2．1 圆的对称性
知识点 1 圆的有关概念
1．下列说法正确的是( )
A．弦是直径 B．弧是半圆
C．半圆是弧 D．过圆心的线段是直径
2．⊙O的半径是4，P是圆内一点，则过点P的最长弦的长度是________．
3．如图2－1－1所示，⊙O的半径为4 cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为________cm.
图2－1－1
知识点 2 点与圆的位置关系
4．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内 D．不能确定
5．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )
A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外
6．教材练习第2题变式已知⊙O的半径为4 cm，B为线段OA的中点，当线段OB满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系：
(1)OB＝3 cm；(2)OB＝2 cm；(3)OB＝1 cm.
7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M为AB的中点．
(1)以点C为圆心，3为半径作⊙C，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？
(2)若以点C为圆心作⊙C时，点B在⊙C外，点A在⊙C内，则⊙C的半径r的取值范围是什么？
知识点 3 圆的对称性
8．以下关于圆的对称性的结论，正确的是( )
A．圆是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，但只有一个对称中心和一条对称轴
C．圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心只有一个，而对称轴有无数条
D．圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心有无数个，但对称轴只有一条
9．将一张圆形纸片沿着它的一条直径翻折，直径两侧的部分相互重合，这说明( )
A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
B．圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴
C．圆的直径相互平分
D．圆上任意一点到圆心的距离都相等
10．如图2－1－2所示，三圆同心于点O，AB＝4 cm，CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为________cm2.
图2－1－2
11．点M与⊙O上的点的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则⊙O的半径是( )
A．5.5 cm B．2.5 cm
C．2.5 cm或5.5 cm D．5 cm或11 cm
12．如图2－1－3所示，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当点P在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度( )
图2－1－3
A．不变 B．变小 C．变大 D．不能确定
13．如图2－1－4所示，BD，CE是△ABC的高，M为BC的中点．试证明点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上．
图2－1－4
14．如图2－1－5，AB是⊙O的弦(非直径)，C，D是AB上两点，并且AC＝BD，连接OC，OD.
求证：OC＝OD.
图2－1－5
15．如图2－1－6，AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，延长AB，OC交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，求∠D的度数．
图2－1－6
16．如图2－1－7，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A，B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合)，直线CP与⊙O相交于点Q.是否存在点P，使得QP＝QO.若存在，求出相应的∠OCP的度数；若不存在，请简要说明理由．
图2－1－7
教师详解详析
1．C
2．8 [解析] 过圆内点P最长的弦是圆的直径．
3．4 [解析] ∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴AB＝OA＝4 cm.
4．C 5.A
6．解：(1)∵OB＝3 cm，∴OA＝6 cm＞4 cm，∴点A在⊙O外．
(2)∵OB＝2 cm，∴OA＝4 cm，∴点A在⊙O上．
(3)∵OB＝1 cm，∴OA＝2 cm＜4 cm，∴点A在⊙O内．
7．[解析] (1)欲判断点与圆的位置关系，只需求出该点与圆心的距离，再与圆的半径相比较即可．
解：(1)由于AC＝3＝r，故点A在⊙C上．
由于BC＝4>r，故点B在⊙C外．
在Rt△ABC中，
AB＝＝＝5.
又∵M为AB的中点，∴MC＝AB＝<3，
∴点M在⊙C内．
(2)∵AC＝3，BC＝4，
∴要使点B在⊙C外，点A在⊙C内，则⊙C的半径r的取值范围是3
8．C
9．B [解析] 根据圆的对称性可以得到：直径所在的直线为圆的对称轴，沿着它的直径翻折后，直径两侧的部分互相重合．
10．π [解析] 阴影部分的面积应为π×(4÷2)2＝π (cm2)．
11．C [解析] 当点M在圆内时，与最近点的距离为3 cm，与最远点的距离为8 cm，则⊙O的直径是11 cm，因而半径是5.5 cm；当点M在圆外时，与最近点的距离为3 cm，与最远点的距离为8 cm，则⊙O的直径是5 cm，因而半径是2.5 cm.
12．A [解析] 连接OP，∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，∴AB＝OP＝半径．当点P在上移动时，半径不变，∴AB的长度不变，故选A.
13．证明：连接ME，MD.
∵BD，CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，
∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上．
14．证明：连接OA，OB.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.在△AOC与△BOD中，∵AC＝BD，∠OAB＝∠OBA，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC＝OD.
15．解：连接OB，∵BD＝OA，OA＝OB，
∴△AOB和△BOD均为等腰三角形．
设∠D＝x°，则∠OBA＝2x°.
∵OB＝OA，∴∠A＝2x°.
在△AOB中，2x＋2x＋(105－x)＝180，
解得x＝25，即∠D＝25°.
16．解：是．(1)当点P在线段OA上时，画出图①，在△QOC中，∵OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP.在△OPQ中，∵QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.又∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30°.在△OPQ中，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，即(∠OCP＋30°)＋(∠OCP＋30°)＋∠OCP＝180°，
整理，得3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°.
(2)当点P在线段OA的延长线上时，如图②，∵OC＝OQ，∴∠OQP＝∠OCQ，∴∠OQP＝(180°－∠QOC)×①.
∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝∠POQ，∴∠OPQ＝(180°－∠OQP)×②.在△OQP中，30°＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180°③，
把①②代入③，得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°，∴∠OCP＝100°.
(3)当P在线段OA的反向延长线上时，如图③，∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC.
∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝∠POQ，
∴2∠OPQ＝∠OQC＝∠OCP.
∵∠AOC＝30°，∠AOC＝∠OPQ＋∠OCP＝3∠OPQ，∴∠OPQ＝10°，
∴∠OCP＝20°.
综上，∠OCP 的度数为40°或100°或20°.
2．1 圆的对称性
一、选择题
1．下列语句中，不正确的有( )
①过圆上一点可以作无数条圆中最长的弦；
②长度相等的弧是等弧；
③圆上的点到圆心的距离都相等；
④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图K－10－1所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在同一条直线上，图中弦的条数为( )
图K－10－1
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，则点A与⊙O的位置关系是 ( )
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．不能确定
4．半径为5的圆的弦长不可能是( )
A．3 B．5 C．10 D．12
5．已知MN是⊙O的一条非直径的弦，则下列说法中错误的是( )
A．M，N两点到圆心O的距离相等
B．MN是圆的一条对称轴
C．在圆中可画无数条与MN相等的弦
D．圆上有两条弧，一条是优弧，一条是劣弧
6．如图K－10－2所示，方格纸上一圆经过(2，6)，(－2，2)，(2，－2)，(6，2)四点，则该圆圆心的坐标为( )
图K－10－2
A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)
7.形如半圆型的量角器直径为4 cm，放在如图K－10－3所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上)，连接60°和120°刻度线的一个端点P，Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为( )
图K－10－3
A．(－1，) B．(0，) C．(，0) D．(1，)
二、填空题
8．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于________．
9．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为 d cm.
(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O______；
(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O______；
(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O______．
10．如图K－10－4所示，三圆同心于点O，AB＝4 cm，CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为________cm2.
图K－10－4
11．如图K－10－5所示，在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊，在B，C，D处各有一筐青草，要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到．如果AB＝5，BC＝12，那么拴羊的绳长l的取值范围是________．
图K－10－5
三、解答题
12．如图K－10－6所示，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO，并延长CO，BO分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.
图K－10－6
13．如图K－10－7，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D.
求证：AB∥CD.
图K－10－7
14．如图K－10－8，在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，M，N分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，垂足为D，以D为圆心，3 cm为半径画圆，判断A，B，C，M，N各点和⊙D的位置关系.
图K－10－8
15．图K－10－9，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF与AB 的延长线相交于点F，点O在AD上，AO ＝ CO，BC∥EF.
求证：(1)AB＝AC;
(2)A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．
图K－10－9
1．[解析] B ①②不正确．
2．A
3．[解析] A d＝3 cm＜4 cm＝r，所以点A在⊙O内．
4．[解析] D 圆中弦的长度小于或等于圆的直径．
5．B 6.B
7．[解析] B 连接OQ，PO，则∠POQ＝120°－60°＝60°.∵PO＝OQ，∴△POQ是等边三角形，∴PQ＝PO＝OQ＝×4＝2(cm)，∠OPQ＝∠OQP＝60°.∵∠AOQ＝90°－60°＝30°，∴∠QAO＝180°－60°－30°＝90°，∴AQ＝OQ＝1 cm.∵在Rt△AOQ中，由勾股定理，得OA＝＝，∴点A的坐标是(0，)．故选B.
8．半径
9．(1)内 (2)上 (3)外
10．[答案] π
[解析] 根据圆是轴对称图形，得阴影部分的面积＝大圆的面积＝π(4÷2)2＝π(cm2)．
11．[答案] 5≤l＜13
[解析] 根据题意画出图形如图所示：
AB＝CD＝5，AD＝BC＝12，根据矩形的性质和勾股定理得到：
AC＝＝13.
∵AB＝5，BC＝12，AC＝13，而B，C，D中至少有一个点在⊙A内或上，且至少有一个点在⊙A外，∴点B在⊙A内或上，点C在⊙A外，∴要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到，拴羊的绳长l的取值范围是5≤l＜13.
12．证明：∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC.
又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
∴△EOB≌△FOC，
∴OE＝OF，
∴CE＝BF.
13．证明：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCD＝(180°－∠O)．
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OAB＝(180°－∠O)，
∴∠OCD＝∠OAB，
∴AB∥CD.
14．解：连接DM，DN.
∵在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵AD⊥BC，
∴AD＝AB＝3 cm，BD＝CD＝3 cm.
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴DM＝DN＝AB＝3 cm，
∴点A，M，N在⊙D上，点B，C在⊙D外．
15．证明：(1)∵AE⊥EF, EF∥BC，
∴AD⊥BC.
∵BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC.
(2)如图，连接BO，
∵AD是BC的垂直平分线，
∴BO＝CO.
又∵AO＝CO，
∴AO＝BO＝CO，
∴A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．
2.2.1 圆心角
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( )
A．等弦所对的弧相等
B. 等弧所对的弦相等
C. 圆心角相等，它们所对的弦相等
D. 弦相等，它们所对的圆心角相等
2．如图K－11－1，在⊙O中，若C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC的度数为( )
图K－11－1
A．40° B．45° C．50° D．60°
3．如图K－11－2所示，AB是⊙O的直径，＝＝，如果∠BOC＝40°，那么∠AOE的度数为 ( )
图K－11－2
A．40° B．60° C．80° D．120°
4．如图K－11－3所示，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为( )
图K－11－3
A．25° B．40° C．50° D．55°
二、填空题
5．如图K－11－4所示，AB，CD，EF都是⊙O的直径，且∠1＝∠2＝∠3，则⊙O的弦AC，BE，DF的大小关系是____________.
图K－11－4
6．如图K－11－5所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A的度数为________．
图K－11－5
7．如图K－11－6，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠AOC＝________°，∠COF＝________°
图K－11－6
.
三、解答题
8．如图K－11－7，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD＝DE.
图K－11－7
9．如图K－11－8，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD.求证：AD＝BC.
图K－11－8
10．如图K－11－9，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：＝.
图K－11－9
11．如图K－11－10所示，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝120°，C是的中点，试判断四边形AOBC的形状，并说明理由．
图K－11－10
12．如图K－11－11，在?ABCD中，以点A为圆心，AB为半径的圆分别交AD，BC于点F，G，延长BA交⊙A于点E.求证：＝.
图K－11－11
13．如图K－11－12，A，B，C为⊙O上的三点，且＝＝.
(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数；
(2)连接AB，BC，AC，试确定△ABC的形状；
(3)若⊙O的半径为10 cm，求△ABC的周长．
图K－11－12
14．如图K－11－13，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝CD.
图K－11－13
素养提升
分类讨论思想如图K－11－14，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点．
(1)连接AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD；
(2)若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB，PD，PF，写出这三条线段长度的数量关系(不必说明理由)．
图K－11－14
1．B
2．[解析] A ∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝50°，∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°.
∵C是的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°.
3．[解析] B 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，由＝＝，得∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝40°，所以∠AOE＝180°－3×40°＝60°.
4．[解析] B 连接OB，OC.∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB，△OBC，△OCD为等腰三角形．∵∠A＝65°，∠D＝60°，∴∠1＝180°－2∠A＝180°－2×65°＝50°，∠2＝180°－2∠D＝180°－2×60°＝60°.∵的度数为150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD－∠1－∠2＝150°－50°－60°＝40°，
∴的度数为40°.
5．AC＝BE＝DF
6．[答案] 40°
[解析] ∵在⊙O中，＝，
∴AB＝AC，∴∠C＝∠B＝70°，
∴∠A＝180°－∠B－∠C＝40°.
7．36 108
8．证明：连接OE，如图．
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA.
∵AE∥CD，
∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA，
∴∠BOD＝∠DOE，
∴BD＝DE.
9．证明：∵AB＝CD，
∴＝，
即＋＝＋，
∴＝，
∴AD＝BC.
10．证明：连接OC，OD，如图．
∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，
∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，OM＝ON，OC＝OD，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，
∴∠COM＝∠DON，
∴＝.
11．解：四边形AOBC是菱形．理由：连接OC，
∵C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝×120°＝60°.
∵CO＝BO，
∴△OBC是等边三角形，OB＝BC，同理△OCA是等边三角形，
∴OA＝AC.
∵OA＝OB，∴OA＝AC＝BC＝OB，
∴四边形AOBC是菱形．
12．证明：如图，连接AG.
∵AB＝AG，
∴∠ABG＝∠AGB.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠AGB＝∠DAG，∠EAD＝∠ABG，
∴∠DAG＝∠EAD，
∴＝.
13．解：(1)∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
又∠AOB＋∠BOC＋∠AOC＝360°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.
(2)∵＝＝，
∴AB＝BC＝CA，
∴△ABC为等边三角形．
(3)过点O作OD⊥BC于点D.在Rt△DOC中，sin∠DOC＝，
∴DC＝10×＝5 (cm)，
∴BC＝10 cm，
∴△ABC的周长为30 cm.
14．证明：连接AC.
∵∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝30°，
∴AC＝CD.
又OA＝OC，
∴∠ACE＝75°.
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AE＝AC，
∴AE＝CD.
[素养提升]
解：(1)证明：如图，连接OB，OF.∵A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，∴△AOB，△AOF是等边三角形，∴AB＝AF＝AO＝OD，
∴AB＋AF＝AD.
(2)当点P在上时，PB＋PF＝PD；当点P在上时，PB＋PD＝PF；当点P在上时，PD＋PF＝PB.
2．2.1 圆心角
知识点 1 圆心角的定义
1．下面四个图中的角，表示圆心角的是( )
图2－2－1
2．在直径为8的圆中，90°的圆心角所对的弦长为( )
A．4 B．4 C．4 D．8
3．在半径为2 cm的⊙O中，弦长为2 cm的弦所对的圆心角为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
4．如图2－2－2所示，在⊙O中，已知＝，则弦AC与BD的关系是( )
图2－2－2
A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
5．如图2－2－3，已知∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是( )
图2－2－3
A．AB＝CD B.＝
C．△AOB≌△COD D．△AOB，△COD都是等边三角形
6．如图2－2－4，已知在⊙O中，BC是直径，＝，∠AOD＝80°，则∠ABC的度数为( )
图2－2－4
A．40° B．65° C．100° D．105°
7．如图2－2－5，在⊙O中，＝，∠1＝50°，则∠2的度数为________．
图2－2－5
8．如图2－2－6，AB是⊙O的直径，＝＝，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数是________．
图2－2－6
9．如图2－2－7，已知AB＝CD.
求证：AD＝BC.
图2－2－7
10．如图2－2－8，A，B，C是⊙O上的三点，且有＝＝.
(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数；
(2)连接AB，BC，CA，试确定△ABC的形状．
图2－2－8
11．教材习题2.2A组第2题变式如图2－2－9所示，OA，OB，OC是⊙O的三条半径，M，N分别是OA，OB的中点，且MC＝NC.
求证：＝.
图2－2－9
12．如图2－2－10，在⊙O中，＝2，那么( )
图2－2－10
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB<2AC D．AB>2AC
13. 如图2－2－11，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的周长为( )
图2－2－11
A．5π cm B．6π cm C．9π cm D．8π cm
14．如图2－2－12所示，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是________．
图2－2－12
15．如图2－2－13，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD.求证：＝.
