1.4 解直角三角形复习题--选择题、填空题（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.4 解直角三角形复习题--选择题、填空题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-10 21:06:17 | ||
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文档简介
第一章 直角三角形的边角关系复习题（选择题、填空题）
一．选择题
1．（2018?淮南模拟）在△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，则AC等于（ ）
A．18 B．2 C． D．
2．（2018?井研县模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2018?天桥区二模）如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα=（ ）
A． B． C． D．
4．（2018?虹口区一模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA=，那么点C的位置可以在（ ）
A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处
5．（2018?河北区模拟）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1=S2 C．S1=S2 D．S1=S2
6．（2018?峄城区模拟）如图，四边形ABCD中∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，则对角线AC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2018?长兴县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=，则BC=（ ）
A． B． C．6 D．8
8．（2018?郴州模拟）△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018?杨浦区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠A=α，则CD长为（ ）
A．c?sin2α B．c?cos2α C．c?sinα?tanα D．c?sinα?cosα
10．（2018?相山区三模）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，tanA=，则BC的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
11．（2018?瑞安市模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2018?禅城区二模）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2018?孝感一模）如图，P是平面直角坐标系中第一象限内一点，OP=1，且OP与x轴正方向夹角为α，则P点关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（cosα，sinα） B．（sinα，cosα）
C．（cosα，﹣sinα） D．（sinα，﹣cosα）
14．（2018?丰南区二模）在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
15．（2018?北仑区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（ ）
A． B．2 C． D．
16．（2018?龙岩模拟）如图，在△ABC中，若BC=3，AC=5，∠B=45°，sinA=，则AB=（ ）
A．7 B． C． D．
17．（2018?无锡模拟）如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（ ）
A．m=n B．x=m+n C．x＞m+n D．x2=m2+n2
18．（2018?增城区一模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（共18小题）
19．（2018?泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 ．
20．（2018?眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= ．
21．（2018?无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于 ．
22．（2018?德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是 ．
23．（2018?齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
24．（2018?官渡区二模）一般地，当α，β为任意角时，cos（α+β）与cos（α﹣β）的值可以用下面的公式求得
cos（α+β）=cosα?cosβ﹣sinα?sinβ；cos（α﹣β）=cosα?cosβ+sinα?sinβ．
例如：cos90°=cos（30°+60°）=cos30°?cos60°﹣sin30°?sin60°=×﹣×=0
类似地，可以求得cos15°的值是 （结果保留根号）．
25．（2018?红河州二模）如图，若点A的坐标为（1，），则∠1= ，sin∠1= ．
26．（2018?哈尔滨模拟）如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC= ．
27．（2018?晋江市二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记||=a，则a的取值范围为 ．
28．（2018?南岗区四模）在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD=，AB=5，AD=3，则BC长为 ．
29．（2018?绥化模拟）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，AC=1，则∠ACB为 度．
30．（2018?湖州三模）如图，将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁掉四个梯形后，剩下部分恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为 ．
31．（2018?海陵区二模）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC= ．
32．（2018?滨州模拟）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值 ．
33．（2018?隆回县二模）Rt△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高，若BC=4，，则BD的长为 ．
34．（2018?越秀区模拟）如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长为 ．
