2.4线段的垂直平分线同步检测
一、选择题
1.如图，△ABC，AB=AC，AD为△ABC的角平分线，过AB的中点E作AB的垂线交AC于点F，连接BF，若AB=5，CD=2，则△BFC的周长为（ ）
A.?7??????????B.?9???????C.?12?????????D.?14
2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（? ）
A.?30°???????B.?40°???????C.?50°?????????D.?60°
3.如图，在△ABC中，△ADE的周长为8，DH为AB的中垂线，EF垂直平分AC，则BC的长为（????）
A.?4????????B.?6????????C.?8????????D.?16
4.如图，在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，且AC=8，BC=6，则△BDC的周长为（ ）
A.?20????????B.?22??????????C.?10????? ????D.?14
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AB=6，则AE的值是（ ）
A.?3?????????????B.?2?????????????C.?3????????????D.?2
6.在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（ ） ???
A.?10°???????B.?15°???????C.?40°???? ????D.?50°
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AC交AB于点E，若BC=6，则DE的长为（?? ）
A.?6?????????B.?5???????????C.?4???????????D.?3
8.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（?? ）
A.?13????????B.?15??????????C.?17???????????D.?19
9.如图，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（ ）
A.?20°???????????B.?30°???????????C.?35°?????? ???????D.?40°
10.如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（?? ）
A.?12cm??????????????B.?10cm???????????C.?7cm???????????????????D.?5cm
二、填空题
11.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC中点．其中正确的命题序号是________．
12.如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=12，CF=3，则AC=________．
13.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，边AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠BCE等于________?°．
14.证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F． 求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P 证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点， ∴________?=________（________）． 同理可得，PB=________． ∴________?=________（等量代换）． ∴________（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________） ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且________．
15.线段的垂直平分线是________的点的集合．
16.一条线段的垂直平分线必定经过这条线段的________点，一条线段只有________条垂直平分线．
17.在等腰三角形ABC中，AB=AC=8cm，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于D，若△BCD的周长为10cm，则底边BC的长为________cm．?
18.在△ABC中，∠C=90°，∠B=∠22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，BC=2+2 ，则AC=________．
三、解答题
19.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF． （1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数； （2）若EF=4，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．
如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC． 求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
如图，△ABC中，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于点D，DE=6，BD=6 ，AE⊥BC于E，求EC的长．
已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F． 求证：∠BAF=∠ACF．
如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．
参考答案
一、选择题
1.B 2.B 3.C 4. D 5. B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.B
二、填空题
11.①②③ 12.15 13.60
14.PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；PA；PC；点P在AC的垂直平分线上；垂直平分线上；PA=PB=PC
15.到线段两个端点距离相等的 16.中；一 17.2 18.2
三、解答题
19.解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°， ∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°， ∵∠A=60°， ∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°， ∵FE是BC的中垂线， ∴FB=FC， ∴∠FCB=∠DBC=24°， ∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°； （2）过D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H， ∵BD平分∠ABC， ∴DG=DH， ∵EF⊥BC， ∴EF∥DH， ∴△BEF∽△BHD， ∴， ∵EF=4，BF：FD=5：3， ∴DH=． ∴DG=DH=， ∴点D到AB的距离=．
20.证明：∵AD是高，∴AD⊥BC， 又∵BD=DE， ∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线， ∴AB=AE， ∴AB+BD=AE+DE， 又∵AB+BD=DC， ∴DC=AE+DE， ∴DE+EC=AE+DE ∴EC=AE， ∴点E在线段AC的垂直平分线上
21.解：连接AD， ∵AB的垂直平分线交BC于点D， ∴BD=AD， ∵DE=6，BD=6 ， ∴AD=6 ， ∴∠ADE=45°， ∴∠B=22.5°，∵∠C=60°， ∴∠BAC=97.5°， ∵∠ADE=∠B+∠DAB=45°，AE⊥BC， ∴DE=AE=6， ∵∠C=60°， ∴∠CAE=90°﹣60°=30°， ∴AC=2CE， 在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2 ， 即4CE2=62+CE2 ， ∴CE2=12， 解得EC=2 ．
22.证明：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2， ∵FE是AD的垂直平分线， ∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）， ∴∠FAD=∠FDA（等边对等角）， ∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2， ∴∠BAF=∠ACF．
23.解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3cm， ∴AD=CD，AC=2AE=2×3=6cm， ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．
2.1三角形同步检测
一、单选题
1.小明与小王家相距5km，小王与小邓家相距2km，则小明与小邓家相距（ ）
A.?3km????B.?7km????C.?3km或7km?????D.?不小于3km也不大于7km
2.下列长度的各组线段首尾相接能构成三角形的是（?? ）
A.?3cm、5cm、8cm???????B.?3cm、5cm、6cm???????