图2－2－13
16．如图2－2－14，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：OC∥BD.
图2－2－14
17．如图2－2－15，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝CD.
图2－2－15
18．如图2－2－16，A，B是圆O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．
(1)试判断四边形OACB的形状，并说明理由；
(2)延长OA至点P，使得AP＝OA，连接PC，若圆O的半径R＝2，求PC的长．
图2－2－16
教师详解详析
1．D 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B
7．50° 8.60°
9．[解析] 要证AD＝BC，可证＝.
证明：∵AB＝CD，∴＝，
∴－＝－，即＝，
∴AD＝BC.
10．解：(1)∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠AOC＝360°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.
(2)∵＝＝，
∴AB＝BC＝CA，
∴△ABC是等边三角形．
11．证明：∵M，N分别是OA，OB的中点，
∴OM＝OA，ON＝OB.
又OA＝OB，∴OM＝ON.
在△OMC和△ONC中，
OM＝ON，MC＝NC，OC＝OC，
∴△OMC≌△ONC，∴∠COM＝∠CON，
∴＝.
12．C [解析] 取的中点M，连接AM，BM，则＝＝，∴AC＝AM＝BM.在△ABM中，AB13．D [解析] 连接OD，OC.根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径为4 cm，然后由圆的周长公式进行计算．
14．51° [解析] ∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°.又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×(180°－78°)＝51°.
15．证明：连接OC.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.
∵AC∥OD，
∴∠OAC＝∠BOD，∠DOC＝∠ACO，
∴∠BOD＝∠COD，∴＝.
16．解：(1)△AOC是等边三角形．理由如下：
∵＝，∴∠AOC＝∠COD＝60°.
又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．
(2)证明：∵∠AOC＝∠COD＝60°，
∴∠BOD＝60°.
又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠AOC＝∠B，∴OC∥BD.
17．证明：连接AC，∵∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝30°，AC＝CD.又∵OA＝OC，∴∠ACE＝75°.∵∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝45°，∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°，∴∠ACE＝∠AEC，∴AE＝AC，∴AE＝CD.
18．解：(1)四边形OACB是菱形．理由：连接OC，∵∠AOB＝120°，C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°.∵OA＝OC＝OB，∴△AOC与△BOC都是等边三角形，∴AC＝OA＝OC＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形．
(2)∵AP＝OA，AC＝OA，∴AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝∠OAC＝30°，∴∠OCP＝90°.
∵R＝2，∴OC＝2，OP＝4，∴PC＝＝2 .
2.2.2 第1课时 圆周角定理及其推论1
一、选择题
1．2017·徐州如图K－12－1，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为( )
图K－12－1
A．28° B．54° C．18° D．36°
2．2018·聊城如图K－12－2，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )
图K－12－2
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
3．2017·苏州如图K－12－3所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°.以BC为直径的⊙O交AB于点D.E是⊙O上一点，且＝，连接OE.过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为( )
图K－12－3
A．92° B．108° C．112° D．124°
4．如图K－12－4所示，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF的度数为( )
图K－12－4
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
二、填空题
5．如图K－12－5，弦AB，CD相交于点O，连接AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是____________．
图K－12－5
6．如图K－12－6，在⊙O中，＝，∠DCB＝28°，则∠ABC＝________°.
图K－12－6
7．如图K－12－7所示，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A′OB′，若∠AOB＝30°，∠BCA′＝40°，则∠BOB′＝________°.
图K－12－7
8．如图K－12－8，经过原点O的⊙P与x轴、y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，∠CBO＝25°，则∠ACB＝________°，∠OAC＝________°.
图K－12－8
9．如图K－12－9，在⊙O中，弦AC＝2 ，B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝________．
图K－12－9
三、解答题
10．如图K－12－10，点A，C和B都在⊙O上，且AC∥OB，BC∥OA.
(1)求证：四边形ACBO为菱形；
(2)求∠ACB的度数．
图K－12－10
11．如图K－12－11，点A，B，C在⊙O上，弦AE平分∠BAC交BC于点D.
求证：BE2＝ED·EA.
图K－12－11
12．2017·长沙模拟如图K－12－12，AB是⊙O的一条弦，C，D是⊙O上的两个动点，且在弦AB的异侧，连接CD.
(1)已知AC＝BC，BA平分∠CBD，求证：AB＝CD；
(2)若∠ADB＝45°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积的最大值．
图K－12－12
13．如图K－12－13，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E，若AE＝10，∠ACB＝60°，求BC的长．
图K－12－13
素养提升
新定义·探索性问题如图K－12－14，P为圆外一点，PB交⊙O于点A，B，PD交⊙O于点C，D，的度数为75°，的度数为15°.
(1)求∠P的度数；
(2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质；
(3)请你定义“圆内角”，并概括圆内角的性质．
图K－12－14
1．D
2．[解析] D ∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，
∴∠B＝∠ADC－∠A＝85°－60°＝25°，
∴∠O＝2∠B＝2×25°＝50°，
∴∠C＝∠ADC－∠O＝85°－50°＝35°.
3．[解析] C ∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，
∴∠ABC＝34°.
∵＝，∴2∠ABC＝∠COE＝68°.
又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，
∴∠F＝360°－90°－90°－68°＝112°.
4．[解析] B 连接OB.∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝AB.又∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB为等边三角形. ∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOF＝30°，由圆周角定理，得∠BAF＝∠BOF＝15°.
5．本题答案不唯一，如∠A＝∠C
6．[答案] 28
[解析] ∵＝，∴＝，∴∠ABC＝∠DCB.又∵∠DCB＝28°，∴∠ABC＝28°.
7．[答案] 110
[解析] ∵∠BCA′＝40°，∴∠BOA′＝2∠BCA′＝80°.∵将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A′OB′，∴∠A′OB′＝∠AOB＝30°，∴∠BOB′＝∠BOA′＋∠A′OB′＝110°.
8．90 25
9．[答案]
[解析] ∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°.
∵OA＝OC＝R，∴R2＋R2＝(2 )2，
解得R＝，故答案为.
10．解：(1)证明：∵AC∥OB，BC∥OA，
∴四边形ACBO为平行四边形．
又∵OA＝OB，
∴四边形ACBO为菱形．
(2)如图，连接OC.
∵四边形ACBO为菱形，OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠ACO＝60°，同理∠BCO＝60°，
∴∠ACB＝120°.
11．[解析] 欲证BE2＝ED·EA，只需证＝，则只需证△BEA∽△DEB.由于AE平分∠BAC，则∠BAE＝∠CAE.因为∠EBD＝∠CAE，所以∠BAE＝∠DBE.又由于∠E为公共角，命题可证．
证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE.
又∵∠CAE＝∠DBE，
∴∠BAE＝∠DBE.
又∵∠E＝∠E，
∴△BEA∽△DEB，
∴＝，
即BE2＝ED·EA.
12．解：(1)证明：∵AC＝BC，∴＝.
∵BA平分∠CBD，
∴∠CBA＝∠DBA，
∴＝，∴＝，∴AB＝CD.
(2)∵S四边形ACBD＝S△ADB＋S△ACB.设△ADB和△ACB的公共边AB上的高分别为h1，h2，则h1＋h2的最大值为⊙O的直径，即当C在劣弧AB的中点、D在优弧AB的中点时，四边形ACBD的面积最大，如图，连接OA，OB，
∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°.
∵AO＝BO＝1，∴AB＝，
∴S四边形ACBD＝AB(h1＋h2)＝××2＝.
13．解：∵D是的中点，
∴DA＝BD.
∵∠ACB＝60°，∠ACB与∠ADB是同弧所对的圆周角，
∴∠ADB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠DAB＝∠DBA＝60°，
∴∠DCB＝∠DAB＝60°.
∵DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠DCB＝∠E.
∵∠ECD＝∠DBA＝60°，
∴△ECD是等边三角形，∴DE＝CD.
∵∠EAD与∠DBC是同弧所对的圆周角，
∴∠EAD＝∠CBD.在△EAD和△CBD中，∠E＝∠DCB，∠EAD＝∠CBD，ED＝CD，
∴△EAD≌△CBD(AAS)，∴BC＝AE＝10.
[素养提升]
解：(1)如图①，连接AD.
∵的度数为75°，的度数为15°，
∴∠BAD＝×75°＝37.5°，∠ADC＝×15°＝7.5°，
∴∠P＝∠BAD－∠ADC＝30°.
图①
图②
(2)圆外角的性质：圆外角的度数等于它所对的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．理由：如图①.
∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴∠BAD＝×的度数，∠ADC＝×的度数，
∴∠P＝∠BAD－∠ADC＝(的度数－的度数)，
∴圆外角的度数等于它所对的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半．
(3)把顶点在圆内，并且两边都和圆相交的角叫圆内角，性质：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半．证明：如图②，延长BA交⊙O于点D，延长CA交⊙O于点E，连接CD.
∵∠BAC是△ACD 的一个外角，
∴∠BAC＝∠C＋∠D.
∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴∠C＝×的度数，∠D＝×的度数．
∴∠BAC＝∠C＋∠D＝×的度数＋×的度数＝(的度数＋的度数)．
2.2.2 第1课时 圆周角定理及其推论1
知识点 1 圆周角的定义
1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )
图2－2－17
知识点 2 圆周角定理
2．2017·衡阳如图2－2－18，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
图2－2－18
A．26° B．30° C．32° D．64°
3．2018·聊城如图2－2－19，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )
图2－2－19
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
4．2018·广东同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是________°.
5．如图2－2－20，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，那么∠ACB的度数是________．
图2－2－20
6.2017·白银如图2－2－21，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝________°.
图2－2－21
7．教材练习第3题变式如图2－2－22，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，若∠BOC＝50°，求∠OBA的度数．
图2－2－22
知识点 3 圆周角定理的推论1
8．如图2－2－23，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是( )
图2－2－23
A．40° B．30° C．20° D．15°
9．如图2－2－24，经过原点O的⊙P与x轴、y轴分别交于点A，B，C是上一点，则∠ACB的度数为( )
图2－2－24
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
10．如图2－2－25，已知点A，B，C，D在⊙O上．
(1)若∠ABC＝∠ADB，求证：AB＝AC；
(2)若∠CAD＝∠ACD，求证：BD平分∠ABC.
图2－2－25
11．如图2－2－26，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠APB的度数为( )
图2－2－26
A．140° B．70° C．60° D．40°
12．将量角器按图2－2－27所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．若点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数为( )
图2－2－27
A．15° B．28° C．29° D．34°
13．如图2－2－28，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
图2－2－28
14．如图2－2－29，点A，B，C在圆O上，弦AE平分∠BAC交BC于点D，连接BE.
求证：BE2＝ED·EA.
图2－2－29
15．如图2－2－30，△ABC的两个顶点B，C在圆O上，顶点A在圆O外，AB，AC分别交圆O于点E，D，连接EC，BD.
(1)求证：△ABD∽△ACE；
(2)若△BEC与△BDC的面积相等，试判断△ABC的形状．
图2－2－30
16．如图2－2－31，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
图2－2－31
教师详解详析
1．C
2．C [解析] 根据圆周角定理，同一条弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，所以∠ACB＝∠AOB＝32°.故选C.
3．D [解析] ∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝∠ADC－∠A＝85°－60°＝25°.∵∠O＝2∠B＝50°，∴∠C＝∠ADC－∠O＝85°－50°＝35°.故选D.
4．50 [解析] ∵弧AB所对的圆心角是100°，
∴弧AB所对的圆周角为×100°＝50°.
5．28°
6．58 [解析] 连接OB，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠OAB＝32°，∴∠OAB＝∠OBA＝32°，∴∠AOB＝116°，∴∠C＝58°.
7．解：∵AC∥OB，∴∠OBA＝∠BAC.
又∠BOC＝50°，∴∠BAC＝25°，∴∠OBA＝25°.
8．C [解析] 连接OC.∵＝，∴∠AOC＝∠AOB＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°.
9．B [解析] ∵∠AOB与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠AOB＝∠ACB.
∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°.故选B.
10．证明：(1)∵∠ABC＝∠ADB，
∴＝，∴AB＝AC.
(2)∵∠CAD＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∠CAD＝∠ACD，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC.
11．B [解析] 由题知∠DCE＝40°，在四边形CDOE中，∠CDO＝∠CEO＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－40°＝140°，根据圆周角定理，得∠APB＝∠AOB＝×140°＝70°.故选B.
12．B
13．解：如图，连接OC，
∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAC，
∴OC＝AC.
又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝AD＝3 cm.
14．[解析] 欲证BE2＝ED·EA，只需证＝，则只需证△BAE∽△DBE.由于AE平分∠BAC，则∠BAE＝∠CAE.又因为∠EBD＝∠CAE，则∠BAE＝∠DBE.再由∠E为公共角，题目可证．
证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.
又∵∠CAE＝∠DBE，∴∠BAE＝∠DBE.
又∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△DBE，
∴＝，即BE2＝ED·EA.
15．解：(1)证明：∵∠EBD与∠ECD都是所对的圆周角，∴∠EBD＝∠ECD.
又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE.
(2)∵S△BEC＝S△BDC，S△ACE＝S△ABC－S△BEC，S△ABD＝S△ABC－S△BDC，∴S△ACE＝S△ABD.
由(1)知△ABD∽△ACE，∴对应边之比等于1，∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．
16．解：(1)△ABC是等边三角形．理由如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．
(2)PC＝PB＋PA.证明：在PC上截取PD＝PA，连接AD，如图．
∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC(AAS)，∴PB＝DC.
又∵PD＝PA，∴PC＝PB＋PA.
2.2.2 第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形
一、选择题
1．2018·南充如图K－13－1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是( )
图K－13－1
A．58° B．60° C．64° D．68°
2．如图K－13－2，小华同学设计了一个测直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把点O靠在圆周上，读得OE的长为8个单位，OF的长为6个单位，则圆的直径为( )
图K－13－2
A．4个单位 B．10个单位
C．12个单位 D．15个单位
3．如图K－13－3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数为( )
图K－13－3
A．55° B．50° C．45° D．40°
4．如图K－13－4，AB是半圆⊙O的直径，D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB的度数为( )
图K－13－4
A．55° B．60° C．65° D．70°
5．如图K－13－5，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，4)，M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为( )
图K－13－5
A．5 B．4 C．3 D．4
二、填空题
6．2017·淮安如图K－13－6，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4:3:5，则∠D的度数是________.
图K－13－6
7．如图K－13－7，点E(0，4)，O(0，0)，C(5，0)在⊙A上，BE是⊙A的一条弦，则tan∠OBE＝________．
图K－13－7
8．2018·北京如图K－13－8，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝________°.
图K－13－8
9．如图K－13－9，已知⊙O的弦AB＝3，点C在⊙O上，且∠ACB＝60°，则⊙O的直径是________．
图K－13－9
三、解答题
10．已知：如图K－13－10，△ABC的三个顶点均在⊙O上，AD是△ABC中BC边上的高，AE是⊙O的直径．求证：AB·AC＝AD·AE.
图K－13－10
11．如图K－13－11，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，AE是⊙O的直径，弦AF与BC相交于点D，若BE＝CF，求证：AF⊥BC.
图K－13－11
12．如图K－13－12，BD是⊙O的直径，A，C是⊙O上的两点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E.
(1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)若AD＝1，DE＝3，求BD的长．
图K－13－12
13．如图K－13－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE.
(1)求证：AC＝AE；
(2)求过A，B，C三点的圆的半径．
图K－13－13
14．如图K－13－14所示，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2 ，求CD的长．
图K－13－14
素养提升
动点问题如图K－13－15，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，点F在上由点A向点C运动(点A，C除外)，AF与DC的延长线相交于点M.
(1)求证：△AFD∽△CFM.
(2)点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．
图K－13－15
1．[解析] A ∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°.∵OA＝OC，∠OAC＝32°，∴∠C＝∠OAC＝32°，∴∠B＝90°－32°＝58°.故选A.
2．[解析] B 连接EF.∵∠FOE＝90°，∴EF为圆的直径，EF＝＝＝10.故选B.
3．[解析] C ∠B＝∠DCE－∠F＝55°.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EDC＝∠B＝55°，∴∠E＝180°－∠DCE－∠EDC＝45°.故选C.
4．[解析] C 连接BD，如图．
∵D是的中点，
即＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
而∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝×50°＝25°.
∵AB是半圆⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°－25°＝65°.
