4．1 随机事件与可能性
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 确定性事件与随机事件
1．一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是( )
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
2．“当x是有理数时，－x2＞0”，此事件是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．不能确定
3．2017·自贡下列成语描述的事件为随机事件的是( )
A．水涨船高 B．守株待兔
C．水中捞月 D．缘木求鱼
4．2018·徐州下列事件中，必然事件是( )
A．抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．366人中至少有2人的生日相同
D．实数的绝对值是非负数
5．有两个事件，事件A：掷一次骰子，向上一面的点数是3；事件B：姚明在罚球线上投篮一次，投中，则( )
A．事件A和B都是随机事件
B．只有事件B是随机事件
C．只有事件A是随机事件
D．事件A和B都不是随机事件
6．2017·随州“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是________事件(从“必然”“随机”“不可能”中选一个)．
7．下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100 ℃；③掷一次骰子，向上一面的点数是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是____________(填序号)．
8．下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)太阳从西边落山；
(2)a2＋b2＝－1(其中a，b都是实数)；
(3)水往低处流；
(4)三个人性别各不相同；
(5)一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实数解；
(6)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
知识点 2 随机事件可能性大小
9．如图4－1－1是一个可以自由转动的转盘，转盘面被分成8个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，转动这个转盘，转盘停止后，指针指向可能性最小的颜色是( )
图4－1－1
A．红色 B．绿色C．黄色 D．无法确定
10．从编号为1～20的20张卡片中任意选取一张，则取出卡片的编号是______的可能性最大( )
A．偶数 B．3的倍数
C．4的倍数 D．5的倍数
11．甲种商品出现次品的可能性是20%，乙种商品出现次品的可能性是10%，则下列说法正确的是( )
A．甲种商品的次品比乙种商品的次品多一些
B．甲种商品的次品比乙种商品的次品少一些
C．甲、乙两种商品的次品一样多
D．无法确定甲、乙两种商品哪种次品多
12．如图4－1－2所示，第一排表示了各袋中球的情况，请用第二排中的语言描述摸到红球的可能性的大小，用线连起来．
图4－1－2
规律方法综合练 提升能力
13．从平行四边形、矩形、菱形、正三角形中任选一个图形，下列事件中，是确定性事件的为( )
A．选出的是中心对称图形
B．选出的既是轴对称图形又是中心对称图形
C．选出的是轴对称图形
D．选出的既不是轴对称图形又不是中心对称图形
14．2018·泰州小亮是一名职业足球运动员，根据以往比赛数据统计，小亮的进球率为10%.他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( )
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
15．下列每一个不透明袋子中都装有若干个红球和白球(除颜色外其他均相同)．
第一个袋子：红球1个，白球1个；
第二个袋子：红球1个，白球2个；
第三个袋子：红球2个，白球3个；
第四个袋子：红球4个，白球10个．
分别从中任意摸出1个球，摸到红球的可能性最大的是( )
A．第一个袋子 B．第二个袋子
C．第三个袋子 D．第四个袋子
16．一只不透明的袋子中装有4个黑球，2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )
A．至少有1个球是黑球
B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球
D．至少有2个球是白球
17．下列所描述的事件：①某个数的绝对值小于0；②抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上；③守株待兔；④某两个负数的积大于0；⑤水中捞月．其中属于不可能事件的有________(填序号)．
18．有两个不透明的布袋，里面装有一些除颜色外其他没有任何区别的小球，各种颜色的小球的具体数目如图4－1－3所示，请指出下列事件的类型．
(1)从第一个布袋中任意取出一个球，该球是白色的；
(2)从第一个布袋中同时取出两个球，这两个球都是白色的；
(3)从第二个布袋中任意取出一个球，该球是白色的；
(4)任意挑选一个布袋，从中取出一个球，该球的颜色肯定是红、白、黑、黄中的一种．
图4－1－3
拓广探究创新练 冲刺满分
19．如图4－1－4，一个转盘被平均分成12份，每份上写有不同的数，游戏方法：先猜数后转动转盘，若指针指向的数与所猜的数一致，则猜数者获胜．现提供三种猜数方法：
(1)猜是“奇数”或是“偶数”；
(2)猜是“大于10的数”或是“不大于10的数”；
(3)猜是“3的倍数” 或是“不是3的倍数”．如果你是猜数者，你愿意选择哪一种猜数方法？怎样猜？并说明理由．
图4－1－4
教师详解详析
1．A [解析] 白球只有2个，不可能摸出3个．
2．C [解析] “当x是有理数时，－x2＞0”，一定错误，故此事件是不可能事件．
3．B [解析] 水涨船高是必然事件，选项A不符合题意；守株待兔是随机事件，选项B符合题意；水中捞月是不可能事件，选项C不符合题意；缘木求鱼是不可能事件，选项D不符合题意．故选B.
4．D [解析] 选项A中，抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上是随机事件；选项B中，两直线被第三条直线所截，同位角可能相等，也可能不相等，是随机事件；选项C中，闰年中，一年是366天，所以闰年时366人中至少有2人的生日相同是随机事件；根据绝对值的性质，实数的绝对值一定是非负数，是必然事件．故选D.
5．A [解析] 事件A：掷一次骰子，向上一面的点数是3是随机事件；事件B：姚明在罚球线上投篮一次，投中是随机事件，故选A.
6．随机
7．①③ [解析] ①是随机事件；②是不可能事件；③是随机事件；④是必然事件．
8．解：(1)(3)(5)是必然事件．
(2)(4)是不可能事件．
(6)是随机事件．
9．C [解析] 因为转盘被平均分为8份，黄色为2份，红色为3份，绿色为3份，所以指针指向可能性最小的颜色是黄色．故选C.
10．A 11.D
12．解：
13．D [解析] A项是随机事件，故该选项不符合题意．B项是随机事件，故该选项不符合题意．
C项是随机事件，故该选项不符合题意．
D项是一定不会发生的事件，是确定性事件，故该选项符合题意．
14．C [解析] “小亮的进球率为10%”的含义是：在大数次试验情况下，小亮每射球100次，平均进球10次，因此A，B选项都错了；小亮明天进球这一事件为随机事件，故D选项错误；只有C选项说法正确．
15．A [解析] 第一个袋子中红球所占的比例最大，故选A.
16．A [解析] 摸出的3个球有以下3种情况：3个都是黑球、2个黑球1个白球、1个黑球2个白球．不论哪种情况都至少有1个黑球．故选A.
17．①⑤
18．解：(1)(3)是随机事件，(2)是不可能事件，(4)是必然事件．
19．解：选择第(3)种猜数方法，猜是“3的倍数”．
理由如下：∵转盘中奇数与偶数的个数相同，大于10与不大于10的数的个数也相同，
∴(1)与(2)的猜数方法是公平的．
又∵转盘中是3的倍数的数有7个，不是3的倍数的数有5个，
∴选第(3)种猜数方法，猜是“3的倍数”获胜的机会大．
[4.1第1课时 随机事件]
课堂达标 夯实基础 过关检测
一、选择题
1．2018·淄博下列语句描述的事件中，是随机事件的为( )
A．水能载舟，亦能覆舟 B．只手遮天，偷天换日
C．瓜熟蒂落，水到渠成 D．心想事成，万事如意
2．2017·抚顺下列事件中，是必然事件的是( )
A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形
B．实数x使式子有意义，则实数x＞3
C．a，b均为实数，若a＝，b＝，则a＞b
D．5个数据分别是6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3
3．2017·铁岭下列事件中，是不可能事件的是( )
A．抛掷一枚骰子，出现4点向上
B．五边形的内角和为540°
C．实数的绝对值小于0
D．明天会下雨
4．“若a是实数，则|a|≥0”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．无法判断
5．下列成语所描述的事件是必然事件的是( )
A．瓮中捉鳖 B．拔苗助长
C．守株待兔 D．水中捞月
6．2017·新疆下列事件中，是必然事件的是( )
A．购买一张彩票，中奖
B．通常温度降到0 ℃以下，纯净的水结冰
C．明天一定是晴天
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
二、填空题
7．2017·泰州一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是____________．(填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”)
8．下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100 ℃；③掷一枚质地均匀且六个面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，向上一面的点数是2；④测量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是________(填序号)．
三、解答题
9．掷两枚质地均匀且6个面上分别刻有1，2，…，6点的正方体骰子，得两个骰子向上一面的点数．请问下列事件中哪些是必然发生的，哪些是不可能发生的，哪些是可能发生的，并说明原因．
(1)和为1；(2)和为4；(3)差为6；(4)和小于14.
