圆单元测试——圆周角与圆心角的关系(答案与解析)

圆单元测试2-圆周角与圆心角

题号 一 二 三 总分
得分


一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）
A.
B.
C.
D.



已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（　　）
A.
B.
C.
D.




如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）
A.
B. 4
C.
D. 8



如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.



半径为2cm?的⊙O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆周角度数为（　　）
A. B. C. 或 D. 或
如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（　　）
A.
B.
C.
D.




如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是（　　）
A. 4
B. 8
C. 6
D. 10



如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（　　）
A.
B.
C.
D.



如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（）

A.
B.
C.
D.



如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（　　）
A.
B. 5
C.
D.



如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（　　）
A.
B.
C.
D.






如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.




二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD=30°，则∠BOD=______°．






如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB=120°，则∠ACB=______度．





如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D=65°，则∠BAC等于______ 度．






如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ______ ．








三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．















如图，已知AD是圆O直径，点C在圆上，点B在线段AD延长线上，且∠A=∠B=30°，连接BC．
（1）证明：BC是圆O的切线；
（2）若圆O的半径为，点P是线段BC上的一个动点，连接DP，当直线DP为圆O的切线时，求线段DP的长．







如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．求证：


（1）DE⊥AE；
（2）AE+CE=AB．







如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．












如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=5，BC=6，求DE的长．















如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF=4，求AC的长度．















答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠ADC=α；而α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选：C．
设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即可解决问题．
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】
解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴=，
∴∠ADC=∠AOB=35°．
故选B．

3.【答案】C
【解析】
解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=OC=2，
∴CD=2CE=4．
故选：C．
根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
4.【答案】D
【解析】
解：∵AB⊥CD，
∴=，CE=DE，
∴∠BOC=2∠BAD=40°，
∴∠OCE=90°-40°=50°．
故选D．
先根据垂径定理得到=，CE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOC=40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
5.【答案】C
【解析】
解：连接OA，做OD⊥AB，

∵OA=2cm，AB=2cm，
∴AD=BD=，
∴AD：OA=：2，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AMB=60°，
∴∠ANB=120°．
∴弦AB所对的圆周角度数为60°或120°．
故选C．
首先根据题意画出图形，作OD⊥AB，通过垂径定理，即可推出∠AOD的度数，求得∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠AMB和∠ANB的度数
本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于根据题意正确的画出图形，运用圆周角定理和垂径定理认真的进行分析．
6.【答案】B
【解析】
解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE?cot60°=2×=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB-S△DOE+S△BEC=-OE×DE+BE?CE=-2+2=．
故选B．
方法二：证明△CEB≌△DEO（AAS），可得S阴影=S扇形ODB．
根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB-S△DOE+S△BEC．方法二：直接证明：S阴影=S扇形ODB．
考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
7.【答案】B
【解析】
解：连接OA，
∵半径OC⊥AB，
∴根据垂径定理可得AE=BE=AB，
∵OC=5，CE=2，
∴OE=3，
在Rt△AOE中，AE===4，
∴AB=2AE=8，
故选B．
连接OA，由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．
本题考查的是垂径定理和勾股定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=55°，
∴∠B=35°，
∴∠ADC=∠B=35°．
故选：C．
推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．
本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角．
9.【答案】C
【解析】
解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=60°．
故选：C．
连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．
本题考查了圆周角定理，解答本题的关键是掌握圆周角定理中在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
10.【答案】D
【解析】
解：连接OC、OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵AB为弦，点C为的中点，
∴OC⊥AB，
在Rt△OAE中，AE=，
∴AB=，
故选：D．
连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．
此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．
11.【答案】B
【解析】
解：连接BD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°．
∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．
∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，
∴cos∠BOC==，
∴cos∠A=cos∠BOC=．
又∵cos∠A=，AB=4，
∴AD=．
故选：B．
首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90°，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则cos∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．
本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用．此题是一个综合题，难度中等．
12.【答案】A
【解析】
解：当AB与小圆相切，
∵大圆半径为5，小圆的半径为3，
∴AB=2=8．
∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，
∴8≤AB≤10．
故选：A．
此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10．
本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．
13.【答案】120
【解析】
解：∵AC与⊙O相切，
∴∠BAC=90°，
∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
故答案为：120．
根据切线的性质求出∠BAC=90°，求出∠OAD=60°，根据圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD，代入求出即可．
本题考查了切线的性质和圆周角定理，能根据定理得出∠BAC=90°和∠BOD=2∠BAD是解此题的关键．
14.【答案】60
【解析】
解：∵∠AOB=120°，
∴∠ACB=120°×=60°，
故答案为：60．
根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．
此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15.【答案】25
【解析】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=65°，∠B与∠D是对的圆周角，
∴∠D=∠B=65°，
∴∠BAC=90°-∠B=25°．
故答案为：25．
由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB的度数，又由∠D=65°，即可求得∠B的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BAC的度数．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．
16.【答案】60°
【解析】
解：∵∠AOB=120°，点C在⊙O上，
∴∠ACB=∠AOB=60°．
故答案为：60°
根据∠AOB的度数利用圆周角定理，即可得出∠ACB的度数．
本题考查了圆周角定理，牢记“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”是解题的关键．
17.【答案】证明：如图，∵AB∥CE，
∴∠ACE=∠BAC．
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠C=∠CAD，
∴=，
∴+=+，
∴=，
∴AD=CE．
【解析】