5．[解析] B 连接OC，如图所示．∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙C的直径．
∵∠BMO＝120°，
∴∠BCO＝120°，∠BAO＝60°.
∵AC＝OC，∠BAO＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴⊙C的半径＝OA＝4.故选B.
6．[答案] 120°
[解析] ∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4?3?5，
∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，即4x＋5x＝180°，
解得x＝20°，∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°－60°＝120°.
7．[答案]
[解析] 如图，连接EC.由题知∠ECO＝∠OBE.在Rt△EOC中，OE＝4，OC＝5，则tan∠ECO＝.故tan∠OBE＝.
8．70
9．[答案] 2
[解析] 过点A作直径AD，连接BD，如
图，则∠ABD＝90°.又∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝30°.∵AB＝3，∴AD＝＝2 ，即⊙O的直径为 2 .
10．证明：连接BE.∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴∠ABE＝∠ADC.
又∠C＝∠E，∴△ADC∽△ABE，
∴＝，
即AB·AC＝AD·AE.
11．证明：∵BE＝CF，∴＝，
∴∠BAE＝∠FAC.
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠E＝90°.
又∵∠E＝∠ACB，∴∠FAC＋∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°，∴AF⊥BC.
12．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴＝.
∴∠ABC＝∠ADB.
又∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB.
(2)∵△ABD∽△AEB，
∴＝.
∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4.
∴AB2＝AD·AE＝1×4＝4.
∴AB＝2.
∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°.
在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝22＋12＝5，∴BD＝.
13．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为圆周角，∴AD为圆的直径，
∴∠AED＝90°.
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，∴CD＝DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
CD＝DE，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC＝AE.
(2)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，∴AB＝＝13，
∴过A，B，C三点的圆的半径＝AB＝×13＝.
14．解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.
又易知∠EDC＝∠B,
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)(方法一)如图①，连接AE.
∵AB为⊙O的直径，∴AE⊥BC，
由(1)知AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝.
∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝，∴CE·CB＝CD·AC，
而AC＝AB＝4，∴×2 ＝4CD，
∴CD＝.
(方法二)如图②，连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由(1)知AC＝AB＝4，则AD＝4－a.在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2－AD2＝42－(4－a)2.在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2－CD2＝(2 )2－a2，∴42－(4－a)2＝(2 )2－a2，整理得a＝，即CD＝.
图①
图②
[素养提升]
解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB，
∴＝，
∴∠ADC＝∠AFD.
又∵四边形AFCD内接于⊙O，
∴∠FCM＝∠FAD，∠CFM＝∠ADC，
∴∠AFD＝∠CFM.
∴△AFD∽△CFM.
(2)存在，当点F运动到弧AC的中点时，△FMD为等腰三角形．
证明：当F在中点时，∠ADF＝∠CDF.又由(1)知△AFD∽△CFM，
∴∠M＝∠ADF，
∴∠M＝∠CDF，
∴FD＝FM，即△FMD为等腰三角形．
第2课时 圆周角定理的推论2
及圆内接四边形的性质
知识点 1 圆周角定理的推论2
1．如图2－2－32，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝30°，则∠B的度数为 ( )
图2－2－32
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图2－2－33，小华同学设计了一个测圆的直径的测量器，将标有刻度的尺子OA，OB在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测圆的直径时，把点O靠在圆周上，读得刻度OE＝8 cm，OF＝6 cm，则圆的直径为( )
图2－2－33
A．12 cm B．10 cm C．14 cm D．15 cm
3．2017·福建如图2－2－34，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的是( )
图2－2－34
A．∠ADC B．∠ABD
C．∠BAC D．∠BAD
4．如图2－2－35，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝25°，∠BAD的度数为________．
图2－2－35
5．如图2－2－36，⊙O的直径AB＝10 m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD.判断△ABD的形状，并说明理由．
图2－2－36
知识点 2 圆内接四边形的概念及其性质
6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为( )
A．60° B．120° C．140° D．150°
7．2018·济宁如图2－2－37，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是( )
图2－2－37
A．50° B．60° C．80° D．100°
8．教材练习第3题变式如图2－2－38，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝96°，则∠ADE的度数为________．
图2－2－38
9．2017·西宁如图2－2－39，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.
图2－2－39
10．如图2－2－40，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，且BC＝BE.
求证：△ADE是等腰三角形．
图2－2－40
11．2018·武威如图2－2－41，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是( )
图2－2－41
A．15° B．30° C．45° D．60°
12．2017·株洲如图2－2－42，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.
图2－2－42
13．2016·西宁⊙O的半径为1，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC的度数为________．
14．如图2－2－43，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
图2－2－43
15．如图2－2－44，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
图2－2－44
16．如图2－2－45，已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD.
(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；
(2)如图②，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．
图2－2－45
教师详解详析
1．D 2.B
3．D [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵∠ACD＝∠ABD，∴∠BAD＋∠ACD＝90°，故选D.
4．65° [解析] ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°，∴∠B＝25°.∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.
5．解：△ABD是等腰直角三角形．理由：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵CD是∠ACB的平分线，∴＝，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形．
6．B
7．D [解析] 如图所示．在优弧BD上任取一点A(不与点B，D重合)，连接AB，AD.因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠A＋∠BCD＝180°.因为∠BCD＝130°，所以∠A＝50°.因为∠A与∠BOD都对着劣弧BD，所以∠BOD＝2∠A＝2×50°＝100°.
8．96°
9．60 [解析] ∵∠BOD＝120°，∴∠A＝∠BOD＝60°.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝60°.
10．证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°.
又∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE，
∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
11．B [解析] 连接CD，则CD为⊙A的直径，可得∠OBD＝∠OCD，根据点D(0，1)，C(，0)，得OD＝1，OC＝，由勾股定理得出CD＝2，∵OD＝CD，∴∠OCD＝30°，∴∠OBD＝30°.故选B.
12．80 [解析] 连接EM，∵AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，∴AM⊥BC.∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM＝∠AEM＝90°，∴∠AME＝∠AMD＝90°－∠BMD＝50°，∴∠EAM＝40°，∴∠EOM＝2∠EAM＝80°.
13．15°或75° [解析] 作直径AD，AD＝2.如图①，若两条弦在AD的同侧，分别连接BD，CD，则∠B＝∠C＝90°.∵AB＝，AC＝，∴cos∠BAD＝＝，cos∠CAD＝＝，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝45°－30°＝15°.
如图②，若两条弦在AD的两侧，分别连接BD，CD，则∠B＝∠C＝90°.
∵AB＝，AC＝，∴cos∠BAD＝，
cos∠CAD＝，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝45°＋30°＝75°.
故答案为15°或75°.
14．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.
又∵DC＝BC，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D.
(2)设BC＝x，则AC＝x－2.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
即(x－2)2＋x2＝42，
解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)．
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，∴DC＝CE.
又∵DC＝BC，∴CE＝BC＝1＋.
15．解：(1)证明：如图，连接AE.
∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE.
(2)如图，连接DE，
∵BE＝CE＝3，∴BC＝6.易知∠BED＝∠BAC，
而∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴AB＝9，∴AC＝AB＝9.
16．解：(1)∵AD经过圆心O，∴∠ACD＝∠ABD＝90°.
∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，
∴四边形ABDC为正方形，
∴BD＝CD＝AB＝AC＝6.
(2)连接BC，OD，过点O作OE⊥BD.
∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，
∴BC为⊙O的直径，
∴BC＝6 ，∴BO＝CO＝DO＝BC＝3 .
∵∠BAD＝2∠DAC，
∴∠DAC＝30°，∠BAD＝60°，
∴∠COD＝60°，∠BOD＝120°，
∴△COD为等边三角形，∠BOE＝60°，
∴CD＝CO＝DO＝BO＝3 ，则BE＝，
∵OE⊥BD，∴BD＝2BE＝3 .
2.3 垂径定理
一、选择题
1．下列命题错误的是( )
A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦
B．平分弦的直径平分这条弦所对的弧
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．弦的垂直平分线经过圆心
2．2018·菏泽如图K－14－1，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( )
图K－14－1
A．64° B．58° C．32° D．26°
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10 cm，最短弦长为8 cm，则OM的长为( )
A．9 cm B．6 cm
C．3 cm D. cm
4．2017·泸州如图K－14－2所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 ( )
图K－14－2
A. B．2 C．6 D．8
5.2017·金华如图K－14－3，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
图K－14－3
A．10 cm B．16 cm
C．24 cm D．26 cm
6．如图K－14－4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为( )
图K－14－4
A．4
B．8
C．8
D．16
7．如图K－14－5，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的面积为( )
图K－14－5
A．3 B. C．4 D.
8．2017·襄阳模拟⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD间的距离是( )
图K－14－6
A．7 cm B．8 cm
C．7 cm或1 cm D．1 cm
二、填空题
9．如图K－14－6，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝________°.
10．如图K－14－7，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.若P是AB上的一动点，则OP的取值范围是________．
图K－14－7
11．2017·孝感已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2 ，则∠COD的度数为________．
三、解答题
12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－14－8所示)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长.
图K－14－8
13．如图K－14－9所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心D的位置，并写出点D的坐标为________；
(2)连接AD，CD，求⊙D的半径(结果保留根号)．
图K－14－9
14．如图K－14－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.
(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；
(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；
(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
图K－14－10
15．如图K－14－11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．
(1)求桥拱的半径；
(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？并说明理由．
图K－14－11
素养提升
探究性问题如图K－14－12，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.
(1)当BC＝6时，求线段OD的长．
(2)探究：在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
图K－14－12
1．B
2．[解析] D ∵OC⊥AB，∴＝.∠ADC是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，∴∠BOC＝2∠ADC＝64°，∴∠OBA＝90°－∠BOC＝90°－64°＝26°.故选D.
3．[解析] C 由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED⊥AB于点M，则ED＝10 cm，AB＝8 cm，由垂径定理知M为AB的中点，
∴AM＝4 cm.
∵半径OA＝5 cm，
∴OM2＝OA2－AM2＝25－16＝9，
∴OM＝3(cm)．
4．B
5．[解析] C 如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D.∵CD＝8 cm，OD＝13 cm，∴OC＝5 cm.
又∵OB＝13 cm，∴在Rt△BCO中，BC＝＝12 cm，∴AB＝2BC＝24 cm.
6．[解析] B ∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°.∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝4 ，∴CD＝2CE＝8 .故选B.
7．[解析] B ∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，
∴M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是等边三角形ABC的中位线．
∵MN＝1，∴AB＝AC＝BC＝2MN＝2，
∴S△ABC＝×2×2×sin60°＝2×＝.
8．C
9．[答案] 55
[解析] 连接OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO.
又∵OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，∠AOD＝70°，
∴＝，∠AOB＝140°，
∴∠C＝∠AOD＝35°，∠A＝∠ABO＝20°，
∴∠A＋∠C＝55°.故答案是55.
10．[答案] 3≤OP≤5
[解析] 连接OA，作OC⊥AB于点C，则AC＝AB＝4.由勾股定理，得OA＝＝5，则OP的取值范围是3≤OP≤5.
11．[答案] 150°或30°
[解析] 如图所示，连接OC，过点O作OE⊥AD于点E.∵OA＝OC＝AC，∴∠OAC＝60°.∵AD＝2 ，OE⊥AD，∴AE＝，OE＝＝，∴∠OAD＝45°，∴∠CAD＝∠OAC＋∠OAD＝105°或∠CAD＝∠OAC－∠OAD＝15°，∴∠COD＝360°－2×105°＝150°或∠COD＝2×15°＝30°.故答案为150°或30°.
12．解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE，
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
(2)连接OA，OC，由(1)可知OE⊥AB且OE⊥CD，
∴CE＝＝＝2 ，
AE＝＝＝8，
∴AC＝AE－CE＝8－2 .
13．(1)确定点D的位置略 (2，－2)
(2)⊙D的半径为2
14．解：(1)BC∥MD.
理由：∵∠M＝∠D，∠M＝∠C，
∴∠D＝∠C，∴BC∥MD.
(2)∵AE＝16，BE＝4，
∴OB＝＝10，∴OE＝10－4＝6.
连接OC，如图①.
∵CD⊥AB，∴CE＝CD.
在Rt△OCE中，∵OE2＋CE2＝OC2，
即62＋CE2＝102，
∴CE＝8，∴CD＝2CE＝16.
(3)如图②，∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，
∴∠D＝∠BOD.
又∵AB⊥CD，∴∠D＝×90°＝30°.
15．解：(1)如图①，设E是桥拱所在圆的圆心，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交⊙E于点D，则F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40米，
EF＝ED－FD＝AE－DF.
由勾股定理知AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2.
设⊙E的半径是r，则r2＝402＋(r－20)2，
解得r＝50.
即桥拱的半径为50米．
(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．
理由：如图②，设MN与DE交于点G，
GM＝30米．在Rt△GEM中，
GE＝＝＝40(米)．
∵EF＝50－20＝30(米)，
∴GF＝GE－EF＝40－30＝10(米)．
∵10米＞9米，
∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．
[素养提升]
解：(1)∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3.
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即线段OD的长为4.
(2)存在，DE的长度保持不变．理由：连接AB，如图．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5.
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE＝AB＝，其长度保持不变．
2.4 过不共线三点作圆
一、选择题
1．已知O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC的度数为( )
A．40° B．80° C．120° D．160°
2．下列说法错误的是( )
A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等
C. 三角形的外心一定在三角形一边的垂直平分线上
D. 三角形任意两边的垂直平分线的交点，是这个三角形的外心
3．下列命题中正确的有( )
①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
5．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
6．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )
A．可以画一个圆，使点A，B，C都在圆周上
B. 可以画一个圆，使点A，B在圆周上，点C在圆内
C. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆外
D. 可以画一个圆，使点A，C在圆周上，点B在圆内
7．2017·仙桃如图K－15－1所示，坐标平面上有A(0，a)，B(－9，0)，C(10，0)三点，其中a＞0，若∠BAC＝100°，则△ABC的外心在( )
图K－15－1
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
8．在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，则凳子应放在△ABC的三条________线的交点最适当.
9．若AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有________个．
10．由正方形的四个顶点和它的中心这五个点能确定________个不同的圆．
11．已知一个等边三角形的外接圆的半径为1，则圆心到三角形的边的距离为________．
12．如图K－15－2，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，直线EF与AD相交于点O，若OA＝2，则△ABC的外接圆的面积为________．
图K－15－2
13．2017·宁夏如图K－15－3，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过点A，B，C的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为________．
图K－15－3
三、解答题
14．某市要承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图K－15－4所示，那么运动员公寓应建立在何处？请你作出图形并加以说明．
图K－15－4
15．如图K－15－5所示，等腰三角形ABC的顶角∠A＝120°，BC＝12 cm，求它的外接圆的直径．
图K－15－5
16．2017·临沂如图K－15－6，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
图K－15－6
17．如图K－15－7，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC，BD交于点E，延长DA，CB交于点F，且∠CAD＝60°，DC＝DE.
求证：(1)AB＝AF；
(2)点A为△BEF的外心(即△BEF外接圆的圆心)．
图K－15－7
素养提升
联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．例：已知PA＝PB，则点P为△ABC的准外心(如图K－15－8①)．
(1)如图②，CD为等边三角形ABC的边AB上的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数；
(2)如图③，若△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，准外心P在AC边上，试求PA的长．
图K－15－8
1．[解析] D ∵O为△ABC的外心，∠A＝80°，∴∠BOC＝2∠A＝160°.故选D.
2．[解析] B 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以到三个顶点的距离相等．
3．[解析] B ①③正确，②缺少“不在同一直线上的三点”的条件，④任意一个圆有无数个内接三角形．
4．B 5.B
6．[解析] D ∵A，B，C是平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，∴AB＋BC＝AC，∴可以画一个圆，使点A，C在圆上，点B在圆内．
7．[解析] D ∵B(－9，0)，C(10，0)，
∴△ABC的外心在直线x＝上．
∵∠BAC＝100°，
∴△ABC的外心在三角形的外部，
∴△ABC的外心在第四象限．
8．垂直平分
9．[答案] 2
[解析] 这样的圆能画2个．如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3 cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3 cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求圆．
10．5
11．[答案] 0.5
[解析] 如图，连接OC.
∵△ABC是圆的内接正三角形，∴∠OCD＝30°.
又∵OD⊥BC，OC＝1，
∴OD＝OC＝0.5.
12．[答案] 4π
[解析] ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC.