10．在一个不透明的口袋中装着大小、外形一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，将袋中球搅拌均匀，请判断以下事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)从口袋中任意摸出一个球，是白球；
(2)从口袋中一次摸出5个球，全是蓝球；
(3)从口袋中一次摸出5个球，只有蓝球和白球，没有红球；
(4)从口袋中一次摸出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都有；
(5)从口袋中一次摸出9个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都有．
素养提升 思维拓展 能力提升
探索题世界杯决赛分成8个小组，每个小组有4个队，小组进行单循环(每个队都与该小组的其他队比赛一场)比赛，选出2个队进入16强，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
(1)每个小组共比赛多少场？
(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定性事件，还是随机事件？
教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．D [解析] 选项A是一个正确的事实，所以不属于随机事件；选项B是不可能事件；选项C是必然事件；选项D是随机事件．故选D.
2．[解析] D A．任意画一个正五边形，它是中心对称图形，是不可能事件，故本选项不符合题意；B.实数x使式子有意义，则实数x＞3，是随机事件，应为x≥3，故本选项不符合题意；C.a，b均为实数，若a＝，b＝，则a＝2，b＝2，所以a＝b，故a＞b是不可能事件，故本选项不符合题意；D.5个数据是6，6，3，2，1，则这组数据的中位数是3，是必然事件，故本选项符合题意．故选D.
3．[解析] C A．抛掷一枚骰子，出现4点向上是随机事件，故A不符合题意；B.五边形的内角和为540°是必然事件，故B不符合题意；C.实数的绝对值小于0是不可能事件，故C符合题意；D.明天会下雨是随机事件，故D不符合题意．故选C.
4．A
5．A
6．[解析] B A项，购买一张彩票中奖是随机事件；B项，根据物理知识可知，通常温度降到0 ℃以下，纯净的水结冰是必然事件；C项，明天是晴天是随机事件；D项，经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件．
7．[答案] 不可能事件
[解析] ∵袋子中3个小球的标号分别为1，2，3，没有标号为4的球，
∴从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件．
8．①③
9．解：(1)不可能发生．因为两个骰子向上一面的点数和最小为2.
(2)可能发生．因为两个骰子向上一面的点数和可能是2到12之间的任意一个整数．
(3)不可能发生．因为两个骰子向上一面的点数差最大为5.
(4)必然发生．因为两个骰子向上一面的点数和最大为12.
10．解：(1)随机事件；(2)不可能事件；(3)随机事件；(4)随机事件；(5)必然事件．
[素养提升]
解：(1)(4×3)÷2 ＝6(场)．
答：每个小组共比赛6场．
(2)因为每个小组总共有6场比赛，每场比赛最多可得3分，则6场比赛最多共有3×6＝18(分)，现有一队得6分，还剩下12分，则还有可能有2个队同时得6分，故不能确保该队出线，因此该队出线是一个随机事件．
4.1第2课时 随机事件的可能性
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．可能性很大的事件必然发生
B．可能性很小的事件也可能发生
C．如果一件事情可能不发生，那么它就是必然事件
D．如果一件事情发生的机会只有百分之一，那么它就不可能发生
2．标号为A，B，C，D的四个不透明盒子中所装有的大小、形状、质地完全相同的白球和黑球数分别如下，则下列盒子最易摸到黑球的是( )
A．12个黑球和4个白球
B．10个黑球和10个白球
C．4个黑球和2个白球
D．10个黑球和5个白球
3．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是( )
A．3个 B．不足3个
C．4个 D．5个或5个以上
4．在形状、大小、颜色都一样的卡片上分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形这五个图形，将它们画面朝下随意放在桌面上，小芳随机抽取一张卡片．用P1，P2，P3分别表示事件“抽得的图形是中心对称图形”“抽得的图形是轴对称图形”“抽得的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形”．将上述事件按其发生的可能性从小到大的顺序排列是( )
A．P3＜P2＝P1 B．P1＝P2＜P3
C．P2＝P3＜P1 D．P3＝P1＜P2
二、填空题
5．图K－29－1是一个可以自由转动的转盘，转动这个转盘，当它停下时，指针落在标有号码________区域上的可能性最大.
图K－29－1
6．甲、乙两人做下面的游戏：掷一枚均匀的骰子(每个面上分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字)，若朝上一面的数字大于3，则甲获胜；若朝上一面的数字小于3，则乙获胜．你认为获胜的可能性比较大的是________．
三、解答题
7．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当人或车随意经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？并说明理由.
8．一个不透明的口袋中有7个红球，5个黄球，4个绿球，这些球除颜色外没有其他区别，现从中任意摸出一球，如果要使摸到绿球的可能性最大，需要在这个口袋中至少再放入多少个绿球？请简要说明理由．
素养提升 思维拓展 能力提升
试验操作题如图K－29－2所示，有一个转盘，被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，重新转动)．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色．估计各事件发生的可能性大小，完成下列问题：
(1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？
(2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列：______________(用“<”连接)．
图K－29－2
教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B A项，可能性很大的事件也可能不发生，不是必然发生，故错误；B.可能性很小的事件也可能发生，故正确；C.如果一件事情可能不发生，那么它就是随机事件，故错误；D.如果一件事情发生的机会只有百分之一，那么它也可能发生，故错误．
2．[解析] A 标号为A的盒子中黑球所占比例最大．
3．D 4.A
5．[答案] 5
[解析] 因为标有号码5的区域的面积比标有其他号码的区域的面积大，所以指针落在该区域的可能性最大．
6．甲
7．解：人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小．理由：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，所以当人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小．
8．解：至少再放入4个绿球．理由：袋中有绿球4个，至少再放入4个绿球后，袋中有不少于8个绿球，数量最多，这样从中任意摸出一球，摸到绿球的可能性最大．
[素养提升]
解：∵扇形被分成3红、2黄、1绿相等的六部分，∴①指针指向红色的可能性为＝；②指针指向绿色的可能性为；③指针指向黄色的可能性为＝；④指针不指向黄色的可能性为＝.
(1)发生的可能性最大的事件是④，最小的是②.
(2)由题意，得②＜③＜①＜④.
4．2.1 概率的概念
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 概率的意义
1．必然事件发生的概率是( )
A．0 B．0.5 C．1 D．不能确定
2．下列数值不可以作为一个事件发生的概率的是( )
A．0 B. C．0.7 D.
3．下列说法中，正确的是( )
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
4．2017·阿坝州对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是( )
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
知识点 2 求简单随机事件的概率
5．2018·宜昌在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为( )
A. B. C. D.
6．2017·宜昌九(1)班在参加学校4×100 m接力赛时，安排了甲、乙、丙、丁四位选手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为( )
A．1 B. C. D.
