB＝.
故不计其他因素，水池的半径至少为米，才能使喷出的水流不至于落在水池外面．
1.5 第1课时 利用二次函数解决拱桥问题、面积问题
知识要点分类练 夯实基础
知识点1 利用二次函数解决拱桥问题
1．河北省赵县赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图1－5－1②所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y＝－x2.当水面离桥拱顶部的距离DO是4 m时，水面宽度AB为( )
图1－5－1
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
2. 如图1－5－2，已知桥拱形状为抛物线，其函数表达式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12 m，这时水面离桥拱顶部的距离是________．
图1－5－2
3. 如图1－5－3，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成．已知河底ED是水平的，ED＝16 m，AE＝8 m，抛物线的顶点C到ED的距离是11 m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式．
图1－5－3
知识点2 利用二次函数解决面积问题
4．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设其边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当正方形合金板材的成本为72元时，其边长为( )
A．6厘米 B．12厘米
C．24厘米 D．36厘米
5．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
6．把一根长为100 cm的铁丝分为两段，并把每一段都弯成一个正方形，设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为________ cm，设这两个正方形的面积的和为y cm2，则y与x之间的函数表达式为______________；当两个正方形的边长分别为________，________时，两个正方形的面积的和最小，最小是________．
7．某小区要用篱笆围成一直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆长的和恰好为17米．围成的花坛是图1－5－4所示的直角三角形ABC，其中∠ACB＝90°.设AC边的长为x米，直角三角形ABC的面积为S平方米．
(1)求S和x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛的面积是30平方米，则直角三角形的两条直角边的长各为多少米？
图1－5－4
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8．图1－5－5是一个长100 m、宽80 m的矩形草坪，现欲在草坪中间修两条互相垂直且宽为x m的小路，这时草坪的面积y (m2)与宽x(m)之间的函数表达式是( )
图1－5－5
A．y＝x2－20x－8000(0B．y＝x2－180x－8000(0C．y＝x2－180x＋8000(0D．y＝x2－20x＋8000(09．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要每隔0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图1－5－6)，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )
图1－5－6
A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m
10．小明在某次投篮中，球的运行路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分，如图1－5－7所示，若该球命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( )
图1－5－7
A．4.6 m B．4.5 m C．4 m D．3.5 m
11．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图1－5－8①，问饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在图中所示位置留一个2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中饲养室的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
图1－5－8
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12．如图1－5－9，隧道的截面由抛物线和矩形的一部分构成，矩形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为 m.
(1)求该抛物线表示的函数的表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
(2)一辆货车装载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)现要在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
图1－5－9
教师详解详析
1．C
2．9 m [解析] 根据题意，当x＝6时，原式＝－×62＝－9，即水面离桥拱顶部的距离是9 m.
3．解：如图所示．由题，知抛物线的顶点坐标为(0，11)，B(8，8)，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋11，
将点B(8，8)代入抛物线的函数表达式得a＝－，所以抛物线的函数表达式为y＝－x2＋11.
4．A [解析] 设y与x之间的函数表达式为y＝kx2，把x＝3，y＝18代入可得9k＝18，k＝2，∴y＝2x2.把y＝72代入上式得2x2＝72，
解得x＝±6.
∵正方形的边长不能为负数，∴x＝6.
故选A.
5．D [解析] 设围成的长方形的长为x cm，则由题意，得a＝x＝－x2＋20x.∵－1<0，∴a有最大值，即当x＝10时，a最大＝100.∵120＞100，∴a的值不可能为120.故选D.
6．(25－x) y＝2x2－50x＋625 12.5 cm 12.5 cm 312.5 cm2 [解析] 一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(100－4x)＝(25－x)cm，则y＝x2＋(25－x)2＝2x2－50x＋625.∵y＝2x2－50x＋625＝2(x－12.5)2＋312.5，∴当一个正方形的边长为12.5 cm，另一个正方形的边长为25－12.5＝12.5(cm)时，两个正方形的面积的和最小，最小为312.5 cm2.
7．解：(1)∵两条直角边所用的篱笆长的和恰好为17米，围成的花坛是直角三角形ABC，其中∠ACB＝90°，AC边的长为x米，
∴BC＝(17－x)米．
又∵直角三角形ABC的面积为S平方米，
∴S＝AC·BC＝x(17－x)＝－x2＋x.
(2)当S＝30时，－x2＋x＝30，
整理，得x2－17x＋60＝0，解得x1＝12，x2＝5.
∴直角三角形的两条直角边的长分别为12米和5米．
8．C 9.C 10.B
11．解：(1)∵y＝x·＝－(x－25)2＋，
∴当x＝25时，y最大，
即当饲养室的长为25 m时，占地面积y最大．
(2)∵y＝x·＝－(x－26)2＋338，
∴当x＝26时，y最大，即当饲养室的长为26 m时，占地面积y最大．
∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．
12．解：(1)由题意，得点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为，
∴解得
∴该抛物线表示的函数的表达式为y＝－x2＋2x＋4.