35．（2018?盐亭县模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D是AC上一点，过D作DE⊥BC于点E，若，则CE的长为 ．
36．（2018?济宁模拟）如图所示，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=13，BC=10，则sinC= ．
第一章 直角三角形的边角关系复习题（选择题、填空题）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2018?淮南模拟）在△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，则AC等于（ ）
A．18 B．2 C． D．
【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴cosA=，
∵cosA=，AB=6，
∴AC=AB=2，
故选：B．
2．（2018?井研县模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】根据勾股定理得出OA的长，进而解答即可．
【解答】解：由图可得：OA=，
所以sinα的值=，
故选：A．
3．（2018?天桥区二模）如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα=（ ）
A． B． C． D．
【分析】已知点P的坐标，就是已知直角三角形的两直角边的长，根据勾股定理就可以求出OP的长．根据三角函数的定义求解．
【解答】解：OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|=5，
则sina=，
故选：C．
4．（2018?虹口区一模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA=，那么点C的位置可以在（ ）
A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处
【分析】过点C作CD⊥直线AB于点D，由AB的长度结合△ABC的面积，可得出CD的长度，再由sinA=可得出AC的长度，利用勾股定理可求出AD的长度，进而可找出点C所在的位置．
【解答】解：过点C作CD⊥直线AB于点D，如图所示．
∵AB=5，△ABC的面积为10，
∴CD=4．
∵sinA=，
∴AC=4，
∴AD==8，
∴点C在点C4处．
故选：D．
5．（2018?河北区模拟）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1=S2 C．S1=S2 D．S1=S2
【分析】作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，在Rt△ABM中利用正弦的定义得到AM=3sin50°，利用三角形面积公式得到S1=BC?AM=sin50°，同样在Rt△DEN中得到DN=7sin50°，则S2=EF?DN=sin50°，于是可判断S1=S2．
【解答】解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，
在Rt△ABM中，∵sin∠B=，
∴AM=3sin50°，
∴S1=BC?AM=×7×3sin50°=sin50°，
在Rt△DEN中，∠DEN=180°﹣130°=50°，
∵sin∠DEN=，
∴DN=7sin50°，
∴S2=EF?DN=×3×7sin50°=sin50°，
∴S1=S2．
故选：D．
6．（2018?峄城区模拟）如图，四边形ABCD中∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，则对角线AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】延长DC与AB交于一点K．解直角三角形求出DK，再求出AD，利用勾股定理求出AC．
【解答】解：延长DC交AB的延长线于点K；
在Rt△ADK中，∠DAK=60°∠AKD=30°，BC=1，∴，
∴DK=CD+CK=4，
∴AD==，
在△Rt△ADC中，
AC==，
故选：C．
7．（2018?长兴县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=，则BC=（ ）
A． B． C．6 D．8
【分析】由于在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA===，由此即可求出CB．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，
∴sinA===，
∴BC=6．
故选：C．
8．（2018?郴州模拟）△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出cosα=进而求出即可．
【解答】解：如图所示：∵AD=3，CD=4，
∴AC=5
∴cosα==．
故选：C．
9．（2018?杨浦区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠A=α，则CD长为（ ）
A．c?sin2α B．c?cos2α C．c?sinα?tanα D．c?sinα?cosα
【分析】根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=α，
sinα=，BC=c?sinα，
∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A=α，
在Rt△DCB中，∠CDB=90°，
cos∠DCB=，
CD=BC?cosα=c?sinα?cosα，
故选：D．
10．（2018?相山区三模）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，tanA=，则BC的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
【分析】根据题意可以设出BC和AC的长度，然后根据勾股定理可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，tanA=，
∴设BC=a，则AC=2a，
∴，
解得，a=2或a=﹣2（舍去），
∴BC=2，
故选：A．
11．（2018?瑞安市模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图：作BD⊥AC于D，
，
BD=，AD=，
tanA=，
故选：A．
12．（2018?禅城区二模）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cosα的值即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=2，
根据勾股定理得：AB==2，
则cosα==，
故选：A．
13．（2018?孝感一模）如图，P是平面直角坐标系中第一象限内一点，OP=1，且OP与x轴正方向夹角为α，则P点关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（cosα，sinα） B．（sinα，cosα） C．（cosα，﹣sinα） D．（sinα，﹣cosα）
【分析】作PQ⊥x轴于点Q，由PQ=OPsinα=sinα、OQ=OPcosα=cosα可得答案．