7．2017·义乌在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是( )
A. B. C. D.
8．2017·岳阳从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是( )
A. B. C. D.
9．2018·怀化在一个不透明的盒子中有五个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为奇数的概率是________．
10．2017·永州把分别写有数字1，2，3，4，5的5张同样的小卡片放进不透明的盒子里，搅拌均匀后随机取出一张小卡片，则取出的卡片上的数字大于3的概率是________．
11．2018·东营有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是________．
12．暑假将至，某商场为了吸引顾客，设计了可以自由转动的转盘(如图4－2－1所示，转盘被均匀地分为20份)，并规定：顾客购物每满 200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．若某顾客购物用了300元．
(1)求他此时获得购物券的概率是多少；
(2)他获得哪种购物券的概率最大？请说明理由．
图4－2－1
规律方法综合练 提升能力
13．如图4－2－2，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，能与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
图4－2－2
A. B. C. D.
14．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
15．2017·鄂尔多斯将四张形状、大小完全一致的卡片放在不透明的箱子中，每张卡片正反面上分别标的点的坐标如下表所示：
第一张
第二张
第三张
第四张
正面
(2，3)
(1，3)
(－1，2)
(2，4)
反面
(－2，1)
(－1，－3)
(1，2)
(－3，4)
若从中随机抽取一张卡片，其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是( )
A. B. C. D．1
16．2017·阜新设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子中放入2个白球，如果希望从中任意摸出1个球是白球的概率为，那么应该向盒子中再放入________个其他颜色的球．(游戏用球除颜色外其他均相同)
17．一个口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球，取出黄球的概率为.
(1)取出绿球的概率是多少？
(2)如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有多少个？
18．一个不透明的布袋里装有5个球，其中2个红球、3个白球，它们除颜色外其余都相同．
(1)求摸出1个球是白球的概率；
(2)现再将n个白球放入布袋中，搅匀后，若摸出1个球是白球的概率为，求n的值．
拓广探究创新练 冲刺满分
19．如图4－2－3所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6.
(1)自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？
(2)请你用这个转盘设计一个游戏，使自由转动转盘时，当转盘停止后，指针指向的区域的概率为.
图4－2－3
教师详解详析
1．C [解析] 必然事件就是一定发生的事件，∴必然事件发生的概率是1.
2．D
3．A [解析] 不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误，故选A.
4．D
5．B [解析] 根据概率的定义，可知P(选中“绿”)＝.
6．D
7．B [解析] ∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球和3个黑球，
∴从中任意摸出一个球，摸出黑球的概率是＝.
8．C [解析] 在，0，π，3.14，6这5个数中，只有0，3.14和6为有理数，∴抽到有理数的概率是.
9. [解析] 根据等可能条件下概率的计算公式，共有5种等可能结果，其中摸出奇数号球的结果有3种，所以P(摸出的小球标号为奇数)＝3÷5＝.
10. [解析] ∵在1，2，3，4，5中，大于3的数只有4，5，∴取出的卡片上的数字大于3的概率是.
11. [解析] 在已知的五个图形中是中心对称图形的是平行四边形、矩形、正方形和菱形，所以从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是.
12．解：(1)∵转盘被均匀地分为20份，涂颜色的有10份，∴他此时获得购物券的概率是＝.
(2)他获得50元购物券的概率最大．
理由：∵P(获得200元购物券)＝，P(获得100元购物券)＝，P(获得50元购物券)＝＝，∴他获得50元购物券的概率最大．
13．C [解析] ∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使其能与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤3种情况，∴能与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是.故选C.
14．D [解析] ∵他在该路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，∴他遇到绿灯的概率是1－－＝.
15．A [解析]∵四张形状，大小完全一致的卡片中，只有第三张卡片上标的点关于y轴对称，∴从中随机抽取一张卡片，其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是.故选A.
16．4 [解析] 设应该向盒子中再放入x个其他颜色的球，根据题意，得＝，解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解且符合题意．故答案为4.
17．解：(1)P(取出绿球)＝1－P(取出黄球)＝1－＝.
(2)设袋中有绿球x个，
根据题意，得＝(或＝)．
解得x＝18，
经检验x＝18是所列方程的解且符合题意．
所以袋中的绿球有18个．
18．解：(1)∵布袋里装有5个球，其中有3个白球，∴P(摸出1个球是白球)＝.
(2)布袋里装有5个球，其中有3个白球，再将n个白球放入布袋中，有＝，
解得 n＝2.经检验n＝2是原分式方程的解且符合题意，故n＝2.
19．解：(1)P(指针指向奇数区域)＝＝.
(2)答案不唯一，如方法一：如图所示，自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向阴影部分区域的概率为.
方法二：自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向数字不大于4的区域的概率是.
4.2.2 第1课时 用列表法求概率
一、选择题
1．随机抛一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
2．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是( )
A. B. C. D．1
3．让图K－31－1中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域上，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于( )
图K－31－1
A. B. C. D.
4．2017·南宁一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为( )
A. B. C. D.
5．2017·河南图K－31－2是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数－1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)，则记录的两个数都是正数的概率为( )
图K－31－2
A. B. C. D.
6．2017·永州已知从n个人中选出m个人按照一定的顺序排成一行，所有不同的站位方法有n×(n－1)×…×(n－m＋1)种．现某校九年级甲、乙、丙、丁4位同学和1位老师共5人在毕业前合影留念(站成一行)．若老师站在中间，则不同的站位方法有( )
A．6 B．20种 C．24种 D．120种
二、填空题
7．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是________．
8．如图K－31－3所示，A，B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点上任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是________.
图K－31－3
9．一个三位数，若百位、十位、个位上的数字依次增大，就称为“阶梯数”，如123就是一个阶梯数．若十位上的数字为5，则从1，6，8中任选两个数，与5组成“阶梯数”的概率是________．
10．任取不等式组的一个整数解，则能使关于x的方程2x＋k＝－1的解为非负数的概率为________．
11．2017·聊城如果任意选择一对有序整数(m，n)，其中|m|≤1，|n|≤3，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2＋nx＋m＝0有两个相等实数根的概率是________．
三、解答题
12．某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺会演活动，准备从4名(其中两男两女)节目主持候选人中，随机选取2名担任节目主持人，请用列表法求选出的2名主持人恰好为一男一女的概率．
13.2017·凉州区在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图K－31－4所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字)．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止)．
(1)请用列表的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
图K－31－4
14．一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、乙两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球(不放回)，再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
(1)用列表的方法列出所有可能的结果；
(2)这样的游戏规则是否公平？请说明理由．
15．2017·怀化端午节是我国流传了上千年的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动．为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
(1)用列表法列出甲、乙两队队长所出手势可能出现的情况；
(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由.
素养提升 思维拓展 能力提升
2017·陕西端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是红枣粽子(记为A)，豆沙粽子(记为B)，肉粽子(记为C)，这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈在一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；在一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．
根据以上情况，请你回答下列问题：
(1)假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？
(2)若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．
教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] A 把两次抛硬币的结果全部列举出来，它们是：正正，正反，反正，反反，至少有一次正面朝上有三种结果，故至少有一次正面朝上的概率是.
2．B
3．[解析] C 列表如下：
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数的情况有10种，
则P＝＝.故选C.
4．[解析] C 列表得所有可能结果为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，
(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种结果，∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是＝.故选C.
5．[解析] C 列表得所有可能结果为：(1，1)，(1，0)，(1，2)，(1，－1)，(0，1)，(0，0)，(0，2)，(0，－1)，(2，1)，(2，0)，(2，2)，(2，－1)，(－1，1)，(－1，0)，(－1，2)，(－1，－1)．∵共有16种等可能的结果，两个数都是正数的结果有4种，
∴两个数都是正数的概率是＝.故选C.
6．[解析] C 老师在中间，故第一名同学有4种选法，第二名同学有3种选法，第三名同学有2种选法，第四名同学有1种选法，故共有4×3×2×1＝24(种)站位方法．故选C.
7．[答案]
[解析] 从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标有(－2，－1)，
(－1，－2)，(－2，2)，(2，－2)，(－1，2)，(2，－1)，共6种情况，其中点在第四象限有2种情况，所以该点在第四象限的概率是＝.
8．[答案]
[解析] 此格点图共有36个格点，要想△ABC的面积为1，那么符合要求的点如图所示，从图上可知，符合要求的点共有8个，所以恰好能使△ABC的面积为1的概率是.
9．[答案]
[解析] 所有可能出现的结果有6种：(1，6)，(1，8)，(6，1)，(6，8)，(8，1)，(8，6)，其中能与十位上数字5形成“阶梯数”的结果有2种，则P(阶梯数)＝＝.故答案为.
