江苏省徐州市2019届高三12月月考试题数学（小题解析）

江苏省徐州市2019届高三12月月考试题
数学Ⅰ试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1.设集合，，则＝ ▲ .
考点：集合的运算，绝对值不等式，二次函数的图象及性质。
答案：
解析：A＝，，
所以，＝
2.已知，其中为虚数单位，则= ▲ .
考点：复数的运算，复数相等的性质。
答案：2
解析：，
所以，m＝－1，n＝3，m+n＝2
3. 函数的定义域是，则函数的定义域为 ▲ ．
考点：函数的定义域，对数函数的性质。
答案：
解析：因为的定义域是，所以，
，所以，
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则角C= ▲ ．
考点：余弦定理。
答案：
解析：由余弦定理，得：cosC＝，
所以，C＝。

5. 如图，程序执行后输出的结果为 ▲ ．

考点：程序框图。
答案：60
解析：第1步：S＝5，a＝4；第2步：S＝20，a＝3；第3步：S＝60，a＝2；退出循环。
所以，S＝60。
6. 设函数（为常数， 且）的部分图象如图所示， 则的值为 ▲ ．


考点：三角函数的图象及其性质。
答案：
解析：由图可得：T＝，所以，，
又当x＝时，y取最小值，所以，，，
，即，因为，所以，＝。
7. 已知，，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为 ▲ ．
考点：几何概型。
答案：
解析：不等式所表示的平面区域如下图所示：

所求的概率为：P＝
8. 已知满足约束条件则的取值范围为 ▲ ．
考点：线性规划。
答案：
解析：不等式组所表示的平面区域如下图所示：

，等价于在平面区域内找一点P（x,y）与点D（－2,0）的斜率的倒数，
求出点A（1,2），C（1，），
kDA＝，kDC＝，斜率倒数的范围为：
所以，的取值范围为
9. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且在区间上是单调递增，若
，则的取值范围为 ▲ ．
考点：对数运算，函数的奇偶性，单调性。
答案：
解析：＝
＝1
所以，，化为：
，由函数是奇函数，得：，
∵函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是单调递增，
∴函数f（x）是在实数集R上单调递增
∴lgx-2＜-1，∴lgx＜1，∴0＜x＜10，
故答案为：（0，10）
10. 已知，则 ▲
考点：三角恒等变换，同角三角函数之间的关系。
答案：
解析：，
，所以，，所以，
＝＝。
11. 设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 ▲ .
考点：由数列的前项和为，求的通项公式，等比数列。
答案：
解析：（1）当n＝1时，，得：，
（2）当n＞1时，，所以，，即
，化为：－1，即2
所以，数列是以－2为首项2为公比的等比数列，
所以，，所以
12. 已知正实数满足，则的最小值为 ▲ ．
考点：一元二次不等式，配方法，换元法。
答案：
解析：化为:，
令令m=2（x+y），可化为，
去分母，得：，即：，
化为，
因为m为正数，所以，得：，
即：，所以，，
即的最小值为。
13. 已知函数,如果存在实数,其中,使得,则的取值范围是 ▲ ．
考点：对数函数的图象，分段函数图象，函数的导数及其应用。
答案：
解析：画出分段函数图象如下图，
存在实数,其中,使得，
如图可知：－2≤m≤－1，－1＜n≤e-2，
且，即：，
所以，，
＝0，得：n＝0，所以，
n (-1,0) 0 (0,e-2]
- 0 +
↘ ↗
所以，有最小值为：3－ln2，
又2，＜2
所以，的值域为


14. 设函数，则满足的的取值范围是 ▲ ．
考点：指数函数，函数的奇偶性，导数及其应用，对数函数，基本不等式等。
答案：
解析：函数的定义域为R，

所以，f(x)是R上的奇函数，所以：f(0)=0，
求导：f'(x)=＋－2≥2ln3－2＞0
所以，f(x)是R上的单调递增函数，
不等式，则有：
，或，
即：，或，
所以，x＞2或0＜x＜1

二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面平面，BC//平面PAD，,
．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．


16．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若m，n，试求|mn|的最小值．







17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆和轴正半轴分别交于点，．
（1）若，求直线的斜率；
（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值．


18．（本小题满分16分）
如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5千米，BC＝8千米，CD＝3千米．现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/小时．
（1）若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值
范围；
（2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．






19．（本小题满分16分）
设数列的前n项和为，数列满足: ,且数列的前n项和为.
(1)求的值；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为，求证：.