【解答】解：如图，作PQ⊥x轴于点Q，
∵sinα=、cosα=，OP=1，
∴PQ=OPsinα=sinα、OQ=OPcosα=cosα，
∴点P的坐标为（cosα，sinα），
则点P关于x轴的对称点的坐标为（cosα，﹣sinα）
故选：C．
14．（2018?丰南区二模）在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tanB的值．
【解答】解：如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，
过A作AD⊥BC于D，则BD=12，
在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，则，
AD==5，
故tanB=．
故选：B．
15．（2018?北仑区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】在Rt△AED中，sinA==，可以假设AD=15k，DE=9k，则AE=12k，利用平行线分线段成比例定理，求出BC，EC即可解决问题；
【解答】解：在Rt△AED中，∵sinA==，
∴可以假设AD=15k，DE=9k，则AE=12k，
∵AD：DB=3：2，
∴DB=10k，
∵DE∥BC，
∴==，
∴==，
∴BC=15k，AC=20k，
∴EC=AC﹣AE=8k，
∴tan∠CEB==，
故选：D．
16．（2018?龙岩模拟）如图，在△ABC中，若BC=3，AC=5，∠B=45°，sinA=，则AB=（ ）
A．7 B． C． D．
【分析】过C作CD⊥AB于D，于是得到∠BDC=∠ADC=90°，解直角三角形求出BD、AD即可；
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，
∴BD=CD=BC=3，
在Rt△ADC中，CD=AC?sinA=3，AD==4，
∴AD=BD+AD=3+4=7，
故选：A．
17．（2018?无锡模拟）如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（ ）
A．m=n B．x=m+n C．x＞m+n D．x2=m2+n2
【分析】如图所示，将△ABM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，连接NN′；证明△AMN≌△ANN′，则有MN=NN′；在Rt△NN'C′中，根据勾股定理可得结论．
【解答】解：∵tanB=tanC=tan∠MAN=1，
∴∠B=∠C=∠MAN=45°，
∵∠CAB=90°，
∴AC=AB，
将△BAM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，点B与点C重合，点M落在N′处，连接NN′，
则有AN′=AM，CN′=BM，∠1=∠3，
∵∠MCN=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠NAN′=∠MAN．
在△MAN与△NAN′中，
，
∴△MAN≌△NCN′（SAS），
∴MN=NN′．
由旋转性质可知，∠ACN′=∠B=45°，
∴∠NCN′=∠ACN′+∠ACB=90°，
∴NN'2=NC2+N'C2，
即x2=n2+m2，
故选：D．
18．（2018?增城区一模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】把∠ABC放在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出tan∠ABC的值即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，AD=2，BD=4，
则tan∠ABC===，
故选：A．
二．填空题
19．（2018?泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 S=x2 ．
【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x
∴DE=x，CE=x，
∴BE=10﹣x，
∴S△BED=×（10﹣x）?x=﹣x2+3x．
∵DF=BF，
∴S=S△BED=x2，
故答案为S=x2．
20．（2018?眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= 2 ．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△OBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为：2
21．（2018?无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于 15或10 ．
【考点】KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，
在Rt△ACD中，∵AC=2，
∴CD===，
则BC=BD+CD=6，
∴S△ABC=?BC?AD=×6×5=15；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5，CD=，
则BC=BD﹣CD=4，
∴S△ABC=?BC?AD=×4×5=10．
综上，△ABC的面积是15或10，
故答案为15或10．
22．（2018?德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是 ．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
则sin∠BAC==，
故答案为：．
23．（2018?齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= 17或 ．
【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当四边形ABCD是凸多边形时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD=，
∴=，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD==5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCG+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠BCG，
∴=，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD==17，
当四边形ABCD′是凹多边形时，CD′==，
故答案为：17或．
24．（2018?官渡区二模）一般地，当α，β为任意角时，cos（α+β）与cos（α﹣β）的值可以用下面的公式求得
cos（α+β）=cosα?cosβ﹣sinα?sinβ；cos（α﹣β）=cosα?cosβ+sinα?sinβ．
例如：cos90°=cos（30°+60°）=cos30°?cos60°﹣sin30°?sin60°=×﹣×=0
类似地，可以求得cos15°的值是 （结果保留根号）．
【分析】把15°化为45°﹣30°，根据公式、代入特殊角的三角函数值，计算即可．
【解答】解：cos15°
=cos（45°﹣30°）
=cos45°?cos30°+sin45°?sin30°