10．[答案]
[解析] 不等式组的解集为－＜k≤3，k的整数解可为－2，－1，0，1，2，3.其中当k取－2，－1时，关于x的方程2x＋k＝－1的解为非负数，所以所求概率P＝＝.
11．[答案]
[解析] ∵由题意知m的值可为0，±1，n的值可为0，±1，±2，±3，∴有序整数
(m，n)共有3×7＝21(对)．∵方程x2＋nx＋m＝0有两个相等实数根，则需Δ＝n2－4m＝0，有(0，0)，(1，2)，(1，－2)三种可能，∴关于x的方程x2＋nx＋m＝0有两个相等实数根的概率是＝
12．解：列表如下：
男1
男2
女1
女2
男1
(男2，男1)
(女1，男1)
(女2，男1)
男2
(男1，男2)
(女1，男2)
(女2，男2)
女1
(男1，女1)
(男2，女1)
(女2，女1)
女2
(男1，女2)
(男2，女2)
(女1，女2)
共有12种等可能的情况，恰好为一男一女的情况有8种，P(恰好为一男一女)＝＝.
解：(1)根据题意列表如下：
乙
和
甲
6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
(2)由(1)可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
∴李燕获胜的概率为＝，
刘凯获胜的概率为＝.
解：(1)列表如下：
甲
和
乙
0
1
2
0
1
2
1
1
3
2
2
3
(2)这样的游戏规则不公平．理由如下：由表格可知甲获胜的概率＝，乙获胜的概率＝，则乙获胜的可能性大，所以游戏是不公平的．
15．解：(1)用列表法得出所有可能的结果如下：
乙
甲
石头
剪刀
布
石头
(石头，石头)
(石头，剪刀)
(石头，布)
剪刀
(剪刀，石头)
(剪刀，剪刀)
(剪刀，布)
布
(布，石头)
(布，剪刀)
(布，布)
(2)裁判员的这种做法对甲、乙双方是公平的．
理由：根据表格，得P(甲获胜)＝，P(乙获胜)＝.∵P(甲获胜)＝P(乙获胜)，∴裁判员的这种做法对甲、乙双方是公平的．
[素养提升]
解：(1)由题意，可得小邱从白盘中随机取一个
粽子，恰好取到红枣粽子的概率是＝.
(2)列表如下：
花盘
白盘
A
B
C
C
A
(A，A)
(A，B)
(A，C)
(A，C)
A
(A，A)
(A，B)
(A，C)
(A，C)
B
(B，A)
(B，B)
(B，C)
(B，C)
C
(C，A)
(C，B)
(C，C)
(C，C)
共有16种等可能的结果，其中一个是红枣粽子，一个是豆沙粽子的结果有3种，∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是.
4．2.2 第1课时 用列表法求概率
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 用列表法求概率
1．2017·大庆将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现一次正面向上的概率为( )
A. B. C. D.
2．2017·郴州从1，－1，0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是________．
3．抽屉里放着黑、白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不见的情况下随机摸出2只袜子，它们恰好同色的概率是________．
4．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．
(1)请用列表法列举出所有可能选派的结果；
(2)求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
知识点 2 游戏的公平性
5．甲、乙两人玩一个游戏，判定这个游戏是否公平的标准是( )
A．游戏的规则是否由甲方确定
B．游戏的规则是否由乙方确定
C．游戏的规则是否由甲、乙双方商定
D．游戏双方是否各有50%赢的机会
6．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏( )
A．对小明有利 B．对小亮有利
C．对双方公平 D．无法确定对谁有利
7．王红和刘芳两人在玩转盘游戏，如图4－2－4，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则如下：转动两个转盘，停止后指针所指的两个数字之和为7时，王红胜；数字之和为8时，刘芳胜．这二人中获胜的可能性较大的是________．
图4－2－4
8．小伟和小欣玩一种抽卡片游戏：将背面完全相同、正面分别写有数字1，2，3，4的四张卡片背面向上洗匀后，小伟和小欣各自随机抽取一张(不放回)．将小伟抽取的卡片上的数字作为十位数字，小欣抽取的卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数．如果所组成的两位数为偶数，那么小伟胜；否则小欣胜．
(1)当小伟抽取的卡片上的数字为2时，问两人谁获胜的可能性大？
(2)通过计算判断这个游戏对小伟和小欣是否公平．
规律方法综合练 提升能力
9．2017·淄博在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”．两人“心领神会”的概率是( )
A. B. C. D.
10．十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上的数字为7，则从3，4，5，6，8，9中任选两个数，能与7组成“中高数”的概率是( )
A. B. C. D.
11．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数－2，1，4.从中随机摸出一个小球(不放回)，其数记为p，再随机摸出一个小球，其数记为q，则满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是( )
A. B. C. D.
12．襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩．如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同)，那么他们都选择古隆中景点为第一站的概率是________．
图4－2－5
13．如图4－2－5，把一个转盘平均分成三份，依次标上数字1，2，3.自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，长度分别为x，y，5的三条线段能构成三角形的概率为________．(注：长度单位一致)
14．2017·澧县三模改编如图4－2－6，把一个可以自由转动的转盘平均分成3个扇形，并分别标上1，2，3三个数字．小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束后得到一组数(若指针指在分界线时重转)．
(1)请你用列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；
(2)求每次游戏后得到的一组数，恰好是方程x2－4x＋3＝0的解的概率．
图4－2－6
拓广探究创新练 冲刺满分
15．如图4－2－7①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4.如图②，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则如下：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针连续跳几个边长．
如：若从图中A处起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；….
设游戏者从圈A起跳．
(1)嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；
(2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
图4－2－7
教师详解详析
1．C
2. [解析] 列表如下：
－1
1
0
－1
(1，－1)
(0，－1)
1
(－1，1)
(0，1)
0
(－1，0)
(1，0)
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，所以该点在坐标轴上的概率是＝.
3.
4．解：(1)列表：
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙
(2)所有等可能的结果共有12种，恰有一男一女参赛的可能结果有8种，
所以P(一男一女)＝＝.
5．D
6．C [解析] 两人写的数有奇偶、偶奇、偶偶、奇奇四种情况，因此两人写的数同为奇数或同为偶数的概率为；一奇一偶的概率也为，所以游戏公平．故选C.
7．王红 [解析] 列表可得共有9种等可能的情况，其中和为7的情况有3种，故王红获胜的概率为，和为8的情况有2种，故刘芳获胜的概率为.∵>∴王红获胜的可能性较大．故答案为王红．
8．解：(1)列表如下：
数字
1
2
3
4
1
12
13
14
2
21
23
24
3
31
32
34
4
41
42
43
共有3种等可能的情况，其中P(小伟胜)＝，P(小欣胜)＝，
∴小欣获胜的可能性大．
(2)由(1)，可知共有12种等可能的结果，其中是偶数的结果有6种，是奇数的结果有6种，∴P(小伟胜)＝，P(小欣胜)＝，∴这个游戏对小伟和小欣是公平的．
9．B [解析] 列表如下：
乙
甲
6
7
8
9
6
(6，6)
(6，7)
(6，8)
(6，9)
7
(7，6)
(7，7)
(7，8)
(7，9)
8
(8，6)
(8，7)
(8，8)
(8，9)
9
(9，6)
(9，7)
(9，8)
(9，9)
由表格知共有16种等可能的结果，其中符合条件的结果是(6，6)，(6，7)，(7，6)，(7，7)，(7，8)，(8，7)，(8，8)，(8，9)，(9，8)，(9，9)，所以符合条件的共有10种等可能的结果，所以两人“心领神会”的概率是＝.