C.?3cm、3cm、6cm???????D.?3cm、5cm、10cm
3.△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，则∠B的度数是（ ）
A.?50°????????B.?60°???????C.?70°????????D.?90°
4.图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（ ）
A.?1个?????????B.?2个?? ????C.?3个???????????D.?4个
5.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论： ①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC； ⑤∠BDC= ∠BAC． 其中正确的结论有（ ）
A.?2个????B.?3个?????C.?4个????D.?5个
6.下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(??? )
A.?1，2，6???????B.?2，2，4
C.?1，2，3???????D.?2，3，4
7.三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（?? ）
A.?直角三角形????????????B.?锐角三角形
C.?钝角三角形????????????D.?等腰三角形
8.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（?? ）
A.?三角形的稳定性????????????B.?两点之间线段最短
C.?两点确定一条直线???????????D.?垂线段最短
9.已知三角形两边的长分别是3和7，则第三边的长可以是（?? ）
A.?3???????B.?6?????C.?10????D.?16
10.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（?? ）
A.?5米???????B.?10米?????C.?15米????D.?20米
二、填空题
11.在△ABC中，∠C=90°，∠A：∠B=1：2，则∠A=________?度．
12.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=________度．
13.工人师傅砌墙的时候，常在长方形门框上斜定一根木条，他利用的原理是________?．
14.一个三角形的三个外角之比为5：4：3，则这个三角形内角中最大的角是________度．
15.一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为40cm和50cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是________．
16.△ABC中，BD是AC边上的高，∠ABD=70°，∠DBC=40°，则∠ABC=________度．
17.如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=________?度． ?
18.如图，由平面上五个点A、B、C、D、E连接而成，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________．
三、解答题
19.已知三角形的一个外角等于60°，且三角形中与这个外角不相邻的两个内角中，其中一个比另一个大10°，则这个三角形的三个内角分别是多少？
20.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC于D，求∠DBC的度数．
21.已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，△BCD为等边三角形，且AD=， 求梯形ABCD的周长
22.如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．
23.如图，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，求∠BDC的度数．
参考答案
一、单选题
1.D 2. B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.A 8.A 9.B 10. A
二、填空题
11.30 12.25 13.三角形的稳定性 14.90 15.10cm＜x＜90cm 16.110或30 17.50 18. 180°
三、解答题
19.解：设三角形中与这个外角不相邻的两个内角中较小的为x，则另一个为x+10． x+x+10=60°，解得x=25°． 所以三个内角分别是：120°，35°，25°
20.解：∵∠C=∠ABC=2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， ∴∠A=36°． ∴∠C=∠ABC=2∠A=72°． ∵BD⊥AC， ∴∠DBC=90°﹣∠C=18°
21.解： ∵△BCD是等边三角形， ∴∠2=60°，BC=CD=BD， ∵AD∥BC，∠A=90°， ∴∠ABC+∠A=180°， ∴∠ABC=90°， ∴∠1=90°﹣60°=30°， 在Rt△ABD中，∵∠1=30°，AD=， ∴BD=2AD=2， AB=tan30°?AD=， ∴梯形ABCD的周长=AD+AB+BC+CD=++2+2=+5．
22.解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°， ∴∠DAC=∠BAD=30°， ∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°， ∴∠B=50°， ∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°．
23.解：如图，连接AD并延长AD至点E， ∵∠BDE=∠BAE+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C ∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CAD+∠C+∠BAD+∠B=∠BAC+∠B+∠C ∵∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°， ∴∠BDC=90°+21°+32°=143°．
命题与证明同步检测
一、选择题
1.已知下列命题： （1 ）若a＞0，b＞0，则a+b＞0； （2 ）若a≠b，则a2≠b2； （3 ） 是2的平方根； （4 ）近似数0.030万，精确到十位； （5 ）代数式 +（3x﹣1）0中，x的取值范围是x≥ ． 其中真命题的个数是（?? ）
A.?5个??B.?2个??C.?3个???D.?4个
2.为了证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题，下列各数中可以作为反例的是（ ）
A.?32B.?16?C.?8???D.?4
3.下列命题中，真命题的个数是（?? ）①对角线互相平分的四边形是平行四边形． ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． ④顺次连接正方形各边中点，可得到一个正方形 ⑤顺次连接矩形各边中点，可得到一个矩形． ⑥菱形的两条对角线长分别为4和6，则这个菱形的面积为24 ⑦平行四边形的四条内角平分线所围成的四边形是矩形 ⑧若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是菱形．