∵y＝－x2＋2x＋4＝－(x－6)2＋10，
∴拱顶D到地面OA的距离为10 m.
(2)当x＝6＋4＝10时，y＝－x2＋2x＋4＝－×102＋2×10＋4＝＞6，
∴这辆货车能安全通过．
(3)当y＝8时，－x2＋2x＋4＝8，即x2－12x＋24＝0，
∴x1＋x2＝12，x1x2＝24，
∴两排灯的水平距离最小是
|x1－x2|＝＝＝＝＝4 (m)．
第2课时 利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题
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知识点1 利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题
1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数表达式h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
2．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图1－5－10所示．若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( )
图1－5－10
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
3．若销售一种服装的盈利y(万元)与销售量x(万件)满足函数表达式y＝－2x2＋4x＋5，则盈利的最大值是________．
4．2017·仙桃飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数表达式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．
5．教材例题变式某超市销售一种品牌的牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．当售价为每箱36元时，每月可销售60箱．经市场调查发现，这种品牌牛奶的售价每降低1元，每月的销售量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销售量为y箱．
(1)写出y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围；
(2)问超市如何定价，才能使每月销售牛奶获得的利润最大？最大利润是多少元？
6．2017·德州随着新农村的建设和对旧城区的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近的广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池的中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，如图1－5－11，它喷出的抛物线形水柱在与池中心水平距离为1米处达到最高，水柱落地处与池中心的距离为3米．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线形水柱满足的函数表达式；
(2)求水柱的最大高度是多少？
图1－5－11
知识点2 利用二次函数解决其他问题
7. 公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形．水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的函数表达式为h＝30t－5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
8. 心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y的值越大，表示学生的接受能力越强．
(1)若用10分钟提出概念，则学生的接受能力y的值是多少？
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．
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9．2017·临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝4.5；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．2017·沈阳某商场购进一批单价为20元/个的日用商品，如果以30元/个的价格出售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，半月内销售量减少20件．当销售单价是________元/件时，该商场才能在半月内获得最大利润．
11．2018·滨州如图1－5－12，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：米)与飞行时间x(单位：秒)之间的函数关系为y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题．
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15米时，飞行的时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球的飞行高度何时最大？最大高度是多少？
图1－5－12
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12．2018·仙桃绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图1－5－13，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价格y1(元)、生产成本y2(元)与产量x(千克)之间的函数关系．
(1)求该产品销售价格y1(元)与产量x(千克)之间的函数表达式；
(2)直接写出生产成本y2(元)与产量x(千克)之间的函数表达式；
(3)当产量为多少时，销售这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
图1－5－13
教师详解详析
1．C [解析] ∵高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数表达式h＝－5(t－1)2＋6，∴当t＝1时，小球距离地面的高度最大，最大高度为6米．
2．C
3．7万元 [解析] y＝－2x2＋4x＋5＝－2(x2－2x)＋5＝－2[(x－1)2－1]＋5＝－2(x－1)2＋7，则盈利的最大值为7万元．
4．20 [解析] s＝60t－t2＝－(t－20)2＋600，∴当t＝20时，s取得最大值．故答案为20.
5．解：(1)根据题意，得y＝60＋10x，
由36－x≥24，得x≤12，
∴1≤x≤12，且x为整数．
(2)设所获利润为W(元)，
则W＝(36－x－24)(60＋10x)＝－10x2＋60x＋720＝－10(x－3)2＋810，
∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810.
答：超市将牛奶的售价定为每箱33元时，才能使每月销售牛奶获得的利润最大，最大利润是810元．
6．解：(1)答案不唯一，如图所示，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋h，
将(0，2)和(3，0)代入，得
解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋，
即y＝－x2＋x＋2(0≤x≤3)．
(2)由(1)，得y＝－(x－1)2＋(0≤x≤3)，
∴当x＝1时，y最大＝，
即水柱的最大高度为米．
7．A [解析] 水流回落到地面时的高度h为0，把h＝0代入h＝30t－5t2，得30t－5t2＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝6.故水流从喷出至回落到地面所需要的时间是6 s．故选A.
8．解：(1)当x＝10时，y＝－0.1×102＋2.6×10＋43＝59.
(2)当x＝8时，y＝－0.1×82＋2.6×8＋43＝57.4，
∴用8分钟来提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；
当x＝15时，y＝－0.1×152＋2.6×15＋43＝59.5，
∴用15分钟提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力增强了．
9．B [解析] 由题意，得抛物线的函数表达式为h＝at(t－9)，把(1，8)代入可得a＝－1，∴h＝－t2＋9t＝－(t－4.5)2＋20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25 m，故①错误；∴足球飞行路线的对称轴是直线t＝4.5，故②正确；∵当t＝9时，y＝0，∴足球被踢出9 s时落地，故③正确；∵当t＝1.5时，y＝11.25，故④错误．∴正确的有②③，故选B.