10．C [解析] 列表：
3
4
5
6
8
9
3
(3，4)
(3，5)
(3，6)
(3，8)
(3，9)
4
(4，3)
(4，5)
(4，6)
(4，8)
(4，9)
5
(5，3)
(5，4)
(5，6)
(5，8)
(5，9)
6
(6，3)
(6，4)
(6，5)
(6，8)
(6，9)
8
(8，3)
(8，4)
(8，5)
(8，6)
(8，9)
9
(9，3)
(9，4)
(9，5)
(9，6)
(9，8)
从表格中可以看出所有可能的结果共有30种，个位和百位上的数字都小于7的有12种结果，因此是“中高数”的概率为＝.故选C.
11．D [解析] 列表如下：
p
q
－2
1
4
－2
(1，－2)
(4，－2)
1
(－2，1)
(4，1)
4
(－2，4)
(1，4)
所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根，即满足p2－4q≥0的情况有4种，则P＝＝.
故选D.
12. [解析] 根据题意，二人选择的所有可能结果共有9种，每种结果出现的可能性相同，即(古隆中，古隆中)，(古隆中，水镜庄)，(古隆中，黄家湾)，(水镜庄，古隆中)，(水镜庄，水镜庄)，(水镜庄，黄家湾)，(黄家湾，古隆中)，(黄家湾，水镜庄)，(黄家湾，黄家湾)．二人都选择古隆中景点作为第一站的结果只有1种，∴他们都选择古隆中景点作为第一站的概率为.
13. [解析] 列表如下：
x
y
1
2
3
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
6
(1，6)
(2，6)
(3，6)
因此，所有等可能的结果共有9个．
其中长度分别为x，y，5的三条线段能构成三角形的结果有4个：2，4，5；3，4，5；2，6，5；3，6，5.故P(能构成三角形)＝.
14．解：(1)列表如下：
1
2
3
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(2)所有等可能的情况有9种，其中是方程x2－4x＋3＝0的解的情况为(1，3)，(3，1)，共2种，则P(是方程的解)＝.
15．解：(1)∵掷一次骰子有4种等可能的结果，只有掷得4时，才会落回到圈A，∴P1＝.
(2)列表如下：
第2次 第1次
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
所有等可能的情况共有16种，当两次掷得的数字之和为4的倍数，即为(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，4)这4种时，才可落回到圈A，∴P2＝＝.
∵P1＝，
∴她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．
4.2.2 第2课时 用画树状图法求概率
一、选择题
1．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，画出了如图K－32－1所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是( )
图K－32－1
A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球
B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球
C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出三个球
D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出三个球
2．中考体育中男生抽测项目的规则是从立定跳远、掷铅球、引体向上中随机抽一项，从50米、100米、400米中随机抽一项，恰好抽中掷铅球和50米的概率是( )
A. B. C. D.
3．如图K－32－2所示，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是( )
图K－32－2
A. B. C. D.
4．在x2□2xy□y2的空格□中分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )
A. B. C．1 D.
5．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是( )
A．点数都是偶数 B．点数的和为奇数
C．点数的和小于13 D．点数的和小于2
二、填空题
6. 合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图K－32－3所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则学生B坐在2号座位的概率是________．
图K－32－3
7．2018·益阳2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车．如图K－32－4，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是________．
图K－32－4
三、解答题
8．2017·青岛小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小球，B袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同．从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
9．2018·合肥模拟妈妈为小韵准备早餐，共煮了8个汤圆，其中2个是豆沙馅心，4个是果仁馅心，剩下2个是芝麻馅心，8个汤圆除内部馅料不同外，其他一切均相同．
(1)小韵从中随意取一个汤圆，取到果仁馅心的概率是多少？
(2)小韵吃完一个后，又从中随意取一个汤圆，两次都取到果仁馅心的概率是多少？
10．九(1)班组织班级联欢会，最后进入抽奖环节，每名同学都有一次抽奖机会，抽奖方案如下：将一副扑克牌中点数为“2”“3”“3”“5”“6”的5张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，再从余下的4张牌中抽出1张牌，记录2张牌点数后放回，完成一次抽奖，记每次抽出2张牌点数之差为x，按表格要求确定奖项．
奖项
一等奖
二等奖
三等奖
|x|
|x|＝4
|x|＝3
1≤|x|＜3
(1)用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率；
(2)是否每次抽奖都会获奖，为什么？
素养提升 思维拓展 能力提升
方案设计问题经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：
(1)求三辆车全部同向而行的概率；
(2)求至少有两辆车向左转的概率；
(3)由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量做了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为.目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．A
2．[解析] D 设立定跳远、掷铅球、引体向上分别为A，B，C；50米、100米、400米分别为D，E，F，可画树状图如下：
∵一共有9种等可能的结果，同时抽取掷铅球和50米的有1种情况，
∴同时抽取掷铅球和50米的概率是.
3．[解析] A 画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，使小灯泡发光的结果有6种，
∴小灯泡发光的概率为＝.
4．[答案] A
[解析] 能构成完全平方式，则2xy前可以是“－”，也可以是“＋”，但y2前一定是“＋”，此题总共有(－，－)，(＋，＋)，(＋，－)，(－，＋)四种情况，能构成完全平方式的有2种，所以概率是.
5．[解析] C 画树状图如下，共有36种等可能的结果，其中点数都是偶数的结果数为9，点数的和为奇数的结果数为18，点数的和小于13的结果数为36，点数的和小于2的结果数为0，所以点数都是偶数的概率＝＝，点数的和为奇数的概率＝＝，点数的和小于13的概率＝1，点数的和小于2的概率＝0，所以发生可能性最大的事件是点数的和小于13.故选C.
6．[答案]
[解析] 画树状图如下：
所有等可能的结果有6种，其中学生B坐在2号座位的情况有2种， 则P＝＝.
7. [解析] 从沅江A到资阳B的两条路线分别记为a和b，从资阳B到益阳火车站的三条路线分别记为会龙山大桥C，西流湾大桥D，龙洲大桥E，画树状图如下：
共有6条路线可走，其中经过西流湾大桥D的路线有2种，∴P＝＝.
8．解：不公平．理由：
画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，数字的差为偶数的有4种情况，
∴P(小华胜)＝，P(小军胜)＝.
∵≠，
∴这个游戏对双方不公平．
9．解：(1)取到果仁馅心的概率＝＝.
(2)设豆沙馅心汤圆为D，果仁馅心汤圆为G，芝麻馅心汤圆为Z.画树状图如下：
共有56种等可能的结果，其中两次都取到果仁馅心的结果数为12，所以两次都取到果仁馅心的概率＝＝.
10．解：(1)画树状图如下：
∵共有20种等可能的结果，甲同学获得一等奖的结果有2种，∴甲同学获得一等奖的概率为＝.
(2)不一定每次抽奖都会获奖．理由：当抽出2张牌的点数都是3时，|x|＝0，不会获奖．
[素养提升]
解：(1)根据题意，画出树状图如下：
P(三辆车全部同向而行)＝.
(2)P(至少有两辆车向左转)＝.
(3)由于汽车在此十字路口向右转、向左转、直行的频率分别为，，，在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮的时间为90×＝27(秒)；
直行绿灯亮的时间为90×＝27(秒)；
右转绿灯亮的时间为90×＝36(秒)．
第2课时 用树状图法求概率
知识要点分类练 夯实基础
知识点 用树状图法求概率
1．2017·大连同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为( )
A. B. C. D.
2．2018·广州甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2；乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2.从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的2个小球上都写有数字2的概率是( )
A. B. C. D.
3．有两双不同的鞋子，第一双的两只鞋编号分别为1，2，第二双的两只鞋编号分别为3，4，从中任意取出两只，恰好是同一双鞋的概率为( )
A. B. C. D.
4．2018·临沂2018年某市初中学业水平实验操作考试有物理、化学、生物三个学科，要求每名学生从这三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是( )
A. B. C. D.
5．2017·张家界某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的概率是( )
A. B. C. D.
6．小颖将一枚质地均匀的硬币连续抛掷三次，三次都是正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
7．“红灯停绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口都安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是________．
8．某班级准备召开主题班会，现从由3名男生和2名女生组成的班委中，随机选取两人担任主持人，求两名主持人恰为一男一女的概率．
9．甲、乙两人都握有分别标记为A，B，C的三张牌，两人做游戏，游戏规则如下：若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
(1)用画树状图或列表的方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
(2)求出现平局的概率．
规律方法综合练 提升能力
10．从2，3，4，5中任意选两个数，并分别记作a和b，那么点(a，b)在函数y＝的图象上的概率是( )
A. B. C. D.
11．从1，2，3这三个数字中任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是________．
12．2017·常德甲、乙、丙三个同学站成一排合影留念，请用列表法或树状图法列出所有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少？
13．有三张卡片(形状、大小、颜色、质地都相同)，正面分别写有整式x2＋1，－x2－2，3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式.