A.?3个??B.?4个???C.?5个D.?6个
4.下列命题中，为真命题的是（?? ）
A.?有一组邻边相等的四边形是菱形 B.?有一个角是直角的平行四边形是矩形 C.?有一组对边平行的四边形是平行四边形 D.?对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5.下列语句中，不是命题的是（???）
A.?对顶角相等???B.?连接A,B两点???C.?钝角大于??D.?平角都相等
6.下列命题中，假命题的是（?? ）
A.?四边形的外角和等于内角和??B.?所有的矩形都相似
C.?对角线相等的菱形是正方形??D.?对角线互相垂直的平行四边形是菱形
7.下列定理有逆定理的是（ ）
A.?直角都相等B.?同旁内角互补，两直线平行
C.?对顶角相等D.?全等三角形的对应角相等
8.下列命题中，是真命题的是（?? ） ①正三角形都相似；②含45°的直角三角形都相似； ③含30°的直角三角形都相似；? ④直角三角形斜边上的高分原三角形成的两个小三角形相似；⑤菱形都相似；⑥矩形都相似；⑦正方形都相似；⑧圆形都相似．
A.?①②③④⑦⑧B.?①②③⑦⑧?
C.?②③⑥⑦⑧?D.?①④⑤⑦⑧
二、填空题
9.下列命题中正确的个数有________?个． ①如果单项式3a4by与2axb3cz是同类项，那么x=4，y=3，z=1； ②在反比例函数y=中，y随x的增大而减小； ③要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用抽样调查方式； ④从﹣3，﹣2，2，3四个数中任意取两个数分别作为k，b的值，则直线y=kx+b经过第一、二、三象限的概率是．
10.写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题：________．
11.命题“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式是?________它是?________命题（填“真”或“假”）．
12.命题“对顶角相等”的逆命题是________．
13.命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式________．
14.“等角对等边”的逆命题是________
15.命题“对顶角相等”的逆命题是________．
16.将命题“互为相反数的两个数之和等于零”写成：如果________那么________．
三、解答题
17.请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明． （1）若a＞b，则a2＞b2；?? （2）两个无理数的和仍是无理数； （3）若三角形三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则三角形是等边三角形； （4）若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．
18.证明命题“三角形的三内角和为180°”是真命题．
19.写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．
20.请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．
参考答案
一、选择题
1. C 2. D 3. B 4.B 5.B 6.B 7.B 8. A
二、填空题
9.2 10.对顶角相等
11.如果同旁内角互补，那么两直线平行；真 12.相等的角为对顶角
13.如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 14.等边对等角
15.相等的角为对顶角 16.两个数互为相反数；这两个数之和等于0
三、解答题
17. 解：（1）若a＞b，则a2＞b2 ， 是假命题，例如：0＞﹣1，但02＜（﹣1）2；? （2）两个无理数的和仍是无理数，是假命题，例如：﹣+=0，和是有理数； （3）若三角形三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则三角形是等边三角形，是假命题，例如：a=b，b≠c时，（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，三角形是等腰三角形； （4）若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形．
18.已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角， 求证：∠A+∠B+∠C=180°， 证明：作射线BD，过C点作CE∥AB，如图， ∵CE∥AB， ∴∠1=∠A，∠2=∠B， 而∠C+∠1+∠2=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°． 所以命题“三角形的三内角和为180°”是真命题． ?
19.解：逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角三角形． 已知，如图，△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于E，AD是∠CAB的角平分线，交BC于D，BE和AD相交于O点，且∠EOA=45°． 求证：△ABC是直角三角形 证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠CAB的角平分线， ∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA， ∴∠OAB+∠OBA=（∠CAB+∠CBA）， ∴180°﹣∠AOB=（180°﹣∠C）， ∴∠AOB=90°+∠C 又∵∠EOA=45°， ∴∠AOB=135°=90°+?∠C， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形．
20.解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；? 结论：这两个角相等 这个命题是真命题， 已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角 求证：∠3=∠4， 证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是的余角 ∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2， 又∠1=∠2∴∠3=∠4．
2.3等腰三角形同步检测
一、填空题
1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为D，且AD=4cm，则AC=________．
2.已知，如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=70°，则∠A=________°．
3.等腰三角形的腰长是6，则底边长a的取值范围是________?．
4.己知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=24°，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），直线________?即为所求． ?