=×+×
=，
故答案为：．
25．（2018?红河州二模）如图，若点A的坐标为（1，），则∠1= 60° ，sin∠1= ．
【分析】作AB⊥x轴于点B，由点A坐标得出OB、AB的长，利用勾股定理求得斜边OA的长，根据正弦函数的定义计算可得．
【解答】解：如图，作AB⊥x轴于点B，
∵点A的坐标为（1，），
∴OB=1、AB=，
则OA==2，
∵sin∠1==，
∴∠1=60°，
故答案为：60°、．
26．（2018?哈尔滨模拟）如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC= ．
【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．
【解答】解：∵∠B=90°，sin∠ACB=，
∴=，
∵AB=2，
∴AC=6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴AD===10，
∴cos∠ADC==．
故答案为：．
27．（2018?晋江市二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记||=a，则a的取值范围为 a≥ ．
【分析】当OA⊥AB时，a取最小值，在Rt△OAB中，利用勾股定理可得出OA的值，再通过解直角三角形可求出a的最小值，此题得解．
【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．
当OA⊥AB时，a取最小值．
在Rt△OAB中，OB=5，AB=3，
∴OA==4，
∴tan∠OBA==．
∴a=||==tan∠AOC=tan∠OBA=．
故答案为：a≥．
28．（2018?南岗区四模）在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD=，AB=5，AD=3，则BC长为 5或3 ．
【分析】分两种情形分别求解即可；
【解答】解：当高AD在△ABC内部时，
在Rt△ABD中，BD===4，
在Rt△ADC中，tan∠CAD==，
∴CD=1，
∴BC=BD+CD=4+1=5．
当高AD在△ABC′外部时，易知BC′=BD﹣DC′=4﹣1=3，
故答案为5或3
29．（2018?绥化模拟）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，AC=1，则∠ACB为 120或60 度．
【分析】作AD⊥BC于D，先在Rt△ABD中求出AD=，再在Rt△ACD中利用cosC==，可计算出∠C=60°，则可得到∠AC′D=60°，∠AC′B=120°．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，AC=AC′=1，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=，
∴AD=AB=，
在Rt△ACD中，
cosC==，
∴∠C=60°，
同理可得∠AC′D=60°，
∴∠AC′B=120°．
故答案为60°或120°．
30．（2018?湖州三模）如图，将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁掉四个梯形后，剩下部分恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为 36﹣12 ．
【分析】这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为6，宽为6减去两个等边三角形的高，再用长方形的面积公式计算即可求得答案．
【解答】解：∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，
∴这个正三角形的底面边长为2，高为=，
∴侧面积为长为6，宽为6﹣2的长方形，
∴面积为：6×（6﹣2）=36﹣12．
故答案为36﹣12．
31．（2018?海陵区二模）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC= ．
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设BC=a，利用勾股定理可得出BD=CD=a、AC=a，将其代入tan∠BAC=中即可求出结论．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，如图所示．
设BC=a，则BD=CD=a，AC=a，
∴tan∠BAC====．
故答案为：．
32．（2018?滨州模拟）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值 ．
【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：===，进而可得CE=x，DE=x，从而可求tan∠CAD==．
【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB=，即=，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴===，
∴CE=x，DE=x，
∴AE=，
∴tan∠CAD==，
故答案为．
33．（2018?隆回县二模）Rt△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高，若BC=4，，则BD的长为 ．
【分析】根据正弦函数可求得AB的长，再利用勾股定理可求得AC的长，再根据正弦函数即可求得CD的长，根据勾股定理不难求得BD的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC=4，，
∴AB=6，
∴AC=2，
∵CD是斜边AB上的高线，
∴CD=，
∴BD==．
故答案为：．
34．（2018?越秀区模拟）如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长为 4 ．
【分析】由于cos∠BDC=，可设DC=3x，BD=5x，由于MN是线段AB的垂直平分线，故AD=DB，AD=5x，又知AC=8cm，即可据此列方程解答．
【解答】解：∵cos∠BDC=，可
∴设DC=3x，BD=5x，
又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB=5x，
又∵AC=8cm，
∴3x+5x=8，
解得，x=1，
在Rt△BDC中，CD=3cm，DB=5cm，
BC==4．
故答案为4．
35．（2018?盐亭县模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D是AC上一点，过D作DE⊥BC于点E，若，则CE的长为 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=6，∠C=∠B=45°，根据三角函数的定义得到AD=，求得CD=，解直角三角形得到结论．
【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，
∴AB=AC=6，∠C=∠B=45°，
∵，
∴AD=，
∴CD=，
∵DE⊥BC，
∴CE=CD=，
故答案为：．
36．（2018?济宁模拟）如图所示，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=13，BC=10，则sinC= ．
