1.4 解直角三角形复习题-解答题（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.4 解直角三角形复习题-解答题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-11 10:20:50 | ||
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文档简介
第一章 直角三角形的边角关系复习题解答题
一．解答题
1．（2018?贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=
∴c=，c=
∴=
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
2．（2018?赤峰）阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB=
∴AD=c?sinB
∴S△ABC=a?AD=acsinB
同理：S△ABC=absinC
S△ABC=bcsinA
∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
（1）通过上述材料证明：
==
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
3．（2018?上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
4．（2018?自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．
5．（2018?沈河区二模）如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18°的值．
6．（2018?张店区一模）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．
7．（2018?相山区四模）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．
8．（2018?淮南模拟）在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．
9．（2018?合肥模拟）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20．
（1）求BC的长度；
（2）若∠ADC=75°，求CD的长．
10．（2018?西城区一模）如图，在△ABD中，∠ABD=∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．
（1）补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；
（2）若AB=5，cos∠ABD=，求BD的长．
11．（2018?绥化模拟）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，tanA=2cos∠BCD．
（1）求证：BC=2AD；
（2）若cosB=，AB=10，求CD的长．
12．（2018?松江区二模）如图，已知△ABC中，∠B=45°，tanC=，BC=6．
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．
13．（2018?沙湾区模拟）阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．
解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于D，
则CE=AB=，∠CED=2A，CD=ACsinA，AC=ABcosA=cosA
在Rt△CED中，sin2A=sin∠CED==2ACsinA=2cosAsinA
根据以上阅读，请解决下列问题：
（1）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=3，求sinA，sin2A的值；
（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或cosA表示cos2A．
14．（2018?大庆模拟）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）．
（1）求sin120°，cos150°的值；
（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．
第一章 直角三角形的边角关系复习题解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共14小题）
1．（2018?贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=
∴c=，c=
∴=
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．
【解答】解：==，理由为：
过A作AD⊥BC，BE⊥AC，
在Rt△ABD中，sinB=，即AD=csinB，
在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，
∴csinB=bsinC，即=，
同理可得=，
则==．
2．（2018?赤峰）阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB=
∴AD=c?sinB
∴S△ABC=a?AD=acsinB
同理：S△ABC=absinC
S△ABC=bcsinA
∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
（1）通过上述材料证明：
==
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
【分析】（1）根据材料中的S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA，化为比例式可得结论；
（2）根据公式，直接代入可得结论；
（3）先根据公式计算AC的长，由S△ABC=AC×BC×sin∠ACB可得结论．
【解答】解：（1）∵absinC=acsinB，
∴bsinC=csinB，
∴=，
：同理得：=，
∴==；（4分）
（2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20，
∴，即，
∴，
∴AC=40×0.3=12；（8分）
（3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°，
∠A=180°﹣15°﹣45°=120°，
由==得：=，
∴AC=6，
∴S△ABC=AC×BC×sin∠ACB=×6×18×0.7≈38．（12分）
3．（2018?上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
权所有
【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=，
∵tan∠DBF==，