∵分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，
∴EF垂直平分AC.
∵直线EF与AD相交于点O，
∴点O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO为△ABC外接圆的半径，
∴△ABC的外接圆的面积为4π.
13．[答案] 5
[解析] 如图，分别作AB，AC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA长为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的圆．
由图可知，⊙O还经过点D，E，F，G，H这5个格点．
故答案为5.
14．解：连接AB，AC，分别作AB，AC的垂直平分线MN，FD，交点G即为运动员公寓所建立的位置．图略．
15．解：如图，过点A作直径AD，交BC于点E，连接OC.
∵AB＝AC，∴＝，
∴AD垂直平分BC，
∴EC＝BC＝6 cm.
∵∠BAC＝120°，
∴∠OAC＝60°.
又∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°.
在Rt△OEC中，sin∠EOC＝，
∴OC＝＝4 (cm)，
∴它的外接圆的直径为8 cm.
16．解：(1)证明：∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴＝，
∴∠DBC＝∠BAE.
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB.
(2)连接CD，如图所示．
由(1)得＝，
∴CD＝BD＝4.
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝4 ，
∴△ABC外接圆的半径＝×4 ＝2 .
17．证明：(1)因为DC＝DE，
所以∠DEC＝∠ACD，
则∠ABF＝∠ADC＝120°－∠ACD＝120°－∠DEC＝120°－(60°＋∠ADE)＝60°－∠ADE，
而∠F＝60°－∠ACF.
因为∠ACF＝∠ADE，
所以∠ABF＝∠F，所以AB＝AF.
(2)四边形ABCD内接于⊙O，
所以∠ABD＝∠ACD.
又DE＝DC，所以∠ACD＝∠DEC＝∠AEB，
所以∠ABD＝∠AEB，所以AB＝AE.
又因为AB＝AF，所以AB＝AF＝AE，
即点A是△BEF的外心．
[素养提升]
解：(1)①若PB＝PC，连接PB，
则∠PCB＝∠PBC.
∵CD为等边三角形ABC的高，
∴AD＝BD，∠PCB＝30°，
∴∠PBD＝∠PBC＝30°，
∴PD＝DB＝AB.
与已知PD＝AB矛盾，
∴PB≠PC.
②若PA＝PC，连接PA，则∠PCA＝∠PAC.
∵CD为等边三角形ABC的高，
∴AD＝BD，∠PCA＝30°，
∴∠PAD＝∠PAC＝30°，
∴PD＝DA＝AB.
与已知PD＝AB矛盾，
∴PA≠PC.
③若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，
∴∠BPD＝45°，故∠APB＝90°.
(2)①若PB＝PA，设PA＝x.
∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝12，则CP＝12－x，
∴x2＝(12－x)2＋52，
解得x＝，即PA＝.
②若PA＝PC，则PA＝6.
③若PC＝PB，由图知，在Rt△PBC中，不可能存在此种情况．
综上所述，PA＝或PA＝6.
2.5.1 直线与圆的位置关系
一、选择题
1．已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．平面上⊙O与四条直线l1，l2，l3，l4的位置关系如图K－16－1所示，若⊙O的半径为2 cm，且点O到其中一条直线的距离为2.2 cm，则这条直线是( )
图K－16－1
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
3．若直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( )
A．r＜6 B．r＝6
C．r＞6 D．r≥6
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为( )
A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm
5．如图K－16－2所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )
图K－16－2
A．1 B．1或5 C．3 D．5
6．如图K－16－3，已知在?ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，E是BC边上的一动点，当以CE为半径的⊙C与边AD有两个交点时，半径CE的取值范围是( )
图K－16－3
A．0＜CE≤8 B．0＜CE≤5 C．3＜CE≤8 D．3＜CE≤5
7．已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为的点共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则⊙A与直线BC的位置关系是__________．
9．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长6 ，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是________．
10．如图K－16－4，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是________．
图K－16－4
三、解答题
11．设直线l到⊙O的圆心的距离为d，⊙O的半径为R，并且x2－2x＋R＝0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论直线l与⊙O的位置关系.
12.请你类比一条直线和一个圆的三种位置关系，在图K－16－5①②③中，分别各画出一条直线，使直线分别与两个圆都相离、都相切、都相交，并在图④中也画上一条直线，使它与两个圆具有不同于前面3种情况的位置关系．
图K－16－5
13．如图K－16－6，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝6，O是AB边上的一动点，以点O为圆心，OA长为半径画圆．
(1)设OA＝x，则x为多少时，⊙O与BC相切；
(2)设OA＝x，当⊙O与直线BC相离或相交时，分别写出x的取值范围；
(3)当点O在何处时，△ABC为⊙O的内接三角形．
图K－16－6
14．如图K－16－7，P为正比例函数y＝x的图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(m，n)．
(1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标．
(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时m的取值范围.
图K－16－7
素养提升 思维拓展 能力提升
分类讨论与动点问题设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O之间的距离为d.
(1)如图K－16－8①所示，当r＜a时，根据d与a，r之间的关系，请你将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
d，a，r之间的关系
公共点的个数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
____________
a－r＜d＜a＋r
____________
d＝a－r
____________
d＜a－r
____________
(2)如图K－16－8②所示，当r＝a时，根据d与a，r之间的关系，请你写出⊙O与正方形的公共点个数，即当r＝a时，⊙O与正方形的公共点可能有________个；
(3)如图K－16－8③所示，当⊙O与正方形的公共点有5个时，r＝________(请用含a的代数式表示r，不必说明理由)．
图K－16－8
教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] A 设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d.∵d＝5 cm，r＝6 cm，∴d＜r，
∴直线l与⊙O相交．故选A.
2．[解析] C 因为所求直线到圆心O的距离为2.2 cm＞2 cm，所以此直线与⊙O相离，即为直线l3.故选C.
3．C 4.B
5．[解析] B 当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.
6．[解析] D 如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝5，∴AM＝CN.
∵AB＝5，cosB＝＝，∴BM＝4.
∵BC＝8，∴CM＝4＝BC.又∵AM⊥BC，
∴AC＝AB＝5.由勾股定理，得AM＝CN＝＝3，
∴当以CE为半径的⊙C与边AD有两个交点时，半径CE的取值范围是3＜CE≤5.
7．[解析] D 如图，∵⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，∴CE＝2，过点D作AB⊥OC，垂足为D，交⊙O于A，B两点，且DE＝，∴⊙O上到直线l的距离为的点在直线l的左边和右边各有两个，共四个．故选D.
8．相切 9.相切
10．[答案] 0＜x≤
[解析] 当点P在原点右侧时，设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝1，OC⊥PC，∵∠AOB＝45°，OA∥PC，
∴∠OPC＝45°，
∴PC＝OC＝1，
∴OP＝，同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数，
∴x的取值范围是0＜x≤.
11．解：分三种情况：(1)若关于x的一元二次方程x2－2 x＋R＝0有两个不相等的实数根，则(－2 )2－4×1×R＝4d－4R＞0，解得d＞R，此时直线l与⊙O相离．
(2)若关于x的一元二次方程x2－2 x＋R＝0有两个相等的实数根，则(－2 )2－4×1×R＝4d－4R＝0，解得d＝R，此时直线l与⊙O相切．
(3)若关于x的一元二次方程x2－2 x＋R＝0没有实数根，则(－2 )2－4×1×R＝4d－4R＜0，解得d＜R，此时直线l与⊙O相交．
12．解：答案不唯一．如：
相离：
相切：
相交：
其他：
13．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝6，
∴AB＝12.
设⊙O与BC相切于点D，连接OD，则OD⊥BC，
∴∠ODB＝∠C＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△OBD∽△ABC，
∴＝，
即＝，解得x＝4，
∴当x＝4时，⊙O与BC相切．
(2)当⊙O与直线BC相离时，0＜x＜4；当⊙O与直线BC相交时，4＜x≤12.
(3)当O在AB中点时，OA＝OB＝OC＝6，
△ABC为⊙O的内接三角形．
14．解：(1)过点P作直线x＝2的垂线，垂足为A.当点P在直线x＝2的右侧时，AP＝m－2＝3，得m＝5，∴P(5，)．
当点P在直线x＝2的左侧时，PA＝2－m＝3，得m＝－1，∴P(－1，－)．
综上所述，当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为(5，)或(－1，－)．
(2)当⊙P与直线x＝2相交时，－1＜m＜5；当⊙P与直线x＝2相离时，m＜－1或m＞5.
[素养提升]
解：(1)如表：
d，a，r之间的关系
公共点的个数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
1
a－r＜d＜a＋r
2
d＝a－r
1
d＜a－r
0
(2)如表：
d，a，r之间的关系
公共点的个数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
1
r≤d＜a＋r
2
d＜r
4
所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点可能有0，1，2，4个．
(3)a
2．5.1 直线与圆的位置关系
知识点 直线与圆的位置关系
1．已知⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离为6，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
图2－5－1
2．2017·岳阳模拟已知⊙O的面积为9π cm2，若圆心O到某直线的距离为3 cm，则该直线与⊙O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
3．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
4．若∠OAB＝30°，OA＝10 cm，则以O为圆心，6 cm为半径的圆与射线AB的位置关系是________．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以点C为圆心，r为半径的⊙C与直线AB有何位置关系？
(1)r＝2.1； (2)r＝2.4； (3)r＝3.2.
6．如图2－5－2，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )
图2－5－2
A．1 B．1或5 C．3 D．5
7．已知点O到直线l的距离为6，以O为圆心，r为半径作⊙O，若⊙O上只有3个点到直线l的距离为2，则r的值为________．
8．如图2－5－3所示，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动．
(1)当⊙P与x轴相切时，写出点P的坐标．
(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标．
(3)⊙P能否同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由．
图2－5－3
教师详解详析
1．B [解析] ∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离为6，∴d＝6，r＝10，∴d＜r，∴直线与圆相交．
2．A [解析] 由题意，得r＝3 cm，d＝r＝3 cm，故选A.
3．C
4．相交
5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5.
设点C到直线AB的距离为d，则有×3×4＝×5d，解得d＝2.4.
(1)当r＝2.1时，⊙C与直线AB相离；
(2)当r＝2.4时，⊙C与直线AB相切；
(3)当r＝3.2时，⊙C与直线AB相交．
6．B [解析] 当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.
7．8
8．解：(1)当⊙P和x轴相切时，点P到x轴的距离为2，所以点P的纵坐标为2或－2.又因为点P在直线y＝2x－1上，所以点P的坐标为(，2)或(－，－2)．
(2)当⊙P和y轴相切时，点P到y轴的距离为2，所以点P的横坐标为2或－2.又因为点P在直线y＝2x－1上，所以点P的坐标为(2，3)或(－2，－5)．
(3)不能．理由：当⊙P同时与x轴和y轴相切时，点P的坐标为(2，2)或(2，－2)或(－2，－2)或(－2，2)．而这四点都不在直线y＝2x－1上，所以⊙P不能同时与x轴和y轴相切．
2.5.2 第1课时 切线的判定
一、选择题
1．下列直线中一定是圆的切线的是( )
A．与圆有公共点的直线
B. 过半径外端点的直线
C. 垂直于圆的半径的直线
D. 过圆的半径的外端点且垂直于这条半径的直线
2．如图K－17－1，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，若AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，则还需添加的条件是( )
图K－17－1
A．∠CAE＝∠B B．∠CAF＝∠B
C．∠CAB＝∠B D．AB＝2BC
3．如图K－17－2，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
图K－17－2
A．∠EAB＝∠C B．∠B＝90°
C．EF⊥AC D．AC是⊙O直径
4．如图K－17－3，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
图K－17－3
A．点(0，3) B．点(2，3)
C．点(5，1) D．点(6，1)
二、填空题
5．如图K－17－4，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________(添加一个即可)．
图K－17－4
6．如图K－17－5，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝________cm时，BC与⊙A相切．
图K－17－5
7．如图K－17－6，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为________．
图K－17－6
三、解答题
8．2018·邵阳如图K－17－7所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.
求证：CD为⊙O的切线．
图K－17－7
9．如图K－17－8，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA为半径的⊙O与AD交于点E，且∠ACB＝∠DCE.求证：CE是⊙O的切线.
图K－17－8
10．如图K－17－9，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF＝45°，CF交AD于点F，判断直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆的位置关系，并说明理由．
图K－17－9
11．如图K－17－10，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE.
(1)求证：DE是半圆O的切线；
(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．
图K－17－10
12．2018·永州如图K－17－11，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F.
(1)求证：CF＝BF；
(2)若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6.求证：直线CM是⊙O的切线．
图K－17－11
素养提升 思维拓展 能力提升
探究题如图K－17－12，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G.
(1)若E是CD的中点，证明：FG是⊙O的切线．
(2)试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由．
图K－17－12
教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．D 2.B
3．[解析] A 如图，作直径AM，连接BM.∵AM是直径，EF是切线，∴∠EAM＝∠ABM＝90°，∴∠EAB＋∠MAB＝90°，∠M＋∠MAB＝90°，∴∠EAB＝∠M.∵∠C＝∠M，∴∠EAB＝∠C.故选A.
4．[解析] C 如图，首先根据确定圆心的条件找出圆心D，然后连接DB，分别连接选项A，B，C，D表示的点与点B，在所有的连线中，只有点(5，1)与点B的连线与DB垂直．故选C.
5．[答案] 答案不唯一，如∠ABC＝90°
[解析] 当△ABC为直角三角形，即∠ABC＝90°时，BC与⊙O相切．
∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线．
6．[答案] 6
[解析] 如图，过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC，∠B＝30°，∴AD＝AB，即AB＝2AD.又∵BC与⊙A相切，∴AD就是⊙A的半径，∴AD＝3 cm，则AB＝2AD＝6 cm.故答案是6.
7．[答案] 相切
[解析] ∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°，
∴在△OBC中，∠OBC＝180°－50°－40°＝90°，
∴直线BC与⊙O相切．
8．证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.
又∵C为⊙O上一点，
∴CD为⊙O的切线．
9．证明：连接OE.∵OA＝OE，
∴∠CAD＝∠OEA.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，BC∥AD，∴∠ACB＝∠CAE.
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠OEA＝∠DCE.
∵∠DCE＋∠CED＝180°－∠D＝90°，
∴∠OEA＋∠CED＝90°，
∴∠OEC＝180°－90°＝90°，
又∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
10．解：直线EF与⊙C相切．理由如下：过点C作CH⊥EF于点H.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，CB＝CD.
将△CBE绕点C顺时针旋转90°，到△CDG的位置，则CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
∴∠GCF＝∠BCE＋∠FCD.
∵∠ECF＝45°，
∴∠BCE＋∠FCD＝90°－45°＝45°，
∴∠ECF＝∠GCF.
在△ECF与△GCF中，CE＝CG，∠ECF＝∠GCF，CF＝CF，
∴△ECF≌△GCF(SAS)，
∴∠EFC＝∠DFC.而CD⊥FD，CH⊥EF，
∴CH＝CD，即圆心C到直线EF的距离等于⊙C的半径，
∴直线EF与⊙C相切．
11．解：(1)证明：如图，连接OD，OE，BD.
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE＝BE.
在△OBE和△ODE中，
∴△OBE≌△ODE(SSS)，
∴∠ODE＝∠ABC＝90°.
又∵点D在半圆O上，
∴DE为半圆O的切线．
(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AC.
∵BC＝2DE＝4，
∴AC＝8.
又∵∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝60°，
DE＝EC，
∴△DEC为等边三角形，即DC＝DE＝2，
则AD＝AC－DC＝6.
12．证明：(1)延长CD交⊙O于点G.∵CD⊥AB，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠CBE＝∠GCB，
∴CF＝BF.
(2)连接OE，OC，OC交BE于点H.
∵＝，
∴∠EOC＝∠BOC.
∵OE＝OB，
∴OC⊥BE.
在Rt△OBH中，cos∠OBH＝＝，
∴BH＝×6＝，
∴OH＝＝.
∵＝＝，＝＝，
∴＝，而∠HOB＝∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM＝∠OHB＝90°，即OC⊥CM.
又∵OC为⊙O的半径，
∴直线CM是⊙O的切线．
[素养提升]
解：(1)连接OF，EF.
∵AE是⊙O的直径，
∴AF⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠D＝90°，AB＝CD，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF＝DE，
∴EC＝BF.
∵E是CD的中点，
∴F是AB的中点，
∴OF∥BE.