(1)请用画树状图或列表的方法写出代数式所有可能的结果；
(2)求代数式恰好是分式的概率．
14．为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练．球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
(1)请用树状图法列举出三次传球的所有可能情况；
(2)求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
(3)三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
拓广探究创新练 冲刺满分
15．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．
(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是________；
(2)如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表法分析小明顺利通关的概率；
(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”(直接写出答案)．
教师详解详析
1．A [解析] 画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率为.
2．C [解析] 根据题意画出如下树状图：
从树状图可以看出一共有4种等可能的结果，其中取出的2个小球上都写有数字2的结果有1种，所以取出的2个小球上都写有数字2的概率是.
3．A [解析] 根据题意画树状图，如图所示．
共有12种等可能的结果，其中恰好是同一双鞋的结果有4种，则P(恰好是同一双鞋)＝＝.
4．D [解析] 用树状图分析：
一共有9种不同的结果，而小华和小强都抽到物理学科的结果只有1种，所以P(小华和小强都抽到物理学科)＝.
5．A [解析] 如图，共有16种等可能的结果，小明和小红分在同一个班的结果有4种，故小明和小红分在同一个班的概率是＝.故选A.
6．D [解析] 根据题意画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三次都是正面朝上的结果有1种，∴P(三次都是正面朝上)＝.
7. [解析] 根据如下树状图分析，所有等可能的结果共有8种，其中遇到两次红灯的结果有3种，∴遇到两次红灯的概率是.
8．解：根据题意画出树状图如下：
一共有20种等可能的结果，恰好是一男一女的有12种结果，P(两名主持人恰为一男一女)＝＝.
答：两名主持人恰为一男一女的概率为.
9．解：(1)画树状图如下：
(2)∵由(1)知所有等可能的情况有9种，出现平局的情况有3种，
∴出现平局的概率为＝.
10．D
11. [解析] 画树状图：
共有6种等可能的结果，其中这个两位数能被3整除的结果有2种，所以这个两位数能被3整除的概率为＝.
12．解：画树状图如下：
∴一共有6种等可能的情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，∴甲、乙两人相邻的概率是＝.
13．解：(1)画树状图：
(2)代数式所有可能的结果共有6种，且它们出现的可能性相等，其中代数式是分式的结果有4种：，，，，
所以P＝＝.
14．[解析] 本题考查树状图的画法．
解：(1)三次传球所有可能的情况如图：
(2)由图，知三次传球后，球回到甲脚下的概率P＝＝.
(3)由图，知三次传球后，球回到乙脚下的概率P＝，
因为>，所以球传到乙脚下的概率大．
15．解：(1)∵第一道单选题有3个选项，∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是.
(2)分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示第二道单选题剩下的3个选项，画树状图：
∵共有9种等可能的结果，小明能顺利通关的只有1种结果，∴小明顺利通关的概率为.
(3)建议小明在第一题使用“求助”．
4．3 用频率估计概率
知识要点分类练 夯实基础
知识点 利用频率估计概率
1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )
A．频率等于概率
B．试验得到的频率与概率不可能相等
C．当试验次数很小时，概率稳定在频率附近
D．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
2．为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是( )
A．钉尖着地的频率是0.4
B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4附近
C．钉尖着地的概率约为0.4
D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数一定是8次
3．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算其正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是( )
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
4．做绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽概率的估计值是( )
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
5．2017·兰州一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子．通过大量摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么盒子中小球的个数n约为( )
A．20 B．24 C．28 D．30
6．在一块试验田抽取1000个麦穗考察它的长度(单位： cm)，对数据适当分组后看到落在5.75～6.05之间的频率为0.36，于是可以估计出这块田里麦穗长度在5.75～6.05 cm之间的概率为________%.
7．2018·淮安某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击
次数n
10
20
40
50
100
200
500
1000
击中靶心
的频数m
9
19
37
45
89
181
449
901
击中靶心
的频率
0.900
0.950
0.925
0.900
0.890
0.905
0.898
0.901
该射手击中靶心的概率的估计值是________(精确到0.01)．
8．在一个不透明的袋子中装有黄色、白色乒乓球共40个，这些球除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球试验后发现，摸到黄色球的频率稳定在15%附近，则口袋中黄色球可能有________个．
9．对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查，从中分别抽取5件、10件、60件、150件、600件、900件、1200件、1800件，检查结果如下表所示：
抽取的
件数n
5
10
60
150
600
900
1200
1800
合格
件数m
5
8
53
131
542
820
1091
1631
合格
频率
1
0.8
0.883
0.873
0.903
0.911
0.909
0.906
(1)估计该厂产品的合格率(精确到0.1)；
(2)若抽取这类产品1000件，试估计合格品数．
规律方法综合练 提升能力
10．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图4－3－1的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4
11．2017·营口在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是________个．
图4－3－1
12．2017·宿迁如图4－3－2，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是________m2.
图4－3－2
13．一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表：
试验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面
朝上频数
14
a
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
b
0.56
0.55
(1)请直接写出a，b的值；
(2)如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少(精确到0.01)?
(3)如果做这种试验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？
拓广探究创新练 冲刺满分
14．小颖和小红两位同学在学习概率时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
(2)小颖说：“根据试验结果分析，一次试验中出现5点朝上的概率最大．”小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
(3)小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
教师详解详析
1．D [解析] A项，频率只能估计概率，故此选项错误．
B项，试验得到的频率与概率可能相等，故此选项错误．
C项，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项错误．
D项，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项正确．
2．D
3．D [解析] 根据模拟试验的定义，可知试验相对科学的是次数最多的丁组．
4．B
5．D [解析] 由题意，可知×100%＝30%，易解得n＝30.经检验n＝30是原分式方程的解，且符合题意．故选D.
6．36
7．0.90 [解析] 用频率估计概率时，试验的次数越多，其频率越接近于概率，所以取射击1000次击中靶心的频率来估计射手击中靶心的概率．
8．6 [解析] 黄色球的个数为15%×40＝6(个)．
9．解：(1)从表中的数据可看到，当抽取件数(即重复试验次数)n越大时，“一件产品合格”事件发生的频率就越接近常数0.9，所以该厂产品的合格率为0.9.
(2)90%×1000＝900(件)．
答：估计合格品数为900件．
10．D
11．15 [解析] 根据题意，得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，所以摸到蓝色球的概率为75%.因为20×75%＝15(个)，所以可估计箱子中蓝色球的个数为15个．
12．1 [解析]∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，∴小石子落在不规则区域的概率为0.25.∵正方形的边长为2 m，∴面积为4 m2.设不规则区域的面积为S，则＝0.25，解得S＝1.故答案为1.
13．解：(1)a＝18，b＝0.55.
(2)估计这个概率为0.55.
(3)2000×0.55＝1100.
答：“兵”字面朝上的次数大约是1100.
14．解：(1)“3点朝上”的频率是＝，
“5点朝上”的频率是＝.
(2)小颖的说法是错误的．理由：因为60次试验中“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够大时，事件发生的频率才会稳定在事件发生的概率附近；小红的说法是错误的，理由：因为事件的发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次．
(3)列表如下：
小红投掷的点数点数之和小颖投掷的点数
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
∵共有36种等可能的情况，其中点数之和为3的倍数的情况一共有12种，
∴P(点数之和为3的倍数)＝＝.