10．35 [解析] 设销售单价为x元/件，销售利润为y元．根据题意，得y＝(x－20)[400－20(x－30)]＝(x－20)·(1000－20x)＝
－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500.∵－20＜0，∴当x＝35时，y有最大值，故答案为35.
11．解：(1)当y＝15时，有－5x2＋20x＝15，化简得x2－4x＋3＝0，因式分解，得(x－1)(x－3)＝0，故x＝1或x＝3，即飞行时间是1秒或者3秒．
(2)飞出和落地的瞬间，小球的高度都为0，
即y＝0，所以0＝－5x2＋20x，
解得x＝0或x＝4，
所以小球从飞出到落地所用时间是4－0＝4(秒)．
(3)当x＝－＝－＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米．
12．解：(1)设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b，
∵图象过点(0，168)与点(180，60)，
∴
解方程组，得
∴y1＝－0.6x＋168(0≤x≤180)．
(2)y2与x之间的函数表达式为
y2＝
(3)设产量为x千克时，销售这种产品获得的利润为W元．
①当0≤x≤50时，
W＝x(－0.6x＋168－70)＝－0.6x2＋98x.
∵该函数图象的对称轴为直线x＝，
∴当0≤x≤50时，W随x的增大而增大，
∴当x＝50时，W的值最大，最大值为3400.
②当50∴当x＝110时，W有最大值4840.
③当130≤x≤180时，W＝(－0.6x＋168－54)x＝－0.6x2＋114x.
∵该函数图象的对称轴为直线x＝95，
∴当130≤x≤180时，W随x的增大而减小，
∴当x＝130时，W的值最大，最大值为4680.
综上，当产量为110千克时，销售这种产品获得的利润最大，最大利润为4840元．
二次函数
专题训练(一) 二次函数与其他知识的综合应用
? 应用一 二次函数与一次函数的综合应用
1．如图1－ZT－1，抛物线y＝x2与直线y＝x交于点A，沿直线y＝x平移抛物线，使得平移后的抛物线的顶点恰好为点A，则平移后抛物线表示的函数的表达式是( )
图1－ZT－1
A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
2．2017·眉山若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax( )
A．有最大值 B．有最大值－
C．有最小值 D．有最小值－
3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
图1－ZT－2
4．已知二次函数y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(如图1－ZT－3所示)，点D在二次函数的图象上，且点D与点C关于对称轴对称，一次函数的图象经过点B，D.
(1)求点D的坐标；
(2)求一次函数的表达式；
(3)P为BD上方抛物线上一动点，求△PDB面积的最大值及此时点P的坐标．
图1－ZT－3
? 应用二 二次函数与反比例函数的综合应用
5．如图1－ZT－4，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y＝－(x<0)的图象交于点A(m，4)，则该二次函数图象的对称轴是( )
图1－ZT－4
A．直线x＝ B．直线x＝
C．直线x＝ D．直线x＝
6．如图1－ZT－5，在直角坐标系中，函数y＝mx和y＝(m＞0)的图象的交点为A，B，BD⊥y轴于点D，S△ABD＝4.
(1)求m的值；
(2)问直线AB向下平移多少个单位时，与经过B，D，A三点的抛物线刚好只有一个交点？
图1－ZT－5
? 应用三 二次函数与几何图形的综合应用
7．如图1－ZT－6，O为坐标原点，边长为的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线上，则该抛物线的函数表达式为( )
图1－ZT－6
A．y＝x2 B．y＝－x2
C．y＝x2 D．y＝－3x2
8．如图1－ZT－7，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0 , )，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上的点A，B.
(1)求点C的坐标；
(2)若将抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的函数表达式．
图1－ZT－7
? 应用四 二次函数与实际问题的综合应用
9．如图1－ZT－8，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面2.2 m，与篮圈中心的水平距离为8 m，当球出手后水平距离为4 m时达到最大高度4 m．篮球运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3 m，此时运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得( )
图1－ZT－8
A．比开始高0.8 m B．比开始高0.4 m
C．比开始低0.8 m D．比开始低0.4 m
10．2017·安徽某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克的售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查发现，每天的销售量y(千克)与每千克的售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表．
售价x(元/千克)
50
60
70
销售量y(千克)
100
80
60
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设每天销售该商品的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化情况，并指出该商品的售价为多少时超市可获得最大利润，最大利润是多少？
11．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图1－ZT－9所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边的长为x米．
(1)若苗圃的面积为72平方米，求x.
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，则这个苗圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
(3)若这个苗圃的面积不小于100平方米，试求出x的取值范围．
图1－ZT－9
教师详解详析
1．C [解析] ∵抛物线y＝x2与直线y＝x交于点A，∴x2＝x，解得x1＝1，x2＝0(舍去)，
∴点A的坐标为(1，1)，∴平移后抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2＋1.
2．B [解析] 因为一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，所以 因此－1＜a＜0.而y＝ax2－ax＝a(x－)2－a，所以二次函数有最大值－.