【分析】根据DE是BC的垂直平分线，得到CE=BE=13，CD=BD=5，∠CDE=90°，由勾股定理得到DE=12，于是得到结论．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE=13，CD=BD=5，∠CDE=90°，
∴DE==12，
∴sinC==，
故答案为：．
一．选择题
1．（2018?淮南模拟）在△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，则AC等于（ ）
A．18 B．2 C． D．
2．（2018?井研县模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2018?天桥区二模）如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα=（ ）
A． B． C． D．
4．（2018?虹口区一模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA=，那么点C的位置可以在（ ）
A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处
5．（2018?河北区模拟）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1=S2 C．S1=S2 D．S1=S2
6．（2018?峄城区模拟）如图，四边形ABCD中∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，则对角线AC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2018?长兴县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=，则BC=（ ）
A． B． C．6 D．8
8．（2018?郴州模拟）△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018?杨浦区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠A=α，则CD长为（ ）
A．c?sin2α B．c?cos2α C．c?sinα?tanα D．c?sinα?cosα
10．（2018?相山区三模）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，tanA=，则BC的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
11．（2018?瑞安市模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2018?禅城区二模）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2018?孝感一模）如图，P是平面直角坐标系中第一象限内一点，OP=1，且OP与x轴正方向夹角为α，则P点关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（cosα，sinα） B．（sinα，cosα）
C．（cosα，﹣sinα） D．（sinα，﹣cosα）
14．（2018?丰南区二模）在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
15．（2018?北仑区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（ ）
A． B．2 C． D．
16．（2018?龙岩模拟）如图，在△ABC中，若BC=3，AC=5，∠B=45°，sinA=，则AB=（ ）
A．7 B． C． D．
17．（2018?无锡模拟）如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（ ）
A．m=n B．x=m+n C．x＞m+n D．x2=m2+n2
18．（2018?增城区一模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（共18小题）
19．（2018?泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 ．
20．（2018?眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= ．
21．（2018?无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于 ．
22．（2018?德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是 ．
23．（2018?齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
24．（2018?官渡区二模）一般地，当α，β为任意角时，cos（α+β）与cos（α﹣β）的值可以用下面的公式求得
cos（α+β）=cosα?cosβ﹣sinα?sinβ；cos（α﹣β）=cosα?cosβ+sinα?sinβ．
例如：cos90°=cos（30°+60°）=cos30°?cos60°﹣sin30°?sin60°=×﹣×=0
类似地，可以求得cos15°的值是 （结果保留根号）．
25．（2018?红河州二模）如图，若点A的坐标为（1，），则∠1= ，sin∠1= ．
26．（2018?哈尔滨模拟）如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC= ．
27．（2018?晋江市二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记||=a，则a的取值范围为 ．
28．（2018?南岗区四模）在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD=，AB=5，AD=3，则BC长为 ．
29．（2018?绥化模拟）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，AC=1，则∠ACB为 度．
30．（2018?湖州三模）如图，将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁掉四个梯形后，剩下部分恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为 ．
31．（2018?海陵区二模）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC= ．
32．（2018?滨州模拟）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值 ．
33．（2018?隆回县二模）Rt△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高，若BC=4，，则BD的长为 ．
34．（2018?越秀区模拟）如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长为 ．
35．（2018?盐亭县模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D是AC上一点，过D作DE⊥BC于点E，若，则CE的长为 ．