∴DF=，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，
∴AD=5﹣=，
则=．
4．（2018?自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．
【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；
【解答】解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH=BC=6，BH==6，
在Rt△ACH中，tanA==，
∴AH=8，
∴AC==10，
∴AB=AH+BH=8+6．
5．（2018?沈河区二模）如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18°的值．
【分析】（1）求出△CAD∽△CBA，得出比例式，代入求出即可；
（2）求出△EAD是直角三角形，求出AD的长度，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∠B=36°，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=108°，
∵AB=BD，∠B=36°，
∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°，
即∠DAC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∵AB=AC=BD=2，
∴=，
解得：CD=﹣1（负数舍去）；
（2）
延长CB到E，使BE=AB=2，连接AE，
则∠E=∠BAE，
∵∠ABC=36°=∠E+∠BAE，
∴∠E=∠BAE=18°，
∵∠BAD=72°，
∴∠EAD=72°+18°=90°，
∵∠C=∠CAD=36°，
∴AD=CD=﹣1，
在Rt△EAD中，sinE===，
即sin18°=．
6．（2018?张店区一模）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．
（2）通过解直角△ABC得到AC的长，利用勾股定理即可得到BC的长度．
【解答】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：
由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，
则四边形ACC'A'是平行四边形．
又∵CD平分∠ACB的外角，
∴∠ACA′=∠A'CC'，
∵AA'∥BB'，
∴∠C'CA'=∠AA'C，
∴∠AA'C=∠ACA'，
∴AA'=AC，
∴四边形ACC'A'是菱形．
（2）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，
∴cos∠BAC==，即=，
∴AC=26．
∴由勾股定理知：BC===10．
7．（2018?相山区四模）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．
【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD=ACsinC=3、，再在△ABD中根据AB=3、AD=3求得BD=3，继而根据BC=BD+CD可得答案．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵AC=5，，
∴AD=AC?sinC=3．
∴在Rt△ACD中，．
∵AB=，
∴在Rt△ABD中，．
∴BC=BD+CD=7．
8．（2018?淮南模拟）在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．
【分析】根据平面坐标系得出各点坐标，进而得出，△ABC是直角三角形，进而得出sinB的值．
【解答】解：如图所示：AC=2，BC=3，由勾股定理得：
AB=，
sinB=．
9．（2018?合肥模拟）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20．
（1）求BC的长度；
（2）若∠ADC=75°，求CD的长．
【分析】（1）作AE⊥BC于E，如图，在Rt△ACE中利用∠C=60°可计算出CE=10，AE=10，在Rt△ABE中利用∠B=45°得到BE=AE=10，从而得到BC的长；
（2）证明△CDA∽△CAB，然后利用相似比计算CD的长．
【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，如图，
在Rt△ACE中，∵∠C=60°，
∴CE=AC=10，AE=CE=10，
在Rt△ABE中，∵∠B=45°，
∴BE=AE=10，
∴BC=BE+CE=10+10；
（2）∵∠BAC=180°﹣45°﹣60°=75°，
而∠ADC=75°，
∴∠ADC=∠ABC，
∵∠ACD=∠BCA，
∴△CDA∽△CAB，
∴=，即=，
∴CD=20﹣20．
10．（2018?西城区一模）如图，在△ABD中，∠ABD=∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．
（1）补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；
（2）若AB=5，cos∠ABD=，求BD的长．
权所有
【分析】（1）补全图形，如图所示，可得出∠AOB=90°，理由如下：由题意得到四边形为菱形，利用菱形的性质判断即可；
（2）在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义求出BO的长，由BD=2BO即可求出BD的长．
【解答】解：（1）补全的图形，如图所示，可得出∠AOB=90°，理由如下：
证明：由题意可知BC=AB，DC=AB，
∵在△ABD中，∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴BC=DC=AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴OB=OD．
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AB=5，cos∠ABD=，
∴OB=AB?cos∠ABD=3，
∴BD=2OB=6．
11．（2018?绥化模拟）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，tanA=2cos∠BCD．
（1）求证：BC=2AD；
（2）若cosB=，AB=10，求CD的长．
【分析】（1）由tanA=2cos∠BCD即可求得结论；
（2）由∠B的余弦值和（1）的结论即可求得BD，利用勾股定理求得CD．
【解答】解：（1）∵tanA=，cos∠BCD=，tanA=2cos∠BCD，
∴=2×，
∴BC=2AD；
（2）∵cosB==，BC=2AD，
∴=，
∵AB=10，
∴AD=×10=4，BD=10﹣4=6，
∴BC=8，
∴CD==2．
12．（2018?松江区二模）如图，已知△ABC中，∠B=45°，tanC=，BC=6．
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据题意得到三角形ACH为等腰直角三角形，设AH=BH=x，根据tanC的值，表示出HC，由BC=6求出x的值，确定出AH的长，即可求出三角形ABC面积；