∵FG⊥BE，
∴OF⊥FG，
∴FG为⊙O的切线．
(2)BE不能与⊙O相切．
理由：假设BE能与⊙O相切．
∵AE是⊙O的直径，
∴AE⊥BE，∠AEB＝90°.
设DE＝x，则EC＝5－x.由勾股定理，得AE2＋BE2＝AB2，
即(9＋x2)＋[(5－x)2＋9]＝25，整理得x2－5x＋9＝0.
∵b2－4ac＝25－36＝－11＜0，
∴该方程无实数根，
∴点E不存在，
故BE不能与⊙O相切．
2．5.2 第1课时 切线的判定
知识点 1 切线的判定
1．下列直线中一定是圆的切线的是( )
A．与圆有公共点的直线
B．过半径外端点的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线
2．如图2－5－4，A是⊙O上一点，AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与⊙O的位置关系是( )
图2－5－4
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．如图2－5－5，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为______________．
图2－5－5
4．如图2－5－6，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝________ cm时，BC与⊙A相切．
图2－5－6
5．如图2－5－7，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数为________时，AC才能成为⊙O的切线．
图2－5－7
6．如图2－5－8，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为________．
图2－5－8
7．教材习题2.5A组第3题变式如图2－5－9，延长⊙O的半径OA到点B，使AB＝OA，过点A作弦AC，使AC＝OA.求证：BC是⊙O的切线．
图2－5－9
8．教材习题2.5A组第2题变式如图2－5－10，直线MN过⊙O上的一点B，△ABC内接于⊙O，∠CBM＝∠A，求证：MN是⊙O的切线．
图2－5－10
知识点 2 切线的画法
9．如图2－5－11所示，过⊙O外一点P作⊙O的切线．
图2－5－11
10．如图2－5－12，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条经过点P且与⊙O相切的直线，其作法如下：
甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线BP即为所求．
乙：过点A作直线MN⊥OP，以点O为圆心，OP长为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，直线CP即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
图2－5－12
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．两人都正确 D．两人都错误
11．如图2－5－13，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心P在射线OA上，点P与点O的距离为8 cm，如果⊙P以2 cm/s的速度由A向B匀速运动，那么________s时⊙P与直线CD相切．
图2－5－13
12．2018·邵阳如图2－5－14所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.
求证：CD为⊙O的切线．
图2－5－14
13．2018·郴州如图2－5－15，已知BC是⊙O的直径，D是BC的延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
图2－5－15
14．2017·聊城如图2－5－16，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
图2－5－16
教师详解详析
1．D 2.B
3．AB⊥BC(答案不唯一)
4．6 [解析] 过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC，∠B＝30°，∴AD＝AB，即AB＝2AD.又∵BC与⊙A相切，∴AD就是⊙A的半径，∴AD＝3 cm，则AB＝2AD＝6 cm.
5．60° [解析] ∵在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30°，∴当∠CAB的度数为60°时，OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线．
6．相切 [解析] ∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°，∴∠OBC＝180°－50°－40°＝90°.
又∵OB为⊙O的半径，∴直线BC与⊙O相切．
7．证明：连接OC.∵AC＝OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝60°.
又OA＝AB，∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠OAC＝30°，
∴∠OCB＝∠OCA＋∠ACB＝90°.
又∵OC是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．
8．证明：如图，过点B作⊙O的直径BD，连接DC，则∠D＝∠A.
又∠CBM＝∠A，
∴∠CBM＝∠D.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＋∠DBC＝90°，
∴∠CBM＋∠DBC＝90°，
即∠DBM＝90°，∴BD⊥MN.
又BD是⊙O的直径，∴MN是⊙O的切线．
9．解：作法：如图，
(1)连接OP，以OP为直径作⊙O′交⊙O于A，B两点；
(2)连接PA，PB，则PA，PB所在的直线即为所求作的切线．
10．C [解析] 对于甲的作法，连接OB，如图①，先判断OP为⊙A的直径，再根据圆周角定理得到∠OBP＝90°，于是根据切线的判定定理得到PB为⊙O的切线；
对于乙的作法：如图②，通过证明△OAB≌△OCP得到∠OAB＝∠OCP＝90°，于是根据切线的判定定理得到PC为⊙O的切线．
11．3或5 [解析] 当⊙P在点O左侧与直线CD相切时，设圆心为P′，切点为E′，∵∠AOC＝30°，P′E′＝1 cm，∴OP′＝2 cm，PP′＝8－2＝6(cm)，运动时间为6÷2＝3(s)；当⊙P在点O右侧与直线CD相切时，同理可得PP″＝8＋2＝10(cm)，运动时间为10÷2＝5(s)．
12．证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC.
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠DBC＝∠OCB.∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．
13．解：(1)证明：连接OA.
因为BC是⊙O的直径，所以∠BAC＝90°.
因为∠AEC＝30°，AB＝AD，
所以∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝60°，
又∠ACB＝∠CAD＋∠D，
所以∠CAD＝30°，
因为OC，OA是⊙O的半径，
所以△AOC是等边三角形，
所以∠OAC＝60°，
所以∠OAD＝90°，即OA⊥AD.
又因为OA是⊙O的半径，
所以AD是⊙O的切线．
(2)因为AE⊥BC，垂足为M，所以AE＝2AM.
在直角三角形AOM中，半径OA＝4，∠AOC＝60°，
所以AM＝OA·sin60°＝4×＝2 ，
所以AE＝2AM＝4 .
14．解：(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥PD.∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.∵∠ADC＝∠ABC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA.
(3)∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵AD平分∠BAC，∴＝，∴BD＝CD.∴在Rt△BDC中，BD2＋CD2＝BC2，即2CD2＝BC2＝100，∴CD＝BD＝5 .∵△PBD∽△DCA，∴＝，即PB＝＝＝.
2.5.2 第2课时 切线的性质
一、选择题
1．2018·眉山如图K－18－1所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B的度数为( )
图K－18－1
A．27° B．32° C．36° D．54°
2．如图K－18－2，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径为 ( )
图K－18－2
A. B．5 C．6 D．10
3．如图K－18－3，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是( )
图K－18－3
A．4 B．2
C．8 D．4
4．如图K－18－4所示，已知AB是半圆O的直径，AD切半圆O于点A，C是的中点，则下列结论不成立的是( )
图K－18－4
A．OC∥AE B．CE＝BC
C．∠DAE＝∠ABE D．AC⊥OE
5．已知直线m与半径为5 cm的⊙O相切于点P，AB是⊙O的一条弦，且＝，若AB＝6 cm，则直线m与弦AB之间的距离为( )
A．1 cm或9 cm
B．4 cm或9 cm
C．2 cm或8 cm
D．1 cm
二、填空题
6．2018·安徽如图K－18－5，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E，若D是AB的中点，则∠DOE＝________°.
图K－18－5
7．如图K－18－6，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M的坐标为________．
图K－18－6
8．如图K－18－7，直线AB切⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠EDC＝30°，弦EF∥AB，连接OC交EF于点H，连接CF，若CF＝5，则HE的长为________．
图K－18－7
9．如图K－18－8，⊙O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为________．
图K－18－8
三、解答题
10．如图K－18－9，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，且∠BAC＝52°.
(1)求∠OBA的度数；
(2)求∠D的度数.
图K－18－9
11．已知：如图K－18－10，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长．
图K－18－10
12．2018·陕西如图K－18－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC，BC交于点M，N.
(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；
(2)连接MD，求证：MD＝NB.
图K－18－11
13．2018·河南如图K－8－12，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F.
(1)求证：CE＝EF.
(2)连接AF并延长，交⊙O于点G，连接OG.填空：
①当∠D的度数为________时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为________时，四边形ECOG为正方形．
图K－18－12
素养提升 思维拓展 能力提升
探究性问题如图K－18－13所示，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至点P，使AP＝OA，连接PC.
(1)求CD的长．
(2)求证：PC是⊙O的切线．
(3)G为的中点，在PC的延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交于点F(点F与点B，C不重合)．探究： GE·GF是不是定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
图K－18－13
1．A
2．[解析] B 连接OB.
∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°.设⊙O的半径为r，由勾股定理，得r2＋122＝(8＋r)2，解得r＝5.故选B.
3．[解析] C ∵tan∠OAB＝，
∴AC＝2OC＝2OD＝2×2＝4.
又∵AC是小圆的切线，
∴OC⊥AB.由垂径定理，得AB＝2AC＝8.
故选C.
4．[解析] D A项，∵C是的中点，∴OC⊥BE.∵AB为半圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确．
B项，∵＝，∴BC＝CE，本选项正确．
C项，∵AD为半圆O的切线，
∴AD⊥OA，∴∠DAE＋∠EAB＝90°.
∵∠EBA＋∠EAB＝90°，
∴∠DAE＝∠ABE，本选项正确．
D项，AC不一定垂直于OE，本选项错误．
5．[解析] A 连接OA，OP交AB于点E.
∵＝，
∴OP⊥AB，AE＝EB＝3.
∵直线m是⊙O的切线，∴OP⊥m，∴AB∥m，在Rt△AEO中，OE＝＝4，∴PE＝5－4＝1(cm)，同法当弦AB在点O下方时，PF＝9 cm.故选A.
6．[解析] 60 连接OA.∵四边形ABOC是菱形，∴AB＝OB.∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB.∵D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOD＝∠AOB＝30°，同理∠AOE＝30°，∴∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝60°.故答案为60.
7．[答案] (8，10)
[解析] 如图，连接BM，AM，作MH⊥BC于点H.∵⊙M与x轴相切于点A(8，0)，∴AM⊥OA，OA＝8，∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°，
∴四边形OAMH是矩形，∴AM＝OH，
∵点C(0，16)，点B(0，4)，∴OB＝4，OC＝16，
∴BC＝12.
∵MH⊥BC，∴HC＝HB＝6，
∴OH＝AM＝10，∴点M的坐标为(8，10)，
故答案为(8，10)．
8．[答案]
[解析] ∵直线AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB.
∵EF∥AB，
∴EF⊥OC，由垂径定理，得EH＝HF.
∵∠EDC＝30°，∴∠F＝30°.
∵cosF＝，
∴HF＝CF·cos30°＝5×＝，
∴HE＝HF＝.
9．[答案] 2
[解析] ∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP＝90°，∴PQ2＝OP2－OQ2，而OQ＝1，∴PQ2＝OP2－1，即PQ＝，当OP最小时，PQ最小．∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ的最小值为＝2 .
10．解：(1)连接OA.
∵AC与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°.
∵∠BAC＝52°，
∴∠OAB＝38°.
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝38°.
(2)∵∠OBA＝∠OAB＝38°，
∴∠AOB＝180°－2×38°＝104°，
∴∠D＝∠AOB＝52°.
11．解：(1)连接OC.∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，∴∠COD＝2∠CAD.
∵∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.
∵PD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°.
(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝OB＝CD＝2.
由勾股定理，得OD＝＝2 ，
∴BD＝OD－OB＝2 －2.
12．证明：(1)连接ON，如图．∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠1＝∠B.
∵OC＝ON，∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠B，∴ON∥DB.
∵NE为⊙O的切线，∴ON⊥NE，∴NE⊥AB.
(2)连接DN，如图．∵CD为⊙O的直径，
∴∠CMD＝∠CND＝90°，而∠MCB＝90°，
∴四边形CMDN为矩形，∴DM＝CN.
∵DN⊥BC，∠1＝∠B，
∴CN＝BN，∴MD＝NB.
13．解：(1)证明：连接OC，如图．∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
即∠1＋∠4＝90°.
∵DO⊥AB，
∴∠3＋∠B＝90°，
而∠2＝∠3，
∴∠2＋∠B＝90°，而OB＝OC，
∴∠4＝∠B，
∴∠1＝∠2，∴CE＝EF.
(2)①当∠D＝30°时，四边形ECFG为菱形．
∵当∠D＝30°时，∠DAO＝60°，而AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠3＝∠2＝60°，而CE＝FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE＝CF＝EF.
同理可得∠GFE＝60°，利用对称得FG＝FC.
∴FG＝EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG＝FG，
∴EF＝FG＝GE＝CE＝CF，
∴四边形ECFG为菱形．
②当∠D＝22.5°时，四边形ECOG为正方形．
∵当∠D＝22.5°时，∠DAO＝67.5°，而OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝67.5°，
∴∠AOC＝180°－67.5°－67.5°＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴∠COE＝45°，利用对称得∠EOG＝45°，
∴∠COG＝90°，易证△OEC≌△OEG，
∴∠OGE＝∠OCE＝90°，
∴四边形ECOG为矩形，而OC＝OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°.
[素养提升]
解：(1)连接OC.∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM＝OA＝×2＝1，CD⊥OA.
又∵OC＝2,
∴CD＝2CM＝2＝2＝2 .
(2)证明：∵AP＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，
∴PC＝＝2 .
∵OC＝2，PO＝2＋2＝4，
∴PC2＋OC2＝(2 )2＋22＝16＝PO2，
∴∠PCO＝90°.
又∵OC为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
(3)GE·GF是定值．如图，连接GA，AF，GB.
∵G为的中点，
∴＝，
∴∠BAG＝∠AFG.
又∵∠AGE＝∠FGA，
∴△AGE∽△FGA，
∴＝，
∴GE·GF＝AG2.
∵AB为⊙O的直径，
∴易知∠BAG＝∠ABG＝45°.
又∵AB＝4，
∴AG＝2 ，
∴GE·GF＝8.
第2课时 切线的性质
知识点 切线的性质
1．如图2－5－17，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2 ，∠APO＝30°，则⊙O的半径为( )
图2－5－17
A．1 B. C．2 D．4
2．如图2－5－18，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB＝12，AO＝8，则OC的长为( )
图2－5－18
A．5 B．4 C．2 D．2
3．2017·莱芜如图2－5－19，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为( )
图2－5－19
A．46° B．47° C．48° D．49°
4．2017·怀化模拟如图2－5－20，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为( )
图2－5－20
A. B. C. D.
5．2018·湘潭如图2－5－21，AB是⊙O的切线，B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝________°.
图2－5－21
6．2018·长沙如图2－5－22，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝________°.
图2－5－22
7．如图2－5－23，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，连接AC，OC.若∠P＝20°，则∠A的度数为________．
图2－5－23
8．2017·连云港如图2－5－24，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径为________．
图2－5－24
9．教材练习第2题变式如图2－5－25，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且∠ABD＝45°，求证：AD＝DC.
图2－5－25
10．如图2－5－26，在⊙O中，M是弦AB的中点，过点B作⊙O的切线，与OM的延长线交于点C.求证：∠A＝∠C.
图2－5－26
11．2018·泰安如图2－5－27，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为( )
图2－5－27
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．如图2－5－28，一宽为2 cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位： cm)，则该圆的半径为________．
图2－5－28
13．2017·常德如图2－5－29，已知AB是半圆O的直径，CD与⊙O相切于点C，BE∥CO.
(1)求证：BC是∠ABE的平分线；
(2)若DC＝8，半圆O的半径OA＝6，求CE的长．
图2－5－29
14．2017·邵阳如图2－5－30所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P.过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B.作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO.
(1)求证：DA＝DC；
(2)求∠P及∠AEB的度数．
图2－5－30
15．如图2－5－31，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D.
(1)如图①，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；
(2)如图②，当点P与(1)中的位置不同时，∠CDP的大小是否发生变化？说明你的理由．
图2－5－31
教师详解详析
1．C [解析] 连接OA，∵PA是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥PA.
∵∠APO＝30°，∴OA＝PA＝2，
即⊙O的半径为2.
2．D
3．C [解析] 由题知∠AOC＝2∠ABC＝42°，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，∴∠OAD＝90°，∴∠ADC＝90°－∠AOD＝90°－42°＝48°.故选C.
4．A [解析] 连接OC，如图．∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE.
∵∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠E＝90°－∠BOC＝30°，
∴sinE＝sin30°＝.
5．60 [解析] 因为AB是⊙O的切线，B为切点，所以∠ABO＝90°.又因为∠A＝30°，所以∠AOB的度数为90°－30°＝60°.
6．50 [解析] ∵∠BOD＝2∠A，∠A＝20°，
∴∠BOD＝40°.
又∵BC与⊙O相切，
∴BC⊥OB，∠OBC＝90°，∴∠OCB＝50°.