36．（2018?济宁模拟）如图所示，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=13，BC=10，则sinC= ．
第一章 直角三角形的边角关系复习题（选择题、填空题）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2018?淮南模拟）在△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，则AC等于（ ）
A．18 B．2 C． D．
【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴cosA=，
∵cosA=，AB=6，
∴AC=AB=2，
故选：B．
2．（2018?井研县模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】根据勾股定理得出OA的长，进而解答即可．
【解答】解：由图可得：OA=，
所以sinα的值=，
故选：A．
3．（2018?天桥区二模）如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα=（ ）
A． B． C． D．
【分析】已知点P的坐标，就是已知直角三角形的两直角边的长，根据勾股定理就可以求出OP的长．根据三角函数的定义求解．
【解答】解：OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|=5，
则sina=，
故选：C．
4．（2018?虹口区一模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA=，那么点C的位置可以在（ ）
A．点C1处 B．点C2处 C．点C3处 D．点C4处
【分析】过点C作CD⊥直线AB于点D，由AB的长度结合△ABC的面积，可得出CD的长度，再由sinA=可得出AC的长度，利用勾股定理可求出AD的长度，进而可找出点C所在的位置．
【解答】解：过点C作CD⊥直线AB于点D，如图所示．
∵AB=5，△ABC的面积为10，
∴CD=4．
∵sinA=，
∴AC=4，
∴AD==8，
∴点C在点C4处．
故选：D．
5．（2018?河北区模拟）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1=S2 C．S1=S2 D．S1=S2
【分析】作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，在Rt△ABM中利用正弦的定义得到AM=3sin50°，利用三角形面积公式得到S1=BC?AM=sin50°，同样在Rt△DEN中得到DN=7sin50°，则S2=EF?DN=sin50°，于是可判断S1=S2．
【解答】解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，
在Rt△ABM中，∵sin∠B=，
∴AM=3sin50°，
∴S1=BC?AM=×7×3sin50°=sin50°，
在Rt△DEN中，∠DEN=180°﹣130°=50°，
∵sin∠DEN=，
∴DN=7sin50°，
∴S2=EF?DN=×3×7sin50°=sin50°，
∴S1=S2．
故选：D．
6．（2018?峄城区模拟）如图，四边形ABCD中∠DAB=60°，∠B=∠D=90°，BC=1，CD=2，则对角线AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】延长DC与AB交于一点K．解直角三角形求出DK，再求出AD，利用勾股定理求出AC．
【解答】解：延长DC交AB的延长线于点K；
在Rt△ADK中，∠DAK=60°∠AKD=30°，BC=1，∴，
∴DK=CD+CK=4，
∴AD==，
在△Rt△ADC中，
AC==，
故选：C．
7．（2018?长兴县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=，则BC=（ ）
A． B． C．6 D．8
【分析】由于在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA===，由此即可求出CB．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，
∴sinA===，
∴BC=6．
故选：C．
8．（2018?郴州模拟）△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义得出cosα=进而求出即可．
【解答】解：如图所示：∵AD=3，CD=4，
∴AC=5
∴cosα==．
故选：C．
9．（2018?杨浦区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠A=α，则CD长为（ ）
A．c?sin2α B．c?cos2α C．c?sinα?tanα D．c?sinα?cosα
【分析】根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=α，
sinα=，BC=c?sinα，
∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A=α，
在Rt△DCB中，∠CDB=90°，
cos∠DCB=，
CD=BC?cosα=c?sinα?cosα，
故选：D．
10．（2018?相山区三模）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，tanA=，则BC的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
【分析】根据题意可以设出BC和AC的长度，然后根据勾股定理可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，tanA=，
∴设BC=a，则AC=2a，
∴，
解得，a=2或a=﹣2（舍去），
∴BC=2，
故选：A．
11．（2018?瑞安市模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．
【解答】解：如图：作BD⊥AC于D，
，
BD=，AD=，
tanA=，
故选：A．
12．（2018?禅城区二模）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cosα的值即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=2，
根据勾股定理得：AB==2，
则cosα==，
故选：A．
13．（2018?孝感一模）如图，P是平面直角坐标系中第一象限内一点，OP=1，且OP与x轴正方向夹角为α，则P点关于x轴对称的点P′的坐标是（ ）
A．（cosα，sinα） B．（sinα，cosα） C．（cosα，﹣sinα） D．（sinα，﹣cosα）
【分析】作PQ⊥x轴于点Q，由PQ=OPsinα=sinα、OQ=OPcosα=cosα可得答案．
【解答】解：如图，作PQ⊥x轴于点Q，
∵sinα=、cosα=，OP=1，
∴PQ=OPsinα=sinα、OQ=OPcosα=cosα，
∴点P的坐标为（cosα，sinα），
则点P关于x轴的对称点的坐标为（cosα，﹣sinα）
故选：C．