（2）由（1）得到AH与CH的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出CD的长，根据tanC的值，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
设AH=x，则BH=x，
在Rt△AHC中，tanC==，
∴HC=2x，
∵BC=6，
∴x+2x=6，
解得：x=2，
∴AH=2，
∴S△ABC=?BC?AH=6；
（2）由（1）得AH=2，CH=4，
在Rt△AHC中，AC==2，
∵DE垂直平分AC，
∴CD=AC=，
∵ED⊥AC，
∴在Rt△EDC中，tanC==，
∴DE=．
13．（2018?沙湾区模拟）阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．
解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于D，
则CE=AB=，∠CED=2A，CD=ACsinA，AC=ABcosA=cosA
在Rt△CED中，sin2A=sin∠CED==2ACsinA=2cosAsinA
根据以上阅读，请解决下列问题：
（1）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=3，求sinA，sin2A的值；
（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或cosA表示cos2A．
【分析】（1）解直角三角形求出cosA，利用结论中的公式计算即可；
（2）利用图2，根据cos2A=cos∠CED=，计算即可；
【解答】解：（1）如图3中，在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=1，∠C=90°，
∴AC==2，
∴sinA==，cosA=，
∴sinA=2cosA?sinA=
（2）如图2中，cos2A=cos∠CED===2AC?cosA﹣1=2（cosA）2﹣1．
14．（2018?大庆模拟）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）．
（1）求sin120°，cos150°的值；
（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．
【分析】（1）仿照已知定义将各式变形，利用特殊角的三角函数值求出值即可；
（2）根据内角之比，利用内角和为180°求出各自的度数，根据sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求出m的值，进而确定出∠A和∠B的度数．
【解答】解：（1）由题意得：sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，cos150°=cos（180°﹣30°）=﹣cos30°=﹣；
（2）∵一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，
把代入方程得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，
经检验﹣是4x2﹣1=0的根，故m=0；
②当∠A=120°，∠B=30°时，方程的两根为，，不符合题意；
③∠A=30°，∠B=30°时，方程两根为，，
把代入得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，
经检验不是方程4x2﹣1=0的根，不符合题意，
则m=0，∠A=30°，∠B=120°．
一．解答题
1．（2018?贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=
∴c=，c=
∴=
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
2．（2018?赤峰）阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB=
∴AD=c?sinB
∴S△ABC=a?AD=acsinB
同理：S△ABC=absinC
S△ABC=bcsinA
∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
（1）通过上述材料证明：
==
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
3．（2018?上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
4．（2018?自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．
5．（2018?沈河区二模）如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18°的值．
6．（2018?张店区一模）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．
7．（2018?相山区四模）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．
8．（2018?淮南模拟）在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．
9．（2018?合肥模拟）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20．
（1）求BC的长度；
（2）若∠ADC=75°，求CD的长．
10．（2018?西城区一模）如图，在△ABD中，∠ABD=∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．
（1）补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；
（2）若AB=5，cos∠ABD=，求BD的长．
11．（2018?绥化模拟）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，tanA=2cos∠BCD．
（1）求证：BC=2AD；
（2）若cosB=，AB=10，求CD的长．
12．（2018?松江区二模）如图，已知△ABC中，∠B=45°，tanC=，BC=6．
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．
13．（2018?沙湾区模拟）阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．
解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于D，
则CE=AB=，∠CED=2A，CD=ACsinA，AC=ABcosA=cosA
在Rt△CED中，sin2A=sin∠CED==2ACsinA=2cosAsinA
根据以上阅读，请解决下列问题：
（1）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=3，求sinA，sin2A的值；