3．A [解析] A项，由抛物线可知a＞0，x＝－＞0，得b＜0；由直线可知a＞0，b＜0，故本选项正确．B项，由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误．C项，由抛物线可知a＜0，x＝－＞0，得b＞0；由直线可知a＜0，b＜0，故本选项错误．D项，由抛物线可知a＞0，x＝－>0，得b＜0；由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误．
4．解：(1)由y＝－x2－2x＋3得点C的坐标为(0，3)，
对称轴为直线x＝－1，由抛物线的对称性，知点D的坐标为(－2，3)．
(2)设一次函数表达式为y＝kx＋b，∵一次函数图象过点B(1，0)，D(－2，3)，
∴解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋1.
(3)设点P的坐标为(x，－x2－2x＋3)，过点P作y轴的平行线，交直线BD于点M，则M(x，－x＋1)，∴△PDB的面积＝×3×(－x2－2x＋3＋x－1)＝－x2－x＋3，
∴当x＝－时，△PDB面积的最大值为，此时点P的坐标为(－，)．
5．C [解析] 将A(m，4)代入反比例函数表达式得4＝－，即m＝－2，∴点A的坐标为(－2，4)．将A(－2，4)，B(0，－2)代入二次函数表达式得解得
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝.
6．解：(1)∵函数y＝mx和y＝(m＞0)的图象的交点为A，B，联立解得x＝±1，
∴点A(1，m)，B(－1，－m)，
∴S△ABD＝×1×(m＋m)＝4，解得m＝4.
(2)由(1)可得点A(1，4)，B(－1，－4)，D(0，－4)，设经过B，D，A三点的抛物线表示的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
把点A(1，4)，B(－1，－4)，D(0，－4)分别代入，得解得
故抛物线表示的二次函数的表达式为y＝4x2＋4x－4.
设直线AB向下平移k个单位时与抛物线只有一个交点，平移后直线的函数表达式为y＝4x－k.
由题意得4x2＋4x－4＝4x－k，
方程可化为4x2＋k－4＝0，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴Δ＝0－16(k－4)＝0，解得k＝4.
即直线AB向下平移4个单位时，与经过B，D，A三点的抛物线刚好只有一个交点．
7．B [解析] 过点B作BE⊥x轴于点E，连接OB，设该抛物线的函数表达式为y＝ax2(a<0)．
∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE＝75°.
∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°.
∵OA＝，∴OB＝2，∴BE＝1，
∴OE＝＝，
∴点B的坐标为(，－1)．
代入y＝ax2(a<0)，得a＝－，
∴y＝－x2.故选B.
8．解：(1)连接AC，在菱形ABCD中，CD∥AB，AB＝BC＝CD＝DA.由抛物线的对称性可知AC＝BC，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴CD＝AD＝＝2，∴点C的坐标为(2，)．
(2)由抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，)，可设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2＋.
由(1)可得A(1，0)，把A(1，0)代入上式，
解得a＝－.
设平移后抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋k，把(0，)代入上式得k＝5 .∴平移后抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋5 ，即y＝－x2＋4 x＋.
9．A [解析]由题意可得，球出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样，
∴球出手的位置距地面的高度为3 m.
∵3－2.2＝0.8(m)，∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8 m，故选A.
10．解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，将(50，100)，(60，80)代入，
得解得
即y与x之间的函数表达式是y＝－2x＋200(40≤x≤80)．
(2)由题意，可得W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000，即W与x之间的函数表达式是W＝－2x2＋280x－8000(40≤x≤80)．
(3)∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，40≤x≤80，
∴当40≤x<70时，W随x的增大而增大，当70当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800，
即当该商品的售价为每千克70元时超市可获得最大利润，最大利润是1800元．
11．解：(1)根据题意得(30－2x)x＝72，
解得x＝3或x＝12，
∵30－2x≤18，∴x≥6，∴x＝12.
(2)根据题意得解得6≤x≤11.
苗圃的面积S＝x(30－2x)＝－2x2＋30x＝－2＋，
∴当x＝11时，这个苗圃的面积有最小值，最小值为88平方米；当x＝时，这个苗圃的面积有最大值，最大值为 平方米．
(3)由题意得－2x2＋30x≥100，解得5≤x≤10.
又x≥6，∴6≤x≤10.