20．(本小题满分16分)
已知函数，．
（1）当时，求的单调增区间；
（2）若恰有三个不同的零点（）．
①求实数的取值范围；
②求证：．






第Ⅱ卷（附加题 共40分）
21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A．选修4—1　几何证明选讲
如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，连接AD交⊙O于E，若BD∥CE，
AB交CE于M，求证：


B．选修4—2　矩阵与变换
已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点．
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量．




C．选修4—4　参数方程与极坐标
已知圆的极坐标方程为，求的最大值.





D．选修4—5　不等式证明选讲
已知均为正数，求证：.








【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．(本小题满分10分)
设为整数，集合中的数由小到大组成数列．
（1）写出数列的前三项；
（2）求．










23．(本小题满分10分)
如图，过抛物线上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点
（1） 求的值；
（2） 若，求面积的最大值。




江苏省徐州市2019届高三12月月考试题
数学Ⅰ试卷参考答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15.证明：（1）因为BC//平面PAD，
而BC平面ABCD，平面ABCD平面PAD = AD，
所以BC//AD． …………………………………3分
因为AD 平面PBC，BC平面PBC，
所以平面．………………………………………………6分
（2）自P作PHAB于H，因为平面平面，且平面平面=AB，
所以平面．………………………………………9分
因为BC平面ABCD，所以BCPH．
因为,所以BCPB，
而，于是点H与B不重合，即PB PH = H．
因为PB，PH平面PAB，所以BC平面PAB．…12分
因为BC平面PBC，故平面PBC平面PAB．……………………………… 14分






16.解：（1）， ………………………3分
即，
∴，∴． ……………………………5分
∵，∴． ……………………………………7分
（2）mn ，
|mn|．…10分
∵，∴，∴．
从而． …………………………12分
∴当＝1，即时，|mn|取得最小值． ………13分
所以，|mn|． …………………………………………14分
17. 解：（1）依题意，椭圆的左顶点，
设直线的斜率为，点的横坐标为，
则直线的方程为．① …………………………… 2分
又椭圆：， ②
由①②得，，
则，从而． ………………………… 5分
因为，所以．
所以，解得（负值已舍）． ………………… 8分
（2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③
由②③得，． ……………………… 10分
从而 ………………………………… 12分

，即证． ………………………………… 14分
18.解：(1)由题意，可得AD＝12千米．
由题可知|－|≤， ··············································2分
解得≤v≤． ······································4分
(2) 解法一：经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．
由于先乙到达D地，故＜2，即v＞8． ······························6分
①当0＜vt≤5，即0＜t≤时，
f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝(v2－v＋36) t2．
因为v2－v＋36＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，
所以(v2－v＋36)×()2≤25，解得v≥． ···································9分
②当5＜vt≤13，即＜t≤时，
f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6) 2 (t－)2＋9．
因为v＞8，所以＜，(v－6) 2＞0，所以当t＝时，f(t)取最大值，
所以(v－6) 2 (－)2＋9≤25，解得≤v≤． ···························13分
③当13≤vt≤16， ≤t≤时，
f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2，
因为12－6t＞0，16－vt＞0，所以当f(t)在(，)递减，所以当t＝时，f(t)取最大值，
(12－6×)2＋(16－v×)2≤25，解得≤v≤．
因为v＞8，所以 8＜v≤． ······································16分

