新湘教版 数学 八年级上 5.1二次根式（1） 教学设计
课题
5.1 二次根式（1）
单元
第五单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：了解二次根式的定义，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围；掌握二次根式的两条性质.
过程与方法：在探索活动中了解被开方数必须是非负数的理由，利用的意义确定字母的取值范围.
情感态度与价值观：通过二次根式性质介绍渗透对称性、规律性的数学美.
重点
二次根式概念的理解
难点
利用二次根式有意义的条件和性质解决实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，我们在第三章中，学习了有关平方根及算术平方根的内容，下面请同学们回想：
问题1、什么是平方根？算术平方根？应如何表示呢？
答案：如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫做a的一个平方根,也叫做二次方根.
我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根.
a的平方根表示为：
a的算术平方根表示为：
问题2、填空：5的平方根是_____，0的平方根是_____，正实数a的平方根是_____
答案：，0，
学生听老师的提问，然后回答问题.
通过回顾方根及算术平方根的内容，为二次根式的概念的教学做好铺垫.
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
说一说：运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送人环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数g≈9.8m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度v 是多少？
解：因为速度一定大于0，
所以第一宇宙速度
即：
例1：下列式子一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
答案：C
练习1：下列式子不一定是二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
例2：当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？
解：由x-1≥0，解得
x ≥ 1.
因此，当x≥1时，在实数范围内有意义.
练习2：式子有意义，则实数a的取值范围是( )
A．a≥－1 B．a≠2 C．a≥－1且a≠2 D．a＞2
提示：应满足的条件为：
即：a≥－1且a≠2
答案：C
回想：你还记得与的结果吗？它们有什么区别吗？
区别：平方在外面，直接去根号和平方.
平方在里面，要加绝对值，分类来讨论.
例3：计算
解：
例4：计算
解：
或
或
练习3：计算
解：
学生认真读题，然后利用算术平方根列出式子，并认真听老师讲解二次根式的概念及二次根式成立的条件.
学生根据二次根式的概念进行判断.
学生先小组讨论然后班内交流.
学生根据老师的提问回答问题
学生认真完成例题及练习题，在计算的过程中体现二次根式这两条性质的运用，然后听同伴的回答与老师的点评.
理解二次根式的概念及二次根式成立的条件.
加强学生对二次根式概念的理解.
加强对二次根式的被开方数是非负数的理解
对二次根式的两条性质进行巩固.
进一步提高学生运用二次根式的性质来解决实际问题的能力.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1.如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
答案：C
2．若，则a与3的大小关系是( )
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3
答案：D
3.计算：
解：
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
若，则x-y 的值为 ( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
解：因为与(y+3)2都是非负数，且它们的和为0，
所以，(y+3)2=0，
所以y+3=0，x+y-1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.
答案：C
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、什么是二次根式？
答案：我们把形如的式子叫作二次根式
注意：a≥0是为二次根式的前提条件
问题2、说一说二次根式的性质？
答案：
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第159页习题5.1A组第1、2、3题
能力作业
作业布置
当x是怎样的条件时，二次根式在实数范围内有意义？
答案：
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
5.1 二次根式（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．下列各式中，对于任意实数a都成立的是（ ）
A．a2=a B．(a)2=a C．(a)2=|a| D．a2=|a|
2．要使式子x+1x有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠0 C．x＞﹣1且≠0 D．x≥﹣1且x≠0
3．在函数y=x+?x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≤0 C．x=0 D．任意实数
4．若a+|a|=0，则a?22+a2等于（ ）
A．2﹣2a B．2a﹣2 C．﹣2 D．2
5．若x、y为实数，且|x+2|+y?2=0，则(xy)2018的值为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．计算的结果是______.
7．使得代数式1x?3有意义的x的取值范围是_____．
8．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+a2?4a+4=____．
9．若实数x,y满足4x?20?20?4x+y=4,则x+y=_____
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．计算：
11．阅读下面的文字后，解答问题.
某同学作业上做了这样一道题： “当a=时，试求a+a2?2?a+1的值.”
其中是被墨水弄污的. 该同学所求得的答案为12，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理.
12．已知实数a满足300?a+a?401=a，求a?3002的值。
试题解析
1．D
【解析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
解：A.a2=|a|，故此选项错误；
B.(a)2=a,(a≥0)，故此选项错误；
C. (a)2=a,(a≥0)，故此选项错误；
D.a2=|a|，正确.
故选：D.