二次函数
周滚动练习(一)
[范围：1.1～1.2 时间：40分钟 分值：100分]
一、选择题(每题3分，共24分)
1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )
A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c
C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋
2．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点坐标是( )
A．(2，－1) B．(－2，1)
C．(－2，－1) D．(2，1)
3．如图1－G－1，抛物线的顶点是P(1，2)，当函数y的值随自变量x的增大而减小时，x的取值范围是( )
图1－G－1
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1
4．若将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，则下列平移方法正确的是( )
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
5．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的坐标(x，y)的对应值列表如下：
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
则该函数图象的对称轴是( )
A．直线x＝－3 B．直线x＝－2 C．直线x＝－1 D．直线x＝0
7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋b的大致图象为( )
图1－G－2
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－G－3所示，则下列结论正确的是( )
图1－G－3
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c
二、填空题(每题4分，共32分)
9．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则a的值是________．(写一个即可)
10．抛物线y＝2x2－4x的开口向________，顶点坐标是________．
11．若二次函数y＝－x2－4x＋k的最大值是8，则k的值为________．
12．如图1－G－4所示，四个二次函数的图象分别对应函数①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.则a，b，c，d的大小关系为________．(用“＞”连接)
图1－G－4
13. 设矩形窗户的周长为6 m，则窗户的面积S(m2)与其中一边长x(m)之间的函数表达式是________，自变量x的取值范围是________．
14.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－G－5所示，当x＝2时，y的值为________．
图1－G－5
15．已知二次函数y＝x2＋2mx＋2，当x>2时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是________．
16．如图1－G－6，圆的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是__________．
图1－G－6
三、解答题(共44分)
17．(10分)已知函数y＝(m－3)xm2－2m－6是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)当m为何值时，它的图象有最低点？此时当x为何值时，y随x的增大而增大？
(3)当m为何值时，它的图象有最高点？此时当x为何值时，y随x的增大而减小？
18．(10分)已知二次函数的图象经过点A(0，－3)，且顶点P的坐标为(1，－4)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在平面直角坐标系中画出它的图象．
19．(12分)如图1－G－7，已知二次函数y＝－x2＋bx－6的图象与x轴交于点A(2，0)，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
图1－G－7
20．(12分)如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．
(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
(2)探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；
②若一个函数的特征数为[2，3]，问将此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?
教师详解详析
1．C
2．A
3．C [解析] ∵抛物线的顶点是P(1，2)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.又∵抛物线的开口向下，∴函数y的值随自变量x的增大而减小时，x的取值范围是x＞1.
4．D
5．C [解析] ∵－＜0，∴抛物线开口向下，①正确；∵抛物线y＝－(x＋1)2＋3的对称轴为直线x＝－1，∴②错误；抛物线的顶点坐标为(－1，3)，∴③正确；当x>1时，图象呈下降趋势，y随x的增大而减小，∴④正确．
6．B [解析] ∵当x的值为－3和－1时y的值都是－3，∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝－2.
7．B [解析] A．由一次函数y＝ax＋b的图象，可得a＞0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向上，故A错误；B.由一次函数y＝ax＋b的图象，可得a＜0，b＞0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B正确；C.由一次函数y＝ax＋b的图象，可得a＜0，b＜0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向下，故C错误；D.由一次函数y＝ax＋b的图象，可得a＜0，b＞0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向下，故D错误．故选B.
8．D [解析] 由函数图象，知a＞0，c＜0.∵－＝－1，∴b＝2a，∴b＞a，∴b＞a＞c.故选D.
9．答案不唯一，a＜0即可，如－1
10．上 (1，－2)
11．4 [解析] 由题意，得＝8，解得k＝4.
12．a＞b＞d＞c [解析] 因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c)，所以a＞b＞d＞c.
13．S＝－x2＋3x 0＜x＜3 [解析] 由题意，可得S＝x(3－x)＝－x2＋3x.自变量x的取值范围是0＜x＜3.
14．2 [解析] ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝2和x＝0时，y的值相等．∵当x＝0时，y＝2，∴当x＝2时，y＝2.故答案为2.
15．m≥－2 [解析] 该抛物线的对称轴为直线x＝－＝－＝－m.∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∴当x>－m时，y随x的增大而增大．又∵当x>2时，y随x的增大而增大，
∴－m≤2，解得m≥－2.
16．2π [解析] ∵C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，∴两函数的图象关于x轴对称，∴阴影部分面积等于半圆的面积，∴阴影部分面积为π×22＝2π.
17．解：(1)根据题意得m－3≠0且m2－2m－6＝2，
解得m1＝－2，m2＝4.
∴满足条件的m的值为－2或4.
(2)当m－3＞0时，图象有最低点，∴m的值为4.此时二次函数的表达式为y＝x2，∴当x＞0时，y随x的增大而增大．
(3)当m－3＜0时，图象有最高点，∴m的值为－2.此时二次函数的表达式为y＝－5x2，∴当x＞0时，y随x的增大而减小．
18．解：(1)已知二次函数的图象的顶点为P(1，－4)，可设函数表达式为y＝a(x－1)2－4，
把点A(0，－3)代入上式，得－3＝a－4，
解得a＝1，
∴这个二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4，
即y＝x2－2x－3.
(2)如图：
19．解：将A(2，0)代入函数y＝－x2＋bx－6，得0＝－2＋2b－6，解得b＝4，∴二次函数表达式为y＝－x2＋4x－6.当x＝0时，y＝－6，∴点B的坐标为(0，－6)．∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝4，∴点C的坐标为(4，0)，∴S△ABC＝AC·OB＝×(4－2)×6＝6.