4.3 用频率估计概率
一、选择题
1．2018·呼和浩特某学校数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图K－33－1的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
图K－33－1
A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，取出一个球是红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
2．2017·北京图K－33－2显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．
图K－33－2
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620.
其中合理的是( )
A．① B．② C．①② D．①③
3．2017·兰州一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为( )
A．20 B．24 C．28 D．30
4．在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外没有其他区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球( )
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
二、填空题
5．一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球________个.
6．2018·永州在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外无其他区别，其中有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是________．
7．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：
移植的棵数n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数m
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为________．(结果精确到0.01)
三、解答题
8．节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品，质监部门对某批次的一种节能灯(共200个)的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成下表．
寿命(时)
频数
频率
4000≤t<5000
10
0.05
5000≤t<6000
20
a
6000≤t<7000
80
0.40
7000≤t<8000
b
0.15
8000≤t<9000
60
c
合计
200
1
(1)根据分布表中的数据，求出a，b，c的值；
(2)某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这个节能灯恰好不是次品的概率．
9．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，林林做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的
次数x
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球
的次数y
64
122
177
301
470
592
1802
摸到白球
的频率
0.640
0.610
0.590
0.602
0.588
0.592
0.601
(1)请估计当x很大时，摸到白球的频率将会接近________(精确到0.1)；
(2)假如你摸一次，你摸到白球的概率P(白球)＝________；
(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个．
素养提升 思维拓展 能力提升
操作研究题课题学习：设计概率模拟试验．
在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，进行大量重复试验后，可知正面朝上的概率是.”小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟试验：
小海找来一个啤酒瓶盖(如图K－33－3①)进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值；
小东用硬纸片做了一个圆形转盘，转盘被分成8个大小一样的扇形区域，并依次标上1至8八个数字(如图②)，转动转盘10次，然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；
小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子(如图③)，其中有三枚是白子，一枚是黑子，从中随机同时摸出两枚棋子，并大量重复上述试验，然后计算摸出的两枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值．
根据以上材料回答问题：
小海、小东、小英三人中，哪一位同学设计的试验比较合理，并简要说出其他两位同学设计的试验的不足之处．
图K－33－3
教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．D [解析] A选项中事件的概率为＝0.6；B选项中事件的概率为0.5；C选项中事件的概率为0.25，D选项中事件的概率为＝.故本题选D.
2．[解析] B 当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是308÷500＝0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误；随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计 “钉尖向上”的概率是0.618，故②正确；若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误．故选B.
3．[解析] D 根据题意，得＝30%，解得n＝30，经检验，n＝30是原方程的解且符合题意，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
4．A
5．[答案] 20
[解析] ∵摸到黄球的频率稳定在30%，∴在大量重复试验下，可估计摸到黄球的概率为30%＝0.3，而口袋中黄球只有6个，∴口袋中小球大约有6÷0.3＝20(个)．
6．100 [解析] 在同样条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，因此，可以列出方程求解．由题意，得＝0.03，解得n＝100.故估计n大约是100.因此，本题填100.
7．0.88
8．解：(1)a＝0.1，b＝30，c＝0.3.
(2)这批节能灯中，优等品有60个，正品有110个，次品有30个，∴这个节能灯恰好不是次品的概率P＝＝0.85.
9．解：(1)当x很大时，摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)∵摸到白球的频率为0.6，∴摸一次，摸到白球的概率P(白球)＝0.6.
(3)盒子里白球约有50×0.6＝30(个)，
黑球约有50－30＝20(个)．
[素养提升]
解：小英设计的模拟试验比较合理．
小海选择的啤酒瓶盖质地不均匀；小东设计的试验次数太少，没有进行大量重复试验．
专题训练 概率与代数、几何等知识的综合
一、概率与代数式的综合
1．如图5－ZT－1，有4张形状、大小和质地都相同的卡片，正面分别写有字母A，B，C，D和一个算式，背面完全一致．将这4张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取1张，不放回，接着再随机抽取1张．
(1)请用画树状图或列表法表示出所有的可能结果(卡片可用A，B，C，D表示)；
(2)将“第一张卡片上的算式正确，同时第二张卡片上的算式错误”记为事件M，求事件M的概率．
2．有三张正面分别写有数－2，－1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面上的数作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面上的数作为y的值，两次结果记作(x，y)．
(1)用画树状图或列表法表示(x，y)所有可能出现的结果；
(2)求使分式＋有意义的(x，y)出现的概率；
(3)化简分式＋，并求使分式的值为整数的(x，y)出现的概率．
二、概率与几何的综合
3.如图5－ZT－2，正方形的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为________．
图5－ZT－2
4．在3×3的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图5－ZT－3所示的小正方形的顶点上．
(1)从A，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及点B，C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是________；
(2)从A，D，E，F四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B，C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率(用画树状图或列表法求解)．
图5－ZT－3
三、概率与方程(或不等式)的综合
5．已知不等式组
(1)求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
(2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．
四、概率与坐标系的综合
6．甲、乙两个袋中均装有三张除所标数不同外其余完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数分别为－7，－1，3，乙袋中的三张卡片上所标的数分别为－2，1，6.先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上标的数，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上标的数，把x，y分别作为点A的横坐标、纵坐标．
(1)用适当的方法写出点A(x，y)的所有情况；
(2)求点A落在第三象限的概率．
五、概率与一次函数的综合
7．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数1和－2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数－1，0和2.小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数为y，设点P的坐标为(x，y)．
(1)请用列表法或画树状图法列出点P所有可能的坐标；
(2)求点P落在一次函数y＝x＋1的图象上的概率．
六、概率与反比例函数结合
8．在一个不透明的盒子里装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y.
(1)用列表法或画树状图法表示出(x，y)的所有可能出现的结果；
(2)求小兰、小田各取一次小球所确定的点(x，y)落在反比例函数y＝的图象上的概率；
(3)求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y＜的概率．
七、概率与二次函数的综合
9．同时抛掷A，B两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，设两立方体朝上的数字分别记为x，y，并以此确定点P(x，y)，那么点P落在抛物线y＝－x2＋3x上的概率为( )
A. B. C. D.
教师详解详析
解：(1)根据题意，可以列出如下的表格：
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
由列表法可知，所有的可能结果为AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC.
(2)由表可知，随机抽取1张，不放回，接着再随机抽取1张的所有可能的结果有12种，它们出现的可能性相等．
∵事件M包含的结果有3种，
∴P(M)＝.
2．解：(1)画树状图如下：
或列表如下：
第二次
积
第一次
－2
－1
1
－2
(－2，－2)
(－1，－2)
(1，－2)
－1
(－2，－1)
(－1，－1)
(1，－1)
1
(－2，1)
(－1，1)
(1，1)
∴所有可能出现的结果为(－2，－2)，(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－2)，(1，－1)，(1，1)．
(2)要使分式＋有意义，则有(x＋y)(x－y)≠0，
∴只有(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(1，－2)符合条件，∴使分式＋有意义的(x，y)出现的概率为.
(3)＋
＝＋
＝＋
＝
＝
＝＝.
将符合条件的(－2，－1)，(－2，1)，(－1，－2)，(1，－2)分别代入上式计算可得结果分别为，3，－，－3，
∴使分式的值为整数的(x，y)出现的概率为.
3．[答案]
[解析] ∵S正方形＝×(3×2)2＝18，S阴影＝4××3×1＝6，∴这个点取在阴影部分的概率为＝.
4．解：(1)
(2)用树状图列出所有可能的结果：
或列表如下：
A
D
E
F
A A
(A，D)
(A，E)
(A，F)
D D
(D，A)
(D，E)
(D，F)
E E
(E，A)
(E，D)
(E，F)
F F
(F，A)
(F，D)
(F，E)
∵以点A，E，B，C为顶点及以点D，F，B，C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画四边形是平行四边形的概率P＝＝.