（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或cosA表示cos2A．
14．（2018?大庆模拟）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）．
（1）求sin120°，cos150°的值；
（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．
第一章 直角三角形的边角关系复习题解答题
参考答案与试题解析
一．解答题（共14小题）
1．（2018?贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=
∴c=，c=
∴=
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．
【解答】解：==，理由为：
过A作AD⊥BC，BE⊥AC，
在Rt△ABD中，sinB=，即AD=csinB，
在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，
∴csinB=bsinC，即=，
同理可得=，
则==．
2．（2018?赤峰）阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB=
∴AD=c?sinB
∴S△ABC=a?AD=acsinB
同理：S△ABC=absinC
S△ABC=bcsinA
∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
（1）通过上述材料证明：
==
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
【分析】（1）根据材料中的S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA，化为比例式可得结论；
（2）根据公式，直接代入可得结论；
（3）先根据公式计算AC的长，由S△ABC=AC×BC×sin∠ACB可得结论．
【解答】解：（1）∵absinC=acsinB，
∴bsinC=csinB，
∴=，
：同理得：=，
∴==；（4分）
（2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20，
∴，即，
∴，
∴AC=40×0.3=12；（8分）
（3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°，
∠A=180°﹣15°﹣45°=120°，
由==得：=，
∴AC=6，
∴S△ABC=AC×BC×sin∠ACB=×6×18×0.7≈38．（12分）
3．（2018?上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
权所有
【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD=CD，BF=CF=，
∵tan∠DBF==，
∴DF=，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，
∴AD=5﹣=，
则=．
4．（2018?自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．
【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；
【解答】解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH=BC=6，BH==6，
在Rt△ACH中，tanA==，
∴AH=8，
∴AC==10，
∴AB=AH+BH=8+6．
5．（2018?沈河区二模）如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18°的值．
【分析】（1）求出△CAD∽△CBA，得出比例式，代入求出即可；
（2）求出△EAD是直角三角形，求出AD的长度，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵AB=AC，∠B=36°，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=108°，
∵AB=BD，∠B=36°，
∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=72°，
∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°，
即∠DAC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∵AB=AC=BD=2，
∴=，
解得：CD=﹣1（负数舍去）；
（2）
延长CB到E，使BE=AB=2，连接AE，
则∠E=∠BAE，
∵∠ABC=36°=∠E+∠BAE，
∴∠E=∠BAE=18°，
∵∠BAD=72°，
∴∠EAD=72°+18°=90°，
∵∠C=∠CAD=36°，
∴AD=CD=﹣1，
在Rt△EAD中，sinE===，
即sin18°=．
6．（2018?张店区一模）如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．
（2）通过解直角△ABC得到AC的长，利用勾股定理即可得到BC的长度．
【解答】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：
由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，
则四边形ACC'A'是平行四边形．
又∵CD平分∠ACB的外角，
∴∠ACA′=∠A'CC'，
∵AA'∥BB'，
∴∠C'CA'=∠AA'C，
∴∠AA'C=∠ACA'，
∴AA'=AC，
∴四边形ACC'A'是菱形．
（2）∵在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，
∴cos∠BAC==，即=，
∴AC=26．
∴由勾股定理知：BC===10．
7．（2018?相山区四模）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．
【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD=ACsinC=3、，再在△ABD中根据AB=3、AD=3求得BD=3，继而根据BC=BD+CD可得答案．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵AC=5，，
∴AD=AC?sinC=3．
∴在Rt△ACD中，．
∵AB=，
∴在Rt△ABD中，．
∴BC=BD+CD=7．
8．（2018?淮南模拟）在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．
【分析】根据平面坐标系得出各点坐标，进而得出，△ABC是直角三角形，进而得出sinB的值．
【解答】解：如图所示：AC=2，BC=3，由勾股定理得：
AB=，
sinB=．