20．解：(1)由题意，得此二次函数为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0)．
(2)①特征数为[4，－1]的函数为y＝x2＋4x－1，即y＝(x＋2)2－5.将此函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的图象表示的函数的表达式为y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3.
∴函数的特征数为[2，－3]．
②特征数为[2，3]的函数为y＝x2＋2x＋3，
即y＝(x＋1)2＋2；特征数为[3，4]的函数为y＝x2＋3x＋4，即y＝(x＋)2＋.
∴平移过程为先向左平移个单位，再向下平移个单位．注意：符合题意的其他平移过程也正确．
二次函数
小结与复习
类型之一 二次函数的有关概念
1．下列函数：①y＝1－x2，②y＝，③y＝x(1－x)，④y＝(1－2x)(1＋2x)中，是二次函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知函数y＝(m－1)xm2＋1＋5x＋3是关于x的二次函数，则m的值为________．
类型之二 二次函数的图象和性质
3．二次函数y＝－x2－2x＋3的图象大致是( )
图1－X－1
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－X－2所示，则下列结论中错误的是( )
图1－X－2
A．函数有最小值 B．当－1＜x＜2时，y＞0
C．a＋b＋c＜0 D．当x＜时，y随x的增大而减小
5．把抛物线y＝ax2＋bx＋c先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的函数表达式是y＝x2－3x＋5，则a＋b＋c的值为________．
6．已知二次函数y＝x2＋2x－3.
(1)把函数表达式配成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)求函数图象与x轴的交点坐标；
(3)画出函数图象；
(4)当y＞0时，求x的取值范围．
类型之三 用待定系数法求二次函数的表达式
7．若二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该二次函数的表达式是( )
A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2
8．2017·冷水滩区一模已知某抛物线的顶点坐标为(－2，1)，且与y轴交于点(0，4)，则这个抛物线表示的二次函数的表达式是__________．
9．如图1－X－3，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0)．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点B，且S△OAB＝1，求点B的坐标．
图1－X－3
类型之四 二次函数与一元二次方程的联系
10．2017·朝阳若函数y＝(m－1)x2－6x＋m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为( )
A．－2或3 B．－2或－3 C．1或－2或3 D．1或－2或－3
11．2018·孝感如图1－X－4，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是________．
图1－X－4
12．已知抛物线y＝x2－2x－8.
(1)试说明该抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B的左边)，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
类型之五 二次函数的应用
13．2018·连云港已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是( )
A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B．点火后24 s火箭落于地面
C．点火后10 s的升空高度为139 m
D．火箭升空的最大高度为145 m
14．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)与车流密度x(单位：辆/千米)的函数图象如图1－X－5.若车流密度不超过20辆/千米，此时车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数；当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0.
(1)求当20≤x≤200时，大桥上的车流速度v与车流密度x之间的函数表达式；
(2)车流量y(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)满足y＝x·v，当车流密度x为多大时，车流量y可以达到最大？并求出这个最大值(精确到1辆/时)．
图1－X－5
15．2018·合肥模拟浩然文具店新到一种计算器，进价为25元/个，营销时发现，当销售单价定为30元/个时，每天的销售量为150件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．
(1)写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数表达式(不需写出自变量的取值范围)．
(2)求销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大是多少？
(3)商店的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案：
方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；
方案B：为了满足商场需要，每天的销售量不少于120个．
请比较商店采用哪种方案获得的最大利润更高，并说明理由．
教师详解详析
1．C [解析] ①③④是二次函数．
2．－1 [解析] 根据题意，得
解得m＝－1.
3．A [解析] 二次函数y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∵a＝－1＜0，∴图象开口向下，∴顶点坐标为(－1，4)，符合条件的图象是选项A.
4．B [解析] 由抛物线，可知当－1＜x＜2时，y＜0，故选B.
5．17 [解析] ∵y＝x2－3x＋5＝(x－)2＋，将抛物线y＝x2－3x＋5向左平移4个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y＝ax2＋bx＋c，即y＝(x－＋4)2＋＋2＝x2＋5x＋11，∴a＋b＋c＝17.
6．解：(1)y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
(2)当y＝0时，有x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴函数y＝x2＋2x－3的图象与x轴的交点坐标为(－3，0)和(1，0)．
(3)函数图象如下：
(4)结合函数图象，可知当x＜－3 或 x＞1时，y＞0.
7．D [解析] 设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋2，把(1，0)，(2，0)代入，得
解得
所以该函数的表达式为y＝x2－3x＋2.
8．y＝(x＋2)2＋1 [解析] 设抛物线的函数表达式为y＝a(x＋2)2＋1，把(0，4)代入，得4＝4a＋1，即a＝，则抛物线的函数表达式为y＝(x＋2)2＋1.
9．解：(1)抛物线的函数表达式为y＝x(x－2)，即y＝x2－2x.
(2)因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x＝1.