7．35° [解析] 根据圆的切线性质可知，PC⊥OC，于是由直角三角形两锐角互余，得∠COB＝90°－20°＝70°.因为△AOC为等腰三角形，所以∠A＝∠ACO.由∠COB＝∠A＋∠ACO，可求出∠A＝35°.
8．5 [解析] 连接OB，根据切线的性质可知OB⊥AB，设圆的半径为r，根据勾股定理可得，r2＋AB2＝(r＋AC)2，即r2＋122＝(8＋r)2，解得r＝5.
9．证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵∠ABD＝45°，∴∠A＝45°.∵BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠C＝45°，∴AB＝CB.又∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∴AD＝DC.
10．证明：连接OB.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∴∠OBM＋∠CBM＝90°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBM.∵M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴∠C＋∠CBM＝90°，∴∠C＝∠OBM，∴∠A＝∠C.
11．A [解析] 如图，连接OA，OB.∵BM与⊙O相切于点B，∴OB⊥BM，
∴∠BAO＝∠ABO＝∠MBA－∠OBM＝140°－90°＝50°，
∴∠AOB＝180°－50°×2＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°.
12. cm [解析] 如图，过点O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点D.
设OB＝r，根据垂径定理，得BE＝AB＝×6＝3 (cm)，由勾股定理得(r－2)2＋9＝r2，
解得r＝，∴该圆的半径为 cm.
13．解：(1)证明：∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CBE＝∠CBO，∴BC是∠ABE的平分线．
(2)在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，
∴OD＝＝10.
∵OC∥BE，∴＝，即＝，∴CE＝4.8.
14．解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∵CB⊥AE，∴AD⊥AE，∴∠DAO＝90°.∵DP和圆O相切于点C，∴DC⊥OC，∴∠DCO＝90°.在Rt△DAO和Rt△DCO中，DO＝DO，AO＝CO，
∴Rt△DAO≌Rt△DCO，∴DA＝DC.
(2)∵CB⊥AE，AE是⊙O的直径，∴CF＝FB＝BC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴CF＝AD.
∵CF∥DA，∴△PCF∽△PDA，∴＝＝，∴PC＝PD，DC＝PD.
由(1)知DA＝DC，∴DA＝PD，
∴在Rt△DAP中，∠P＝30°.
∵DP∥AB，∴∠FAB＝∠P＝30°.又∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠AEB＝60°.
15．解：(1)连接OC.
∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°.
∵∠CPA＝30°，∴∠COP＝60°.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°.
∵PD平分∠APC，∴∠APD＝15°，
∴∠CDP＝∠A＋∠APD＝45°.
(2)∠CDP的大小不发生变化．理由如下：
连接OC，∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°.
∵PD是∠CPA的平分线，
∴∠APC＝2∠APD.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠A.
在Rt△OCP中，∠OCP＝90°，
∴∠COP＋∠OPC＝90°，
∴2(∠A＋∠APD)＝90°，
∴∠CDP＝∠A＋∠APD＝45°，
即∠CDP的大小不发生变化．
2.5.3 切线长定理
一、选择题
1．如图K－19－1，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是 ( )
图K－19－1
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO
2．2017·华容县模拟如图K－19－2所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为( )
图K－19－2
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．如图K－19－3，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB＝60°，点P到圆心O的距离OP＝2，则⊙O的半径为( )
图K－19－3
A. B．1 C. D．2
4．如图K－19－4所示，PA，PB是⊙O的切线，A，B分别为切点，E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P的度数为( )
图K－19－4
A．120° B．60°C．30° D．45°
5．如图K－19－5所示，直线PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，∠APB＝120°，OP＝10 cm，则弦AB的长为( )
图K－19－5
A．5 cm B．5 cm C．10 cm D. cm
6．如图K－19－6，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面积为( )
图K－19－6
A．12 cm2 B．24 cm2 C．8 cm2 D．6 cm2
二、填空题
7．小明同学想要测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板按图K－19－7所示放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的半径是________cm.
图K－19－7
8．如图K－19－8，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，过A，B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P.若⊙O的半径为1，则△PAB的周长为________．
图K－19－8
三、解答题
9．如图K－19－9所示，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC.
图K－19－9
10．如图K－19－10，PA，PB，CD是⊙O的切线，切点分别为A，B，E，若△PCD的周长为18 cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径.
图K－19－10
11．如图K－19－11，大圆的弦AB，AC分别切小圆于点M，N.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝8，求圆环的面积．
图K－19－11
12．如图K－19－12，在△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的一点，以点O为圆心的⊙O分别与边AC，BC相切于点D，E，连接OD，OE.
(1)求证：四边形CDOE是正方形；
(2)若AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径．
图K－19－12
13．如图K－19－13，⊙O的直径AB＝12 cm，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别交于点D，C.
(1)若∠ADC＝122°，求∠BCD的度数；
(2)设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数表达式(不必写出自变量的取值范围)．
图K－19－13
素养提升 思维拓展 能力提升
方程思想如图K－19－14所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH.
(1)求证：MH为⊙O的切线；
(2)若MH＝，tan∠ABC＝，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下，分别过点A，B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于点N，过点N作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于点Q，求线段NQ的长．
图K－19－14
教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D 连接OA，OB.∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，由切线长定理，知∠1＝∠2，PA＝PB，
∴△ABP是等腰三角形．∵∠1＝∠2，∴AB⊥OP(等腰三角形三线合一)，故A，B，C正确，根据切割线定理知：PA2＝PC·(PO＋OC)，因此D错误．故选D.
2．[解析] C ∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO.又∵OP＝4，PA＝2 ，∴cos∠APO＝＝，∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°.
3．[解析] B 连接OA.∵PA为⊙O的切线，
∴PA⊥OA.
∵∠APO＝∠APB＝30°，
∴OA＝OP·sin∠APO＝2×＝1，
∴⊙O的半径为1.
4．[解析] B 连接OA，BO.∵∠AOB＝2∠E＝120°，∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠P＝180°－∠AOB＝60°.
5．[解析] A 连接OA，OB，则∠OAP＝90°.由切线长定理知∠APO＝∠APB＝×120°＝60°，∴∠AOP＝30°，∴AP＝OP＝×10＝5(cm)，∴OA＝＝＝5 (cm)，
∴·AB·OP＝OA·AP＝S△AOP，
∴AB×10＝5 ×5，∴AB＝5 cm.
6．[解析] D ∵AE与半圆O切于点F，根据切线长定理有AF＝AB＝4 cm，EF＝EC.设EF＝EC＝x cm，则DE＝(4－x)cm，AE＝(4＋x)cm.在Rt△ADE中，由勾股定理，得(4－x)2＋42＝(4＋x)2，解得x＝1，∴EC＝1，∴DE＝4－1＝3，∴S△ADE＝AD·DE＝×4×3＝6(cm2)．
7．[答案] 3
[解析] 连接OA.
∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°.∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝∠CAB＝60°.∵AB＝3 cm，∴OA＝6 cm，∴由勾股定理，得OB＝3 cm，∴光盘的半径是3 cm.
8．[答案] 3
[解析] ∵AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，∴∠ABC＝90°，∠BAC＝30°.∵AC＝2OA＝2，∴CB＝1，AB＝.
∵AP为⊙O的切线，∴∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝60°.又∵AP＝BP，∴△PAB为正三角形，∴△PAB的周长为3 .
9．证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC，∴AC＝BC.
10．解：连接OA，OP，则OA⊥PA.根据题意，得CA＝CE，DE＝DB，PA＝PB.∵PC＋CE＋DE＋PD＝18 cm，∴PC＋CA＋DB＋PD＝18 cm，∴PA＝×18＝9(cm)．
∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠APB＝30°，∴在Rt△AOP中，PO＝2AO，故OA2＋92＝(2AO)2，解得OA＝3 (cm)．故⊙O的半径为3 cm.
11．解：(1)证明：连接OM，ON，OA.∵AB，AC分别切小圆于点M，N，∴AM＝AN，OM⊥AB，ON⊥AC，∴AM＝BM，AN＝NC，∴AB＝AC.
(2)∵弦AB与小圆相切于点M，
∴OM⊥AB，∴AM＝BM＝4，
∴在Rt△AOM中，OA2－OM2＝AM2＝16，
∴S圆环＝πOA2－πOM2＝πAM2＝16π.
12．解：(1)证明：∵AC，BC分别为⊙O的切线，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°.∵∠C＝90°，∴四边形CDOE为矩形．∵OD＝OE，∴四边形CDOE为正方形．
(2)连接OC，设⊙O的半径为r.∵S△ACB＝S△ACO＋S△BCO，∴×3×4＝·3·r＋·4·r，
∴r＝.
13．解：(1)∵AD与BC都是⊙O的切线，
∴∠OAD＝∠OBC＝90°，
∴∠OAD＋∠OBC＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠BCD＋∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝122°，
∴∠BCD＝58°.
(2)过点D作DF⊥BC于点F，可知AB＝DF＝12.∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE与⊙O相切于点E，∴AD＝DE＝x，BC＝CE＝y，∴CD＝DE＋CE＝x＋y，∴CF＝BC－BF＝y－x.在Rt△DFC中，由勾股定理，得DF2＋CF2＝CD2，即122＋(y－x)2＝(x＋y)2，化简可得y＝.
[素养提升]
解：(1)证明：连接OH，OM.
∵H是AC的中点，O是BC的中点，
∴OH是△ABC的中位线，∴OH∥AB，
∴∠COH＝∠ABC，∠MOH＝∠OMB.
又∵OB＝OM，
∴∠OMB＝∠MBO，
∴∠COH＝∠MOH.
在△COH与△MOH中，
∴△COH≌△MOH，
∴∠HMO＝∠HCO＝90°，
又∵OM为⊙O的半径，∴MH是⊙O的切线．
(2)由题意及(1)知MH，AC是⊙O的切线，
∴HC＝MH＝，∴AC＝2HC＝3.
∵tan∠ABC＝，∴＝，
∴BC＝4，∴⊙O的半径为2.
(3)连接OA，CN，ON，OA与CN相交于点I.
∵AC与AN都是⊙O的切线，
∴AC＝AN，AO平分∠CAD，
∴OA⊥CN.
∵AC＝3，OC＝2，
∴由勾股定理可求得OA＝.由三角形面积公式，得AC·OC＝OA·CI，∴CI＝，
∴由垂径定理可求得CN＝.设OE＝x.由勾股定理，得CN2－CE2＝ON2－OE2，即－(2＋x)2＝4－x2，解得x＝， 即OE＝.由勾股定理可求得EN＝，
∴由垂径定理可知NQ＝2EN＝.
*2.5.3 切线长定理
知识点 切线长定理
1．如图2－5－32，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中不一定正确的是( )
图2－5－32
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1
2．如图2－5－33，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
图2－5－33
A．4 B．8 C．4 D．8
3．如图2－5－34，PA和PB是⊙O的切线，A和B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数是( )
图2－5－34
A．40° B．60° C．70° D．80°
4．如图2－5－35，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB＝50°，则∠AOP＝________°.
图2－5－35
5．如图2－5－36，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.
求证：AC＝BC.
图2－5－36
6．如图2－5－37，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若四边形ABCD的周长为8，则AB＋CD的值为( )
图2－5－37
A．2 B．4 C．6 D．8
7．教材习题2.5B组第11题变式如图2－5－38，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，C是上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E，△PDE的周长是8 cm，∠DOE＝70°.
求：(1)PA的长；(2)∠APB的度数．
图2－5－38
8．如图2－5－39，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
图2－5－39
教师详解详析
1．D
2．B [解析] ∵PA，PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB.又∵∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，即AB＝PA＝8.
3．C
4．65 [解析] ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB＝50°，∴∠APO＝∠APB＝25°，∠OAP＝90°，∴∠AOP＝90°－25°＝65°.
5．证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.
又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC，∴AC＝BC.
6．B [解析] 由切线长定理可得该四边形两组对边的和相等．
7．解：(1)∵PA，PB，DE是⊙O的切线，
∴DC＝DA，EC＝EB，PA＝PB.
∵△PDE的周长是8 cm，
∴PD＋PE＋DE＝8 cm，
∴PD＋PE＋DC＋EC＝8 cm，
∴PD＋PE＋DA＋EB＝8 cm，
∴PD＋DA＋PE＋EB＝8 cm，
即PA＋PB＝8 cm.
又PA＝PB，∴PA＝4 cm.
(2)连接OA，OB，OC，则∠OAP＝90°，∠OBP＝90°.
∵DA＝DC，OA＝OC，OD＝OD，
∴△OAD≌△OCD，∴∠AOD＝∠COD，
同理∠BOE＝∠COE，∴∠COD＋∠COE＝∠AOD＋∠BOE，
∴∠AOB＝2∠DOE＝2×70°＝140°.
在四边形OAPB中，∠APB＝180°－∠AOB＝180°－140°＝40°.
8．解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴DA⊥AB，CB⊥AB.
又∵AB为⊙O的直径，
∴AD，BC是⊙O的切线．
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，CE＝CB＝1，
∴FD＝1－x，CF＝CE＋EF＝1＋x.
在Rt△CDF中，由勾股定理得CF2＝CD2＋DF2，
即(1＋x)2＝12＋(1－x)2，解得x＝，
∴DF＝1－x＝，
∴S△CDF＝×1×＝.
2.5.4 三角形的内切圆
一、选择题
1．2017·广州如图K－20－1，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
图K－20－1
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2．2017·怀化模拟在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，它的内切圆⊙O的半径是1，则AC的长为 ( )
A．6 B．3 C．4 D．5
3．如图K－20－2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，AD＝13，AC＝25，BC＝35，则BD的长度为( )
图K－20－2
A．23 B．22 C．21 D．20
4．等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为( )
A．1∶ B．1∶ C．1∶2 D．1∶3
5．如图K－20－3，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的度数为( )
图K－20－3
A．128° B．126° C．122° D．120°
6．如图K－20－4，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是( )
图K－20－4
A．点O是△ABC的内心
B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是正三角形
D．△ABC是等腰三角形
二、填空题
7．2018·湖州如图K－20－5，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．
图K－20－5
8．如图K－20－6，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切BC于点D，BD＝3，CD＝2，△ABC的周长为14，则AB＝________．
图K－20－6
9．如图K－20－7所示，⊙O是△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径是________．
图K－20－7
三、解答题
10．如图K－20－8所示，有三边分别为0.4 m，0.5 m和0.6 m的三角形形状的铁皮，想要从中剪出一个面积最大的圆形铁皮，请你根据所学的知识，设计解决问题的方法.
图K－20－8
11．2017·黄石如图K－20－9，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD＝DF，连接CF，BE.
(1)求证：DB＝DE；
(2)求证：直线CF为⊙O的切线．
图K－20－9
12．已知Rt△ABC的斜边AB＝，两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2－(2m＋1)x＋2m＝0的两个实数根．
(1)求m的值；
(2)求Rt△ABC的内切圆的半径．
13．已知任意三角形的三边长，如何求该三角形的面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S＝ (其中a，b，c是三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积)，并给出了证明．
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5，∴p＝＝6，∴S＝ ＝＝ 6.
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图K－20－10，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9.
(1)用海伦公式求△ABC的面积；
(2)求△ABC的内切圆的半径r.
图K－20－10
素养提升 思维拓展 能力提升
阅读与探究题 【阅读材料】如图K－20－11①，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝BC·r＋AC·r＋AB·r＝ar＋br＋cr＝(a＋b＋c)r，
∴r＝.
【类比推理】如图K－20－11②，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆的半径r.
【理解应用】如图K－20－11③，在Rt△ABC中，内切圆的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D，E和F，已知AD＝3，BD＝2，求r的值．
图K－20－11
教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．B 2.C
3．[解析] A ∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，∴AF＝AD＝13，CF＝CE，
BD＝BE.∵AC＝25，
∴CF＝AC－AF＝25－13＝12.
∵BC＝35，
∴BE＝BC－CE＝35－12＝23，
∴BD＝BE＝23.故选A.
4．[解析] C 如图，等边三角形ABC的内心、外心重合，连接OB，OD，则在Rt△BOD中，∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，sin∠OBD＝，∴ OD∶BO＝1∶2.
5．[解析] C 在⊙O中，∵∠CBD＝32°，
∴∠CAD＝32°.∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC＝64°，
∴∠EBC＋∠ECB＝(180°－64°)÷2＝58°，
∴∠BEC＝180°－58°＝122°.故选C.
6．[解析] A 过O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，OQ⊥AC于点Q，连接OK，OD，OF，由垂径定理得DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG.