5.等腰三角形顶角的度数为131°18′，则底角的度数为________．
6.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为________．
7.如图，在△ABC中BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=12，BC=16，则线段EF的长为________．
8.如图，已知△ABC是等边三角形，AB=5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD=________，∠ADF=________，BD=________，∠EDF=________．
二、选择题
9.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（?????? ）
A.?78°???????????????????????????????????????B.?75°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?45°
10.设计一张折叠型方桌子如图，若AO=BO=50cm，CO=DO=30cm，将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB应为（ ）
A.?60°?????????????????????????????????????B.?90°?????????????????????????????????????C.?120°???????????????????????????????????????D.?150°
11.如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为（ ）
A.?25°???????????????????????????????B.?130°???????????????????????????????C.?50°或130°???????????????????????????????D.?25°或130°
12.如图，AB∥CD，点E在BC上，CD=CE，若∠ABC=34°，则∠BED的度数是（ ）
A.?104°????????????????????????????????????B.?107°???????????????????????????????????C.?116°?????????????????????????????????????D.?124°
13.一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（ ）
A.?17??????????????????????????????????????B.?20??????????????????????????????????????C.?22??????????????????????????????????????D.?17或22
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，且BC＝6cm，则BD=（????? ）
15.如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1+∠2的度数为（?? ）
A.?180°????????????????????????????????????B.?220°????????????????????????????????????C.?240°????????????????????????????????????D.?300°
16.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于D,AB=4cm,则BD的长为（??? ）.
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?7
17.若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（?? ）
A.?75°或15°?????????????????????????????????B.?75°?????????????????????????????????C.?15°?????????????????????????????????D.?75°或30°
18.如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（?? ）
A.?4.5?????????????????????????????????????????B.?5?????????????????????????????????????????C.?5.5?????????????????????????????????????????D.?6
三、解答题
19.如图，已知房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
20.如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数． ?
21.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
22.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D， 求证：BC=3AD．
23.已知：如图，D、E是△ABC中BC边上的两点，AD=AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明． ?
参考答案
一、填空题
1.8cm 2.55 3.0＜a＜12 4.CD 5.24°21′ 6.8cm 7.2 8.30°；60°；2.5cm；120°
二、单选题
9.B 10.C 11.D 12.B 13.C 14.C 15.C 16.C 17.A 18. C
三、解答题
19.解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=?=40°； ∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=100°， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=50°．
20.解： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵BD=AD， ∴∠B=∠DAB， ∵AC=DC， ∴∠DAC=∠ADC=2∠B， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+2∠B=3∠B， 又∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴5∠B=180°， ∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
21.解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°， ∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°， ∴∠ACB=∠CAD， ∴AD=CD=20， 又∵∠ABD=90°， ∴AB=AD=10， ∴树的高度为10米．
22.证明：在△ABC中， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， 又∵AD⊥AC， ∴∠DAC=90°， ∵∠C=30° ∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°， ∴AD=DB， ∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD
23.解：本题答案不唯一，增加一个条件可以是：EC=BD，或AB=AC，或BE=CD，或∠B=∠C或∠BAD=∠CAE或∠BAE=∠CAD等 增加∠B=∠C证明过程如下： 证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED ∴∠ADB=∠AEC ∴△ABD≌△ACE（AAS） ∴∠BAD=∠CAE ∵∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE ∴∠BAE=∠CAD ∴△ABE≌△ACD（AAS）．
2.5全等三角形同步检测
一、选择题
1.如图，已知AB=AD，∠1=∠2=50°，∠D=100°，那么∠ACB的度数为（?? ）
A.?30?????B.?40??????C.?50????D.?60
2.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（???）
A.?甲和乙?????B.?乙和丙????C.?只有乙????D.?只有丙
3.已知△ABC≌△DEF，且∠A=100°，∠E=35°，则∠F=（ ）
A.?35°??????B.?45°?????C.?55°?????D.?70°
4.如图，点B、E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（ ）
A.?BC=FD，AC=ED???B.?∠A=∠DEF，AC=ED
C.?AC=ED，AB=EF? ?D.?∠ABC=∠EFD，BC=FD
5.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为（ ）
A.?3?????B.?5????C.?7????D.?3或7
6.已知△ABD≌△DEF，AB=DE，∠A=60°，∠E=40°，则∠F的度数为（?? ）
A.?30°?? ?B.?70°?? C.?80°?? D.?100°
7.如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（? ）
A.?AD=AE?????B.?∠AEB=∠ADC???C.?BE=CD????D.?AB=AC
8.如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE.其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（????）
A.?1个?????B.?2个??? C.?3个?????D.?4个
9.下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A.?一条边对应相等??????? ?B.?两条直角边对应相等
C.?一个锐角对应相等????????D.?两个锐角对应相等
10.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD， 其中正确的结论有（ ）
A.?0个????B.?1个???C.?2个???D.?3个
二、填空题
11.斜边和一条直角边分别?________的两个三角形全等（可以简写成“?________”或“HL”）．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD=2，则△ABD的面积为________?．
13.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE=?________
14.如图所示，△ABC和△A′B′C′是两个全等的三角形，其中某些边的长度及某些角已知，则x=________．
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是________ .