欲证明AD=CE，只需证明=即可．如图，根据平行线的性质和角平分线的定义易证得∠C=∠CAD，所以=，则+=+，故=．
本题考查了圆周角、弧、弦间的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆周角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
18.【答案】（1）证明：连接OC．
∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC是圆O的切线；

（2）解：连接CD．
∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴DB=DC．
又∵在Rt△ACD中，DC=AD?sin30°=，
∴BD=，
∵直线DP为圆O的切线，
∴DP⊥AB，则△BDP∽△BCO，
∴=，
∵BC==3，
∴PD=×OC=×=1．
【解析】

（1）连接OC．欲证BC是圆O的切线，只需证明BC⊥OC；
（2）连接CD．通过相似三角形△BDP∽△BCO的对应边成比例列出比例式=，从而求得PD的长度．
本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质．判定切线时，经常作的辅助线是“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．
19.【答案】证明：（1）连接OD，如图1所示．
∵OA=OD，AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AE．
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，
∴DE=DM．
在△DAE和△DAM中，，
∴△DAE≌△DAM（SAS），
∴AE=AM．
∵∠EAD=∠MAD，
∴=，
∴CD=BD．
在Rt△DEC和Rt△DMB中，，
∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），
∴CE=BM，
∴AE+CE=AM+BM=AB．
【解析】

（1）连接OD，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE∥OD，结合切线的性质即可证出DE⊥AE；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，根据角平分线的性质可得出DE=DM，结合AD=AD、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质可得出AE=AM，由∠EAD=∠MAD可得出=，进而可得出CD=BD，结合DE=DM可证出Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），根据全等三角形的性质可得出CE=BM，结合AB=AM+BM即可证出AE+CE=AB．
本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：（1）利用平行线的判定定理找出AE∥OD；（2）利用全等三角形的性质找出AE=AM、CE=BM．
20.【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴．
【解析】

（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．
21.【答案】解：（1）相切，理由如下：
连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴CD=BD=BC．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED．
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°．
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．

（2）由（1）知∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理　得
AD==4．
∵SACD=AD?CD=AC?DE，
∴×4×3=×5DE．
∴DE=．
【解析】
【分析】
本题考查了切线的判定，连接OD，证得OD⊥DE是解题关键．
（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；
（2）根据勾股定理计算即可．
【解答】
?解：见答案.

22.【答案】解：（1）DE与⊙O相切．
证明：连接OD、AD，
∵点D是的中点，
∴=，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．

（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，
由垂径定理可得：OH⊥BC，，
∴，
∴DG=BC，
∴弦心距OH=OF=4，
∵AB是直径，
∴BC⊥AC，
∴OH∥AC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC=2OH=8．
【解析】

（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；
（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．

第8页，共18页
第1页，共18页