∵DE＝FG＝HK，∴DM＝KQ＝FN.∵OD＝OK＝OF，∴由勾股定理，得OM＝ON＝OQ，即点O到三角形ABC三边的距离相等，∴点O是△ABC的内心．故选A.
7．70° [解析] ∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD＝∠ABC＝×40°＝20°，
∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.故答案为70°.
8．[答案] 5
[解析] 如图所示，由切线长定理可知：BE＝BD＝3，CD＝CF＝2，AE＝AF.
设AE＝AF＝x.根据题意，得2x＋3＋3＋2＋2＝14，解得x＝2，
∴AE＝2，∴AB＝BE＋AE＝3＋2＝5.
9．[答案]
[解析] 设AC切⊙O于点E，连接OE，则OE⊥AC.∵BC⊥AC，∴OE∥DC，
∴△AOE∽△ADC，∴＝＝.代入相应数据即可求得OE.
10．解：作∠B，∠C的平分线BM和CN，交点为I，过点I作ID⊥BC，垂足为D；
以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I即为面积最大的圆形，沿⊙I剪下来即可．
11．证明：(1)∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，∠DBC＝∠EAC，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE.
(2)连接CD.∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD.
∵BD＝DF，
∴CD＝DB＝DF，
∴∠BCF＝90°，
∴BC⊥CF.
又∵BC为⊙O的直径，
∴CF为⊙O的切线．
12．解：(1)∵两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x2－(2m＋1)x＋2m＝0的两个实数根，
∴AC＋BC＝2m＋1，AC·BC＝2m，
∴AC2＋BC2＝(AC＋BC)2－2AC·BC＝(2m＋1)2－4m＝4m2＋1.
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴4m2＋1＝5，
∴m＝1(负值已舍去)，即m的值是1.
(2)把m＝1代入方程得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，可设AC＝1，BC＝2，如图，连接OD，OF.
∵⊙O切AC于点D，切BC于点F，
∴∠ODC＝∠OFC＝90°＝∠C.
又∵OD＝OF，
∴四边形ODCF是正方形，
∴OD＝OF＝CD＝CF.
∵⊙O切AC于点D，切BC于点F，切AB于点E，
∴AE＝AD，BE＝BF，
∴AC－OD＋BC－OD＝AB，
即1－OD＋2－OD＝，解得OD＝.
故Rt△ABC的内切圆的半径是.
13．解：(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p＝＝＝10，
∴S＝＝＝10 ，
∴△ABC的面积为10 .
(2)∵S△ABC＝·r·(AC＋BC＋AB)，
∴10 ＝r·(5＋6＋9)，解得r＝，
∴△ABC的内切圆的半径r＝.
[素养提升]
解：【类比推理】如图①，连接OA，OB，OC，OD.∵S＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD＝ar＋br＋cr＋dr＝(a＋b＋c＋d)r，
∴r＝.
【理解应用】 如图②，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，OE＝EC＝CF＝FO＝r.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(3＋r)2＋(2＋r)2＝52，r2＋5r－6＝0，解得r＝1(负值已舍去)．
2．5.4 三角形的内切圆
知识点 三角形的内切圆
1．2017·广州如图2－5－40，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
图2－5－40
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2．如图2－5－41，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是内心，则∠BOC的度数是( )
图2－5－41
A．105° B．115° C．120° D．130°
3．如图2－5－42，△ABC的三边与⊙O分别相切于点D，E，F，已知AB＝7 cm，AC＝5 cm，AD＝2 cm，则BC＝________cm.
图2－5－42
4.如图2－5－43，等边三角形ABC的内切圆半径为2，那么AB的长为________．
图2－5－43
5．为美化校园，学校准备在如图2－5－44所示的三角形(△ABC)空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．(用圆规、直尺作图，不写作法，保留作图痕迹)
图2－5－44
6．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为( )
A．1∶∶ B．1∶2∶
C．1∶∶2 D．1∶2∶3
7．如图2－5－45，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是( )
图2－5－45
A. B．1 C．2 D.
8．若等腰直角三角形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )
A. B．2 －2 C．2－ D.－1
9．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，AC的长分别是c，a，b，根据“切线长定理”，我们易证得△ABC的内切圆半径r＝，当⊙O符合下列条件时，求其半径r.
(1)如图②，圆心O在直角三角形外，且⊙O与三角形三边均相切；
(2)如图③，圆心O在直角三角形的斜边上，且⊙O与其中一条直角边相切．
图2－5－46
教师详解详析
1．B [解析] 根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，所以点O是△ABC的三条角平分线的交点．
2．B
3．8 [解析] ∵△ABC的三边与⊙O分别相切于点D，E，F，
∴AE＝AD＝2 cm，BF＝BD＝AB－AD＝7－2＝5(cm)，
∴CF＝CE＝AC－AE＝5－2＝3(cm)，
∴BC＝BF＋CF＝5＋3＝8(cm)．故填8.
4．4
5．略
[点评] 正确画出三角形两个内角的角平分线，其交点即为所求内切圆的圆心，交点到三边的距离即为所求内切圆的半径．
6．D
7．B [解析] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，根据勾股定理，得AB＝＝5，若设Rt△ABC的内切圆半径为R，则有R＝＝1.
8．B [解析] 如图，在等腰直角三角形ABC中，⊙D为其外接圆，可知D为AB的中点，因此AD＝2，AB＝2AD＝4，根据勾股定理可求得AC＝2 ，根据⊙E是△ABC的内切圆，可知四边形EFCG是正方形，AF＝AD，因此EF＝FC＝AC－AF＝2 －2.
故选B.
9．解：如图①，设⊙O与△ABC的边或边的延长线的三个切点分别是D，E，F，连接OE，OF，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CFOE是矩形．
∵OF＝OE，
∴四边形CFOE是正方形，
∴OF＝OE＝CE＝CF＝r，
由切线长定理得BD＝BE＝BC－CE＝a－r，
AF＝AD，
即b＋r＝c＋(a－r)，
∴r＝.
(2)如图②，设⊙O与直角边AC的切点为D，连接OD，则OD⊥AC，
∴OD∥BC，∴＝，
即＝，∴r＝.
2.5直线与圆的位置关系
一、选择题(每题3分，共24分)
1．已知圆的半径为6 cm，如果一条直线和圆心的距离为6 cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相离
2．如图3－G－1，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，PO＝26，PA＝24，则⊙O的半径为( )
图3－G－1
A．9 B．8 C．10 D．12
3．如图3－G－2，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数是( )
图3－G－2
A．70° B．50° C．45° D．20°
4．如图3－G－3，已知△ABC的内心为I，∠BIC＝130°，则∠A的度数为( )
图3－G－3
A．60° B．65° C．80° D．70°
5.如图3－G－4，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若∠OAB＝30°，则∠APB的度数为( )
图3－G－4
A．60° B．90° C．120° D．无法确定
6．已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过直线l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
7．如图3－G－5所示，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB＝2，OD＝3，则BC的长为( )
图3－G－5
A. B. C. D.
8．如图3－G－6，点P在⊙O的直径BA的延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD，BD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的个数是( )
图3－G－6
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(每题4分，共24分)
9．已知点M到直线m的距离是3 cm.若⊙M与直线m相切，则⊙M的直径是________．
10．如图3－G－7，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB是⊙O的直径，要使EF为⊙O的切线，还需要添加一个条件：________(写出一个即可)．
图3－G－7
11．如图3－G－8所示，∠MAB＝30°，P为AB上的点，且AP＝6，⊙P与AM相切，切点为M，则⊙P的半径为________．
图3－G－8
12．如图3－G－9，已知⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点D，E，F，△ABC的周长为24 cm，BC＝10 cm，则AE＝________cm.
图3－G－9
13．如图3－G－10，在三角板ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，⊙O的半径为1，现将三角板平移，使AC与⊙O相切，则AO＝________.
图3－G－10
14．如图3－G－11，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为(，0)，⊙M的切线OC与直线AB交于点C，则∠ACO＝________°.
图3－G－11
三、解答题(共52分)
15．(10分)如图3－G－12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，以R为半径画圆，若⊙C与AB相交，求R的取值范围．
图3－G－12
16．(10分)如图3－G－13，已知AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E.
求证：(1)DE是⊙O的切线；
(2)CD2＝CE·CB.
图3－G－13
17．(10分)如图3－G－14，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D.
(1)求证：△ADC∽△CDB；
(2)若AC＝2，AB＝CD，求⊙O的半径．
图3－G－14
18．(10分)如图3－G－15，已知I是△ABC的内心，延长AI交BC于点D，交外接圆O于点E.
求证：(1)IE＝EC；
(2)IE2＝ED·EA.
图3－G－15
19．(12分)如图3－G－16所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边交于点D，E为BC边的中点，连接DE.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)连接OE，AE，当∠CAB为多少度时，四边形AOED是平行四边形？请说明理由，并在此条件下求出sin∠CAE的值．
图3－G－16
教师详解详析
1．B 2.C 3.B 4.C
5．A [解析] ∵∠OAB＝30°，∴∠PAB＝90°－30°＝60°.又∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∴∠APB＝180°－60°－60°＝60°.
6．C
7．A [解析] ∵BC∥OD，∴∠B＝∠DOA.又∵∠ACB＝∠DAO＝90°，∴△ABC∽△DOA，∴＝，解得BC＝.
8．A [解析] ①连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO＝90°.在△PCO和△PDO中，
∵∴△PCO≌△PDO(SSS)，∴∠PCO＝∠PDO＝90°，又∵点D在⊙O上，∴PD与⊙O相切，故①正确；
②由①得∠CPB＝∠DPB，
在△CPB和△DPB中，
∵，∴△CPB≌△DPB(SAS)，∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四边形PCBD是菱形，故②正确；
③连接AC，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在△PCO和△BCA中，∵∴△PCO≌△BCA(ASA)，∴AC＝CO，∴AC＝CO＝AO，∴∠COA＝60°，∴∠CPO＝30°，∴CO＝PO＝AB，∴PO＝AB，故③正确；
④∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，∴DP＝DB，∴∠DPB＝∠DBP＝30°，∴∠PDB＝120°，故④正确．正确的有4个，故选A.
9．6 cm [解析] ∵点M到直线m的距离是3 cm，⊙M与直线m相切，∴⊙M的半径是3 cm，∴⊙M的直径是6 cm.
10．答案不唯一，如∠CAE＝∠B
11．3 [解析] 连接PM，在Rt△APM中，PM＝AP＝3.
12．2 [解析] ∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点D，E，F，设AF＝AE＝x，BD＝BF＝y，CE＝CD＝z，根据题意，得解得x＝2，∴AE＝2 cm.
13. [解析] 设AC与⊙O相切于点D，连接OD.在Rt△ABC中，∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°.∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，且OD＝1.在Rt△OAD中，sinA＝，∴OA＝＝＝.
14．30 [解析] ∵AB＝2，OA＝，∴cos∠BAO＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°.∵OC是⊙M的切线，∴∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠ACO＝∠OBA－∠BOC＝30°.
15．解：过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴由勾股定理得AB＝＝＝5.
由三角形面积公式得AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝＝2.4，
∴当2.4＜R＜4时，⊙C与AB相交．
16．证明：(1)连接OD.
∵D是AC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥BC，
∴∠CED＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(2)连接DB.∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°.
在△CDB和△CED中，∠C＝∠C，∠CDB＝∠CED＝90°，∴△CDB∽△CED，
∴＝，∴CD2＝CE·CB.
17．解：(1)证明：连接CO.
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝∠BCD.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BCD.
在△ADC和△CDB中，
∴△ADC∽△CDB.
(2)设CD＝x，则AB＝x，OC＝OB＝x.
∵∠OCD＝90°，∴OD＝＝＝x，
∴BD＝OD－OB＝x－x＝x.
由(1)知△ADC∽△CDB，∴＝，
即＝，解得CB＝1，
∴AB＝＝，
∴⊙O的半径是.
18．证明：(1)连接IC.∵I是△ABC的内心，
∴∠ACI＝∠BCI，∠BAE＝∠CAE.
又∵∠BAE＝∠BCE，∴∠CAE＝∠BCE.
∴∠CAE＋∠ACI＝∠ICB＋∠BCE.
∴∠EIC＝∠ICE.∴IE＝EC.
(2)由(1)可知∠CAE＝∠BCE.
又∵∠AEC＝∠DEC，∴△DCE∽△CAE.
∴＝.∴EC2＝ED·EA.
∵IE＝EC，∴IE2＝ED·EA.
19．解：(1)证明：连接OD，BD.
易知△BDC是直角三角形，且E为BC的中点，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD.
又∵OD＝OB，且∠EBD＋∠DBO＝90°，
∴∠EDB＋∠ODB＝90°，即OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)当∠CAB＝45°时，四边形AOED是平行四边形．
理由如下：∵OA＝OD，∠CAB＝45°，∴∠ADO＝45°，∴∠AOD＝90°.
由(1)知∠ODE＝90°，∴DE∥AO.
∵O，E分别为AB，BC的中点，∴OE∥AD，
∴四边形AOED是平行四边形．
过点E作EH⊥AC于点H.设BC＝2k，
易得EH＝k，AE＝k，
∴sin∠CAE＝＝.
2.6第1课时 弧长公式
一、选择题
1．一个扇形的半径为9 cm，弧长为3π cm，则扇形的圆心角为( )
A．60° B．120° C．150° D．180°
2．若120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是( )
A．3 B．4 C．9 D．18
3．2018·黄石如图K－21－1，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则弧BD的长为( )
图K－21－1
π B.π C．2π D.π
如图K－21－2，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若OA＝2，∠P＝60°，则
的长为( )
图K－21－2
π B．π C.π D.π
5．如图K－21－3，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则点A运动的路径′的长为( )
图K－21－3
A．π B．2π C．4π D．8π
二、填空题
6．如图K－21－4，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧的长度之和为________ cm(结果保留π)．
图K－21－4
7．2017·凉州区如图K－21－5所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于________(结果保留π)．
图K－21－5
8．如图K－21－6，⊙P与x轴相切于点O，点P的坐标为(0，)，点A在⊙P上，且位于第一象限，∠APO＝120°，⊙P沿x轴负半轴方向滚动，当点A第一次落在x轴上时，点A的横坐标为________．(结果保留π)
图K－21－6
9．2018·盐城如图K－21－7，图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分．图②中，半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°.则图②的周长为________cm(结果保留π)．
图K－21－7
三、解答题
10．如图K－21－8，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.
(1)作⊙O，使它过点A，B，C(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的圆中，求出劣弧的长.
图K－21－8
11．如图K－21－9，P，C是以AB为直径的半圆O上的两点，AB＝10，的长为π，连接PB交AC于点M.求证：MC＝BC.
图K－21－9
12．如图K－21－10，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′.
(1)求证：△ADC≌△ADC′；
(2)求在旋转过程中点C扫过的路径的长(结果保留π)．
图K－21－10
13．图K－21－11中的曲线CD表示某条公路的一段，其中AmB是一段圆弧，AC，BD是线段，且AC，BD分别与圆弧AmB相切于点A，B，线段AB＝180 m，∠ABD＝150°.
(1)画出圆弧AmB的圆心O；
(2)求从A到B这段弧形公路的长(结果保留π).
图K－21－11
素养提升 思维拓展 能力提升
探究题某课题小组进行了如下探索，请逐步思考并解答：
(1)如图K－21－12①，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传送轮中心的距离是10 m，则这条传送带的长为________．
(2)改变图形的数量：
如图②，将传送轮增加到3个，每个传送轮的直径是3 m，每两个传送轮中心的距离是10 m，则这条传送带的长为________．
(3)改变动态关系，将静态问题升华为动态问题：
如图③，一个半径为1 cm的⊙P沿边长为2π cm的等边三角形ABC的外沿作无滑动滚动一周，求圆心P经过的路径长．⊙P自转了多少周？
(4)拓展与应用：
如图④，一个半径为1 cm的⊙P沿半径为3 cm的⊙O外沿作无滑动滚动一周，则⊙P自转了多少周？
图K－21－12
1．A 2.C
3．D [解析] 连接OD，∵∠ABD＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，∴∠BOD＝120°，
∴弧BD的长为＝.故选D.
4．[解析] C ∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°.在四边形APBO中，∠P＝60°，∴∠AOB＝120°.∵OA＝2，∴的长为＝π.