(3)设点B的坐标为(t，t2－2t)．
因为S△OAB＝1，所以×2×|t2－2t|＝1，
所以t2－2t＝1或t2－2t＝－1，
解方程t2－2t＝1得t1＝1＋，t2＝1－，
则B点坐标为(1＋，1)或(1－，1)；
解方程t2－2t＝－1得t1＝t2＝1，
则B点坐标为(1，－1)．
所以B点坐标为(1＋，1)或(1－，1)或(1，－1).10.C [解析] 当m＝1时，函数表达式为y＝－6x＋，是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点；当m≠1时，函数为二次函数，∵函数y＝(m－1)x2－6x＋m的图象与x轴有且只有一个交点，∴(－6)2－4×(m－1)×m＝0，解得m＝－2或3，故选C.
11．x1＝－2，x2＝1 [解析] 方程ax2＝bx＋c的解是两个函数图象交点的横坐标．
12．解：(1)解方程x2－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4.故抛物线y＝x2－2x－8与x轴一定有两个不同的交点．
(2)如图，由(1)得A(－2，0)，B(4，0)，故AB＝6.由y＝x2－2x－8＝x2－2x＋1－9＝(x－1)2－9，
得点P的坐标为(1，－9)．
过点P作PC⊥x轴于点C，则PC＝9，
∴S△ABP＝AB·PC＝×6×9＝27.
13．D [解析] 因为h＝－t2＋24t＋1＝－(t－12)2＋145，故对称轴为直线t＝12，显然t＝9和t＝13时h不相等；当t＝24时，h＝1≠0；当t＝10时，h＝141≠139；当t＝12时，h有最大值145.所以选项A，B，C均不正确，故选D.
14．解：(1)设v＝kx＋b，把(20，60)，(200，0)代入得解得
所以当20≤x≤200时，大桥上的车流速度v与车流密度x之间的函数表达式为v＝－x＋.
(2)当0≤x≤20时，y＝60x；
当x＝20时，y最大＝1200；
当20＜x≤200时，y＝x·v＝－x2＋x，
当x＝100时，y最大≈3333.因为3333＞1200，
所以当车流密度x为100辆/千米时，车流量y可以达到最大，最大值约为3333辆/时．
15．解：(1)由题意，得销售量＝150－10(x－30)＝－10x＋450，则w＝(x－25)(－10x＋450)＝－10x2＋700x－11250.
(2)w＝－10x2＋700x－11250＝－10(x－35)2＋1000，
∵－10<0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，w最大＝1000，
故当销售单价定为35元/个时，每天的销售利润最大，最大为1000元．
(3)商店采用B方案获得的最大利润高．
理由如下：
A方案中：25×24%＝6(元)，
最大利润是6×(150－10)＝840(元)；
B方案中：若每天的销售量为120个，则单价为33元/个，
∴最大利润是120×(33－25)＝960(元)．
∵840<960，∴商店采用B方案获得的最大利润更高．
二次函数
本章中考演练
1．2018·岳阳抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是( )
A．(－2，5) B．(－2，－5)
C．(2，5) D．(2，－5)
2．2018·广安抛物线y＝(x－2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平移方法正确的是( )
A．先向左平移2个单位，然后向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，然后向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，然后向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，然后向下平移1个单位
3．2018·成都关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( )
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
4．2018·株洲已知二次函数y＝ax2的图象如图1－Y－1，则下列哪个选项中的点有可能在反比例函数y＝的图象上( )
图1－Y－1
A．(－1，2) B．(1，－2) C．(2，3) D．(2，－3)
5．2018·益阳已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－Y－2所示，则下列说法正确的是( )
图1－Y－2
A．ac＜0 B．b＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＜0
6．2018·永州在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝(b≠0)与二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象大致是( )
图1－Y－3
7．2017·邵阳若抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的开口向下，则 a 的值可能是________．(写一个即可)
8．2018·广州已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
9．2017·广州当x＝________时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________．
10．2018·黔东南、黔南、黔西南已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点的坐标是________．
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
11.2018·武汉飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数表达式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中，最后4 s滑行的距离是________m.
图1－Y－4
12．2017·株洲如图1－Y－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(－1，0)，点C(x2，0)，且与y轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：
①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞－1.以上结论中，正确的结论序号是________．
13．2018·湖州已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．
14．2018·南京已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有交点；
(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
15．2018·衡阳一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本为10元/件，已知售价不低于成本，且物价部门规定这种产品的售价不高于16元/件．经市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图1－Y－5所示．
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W(元)与售价x(元/件)之间的函数表达式，并求出每件售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
图1－Y－5
16．2018·郴州如图1－Y－6，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C.P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D，在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S.
①求S关于t的函数表达式；
②求点P到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
图1－Y－6
教师详解详析
1．C [解析] 抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)．
2．D [解析] 抛物线y＝x2的顶点是(0，0)，抛物线y＝(x－2)2－1的顶点是(2，－1)．由(0，0)到(2，－1)的平移方法是先向右平移2个单位，再向下平移1个单位．故选D.
3．D [解析] y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3.