2．D
【解析】根据二次根式由意义的条件是：被开方数大于或等于0，和分母不等于0，即可求解．
解：根据题意得：x+1≥0x≠0，
解得：x≥-1且x≠0．
故选：D．
3．C
【解析】当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．据此可得．
解：根据题意知x≥0?x≥0 ， 解得：x=0， 故选：C．
4．A
【解析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
解：∵a+|a|=0，
∴|a|=-a，
则a≤0，
故原式=2-a-a=2-2a．
故选A．
5．C
【解析】根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解：由非负数的性质可得：x+2=0，y-2=0，即x=-2，y=2，
∴(xy)2018=（-1）2018=1．
故选C．
6．3
【解析】根据二次根式的性质a2=a可求出结果.
解：（?3）2=3.故答案为3.
8．2
【解析】直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
解：由数轴可得：
0＜a＜2，则a+a2?4a+4
=a+（2?a）2
=a+（2﹣a）
=2．
故答案为：2．
9．9
【解析】先根据二次根式有意义的条件求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可．
解：∵实数x、y满足4x?20?20?4x+y=4，
∴4x?20≥020?4x≥0 ，
解得x=5，
∴y=4，
∴x+y=5+4=9．
故答案为：9．
10．（1）；（2）0.3
【解析】根据二次根式的性质进行化简即可．
解：
11．该同学所求得的答案为12肯定是不正确的，理由见解析.
【解析】根据二次根式的性质a2=|a|，可得答案．
解：不正确，当a<1时，a+a2?2a+1=a+?a?1?=a+1?a=1≠12；
当a≥1时，a+a2?2a+1=a+?a?1?=2a?1≥1>12.
因此，该同学所求得的答案为12肯定是不正确的.
12．401.
【解析】由二次根式有意义的条件可得出a的范围为a≥401，对方程去绝对值，整理得出a﹣3002=401.
解：由题意得：a﹣401≥0，
∴a≥401，
∴原方程可化为a﹣300+a?401=a，
∴3002=a﹣401，
∴a﹣3002=401.
课件21张PPT。二次根式（1）数学湘教版 八年级上新知导入1、什么是平方根？算术平方根？应如何表示呢？ 如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫做a的一个平方根,也叫做二次方根.
我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根.a的平方根表示为：a的算术平方根表示为：2、填空：
5的平方根是_____，0的平方根是_____，正实数a的平方根是_____0新知讲解 说一说：运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送人环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径
R之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速
度常数g≈9.8m/s2.若已知地球半径R，则第
一宇宙速度v 是多少？解：因为速度一定大于0，
所以第一宇宙速度 新知讲解 注意：由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义． 我们把形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作 ，称为a 的算术平方根；另一个是新知讲解例1：下列式子一定是二次根式的是( )
A. B.
C. D. C二次根式具备的特点：
1、根指数为2；2、被开方数必须是非负数.新知讲解练习1：下列式子不一定是二次根式的是( )
A. B.
C. D.A新知讲解例2：当x是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？ 解：由 x-1≥0，解得 x ≥ 1.因此，当x≥1时， 在实数范围内有意义.新知讲解练习2：式子 有意义，则实数a的取值范围是( )
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1且a≠2
D．a＞2C提示：应满足的条件为：即：a≥－1且a≠2 新知讲解回想：你还记得 与 的结果吗？它们有什么区别吗？平方在外面，
直接去根号和平方.平方在里面，
要加绝对值，分类来讨论.新知讲解例3：计算解：新知讲解例4：计算解：或或新知讲解练习3：计算解：课堂练习 1.如果式子 有意义，那么x的取值范围在数轴上表示正确的是( ) C课堂练习D 2．若 ，则a与3的大小关系是( )
A．a＜3 B．a≤3
C．a＞3 D．a≥3课堂练习3.计算：解：拓展提高若 ，则x-y 的值为 ( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7解：因为 与(y+3)2都是非负数，且它们的和为0，
所以 ，(y+3)2=0 ，
所以y+3=0，x+y-1=0，
解得y=-3，x=4，所以x-y=7.C课堂总结 1、什么是二次根式？
我们把形如 的式子叫作二次根式
注意：a≥0是 为二次根式的前提条件
2、说一说二次根式的性质？板书设计
课题：5.1二次根式（1）??
教师板演区?
学生展示区1.二次根式；
2.二次根式的条件；
3.二次根式的性质.基础作业
教材第159页习题5.1A组第1、2、3题
能力作业作业布置 当x是怎样的条件时，二次根式 在实数范围内有意义？
