课件24张PPT。5.3 应用一元一次方程
——水箱变高了数学北师大版 七年级上新知导入 想一想放在手里的橡皮泥在手压前和手压后有何变化？
你发现了其中的相等关系吗？2、手压前后体积不变,重重不变思考：1、变胖了，变矮了.
（即高度和底面半径发生了改变.)新知讲解 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米?什么发生了变化？什么没有发生变化？想一想新知讲解 做一做 解：设水箱的高变为 xm，填写下表： 2m 1.6m 4m xm 等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积 π×22×4 π×1.62x新知讲解根据等量关系，列出方程：解方程得 x=6.25因此，高变成了 厘米 6.25等体积变形 = π×22×4 π×1.62x新知讲解 (1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各是多少？在这个过程中什么没有发生变化？长方形的周长(或长与宽的和)不变
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形. 做一做新知讲解x m(x+1.4) m等量关系：（长+宽）× 2=周长解： 设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 根据题意，得(x+1.4 +x) ×2 =10解得 x =1.8 1.8+1.4=3.2 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.新知讲解 (2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？x m(x+0.8) m解：设此时长方形的宽为xm，
则它的长为（x+0.8）m.根据题意，得(x+0.8 +x) ×2 =10解得 x=2.12.1+0.8=2.9新知讲解 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，
面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，
(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大
6.09－5.76=0.33(m2).新知讲解(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？x m(x +x) ×2 =10解得 x=2.5正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)解：设正方形的边长为xm.根据题意，得比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）正方形的边长为2.5m同样长的铁丝可以围更大的地方新知讲解1.83.22.12.92.52.5当周长不变时，围成正方形面积最大.新知讲解例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．解析: 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长． 试一试新知讲解解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.
根据题意，得答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，所以圆的面积大．正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)，所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.新知讲解(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程． 归纳(3)应用方程解决问题的一般步骤：
设：审清题意，把有关的量用含有未知数的代数式表示
列：根据等量关系列出方程
解：解方程
检：检验
答：作答课堂练习1.要锻造一个半径为5 cm，高为8 cm的圆柱毛坯，应截取半径为4 cm的圆钢的高度为( )
A．12.5 cm B．13 cm C．13.5 cm D．14 cmA2.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一条宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则原正方形的边长是( )
A．20 cm B．24 cm
C．48 cm D．144 cmB课堂练习3.将一个长、宽、高分别为15 cm、12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面为正方形且边长为12 cm的长方体零件钢坯，试问锻造前长方体钢坯表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大，请你计算比较．解：锻造前长方体的表面积为：
2×(15×12＋12×8＋15×8)＝792(cm2)，
设锻造后的长方体高为x，则15×12×8＝12×12x，
所以x＝10，
其表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝768 cm2，
所以原长方体的表面积大课堂练习4.一块长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱,圆柱的高是多少?拓展提高 一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米.你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？篱笆墙壁拓展提高解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米，
根据题意得：2x+（x+5）=35
解得：x=10．
因此小王设计的长为x+5=10+5=15（米），而墙的长度只有14米，小王的设计不符合实际的．
根据小赵的设计可以设宽为，y米，长为（y+2）米，
根据题意得2y+（y+2）=35
解得：y=11．
因此小王设计的长为y+2=11+2=13（米），而墙的长度只有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11 ×13=143（平方米）．课堂总结1.旧水箱容积=新水箱容积列方程的关键是正确找出等量关系。 3.长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时，面积最大。 2.线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变.应用一元一次方程解决实际问题的步骤: ①审 ②设 ③列 ④解 ⑤检 ⑥答 板书设计5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
1、列方程的关键是正确找出等量关系:
(1)旧水箱容积=新水箱容积
(2)线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变.
(3)长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，
当长与宽相等时，面积最大。
2、例题：
3、小结：作业布置随堂练习谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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北师大版数学七年级 5.3应用一元一次方程——水箱变高了教学设计
课题
5.3应用一元一次方程——水箱变高了
单元
第五单元
学科
数学
年级
七
学习
目标
1．通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力．
2．借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题]
3. 通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力．
4. 通过对实际问题的探讨，使学生在独立思考的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望．
重点
寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．
难点
寻找图形问题中的等量关系，建立方程．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
1、教师出示课件：
教师以“橡皮泥的变化”为情境引入：
思考：
1. 放在手里的橡皮泥在手压前和手压后有何变化？ 你发现了其中的相等关系吗？
1、变胖了，变矮了.
（即高度和底面半径发生了改变.)