14．（2018?丰南区二模）在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tanB的值．
【解答】解：如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，
过A作AD⊥BC于D，则BD=12，
在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，则，
AD==5，
故tanB=．
故选：B．
15．（2018?北仑区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】在Rt△AED中，sinA==，可以假设AD=15k，DE=9k，则AE=12k，利用平行线分线段成比例定理，求出BC，EC即可解决问题；
【解答】解：在Rt△AED中，∵sinA==，
∴可以假设AD=15k，DE=9k，则AE=12k，
∵AD：DB=3：2，
∴DB=10k，
∵DE∥BC，
∴==，
∴==，
∴BC=15k，AC=20k，
∴EC=AC﹣AE=8k，
∴tan∠CEB==，
故选：D．
16．（2018?龙岩模拟）如图，在△ABC中，若BC=3，AC=5，∠B=45°，sinA=，则AB=（ ）
A．7 B． C． D．
【分析】过C作CD⊥AB于D，于是得到∠BDC=∠ADC=90°，解直角三角形求出BD、AD即可；
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，
∴BD=CD=BC=3，
在Rt△ADC中，CD=AC?sinA=3，AD==4，
∴AD=BD+AD=3+4=7，
故选：A．
17．（2018?无锡模拟）如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（ ）
A．m=n B．x=m+n C．x＞m+n D．x2=m2+n2
【分析】如图所示，将△ABM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，连接NN′；证明△AMN≌△ANN′，则有MN=NN′；在Rt△NN'C′中，根据勾股定理可得结论．
【解答】解：∵tanB=tanC=tan∠MAN=1，
∴∠B=∠C=∠MAN=45°，
∵∠CAB=90°，
∴AC=AB，
将△BAM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，点B与点C重合，点M落在N′处，连接NN′，
则有AN′=AM，CN′=BM，∠1=∠3，
∵∠MCN=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠NAN′=∠MAN．
在△MAN与△NAN′中，
，
∴△MAN≌△NCN′（SAS），
∴MN=NN′．
由旋转性质可知，∠ACN′=∠B=45°，
∴∠NCN′=∠ACN′+∠ACB=90°，
∴NN'2=NC2+N'C2，
即x2=n2+m2，
故选：D．
18．（2018?增城区一模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】把∠ABC放在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出tan∠ABC的值即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，AD=2，BD=4，
则tan∠ABC===，
故选：A．
二．填空题
19．（2018?泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 S=x2 ．
【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x
∴DE=x，CE=x，
∴BE=10﹣x，
∴S△BED=×（10﹣x）?x=﹣x2+3x．
∵DF=BF，
∴S=S△BED=x2，
故答案为S=x2．
20．（2018?眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD= 2 ．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△OBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为：2
21．（2018?无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于 15或10 ．
【考点】KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，
在Rt△ACD中，∵AC=2，
∴CD===，
则BC=BD+CD=6，
∴S△ABC=?BC?AD=×6×5=15；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5，CD=，
则BC=BD﹣CD=4，
∴S△ABC=?BC?AD=×4×5=10．
综上，△ABC的面积是15或10，
故答案为15或10．
22．（2018?德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是 ．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
则sin∠BAC==，
故答案为：．
23．（2018?齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= 17或 ．
【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当四边形ABCD是凸多边形时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD=，
∴=，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD==5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCG+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠BCG，
∴=，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD==17，
当四边形ABCD′是凹多边形时，CD′==，
故答案为：17或．
24．（2018?官渡区二模）一般地，当α，β为任意角时，cos（α+β）与cos（α﹣β）的值可以用下面的公式求得
cos（α+β）=cosα?cosβ﹣sinα?sinβ；cos（α﹣β）=cosα?cosβ+sinα?sinβ．
例如：cos90°=cos（30°+60°）=cos30°?cos60°﹣sin30°?sin60°=×﹣×=0
类似地，可以求得cos15°的值是 （结果保留根号）．
【分析】把15°化为45°﹣30°，根据公式、代入特殊角的三角函数值，计算即可．
【解答】解：cos15°
=cos（45°﹣30°）
=cos45°?cos30°+sin45°?sin30°
=×+×
=，
故答案为：．
25．（2018?红河州二模）如图，若点A的坐标为（1，），则∠1= 60° ，sin∠1= ．
【分析】作AB⊥x轴于点B，由点A坐标得出OB、AB的长，利用勾股定理求得斜边OA的长，根据正弦函数的定义计算可得．
【解答】解：如图，作AB⊥x轴于点B，
∵点A的坐标为（1，），