5．解：(1)
由①得x＞－2，由②得x≤2，
∴不等式组的解集为－2＜x≤2，
∴它的所有整数解为－1，0，1，2.
(2)画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，积为正数的结果有2种，
∴积为正数的概率为＝.
6．解：(1)如图．
点A(x，y)的所有情况：(－7，－2)，(－7，1)，(－7，6)，(－1，－2)，(－1，1)，(－1，6)，(3，－2)，(3，1)，(3，6)．
(2)由树状图可知，所有等可能的情况共有9种，
点A落在第三象限的情况有2种，
∴P(点A落在第三象限)＝.
7．解：(1)画树状图如图所示．
∴点P所有可能的坐标为(1，－1)，(1，0)，(1，2)，(－2，－1)，(－2，0)，(－2，2)．
(2)∵只有(1，2)，(－2，－1)这两点在一次函数y＝x＋1的图象上，
∴P(点P落在一次函数y＝x＋1的图象上)＝＝.
8．解：(1)列表如下：
1
2
3
4
11
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
22
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
23
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
44
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
所有等可能的结果有16种，分别为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．
(2)其中点(x，y)落在反比例函数y＝的图象上的情况有(2，3)，(3，2)，共2种，则P＝
＝.
(3)所确定的数x，y满足y＜的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(4，1)，共8种，则P＝＝.
9．A
概率
本章中考演练
一、选择题
1．2018·齐齐哈尔下列成语中，表示不可能事件的是( )
A．缘木求鱼 B．杀鸡取卵
C．探囊取物 D．日月经天，江河行地
2．2018·福建投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是( )
A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D．两枚骰子向上一面的点数之和等于12
3．2018·凉山州以下四个事件是必然事件的是( )
①|a|≥0；②a0＝1；③am·an＝amn；④a－n＝(a≠0，n为整数)．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
4．2018·金华如图4－Y－1，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°.让转盘自由转动，转盘停止后指针落在黄色区域的概率是( )．
图4－Y－1
A. B. C. D.
5．2018·南充下列说法正确的是( )
A．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查
B．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，是不可能事件
C．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨
D．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1
6．2018·武汉一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1，2，3，4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
7．2018·自贡从－1，2，3，－6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点(m，n)在函数y＝的图象上的概率是( )
A. B. C. D.
8．2018·玉林某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图
4－Y－2，则符合这一结果的试验可能是( )
图4－Y－2
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球，1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
9．2018·徐州如图4－Y－3，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为( )
图4－Y－3
A. B. C. D.
二、填空题
10．2018·宿迁小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明获胜是必然事件，则小明第一次应该取走火柴棒的根数是________．
11．2018·扬州有4根细木棒，长度分别为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是________．
12．2018·深圳投掷一个正六面体的骰子一次，得到正面向上的数字为奇数的概率为________．
13．2018·新疆一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是________．
14．2018·娄底从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为________．
图4－Y－4
15．2017·宿迁如图4－Y－4，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是________m2.
三、解答题
16．2018·淮安一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数1，－2，3，搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回)，记下数作为点A的横坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数作为点A的纵坐标．
(1)用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
(2)求点A落在第四象限的概率．
17．2018·连云港汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲、乙两队每局获胜的机会相同．
(1)若前四局双方战成2∶2，那么甲队最终获胜的概率是________；
(2)现甲队在前两局比赛中已取得2∶0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？
18．2018·遵义某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者都可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购物品享受9折优惠，指针指向其他区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向区域的字母相同，所购物品享受8折优惠，其他情况无优惠，在每个转盘中，指针指向每个区域的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘)．
(1)若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为________；
(2)若顾客选择方式二，请用画树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率．
图4－Y－5
教师详解详析
1．A
2．D [解析] 事先就知道一定能发生的事件是必然事件，所以两枚骰子向上一面的点数之和大于1是必然事件；有可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件，所以两枚骰子向上一面的点数之和等于12是随机事件；事先知道它一定不会发生的事件是不可能事件，所以两枚骰子向上一面的点数之和等于1、两枚骰子向上一面的点数之和大于12是不可能事件．故选D.
3．B [解析] 有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件．②a0＝1，没有强调a≠0，∴错误；③am·an＝am＋n，∴错误．①与④正确．故选择B.
4．B [解析] ∵黄色扇形的圆心角度数为90°，占周角的，∴黄色扇形面积占圆面积的，∴转盘停止后指针落在黄色区域的概率是.故选B.
5．A [解析] A．调查某班学生的身高情况，适合采用全面调查，说法正确；B.篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，是随机事件，说法错误；C.天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天下雨的可能性很大，说法错误；D.小南抛掷两次硬币都是正面向上，不能说明抛掷硬币正面向上的概率为1，说法错误．故选A.
6．C [解析] 列表如下：
第一次
积
第二次
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果有12种，所以P(两次抽取的卡片上数字之积为偶数)＝＝.故选C.
7．B [解析] 从－1，2，3，－6这四个数中任取两个数，记为m，n，则点(m，n)的可能情况如下表：
(m，n)
－1
2
3
－6
－1
(－1，2)
(－1，3)
(－1，－6)
2
(2，－1)
(2，3)
(2，－6)
3
(3，－1)
(3，2)
(3，－6)
－6
(－6，－1)
(－6，2)
(－6，3)
共有12种等可能的情况，其中在函数y＝的图象上的有(－1，－6)，(2，3)，(3，2)，(－6，－1)四种情况，所求概率为＝.故选B.
8．D
9．C [解析] 设小正方形的边长为1，则其面积为1.∵圆的直径正好是大正方形的边长，∴根据勾股定理，其小正方形的对角线长为，即圆的直径为，∴大正方形的边长为，则大正方形的面积为×＝2，则小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为.故选C.
10．1 [解析] 若小明第一次取走1根，小丽也取走1根，小明第二次取走2根，小丽不论取走1根还是2根，小明都将取走最后一根；若小明第一次取走1根，小丽取走2根，小明第二次取走1根，小丽不论取走1根还是2根，小明都将取走最后一根．同理可知，若小明第一次取走2根，则最后一根不一定由小明取走．故答案为1.
11.
12. [解析] 投掷一个正六面体的骰子一次，得到正面向上的数字可能为1，2，3，4，5，6，故P(投掷一次得到正面向上的数字为奇数)＝＝.
13. [解析] 记一只茶杯的杯盖为a1，茶杯为b1，另一只茶杯的杯盖为a2，茶杯为b2，现列表如下：
b1
b2
a1
(a1, b1)
(a1, b2)
a2
(a2, b1)
(a2, b2)
由上表可知，共有4种等可能的结果，其中颜色搭配正确的结果有2种，故P(颜色搭配正确)＝＝.
14. [解析] 画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中选修地理和生物的结果只有1种，
所以选修地理和生物的概率为.
15．[答案] 1
[解析] ∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，∴小石子落在不规则区域的概率为0.25.
∵正方形的边长为2 m，
∴其面积为4 m2.设不规则区域的面积为S m2，
则＝0.25，解得S＝1.
16．解：(1)画树状图如下：
点A的坐标可能为(1，－2)，(1，3)，(－2，1)，(－2，3)，(3，1)，(3，－2)．
(2)点A落在第四象限的概率＝＝.
17．解：(1)
(2)画树状图如下：
由图可知，剩下的三局比赛共有8种等可能的结果，其中甲至少胜一局的结果有7种，所以P(甲队最终获胜)＝.
答：甲队最终获胜的概率为.
18．解：(1)
(2)转两个转盘，所有可能的结果如下：
乙
结果
甲
A
B
E
A
(A，A)
(A，B)
(A，E)
B
(B，A)
(B，B)
(B，E)
C
(C，A)
(C，B)
(C，E)
D
(D，A)
(D，B)
(D，E)
转两个转盘，所有可能的结果有12种，每种结果出现的可能性相同，其中转到的两个字母相同，可享受8折优惠，这种结果有2种，所以P(享受8折优惠)＝＝.
答：顾客享受8折优惠的概率为.