解法二：设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．
由于先乙到达D地，故＜2，即v＞8． ··································6分
以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系，
①当0＜vt≤5时，f(t)＝(vt－6t)2＋(vt)2．
由于(vt－6t)2＋(vt)2≤25，所以(v－6)2＋(v)2≤对任意0＜t≤都成立，
所以(v－6)2＋(v)2≤v2，解得v≥． ·······································9分
②当5＜vt＜13时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋32．
由于(vt－1－6t)2＋32≤25，所以－4≤vt－1－6t≤4对任意＜t＜都成立，
即eq \b\lc\{(\a\al(v－6≤，,－≤v－6，))对任意≤t≤都成立，
所以eq \b\lc\{(\a\al(v－6≤，,－≤v－6，))解得≤v≤． ······································13分
③当13≤vt≤16即≤t≤，此时f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2．
由①及②知：8＜v≤，于是0＜12－6t≤12－≤12－eq \F(78,)＝4，
又因为0≤16－vt≤3，所以f (t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2≤42＋32＝25恒成立．
综上①②③可知8＜v≤． ·······································16分
19. (1)由题意得: ;………………1分
当n=1时,则有: 解得: ;
当n=2时,则有: ,即,解得: ;
………………3分
(2) 由 ① 得:
② ………………4分
② - ①得: ,
即: 即:; ……………5分
,由知:
数列是以4为首项,2为公比的等比数列.…………………………………7分
(3)由(2)知: ,即……………………8分
当n≥2时, 对n=1也成立,
即(n………………………………………………………….…10分
数列为,它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；…………………11分
当n=2k-1 时,

…………………14分
当n=2k 时,

.……………………………………………………………16分






20.（1）当时，，定义域为．
．
所以，在上单调递增；
即的单调增区间为. …………………………………………3分
（2）①由题意可得，关于的方程在上有三个不同的解．
即关于的方程在上有三个不同的解．
令，．
所以． ………………………5分
显然，当时，，证明如下：
令，．
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
所以当时，取最小值．
所以，当时，． ………………………………………7分
令，可得或．
将x,h1(x),h(x)变化情况列表如下



极小值 极大值
又当
所以，实数的取值范围为． ………………………………10分
②由①可知，当时，．
令，则，
即，，． ……………12分
不妨设，则．
又，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
显然，当时，；当时，．
所以，． ……………………………………14分
所以

．
即． ………………………16分

附加题答案
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．(几何证明选讲，本小题满分10分)
解：连接CB
因为AB为⊙O的直径，BD是⊙O的切线，
所以
因为BD∥CE，所以
因为AB交CE于M，所以M为CE的中点，
所以AC=AE，……………………5分
因为BD是⊙O的切线，所以∠ABD=90°
因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°
所以∠ACB=∠ABD
因为，所以△ACB∽△ABD
所以，所以
即……………………10分

B．(矩阵与变换，本小题满分10分)
（1）由=，（2分） ∴. （3分）
（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为
（5分）
令，得矩阵的特征值为与4. （6分）
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; （8分）
当时，
∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为． （10分）

C．(极坐标与参数方程，本小题满分10分)
原方程化为
即………………………3分
∴圆的直角坐标方程为 ……………5分
圆心M(2 , 2)，半径为……………………7分
∴…………………10分

D．(不等式选讲，本小题满分10分)
证明:由柯西不等式得…………………5分
则,
即………………………10分

22．(本题满分10分)
∵为整数且，∴最小取2，此时符合条件的数有；…4分
，可在中取，符合条件有的数有；……5分
同理，时，符合条件有的数有；……6分
时，符合条件有的数有；……7分
时，符合条件有的数有；……8分
时，符合条件有的数有；……9分
因此，是中的最小值，即……10分

23．(本题满分10分)
⑴因为，在抛物线上，
所以， ，
同理，依题有，
因为，所以． ……………………………4分
⑵由⑴知，设的方程为，
到的距离为，，
所以=
， …………………………………………………8分
令，由，，可知．，
因为为偶函数，只考虑的情况，
记，，故在是单调增函数，故的最大值为，故的最大值为6．……………………10分





C

B

A

P

D

H