2、手压前后体积不变,
重重不变
通过思考问题，引入本课：应用一元一次方程——水箱变高了。
学生思考橡皮泥的变化？交流、讨论、总结。从而引入应用一元一次方程——水箱变高了。
教师以“橡皮泥的变化”为载体，激发学生的学习兴趣,让让学生初步体会“形积变化”问题，同时简单地感受、分析出不变量与变量间的等量关系.把学生引入探究新解法的情境中,自然地引入本节课的课题——应用一元一次方程——水箱变高了.
讲授新课
2、出示课件
教师引导学生探索水箱容积不变，高度如何变化？
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米?
想一想：
什么发生了变化？
什么没有发生变化？
等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积
解：设水箱的高变为 xm，填写下表：
根据等量关系，列出方程：
π×22×4 = π×1.62x
解方程得 x=6.25
因此，高变成了6.25 厘米
等体积变形
做一做： 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各是多少？
/
等量关系：（长+宽）× 2=周长
解： 设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 根据题意，得
(x+1.4 +x) ×2 =10
解得 x =1.8
1.8+1.4=3.2
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
(2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
/
解：设此时长方形的宽为xm，
则它的长为（x+0.8）m.根据题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
解得 x=2.1
2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，
面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，
(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大
6.09－5.76=0.33(m2).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？
/
解：设正方形的边长为xm.根据题意，得
(x +x) ×2 =10
解得 x=2.5
正方形的边长为2.5m
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）
教师引导学生总结:
当周长不变时，围成正方形面积最大.
3、出示课件
试一试：
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
/
解析: 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.
根据题意，得
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．
所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)，
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，所以圆的面积大．
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
师生共同总结：注意事项
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；
(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
/
让学生自己通过观察,分析、交流、辩证、归纳，然后老师讲解，师生交流，总结应用一元一次方程——水箱变高了.
鼓励学生积极思考，自主解决问题，小组交流，总结发言，大胆提出自己的观点,教师及时鼓励和纠错。总结提高学生应用一元一次方程——水箱变高了的认知。
1.通过学生的观察、对比、分析和讨论，师生共同探究应用一元一次方程——水箱变高了，既可以培养学生观察、思考、分析、总结、归纳能力，又培养了学生的语言表达能力，体会到的形之间的变与不变的关系，量之间的等量关系抽象成数学问题，利用前几节学的解方程方法解决实际问题.
引导学生通过填表，找到等量关系，正确列出方程.同时还可以锻炼学生思维的主动性.
1、在解决实际问题的过程中,让学生体会应用一元一次方程——水箱变高了./在经历探索的过程中，增强学生数学理性思维问题的意识，规范的数学书写格式.
进一步培养学生经过观察、分析、归纳、总结等数学学习活动中发现数学思想与数学方法，也同时让学生感悟复杂的问题中的道理就在我们的生活中.
通过试一试有效地激发了学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性，一方面巩固学生对所学知识的掌握，另一方面充分利用情境，有助于学生发散思维能力的培养.
课堂
练习
1.要锻造一个半径为5 cm，高为8 cm的圆柱毛坯，应截取半径为4 cm的圆钢的高度为( A )
A．12.5 cm B．13 cm C．13.5 cm D．14 cm
2.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一条宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，则原正方形的边长是( B )
A．20 cm B．24 cm
C．48 cm D．144 cm
3.将一个长、宽、高分别为15 cm、12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面为正方形且边长为12 cm的长方体零件钢坯，试问锻造前长方体钢坯表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大，请你计算比较．
3.一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：锻造前长方体的表面积为：
2×(15×12＋12×8＋15×8)＝792(cm2)，
设锻造后的长方体高为x，则15×12×8＝12×12x，
所以x＝10，
其表面积为2×(12×12＋12×10＋12×10)＝768 cm2，
所以原长方体的表面积大
4.一块长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体橡皮泥,要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱,圆柱的高是多少?
解:设圆柱的高是x cm,根据题意,得
4×3×2=π×1.52x,
解得x= 32/3π.
答:圆柱的高是32/3π cm.
课堂小结
列方程的关键是正确找出等量关系。
1.旧水箱容积=新水箱容积
2.线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变.
3.长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时，面积最大。
应用一元一次方程解决实际问题的步骤:
①审 ②设 ③列 ④解 ⑤检 ⑥答
促进了学生的表达与交流，为后续学习打下基础。课件展示归纳使知识更系统化，便于学生记忆。?
板书
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
1、列方程的关键是正确找出等量关系:
(1)旧水箱容积=新水箱容积
(2)线段长度一定时，不管围成怎样的图形，周长不变.
(3)长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化， 当长与宽相等时，面积最大。
2、例题：
3、小结：
/
