含参数的二次函数最值问题（自制）

含参数的二次函数最值问题
高中数学教师欧阳文丰
二次函数图象及性质
解析式
开口 a>0 a<0

图象

对称轴
顶点坐标
最值
求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值或值域的一般方法是：
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
闭区间上二次函数的最值解题方法
探究1：若x∈[-1,1]，求函数y =x2+ax+3的最小值：
第一类： ：轴动、区间定型
综上所述：
当 时
f(x)min=f(1)=4+a
当-2当a≥2时
f(x)min=f(-1)=4-a
评注：探究1属于“轴动区间定”的问题，看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。
第一类： ：轴动、区间定型
典型例题讲解
典型例题讲解
解：由题知，
函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上

若 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1

若 ，则函数f(x)的最小值为

若 ，则函数f(x)的最小值为f(2)=3—4a.
所以，
1、求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最小值？
变式练习一
变式练习一
探究2：如何 求函数y=x2-2x-3，x∈[k,k+2]时的最值?
解析:
因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称
轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值,即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位置,则从以下几个方面解决如图:
第二类： ：轴定、区间动型
解：（1）当k+2≤1即k ≤-1时

f(x)min=f(k+2)
=（k+2)2-2(k+2)-3
=k2+2k-3
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
探究2：如何 求函数y=x2-2x-3，x∈[k,k+2]时的最值?
（2）当 k ＜1 ＜ k+2 时 即-1 ＜k ＜1时
f(x)min=f(1)=- 4
①当f(k)>f(k+2)时，
即k2-2k-3 > k2+2k-3 即-1f(x)max=f(k)=k2-2k-3
②当f(k) ≤f(k+2)时，
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3
=k2+2k-3
探究2：如何 求函数y=x2-2x-3，x∈[k,k+2]时的最值?
（3）当k ≥1时
f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
探究2：如何 求函数y=x2-2x-3，x∈[k,k+2]时的最值?
综上所述：
当k ≤-1时
当-1f(x)max=f(k)=k2-2k-3
当0≤ k<1时
f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3
f(x)min=f(1)=- 4
f(x)min=f(1)=- 4
f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
当k ≥1 时
f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
探究2：如何 求函数y=x2-2x-3，x∈[k,k+2]时的最值?
评注：探究2属于“轴定区间动”的问题，看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。
第二类： ：轴定、区间动型
，
解：
的对称轴是

当
即

的最小值是

当
，即

当

当
时，
时
，或
在区间
上是减函数
的最小值是
时，
在区间
上是增函数
的最小值是
例3、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
x∈[ t，t+1 ]，求函数f(x)的最小值；
典型例题讲解
典型例题讲解
变式练习二

解：
的对称轴是
当
，即
时，
的最大值是

当
，即
或
时；
当
时，
在区间
上是增函数
的最大值是

当
时，
在区间
上是减函数


的最大值是
变式练习二
本节课讨论了两类含参数的二次函数最值问题:
　　　(1)轴动区间定　　(2)轴定区间动
　　　核心思想仍然是判断对称轴与区间的相对位置，从中体会到数形结合思想、分类讨论思想。
小结：