∴OB=1、AB=，
则OA==2，
∵sin∠1==，
∴∠1=60°，
故答案为：60°、．
26．（2018?哈尔滨模拟）如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC= ．
【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．
【解答】解：∵∠B=90°，sin∠ACB=，
∴=，
∵AB=2，
∴AC=6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴AD===10，
∴cos∠ADC==．
故答案为：．
27．（2018?晋江市二模）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记||=a，则a的取值范围为 a≥ ．
【分析】当OA⊥AB时，a取最小值，在Rt△OAB中，利用勾股定理可得出OA的值，再通过解直角三角形可求出a的最小值，此题得解．
【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．
当OA⊥AB时，a取最小值．
在Rt△OAB中，OB=5，AB=3，
∴OA==4，
∴tan∠OBA==．
∴a=||==tan∠AOC=tan∠OBA=．
故答案为：a≥．
28．（2018?南岗区四模）在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD=，AB=5，AD=3，则BC长为 5或3 ．
【分析】分两种情形分别求解即可；
【解答】解：当高AD在△ABC内部时，
在Rt△ABD中，BD===4，
在Rt△ADC中，tan∠CAD==，
∴CD=1，
∴BC=BD+CD=4+1=5．
当高AD在△ABC′外部时，易知BC′=BD﹣DC′=4﹣1=3，
故答案为5或3
29．（2018?绥化模拟）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，AC=1，则∠ACB为 120或60 度．
【分析】作AD⊥BC于D，先在Rt△ABD中求出AD=，再在Rt△ACD中利用cosC==，可计算出∠C=60°，则可得到∠AC′D=60°，∠AC′B=120°．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，AC=AC′=1，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=，
∴AD=AB=，
在Rt△ACD中，
cosC==，
∴∠C=60°，
同理可得∠AC′D=60°，
∴∠AC′B=120°．
故答案为60°或120°．
30．（2018?湖州三模）如图，将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁掉四个梯形后，剩下部分恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为 36﹣12 ．
【分析】这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为6，宽为6减去两个等边三角形的高，再用长方形的面积公式计算即可求得答案．
【解答】解：∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，
∴这个正三角形的底面边长为2，高为=，
∴侧面积为长为6，宽为6﹣2的长方形，
∴面积为：6×（6﹣2）=36﹣12．
故答案为36﹣12．
31．（2018?海陵区二模）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC= ．
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设BC=a，利用勾股定理可得出BD=CD=a、AC=a，将其代入tan∠BAC=中即可求出结论．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，如图所示．
设BC=a，则BD=CD=a，AC=a，
∴tan∠BAC====．
故答案为：．
32．（2018?滨州模拟）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值 ．
【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：===，进而可得CE=x，DE=x，从而可求tan∠CAD==．
【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB=，即=，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴===，
∴CE=x，DE=x，
∴AE=，
∴tan∠CAD==，
故答案为．
33．（2018?隆回县二模）Rt△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高，若BC=4，，则BD的长为 ．
【分析】根据正弦函数可求得AB的长，再利用勾股定理可求得AC的长，再根据正弦函数即可求得CD的长，根据勾股定理不难求得BD的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC=4，，
∴AB=6，
∴AC=2，
∵CD是斜边AB上的高线，
∴CD=，
∴BD==．
故答案为：．
34．（2018?越秀区模拟）如图△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长为 4 ．
【分析】由于cos∠BDC=，可设DC=3x，BD=5x，由于MN是线段AB的垂直平分线，故AD=DB，AD=5x，又知AC=8cm，即可据此列方程解答．
【解答】解：∵cos∠BDC=，可
∴设DC=3x，BD=5x，
又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB=5x，
又∵AC=8cm，
∴3x+5x=8，
解得，x=1，
在Rt△BDC中，CD=3cm，DB=5cm，
BC==4．
故答案为4．
35．（2018?盐亭县模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D是AC上一点，过D作DE⊥BC于点E，若，则CE的长为 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=6，∠C=∠B=45°，根据三角函数的定义得到AD=，求得CD=，解直角三角形得到结论．
【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，
∴AB=AC=6，∠C=∠B=45°，
∵，
∴AD=，
∴CD=，
∵DE⊥BC，
∴CE=CD=，
故答案为：．
36．（2018?济宁模拟）如图所示，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=13，BC=10，则sinC= ．
【分析】根据DE是BC的垂直平分线，得到CE=BE=13，CD=BD=5，∠CDE=90°，由勾股定理得到DE=12，于是得到结论．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE=BE=13，CD=BD=5，∠CDE=90°，
∴DE==12，
∴sinC==，
故答案为：．