16.如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B=∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是 ?________（只填一个即可）
17.如图，AC⊥CB，AD⊥DB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是________．
18.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是________．（填写序号）
三、解答题
19.如图，已知△ACF≌△DBE，AD=9厘米，BC=5厘米，求AB的长．
20.如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．
如图，在△ABC中，∠A=90 ，BD是角平分线，DE⊥BC于点E,若AD=3，BC=4，求△BDC的面积．
22.如图，在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD，AG，则AG与AD有何关系？试给出你的结论的理由．
23.如图：已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
参考答案
一、选择题
1. A 2.B 3.B 4.C 5.D 6. C 7.B 8.D 9.B 10.D
二、填空题
11.对应相等；斜边、直角边 12.8 13.60° 14.60° 15.
16.OB=OD 17.AC=AD（答案不唯一） 18.①③④
三、解答题
19.解：∵△ACF≌△DBE， ∴CA=BD， ∴CA﹣BC=DB﹣BC， 即AB=CD， ∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4（cm）， ∴AB=2cm．
20.证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ECD， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（SAS）， ∴∠B=∠E
21.解： 因为∠A=90° 所以DA⊥AB 又BD是角平分线，且DE⊥BC于点E 所以DE=AD=3， 所以易得△BDC的面积为6
22.解：AG=AD，AG⊥AD， 理由是：∵在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高， ∴∠BFP=∠CEP=∠AFO=90°， ∴∠ABD+∠FPB=90°，∠ACG+∠EPC=90°， ∵∠FPB=∠EPC， ∴∠ACG=∠ABD， 在△ABD和△GCA中， ， ∴△ABD≌△GCA（SAS）， ∴AG=AD，∠AGC=∠BAD， ∵∠AFO=90°， ∴∠BAD+∠AOF=90°， ∴∠AGC+∠AOF=90°， ∴∠GAD=180°﹣90°=90°， ∴AG⊥AD．
23.证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴点D在∠BAC的平分线上．
2.6用尺规作三角形同步检测
一、选择题
1.下列作图语言规范的是（ ）
A.?过点P作线段AB的中垂线??????? B.?过点P作∠AOB的平分线 C.?在直线AB的延长线上取一点C，使AB=AC??D.?过点P作直线AB的垂线
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于 EF长为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线AG ， 交BC边于点D ． 则∠ADC的度数为（ ）
A.?40°????B.?55°???C.?65°???D.?75°
3.某探究性学习小组仅利用一副三角板不能完成的操作是（ ）
A.?作已知直线的平行线??????B.?作已知角的平分线
C.?测量钢球的直径?????? D.?作已知三角形的中位线
4.如图，已知△ABC ， ∠ABC=2∠C ， 以B为圆心任意长为半径作弧，交BA、BC于点E、F ， 分别以E、F为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两弧交于点P ， 作射线BP交AC于点，则下列说法不正确的是（ ）
A.?∠ADB=∠ABC????B.?AB=BD????C.?AC=AD+BD???D.?∠ABD=∠BCD
5.已知线段a，求作等边三角形ABC，使AB=a，作法如下：①作射线AM；②连结AC、BC；③分别以点A和点B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB，使AB=a．其合理顺序为（ ）
A.?①②③④????B.?①④②③
C.?①④③②????D.?②①④③
6.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，正确的个数为（ ）
A.?1个????B.?2个???C.?3个???D.?4个
7.根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是（?? ）
A.?用尺规作一条线段等于已知线段
B.?用尺规作一个角等于已知角
C.?用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D.?不能确定
8.观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（ ）
A.?PQ为∠APB的平分线?????????? B.?PA=PB
C.?点A、B到PQ的距离不相等??????????D.?∠APQ=∠BPQ
9.按下列条件画三角形，能唯一确定三角形形状和大小的是（ ）
A.?三角形的一个内角为60°，一条边长为3cm?