当x＝0时，y＝－1，所以图象与y轴的交点坐标为(0，－1)，故选项A错误；
图象的对称轴是直线x＝－1，在y轴的左侧，故选项B错误；
因为抛物线的对称轴是直线x＝－1，开口向上，所以当x<－1时，y的值随x的增大而减小，故选项C错误；
二次函数y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是(－1，－3)，所以当x＝－1时，y有最小值－3，故选项D正确．
4．C [解析] 二次函数y＝ax2的图象开口向上，所以a＞0，所以反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，选项C中点(2，3)在第一象限，故选C.
5．B [解析] 由二次函数的图象开口向上，知a＞0，图象与y轴交点位于正半轴，知c＞0，所以ac＞0，选项A错误；由x＝－>0，知b＜0，选项B正确；由抛物线与x轴有两个不同的交点，知y＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，所以b2－4ac＞0，选项C错误；当x＝1时，y＞0，即a＋b＋c＞0，选项D错误．
6．D [解析] 二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)中，如果对称轴在y轴左侧，则a与b符号相同(可简称“左同”)；如果对称轴在y轴右侧，则a与b符号相反(可简称“右反”)．选项A，二次函数y＝ax2＋bx中，a＞0，b＜0，反比例函数y＝中，b＞0，矛盾；选项B，二次函数y＝ax2＋bx中，a＞0，b＞0，反比例函数y＝中，b＜0，矛盾；选项C，二次函数y＝ax2＋bx中，a＜0，b＞0，反比例函数y＝中，b＜0，矛盾；选项D，二次函数y＝ax2＋bx中，a＜0，b＞0，反比例函数y＝中，b＞0，正确．
7．－1(答案不唯一，小于零即可)
8．增大 [解析] 因为二次函数y＝x2的图象开口向上，对称轴是y轴，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，所以当x＞0时，y随x的增大而增大．
9．1 5 [解析] ∵y＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，
∴当x＝1时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值5.故答案为：1，5.
10．(3，0) [解析] 由表可知，二次函数图象上点(0，3)，(2，3)的纵坐标相同，则对称轴为直线x＝1.∵图象与x轴一个交点的坐标为(－1，0)，∴与x轴另一个交点的坐标为(3，0)．
11．24
12．①④ [解析] 由图象可知抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线经过A(－1，0)，B(0，－2)，对称轴在y轴的右侧，∴
可得a－b＝2，b＜0.故a＝2＋b＜2，∴0＜a＜2；由a＝b＋2，0＜a＜2，得0＜b＋2＜2，可得－2＜b＜0；当|a|＝|b|时，∵a＞0，b＜0，故有a＝－b.又a－b＝2，可得a＝1，b＝－1.故原函数为y＝x2－x－2，当y＝0时，有x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，在这里x2＝2＞－1.故答案为①④.
13．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y＝ax2＋bx－3，得解得
即a的值为1，b的值为－2.
14．解：(1)证明：当y＝0时，可得方程2(x－1)(x－m－3)＝0，解得x1＝1，x2＝m＋3.
所以，不论m为何值，该函数的图象与x轴总有交点．
(2)当x＝0时，y＝2m＋6，即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m＋6.
当2m＋6>0，即m>－3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
15．[解析] (1)利用待定系数法求解，可得y关于x的函数表达式；
(2)根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数表达式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
解：(1)设y与x的函数表达式为y＝kx＋b，
将(10，30)，(16，24)代入，得
解得
所以y与x的函数表达式为y＝－x＋40(10≤x≤16)．
(2)根据题意，知
W＝(x－10)y
＝(x－10)(－x＋40)
＝－x2＋50x－400
＝－(x－25)2＋225(10≤x≤16)，
∵a＝－1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大．
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144.
答：每件售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
16．解：(1)把点A(－1，0)，B(3，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
所以抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)当t＝2时，存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．
连接CP交对称轴于点G.当t＝2时，点C，P关于x轴对称．
因为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，3)，对称轴为直线x＝1，
所以OC＝3，故点M的坐标为(1，6)时，四边形CDPM是平行四边形．
当t＝2时，不存在这样的点M.
理由：当四边形CDPM是平行四边形，CG＝PG，
所以点P的横坐标t＝2，矛盾．故不存在这样的点A.
(3)①如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H.
则OH＝t，PH＝－t2＋2t＋3，BH＝3－t，
所以S＝S梯形OHPC＋S三角形PHB－S三角形COB＝(OC＋PH)×OH＋PH×BH－OC×OB＝(3－t2＋2t＋3)×t＋(－t2＋2t＋3)(3－t)－×3×3＝－t2＋t(0②因为S＝－t2＋t，－＜0，
所以S有最大值．
因为S＝－t2＋t＝－(t－)2＋，
当t＝时，点P在第一象限，
故当t＝时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为(，)．
由于BC＝3 为定值，所以此时点P到直线BC的距离最大．设最大距离为n，所以×3 ×n＝，解得n＝.故点P到直线BC的距离的最大值为.