9．（2018?合肥模拟）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20．
（1）求BC的长度；
（2）若∠ADC=75°，求CD的长．
【分析】（1）作AE⊥BC于E，如图，在Rt△ACE中利用∠C=60°可计算出CE=10，AE=10，在Rt△ABE中利用∠B=45°得到BE=AE=10，从而得到BC的长；
（2）证明△CDA∽△CAB，然后利用相似比计算CD的长．
【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，如图，
在Rt△ACE中，∵∠C=60°，
∴CE=AC=10，AE=CE=10，
在Rt△ABE中，∵∠B=45°，
∴BE=AE=10，
∴BC=BE+CE=10+10；
（2）∵∠BAC=180°﹣45°﹣60°=75°，
而∠ADC=75°，
∴∠ADC=∠ABC，
∵∠ACD=∠BCA，
∴△CDA∽△CAB，
∴=，即=，
∴CD=20﹣20．
10．（2018?西城区一模）如图，在△ABD中，∠ABD=∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．
（1）补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；
（2）若AB=5，cos∠ABD=，求BD的长．
权所有
【分析】（1）补全图形，如图所示，可得出∠AOB=90°，理由如下：由题意得到四边形为菱形，利用菱形的性质判断即可；
（2）在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义求出BO的长，由BD=2BO即可求出BD的长．
【解答】解：（1）补全的图形，如图所示，可得出∠AOB=90°，理由如下：
证明：由题意可知BC=AB，DC=AB，
∵在△ABD中，∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴BC=DC=AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴OB=OD．
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AB=5，cos∠ABD=，
∴OB=AB?cos∠ABD=3，
∴BD=2OB=6．
11．（2018?绥化模拟）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，tanA=2cos∠BCD．
（1）求证：BC=2AD；
（2）若cosB=，AB=10，求CD的长．
【分析】（1）由tanA=2cos∠BCD即可求得结论；
（2）由∠B的余弦值和（1）的结论即可求得BD，利用勾股定理求得CD．
【解答】解：（1）∵tanA=，cos∠BCD=，tanA=2cos∠BCD，
∴=2×，
∴BC=2AD；
（2）∵cosB==，BC=2AD，
∴=，
∵AB=10，
∴AD=×10=4，BD=10﹣4=6，
∴BC=8，
∴CD==2．
12．（2018?松江区二模）如图，已知△ABC中，∠B=45°，tanC=，BC=6．
（1）求△ABC面积；
（2）AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求DE的长．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据题意得到三角形ACH为等腰直角三角形，设AH=BH=x，根据tanC的值，表示出HC，由BC=6求出x的值，确定出AH的长，即可求出三角形ABC面积；
（2）由（1）得到AH与CH的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出CD的长，根据tanC的值，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
设AH=x，则BH=x，
在Rt△AHC中，tanC==，
∴HC=2x，
∵BC=6，
∴x+2x=6，
解得：x=2，
∴AH=2，
∴S△ABC=?BC?AH=6；
（2）由（1）得AH=2，CH=4，
在Rt△AHC中，AC==2，
∵DE垂直平分AC，
∴CD=AC=，
∵ED⊥AC，
∴在Rt△EDC中，tanC==，
∴DE=．
13．（2018?沙湾区模拟）阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，请用sinA、cosA表示sin2A．
解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于D，
则CE=AB=，∠CED=2A，CD=ACsinA，AC=ABcosA=cosA
在Rt△CED中，sin2A=sin∠CED==2ACsinA=2cosAsinA
根据以上阅读，请解决下列问题：
（1）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=3，求sinA，sin2A的值；
（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或cosA表示cos2A．
【分析】（1）解直角三角形求出cosA，利用结论中的公式计算即可；
（2）利用图2，根据cos2A=cos∠CED=，计算即可；
【解答】解：（1）如图3中，在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=1，∠C=90°，
∴AC==2，
∴sinA==，cosA=，
∴sinA=2cosA?sinA=
（2）如图2中，cos2A=cos∠CED===2AC?cosA﹣1=2（cosA）2﹣1．
14．（2018?大庆模拟）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）．
（1）求sin120°，cos150°的值；
（2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．
【分析】（1）仿照已知定义将各式变形，利用特殊角的三角函数值求出值即可；
（2）根据内角之比，利用内角和为180°求出各自的度数，根据sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求出m的值，进而确定出∠A和∠B的度数．
【解答】解：（1）由题意得：sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，cos150°=cos（180°﹣30°）=﹣cos30°=﹣；
（2）∵一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，
把代入方程得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，
经检验﹣是4x2﹣1=0的根，故m=0；
②当∠A=120°，∠B=30°时，方程的两根为，，不符合题意；
③∠A=30°，∠B=30°时，方程两根为，，
把代入得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0，
经检验不是方程4x2﹣1=0的根，不符合题意，
则m=0，∠A=30°，∠B=120°．