B.?三角形的两个内角为30°和70°
C.?三角形的两条边长分别为3cm和5cm
D.?三角形的三条边长分别为4cm、5cm和8cm
10.下列属于尺规作图的是（ ）
A.?用刻度尺和圆规作△ABC
B.?用量角器画一个300的角 C.?用圆规画半径2cm的圆
D.?作一条线段等于已知线段
二、填空题
11.一个三角形木板，去了一个角，你能作出所缺角的平分线所在的直线吗？?________（填“能”或“不能”）
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°． （1）请用直尺和圆规在边AC上作一点P，且使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；________? （2）当∠B=________? 度时，PA：PC=2：1．
13.下列语句是有关几何作图的叙述． ①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB ， 使∠AOB=∠1；④作直线AB ， 使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有________
14.用尺规作图作已知角∠AOB的平分线OC，其根据是构造两个三角形全等，用到的三角形全等的判定方法是________?
15.阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小芸的作法如下： 老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是________ .
16.如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若∠D=116°，则∠DHB的大小为 ?________度．
17.如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为?________
18.已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．①以点B为圆心，c为半径圆弧；②连接AB，AC；③作BC=a；④以C点为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A．作法的合理顺序是?________
三、解答题
19.如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）
20.作图题：已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=2∠AOB．
21.如图，已知AD∥BC，按要求完成下列各小题（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）用直尺和圆规作出∠BAD的平分线AP，交BC于点P． （2）在（1）的基础上，若∠APB=55°，求∠B的度数． （3）在（1）的基础上，E是AP的中点，连接BE并延长，交AD于点F，连接PF．求证：四边形ABPF是菱形．
22.如图，已知点E在直线AB外，请用三角板与直尺画图，并回答第（3）题： ①过E作直线CD，使CD∥AB； ②过E作直线EF，使EF⊥AB，垂足为F； ③请判断直线CD与EF的位置关系，并说明理由．
23.如图，已知∠α和∠β，线段c，用直尺和圆规作出△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c（要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写出作法）
24.按要求画图： （1）作BE∥AD交DC于E； （2）连接AC，作BF∥AC交DC的延长线于F； （3）作AG⊥DC于G．
参考答案
一、选择题
1.D 2. C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.C 8. C 9.D 10.D
二、填空题
11.能 12.；60 13.③⑤ 14.SSS
15.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．
16.32 17.65° 18.③①④②．
三、解答题
19.解：
20.解：作法： ①做∠DO'B'=∠AOB； ②在∠DO'B'的外部做∠A'OD=∠AOB，∠A'O'B'就是所求的角．
21.（1）解：如图，AP为所作； ? （2）解：∵AD∥BC， ∴∠DAP=∠APB=55°， ∵AP平分∠DAB， ∴∠BAP=∠DAP=55°， ∴∠ABP=180°﹣55°﹣55°=70°； （2）证明：∵∠BAP=∠APB， ∴BA=BP， ∵BE=FE，AE平分∠BAF， ∴△ABF为等腰三角形， ∴AB=AF， ∴AF=BP， 而AF∥BP， ∴四边形ABPF是平行四边形， ∵AB=BP， ∴四边形ABPF是菱形．
22.解：①、②如图所示： ③CD⊥EF． 理由：∵CD∥AB， ∴∠CEF=∠EFB， ∵EF⊥AB， ∴∠EFB=90°， ∴∠CEF=90°， ∴CD⊥EF．
23.解：如图，△ABC就是所求三角形．
24.解：（1）如图所示：BE即为所求； （2）如图所示：BF即为所求； （3）如图所示：AG即为所求．