5．[解析] B ∵每个小正方形的边长都为1，∴OA＝4.∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，∴∠AOA′＝90°，∴点A运动的路径′的长为 ＝2π.
6．2π
7．[答案]
[解析] ∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，∴∠ABC＝30°，∴∠A＝60°.又∵AC＝1，∴的长为＝.
8．[答案] －2π
[解析] 优弧OA的长度＝＝2π，∵⊙P沿x轴负半轴方向滚动，∴可得点A第一次落在x轴上时的横坐标为－2π.故答案为－2π.
[解析] ∵OA＝2 cm，∠AOB＝120°，
∴l＝＝(cm)，l＋l＝(cm)，∴图②的周长为＋＝(cm)．
10．解：(1)如图，⊙O为所作图形．
(2)∵在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，
∴AB＝AC＝.
∵线段AB的垂直平分线交AB于点O，
∴∠BOC＝90°，OB＝OA＝AB＝，
∴劣弧的长＝＝π.
证明：连接OP，OC，设∠POC＝n°.由已知得＝π，解得∠POC＝90°，
则∠PBC＝∠POC＝45°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，可得∠PBC＝∠CMB＝45°，
∴MC＝BC.
12．解：(1)证明：在菱形ABCD中，∵∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝30°.
∵旋转角为60°，
∴∠DAD′＝60°.
又∵∠D′AC′＝∠CAD＝30°，
∴∠C′AD＝30°.
在△ACD和△AC′D中，∵AC＝AC′，
∠CAD＝∠C′AD，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADC′.
(2)连接BD交AC于点O.在△ABO中，
∵∠BAO＝30°，AB＝6，
∴AO＝AB·cos30°＝3 ，∴AC＝6 .
又∵∠CAC′＝60°，
∴l＝＝2 π.
13．[解析] (1)的半径OB，OA应分别与BD，AC垂直，并且点O在线段AB的垂直平分线上；
(2)因为∠ABD＝150°，且OB⊥BD，所以∠OBA＝60°，所以∠OAB＝60°，所以△OAB是等边三角形，则∠O＝60°，OA＝OB＝AB＝180 m，由弧长公式可以求出从A到B这段弧形公路的长．
解：(1)如图，过点A作AO⊥AC，过点B作BO⊥BD，AO与BO相交于点O，点O即为圆心．
(2)因为AO，BO都是圆弧AmB的半径，点O是其圆心，所以∠OBA＝∠OAB＝150°－90°＝60°，
即△AOB为等边三角形，
所以AO＝BO＝AB＝180 m，
所以l＝＝60π(m)．
即从A到B这段弧形公路的长为60π m.
[素养提升]
解：(1)这条传送带的长为20＋2π×1.5＝(20＋3π)m.
(2)10＋10＋10＋π×1.5×3＝(30＋3π)m.
(3)圆心P经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为1的圆的周长”，
∴圆心P经过的路径长为6π＋2π＝8π.⊙P自转的周数＝圆心P经过的路径长÷⊙P的周长，
∴⊙P自转的周数＝8π÷2π＝4.
(4)⊙P的圆心P沿半径为3 cm⊙O外沿作无滑动滚动一周的路径长为(3＋1)×2π＝8π，
∴⊙P自转的周数为8π÷2π＝4.
2.6 第2课时 扇形的面积公式
一、选择题
1．已知一个半径为6的扇形的面积是4π，则这个扇形的圆心角的度数是( )
A．30° B．40° C．45° D．60°
若一个扇形的面积是12π，它的弧长是4π，则它的半径是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．2018·成都如图K－22－1，在?ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
K－22－1
A．π B．2π
C．3π D．6π
4．如图K－22－2，两个小正方形的边长都是1，以点A为圆心，AD长为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分的面积为( )
图K－22－2
B.
C. D.
二、填空题
5．如图K－22－3，将长为8 cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2 cm的扇形，则S扇形＝________cm2.
图K－22－3
如图K－22－4，等边三角形ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为
3，则图中阴影部分的面积为________．
图K－22－4
7．如图K－22－5，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°.现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为________．
图K－22－5
8．2018·昆明如图K－22－6，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为________(结果保留根号和π)．
图K－22－6
三、解答题
9．如图K－22－7，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－2，1)，C(1，1)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位)．
(1)△A1B1C是△ABC绕点________逆时针旋转________度得到的，点B1的坐标是________；
(2)求出线段AC在旋转过程中所扫过的面积(结果保留π)．
图K－22－7
10．如图K－22－8所示，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D.已知OA＝OB＝6，AB＝6.
求：(1)⊙O的半径；
(2)图中阴影部分的面积．
图K－22－8
11．如图K－22－9，半径为1的⊙D内切于圆心角为60°的扇形OAB.求：
(1)的长；
(2)阴影部分的面积．
图K－22－9
12．如图K－22－10所示，△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E.
(1)求∠ABD的度数；
(2)当BC＝时，求线段AE，AD与围成的阴影部分的面积．
图K－22－10
13．如图K－22－11所示，在⊙O中，＝，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与弦AB交于点F，连接BC.
(1)求证：AC2＝AB·AF；
(2)若⊙O的半径为2 cm，∠ABC＝60°，求图中阴影部分的面积．
图K－22－11
14．如图K－22－12，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD＝∠APC.
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径是4，AP＝4，求图中阴影部分的面积．
图K－22－12
素养提升 思维拓展 能力提升
如图K－22－13所示，在?ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E.
(1)圆心O到CD的距离是________；
(2)求由，线段AD，DE所围成的阴影部分的面积(结果保留π和根号)．
图K－22－13
1．[解析] B 根据扇形的面积公式S＝＝4π，解得n＝40.
2．D
3．C [解析] ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°.
∵∠B＝60°，∴∠C＝120°，
∴阴影部分的面积＝＝3π.故选C.
[解析] A 如图，过点G作GM⊥AD，垂足为M，则四边形GCDM是矩形，
∴GM＝CD＝1.又∵AG＝AD＝2，∴在Rt△AGM中，∠GAM＝30°，则图中阴影部分的面积为＝.故选A.
5．[答案] 4
[解析] 由题意可知扇形的弧长为4 cm，所以S扇形＝lr＝×4×2＝4(cm2)．
6．3π
7．[答案] π
[解析] ∵点A的坐标为(－2，0)，
∴OA＝2.
∵△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°，
∴∠OAB＝30°，∴OB＝OA＝1，
∴边OB扫过的面积为＝π.
8.－
9．解：(1)C 90 (1，－2)
(2)线段AC旋转过程中所扫过的面积为以点C为圆心，AC长为半径的扇形面积．
∵AC＝＝，∴扇形面积为＝，即线段AC在旋转过程中所扫过的面积为.
10．解：(1)如图，连接OC，则OC⊥AB.
∵OA＝OB，
∴AC＝BC＝AB＝×6 ＝3 .
在Rt△AOC中，
OC＝＝＝3，
∴⊙O的半径为3.
(2)由(1)知OC＝OB，OC⊥AB，
∴∠B＝30°，∠COD＝60°，
∴S扇形OCD＝＝π，
∴S阴影＝SRt△OBC－S扇形OCD＝－π.
11．解：(1)如图，设⊙D与OB相切于点E，连接DE，OC.
由题易知点O，D，C在一条直线上．∵OA，OB与⊙D相切，
∴∠DOE＝∠AOB＝30°，DE⊥OB.
∵DE＝1，
∴OD＝2，∴OC＝3，
∴的长为＝π.
(2)∵S扇形＝＝，
S⊙D＝πr2＝π，
∴S阴影＝－π＝π.
12．解：(1)∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝75°.∵BC＝BD,
∴∠BDC＝∠BCD＝75°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝45°.
(2)过点D作DF⊥AB于点F.在Rt△BDF中，∠FBD＝45°，BD＝BC＝，
∴BF＝DF＝BD·sin45°＝×＝1.
在Rt△ADF中，∠A＝30°，
∴AD＝2DF＝2，AF＝，
∴AB＝AF＋BF＝＋1，
∴S阴影＝S△ABD－S扇形BDE＝AB·DF－×π×()2＝－.
13．解：(1)证明：∵＝，
∴∠ACD＝∠ABC.
又∵∠BAC＝∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴＝，
即AC2＝AB·AF.
(2)如图，连接OA，OC，过点O作OE⊥AC，垂足为E.
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°.
又∵OA＝OC，
∴∠AOE＝∠COE＝×120°＝60°.
在Rt△AOE中，OA＝2 cm，
∴OE＝OA·cos60°＝1 cm，
∴AE＝＝ cm，
∴AC＝2AE＝2 cm，
则S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＝－×2 ×1＝(－)cm2.
故图中阴影部分的面积为(－)cm2.
14．解：(1)证明：连接OP，则OD＝OP，
∴∠OPD＝∠ODP.
∵∠APC＝∠AOD，
∴∠OPD＋∠APC＝∠ODP＋∠AOD.
又∵PD⊥BE，
∴∠ODP＋∠AOD＝90°，
∴∠OPD＋∠APC＝90°，
即∠APO＝90°.
∵OP是⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线．
(2)在Rt△APO中，∵AP＝4 ，PO＝4，
∴AO＝＝8，即PO＝AO，
∴∠A＝30°，∴∠POA＝60°.
又∵PD⊥BE，
∴∠OPC＝30°且PC＝CD，∠POD＝2∠POA＝120°，
∴OC＝PO＝2，则PC＝＝
2 ，∴PD＝2PC＝4 ，
∴S阴影＝S扇形OPD－S△OPD＝×π×42－×4 ×2＝π－4 .
[素养提升]
[解析] (1)连接OE，则OE⊥CD，
∴OE＝AB＝5，即为圆心O到CD的距离；
(2)S阴影＝S梯形ADEO－S扇形OAE.
解：(1)5
(2)如图，连接OE，过点A作AF⊥DC于点F.
∵DC切⊙O于点E，
∴OE⊥DC.
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，∠D＝∠B＝60°，
∴∠AOE＝180°－∠DEO＝90°，
∴四边形AOEF为矩形，
∴EF＝AO＝5.
在Rt△ADF中，AF＝OE＝5，
DF＝＝＝.
故S阴影＝S梯形ADEO－S扇形OAE＝(5＋5＋)×5－＝25＋－.
2．7 正多边形与圆
知识点 1 正多边形的定义和作正多边形
1．下列命题中，是真命题的有( )
①各边相等的多边形是正多边形；②各内角分别相等的多边形是正多边形；③各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图2－7－1所示，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，且OA＝4，则这个正六边形的边长是( )
图2－7－1
A．24 B．6 C．4 D．2
3．在图2－7－2中，试分别按要求画出圆的内接正多边形．
图2－7－2
知识点 2 正多边形的性质
4．正六边形的对称轴有( )
A．3条 B．6条 C．9条 D．12条
5．对于一个正多边形，以下说法错误的是( )
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
6．如果一个正多边形绕它的中心旋转36°和原来的图形重合，那么这个正多边形可能是( )
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
7．正七边形有________条对称轴．
知识点 3 正多边形的有关计算
8．如图2－7－3，正方形ABCD内接于⊙O，它的边长为4，则⊙O的半径是( )
图2－7－3
A．2 B．4 C．2 D．4
9．2017·株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
10．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是( )
A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定
11．2017·玉林如图2－7－4，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交得到一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是________．
图2－7－4
12．如图2－7－5，六边形ABCDEF是半径为8的⊙O的内接正六边形，求它的周长和面积．(结果保留根号)
图2－7－5
13．2017·滨州若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为( )
A. B．2 C. D．1
14．如图2－7－6，半径为1的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A，D，则的长为( )
图2－7－6
A.π B.π C.π D.π
15．如图2－7－7，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为________．
图2－7－7
16．如图2－7－8，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需________个正五边形．
图2－7－8
17．2017·岳阳我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，他认为圆内接正多边形的边数越多时，其周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图2－7－9所示，当n＝6时，π≈＝＝3，那么当n＝12时，π≈＝________．(结果精确到0.01，参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259)
图2－7－9
18．如图2－7－10，在正五边形ABCDE中，对角线AC，BD相交于点F.
(1)判断△ABF的形状，并说明理由；
(2)求证：四边形AFDE为菱形．
图2－7－10
19．(1)已知：如图①，△ABC是⊙O的内接正三角形，P为上一动点，求证：PA＝PB＋PC；
(2)如图②，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P为上一动点，求证：PA＝PC＋PB；
(3)如图③，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，P为上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
图2－7－11
教师详解详析
1．B 2.C 3.略
4．B [解析] 如图所示，正六边形的对称轴有6条．
5．B
6．D [解析] A项，正三角形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是120°.B项，正方形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是90°.C项，正六边形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是60°.D项，正十边形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是36°.故选D.
7．7
8．A [解析] 过点O作OE⊥AD于点E，连接OD，则AE＝DE＝2，OE＝2.在Rt△ODE中，OD＝＝2 .
9．A [解析] ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A.
10．B [解析] 设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为，正多边形的一个外角等于，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．故选B.
11．8＋8 [解析] 由题意，可得AD＝2＋×2＝2＋2 ，∴四边形ABCD的周长是4×(2＋2 )＝8＋8 .
12．解：连接OB，OC.
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝8，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×8＝48.
过点O作OG⊥BC于点G.
∵△OBC是等边三角形，OB＝8，∴∠OBC＝60°，
∴OG＝OB·sin∠OBC＝8×＝4 ，
∴S△OBC＝BC·OG＝×8×4 ＝16 ，
∴S六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×16 ＝96 .
13．A [解析] 如图，由“正方形的外接圆半径为2”可得OB＝2，∠OBC＝45°，由切线的性质可得∠OCB＝90°，所以△OBC为等腰直角三角形，所以OC＝OB＝.
14．C [解析] 连接OA，OD，
∵⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A，D，
∴∠OAF＝∠ODE＝90°.
∵∠E＝∠F＝120°，
∴∠AOD＝540°－90°－90°－120°－120°＝120°，∴的长为＝.故选C.
15．2 [解析] 连接AC，OE，OF，过点O作OM⊥EF于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，AC＝4 ，
∴OE＝OF＝2 .
∵OM⊥EF，∴EM＝MF.
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF＝60°.
在Rt△OME中，∵OE＝2 ，∠OEM＝∠GEF＝30°，
∴OM＝，EM＝，∴EF＝2 .
故答案为2 .
16．7 [解析] ∵多边形是正五边形，∴内角是×(5－2)×180°＝108°，∴∠O＝180°－(180°－108°)－(180°－108°)＝36°，36°的圆心角所对的弧长为圆周长的，即10个正五边形能围成这一圆环，所以要完成这一圆环还需7个正五边形．
17．3.11 [解析] 如图，圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30°，即∠AOB＝30°，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝15°.∵AO＝BO＝r，Rt△AOH中，sin∠AOH＝，即sin15°＝，∴AH＝r×sin15°，AB＝2AH＝2r×sin15°，∴L＝12×2r×sin15°＝24r×sin15°.又∵d＝2r，∴π≈＝≈3.11.
18．解：(1)△ABF是等腰三角形．
理由：∵在正五边形ABCDE中，对角线BD，AC相交于点F，
∴∠ABC＝∠BCD＝108°，AB＝BC，BC＝CD，∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∠CDB＝∠CBD＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝108°－36°＝72°，
∴∠AFB＝180°－36°－72°＝72°，
∴∠ABD＝∠AFB，
∴△ABF为等腰三角形．
(2)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE.
∵∠ABD＋∠BAE＝72°＋108°＝180°，
∴BD∥AE，同理，AC∥DE，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AE＝DE，∴四边形AFDE是菱形．
19．解：(1)证明：延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图①.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°.
∵A，B，P，C四点共圆，
∴∠BAC＋∠BPC＝180°.
∵∠BPC＋∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠EPC＝60°.
又∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°.
又∵∠BCE＝60°＋∠BCP，∠ACP＝60°＋∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP.
∵△ABC，△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC(SAS)，
∴PA＝BE＝PB＋PC.
(2)证明：过点B作BE⊥BP交PA于点E，如图②.
∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.
易知∠APB＝45°，∴PB＝BE，∴PE＝PB.
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，
∴AE＝PC.
∴PA＝AE＋PE＝PC＋PB.
(3)PA＝PC＋PB.
证明：过点B作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，如图③.
∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP，∴PM＝QM.
又易知∠APB＝30°，cos∠APB＝，
∴PM＝PB，∴PQ＝PB，
∴PA＝PQ＋AQ＝PB＋PC.
