【易错题】冀教版九年级上第25章图形的相似单元检测试卷含解析

【易错题解析】冀教版九年级数学上册 第25章 图形的相似 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（　　）.
A.?15m?????????????????????????????????/B.?60m?????????????????????????????????/C.?20m?????????????????????????????????/D.?10 /m
2.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ， 下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ /= /?；④AB2=BD?BC ． 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（　　） /
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
3.线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（?? ）
A.?
5
?1
2
???????????????????????????/B.?
3?
5
2
???????????????????????????/C.?
5
?1
2
或
3?
5
2
???????????????????????????/D.?不能确定
4.如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD＝
1
2
OD′，则A′B′∶AB为( ??)/
A.?2∶3????????????????????????????????????/B.?3∶2????????????????????????????????????/C.?1∶2????????????????????????????????????/D.?2∶1
5.如图，l1∥l2∥l3 ， 其中l1与l2、l2与l3间的距离相等，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③
????
????
=
????
????
． 其中正确的有（　　）
/
A.?3个 B.?2个 ????C.?1个 ?D.?0个
6.如图，小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（?? ） /
A.?10m??????????????????????????????????????/B.?9m??????????????????????????????????????/C.?8m??????????????????????????????????????/D.?7m
7.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（　　）
A.?75cm，115cm???????????????/B.?60cm，100cm???????????????/C.?85cm，125cm???????????????/D.?45cm，85cm
8.如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM∶MC等于 (???? )/
A.?1∶2????????????????????????????????????/B.?1∶3????????????????????????????????????/C.?1∶4????????????????????????????????????/D.?1∶5
9.如图，在△??????中，点??、??分别在????、????上，????//????，若????=4，????=2，则
????
????
的值为（???? ）//
A.?
1
2
??????????????????????????????????????????/B.?
2
3
??????????????????????????????????????????/C.?
3
4
??????????????????????????????????????????/D.?2
10.（2017?贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是
1
2
，其中正确结论的个数是（?? ）
A.?2???????????????????????????????????????????/B.?3???????????????????????????????????????????/C.?4???????????????????????????????????????????/D.?5
二、填空题（共10题；共33分）
11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝10，BD＝5，AE＝6，则CE的长为________。//
12.在某天的同一时刻，高为 1.5?? 的小明的影长为 1?? ，烟囱的影长为 20?? ，则这座烟囱的高为________ ?? ．
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，
????
????
=
1
3
，则
????
????
=________．14.为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m．
15.如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10
2
．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是　________．///
16.一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍．________?（判断对错）
17.如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC=
10
，AC=5，那么△DBF的面积等于________．
18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC、OA，分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处，若OA=8，CF=4，则点E的坐标是________．19.正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tanB=2，则
????
????
的值为________?（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若
????′
????′
=
3
2
5
， 则tanB的值为________?//
20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论：①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的序号是________．三、解答题（共7题；共57分）
21.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．/?
22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ， 在近岸取点Q和S ， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T ， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R ． 如果测得QS=45m ， ST=90m ， QR=60m ， 求河的宽度PQ ． /?
23.如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且
????
????
=
1
3
， AE=EB．求证：△AED∽△CBD．?/
24.已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．（1）如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不谢画法，但要保留画图痕迹）；（2）若正三角形ABC的边长为3+2
3
， 则（1）中画出的正方形E′F′P′N′的边长 ．?/
25.如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且DAPQ=90°，AQ与BP相交于点T，则
????
????
的值为多少？/
26.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9．求：（1）求BF和BD的长度．（2）四边形BDEF的周长．?/
27.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．/
（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 /，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】3
12.【答案】30
13.【答案】
1
3

14.【答案】4.8
15.【答案】25
16.【答案】×
17.【答案】
45
16

18.【答案】(-10，3)
19.【答案】
1
3
；
3
4

20.【答案】①②③④
三、解答题
21.【答案】解答：由已知得，DG∥BC∴△ADG∽△ABC ， ∵AH⊥BC∴AH⊥DG于点M,且AM=AH-MH=80-40=40（m）/＝ /，即DG＝ /＝50（m），∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．
22.【答案】解答：根据题意得出：QR∥ST ， 则△PQR∽△PST ， 故 /= /，∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，∴ /= /，解得：PQ=90（m），∴河的宽度为90米．
23.【答案】证明：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠C=60°，BC=AB，∵AE=BE，∴CB=2AE，∵
????
????
=
1
3
，∴CD=2AD，∴
????
????
=
????
????
=
1
2
，而∠A=∠C，∴△AED∽△CBD．
24.【答案】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′=BF′=
3
3
x．∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+
3
3
x+
3
3
x=3+2
3
，∴解得：x=3，故答案为：3．?/
25.【答案】解：
6
5

26.【答案】解：（1）∵AE=2CE，∴
????
????
=
1
2
，∵EF∥AB∴
????
????
=
????
????
=
2
3
，∵BC=9，∴BF=6，∵DE∥BC∴
????
????
=
????
????
=
1
3
，∵AB=6，∴BD=2；（2）∵EF∥AB，DE∥BC∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD=EF=2，DE=BF=6，∴四边形BDEF的周长2（2+6）=16．
27.【答案】（1）解：如图1，/设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，∴AE=AD-ED=80-x，∵ ????∥???? ，∴ △??????～△?????? ，∴
????
????
=
????
????
，即
??
120
=
80???
80
，解得x=48．∴加工成的正方形零件的边长是48mm（2）解：如图2，/设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，∵ ????∥???? ，∴ △??????～△?????? ，∴
????
????
=
????
????
，即
2??
120
=
80???
80
，解得： ??=
240
7
，∴ 2??=
480
7
，∴这个矩形零件的两条边长分别为
240
7
mm，
480
7
mm（3）解：如图3，/设PN=x(mm)，矩形PQMN的面积为S (??
??
2
) ，由条件可得 △??????～△?????? ，∴
????
????
=
????
????
，即
??
120
=
80?????
80
，解得： ????=80?
2
3
?? ．则 ??=?????????=??(80?
2
3
??)=?
2
3
??
2
+80??=?
2
3
(???60)
2
+2400 ，故S的最大值为 2400??
??
2
，此时 ????=60???? ， ????=80?
2
3
×60=40(????)
【易错题解析】冀教版九年级数学上册 第25章 图形的相似 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（　　）.
A.?15m?????????????????????????????????/B.?60m?????????????????????????????????/C.?20m?????????????????????????????????/D.?10 /m
【答案】A
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】设这棵树的高度为xm，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子的比值是相同的得： /＝ /，∴x= /=15∴这棵树的高度是15m．故选A．【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
2.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ， 下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ /= /?；④AB2=BD?BC ． 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（　　） /
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】解答：（1）∠B+∠DAC=90°，该条件无法判定△ABC是直角三角形；（2）∵∠B=∠DAC ， ∠BAD+∠B=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；（3） /= /，该条件无法判定△ABC是直角三角形；（4）∵AB2=BD?BC ， ∴ /= /，∵∠B=∠B ， ∴△ABD∽△CBA ， ∴∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；故选 B分析：对题干中给出的条件逐一验证，证明∠BAC=90°即可解题．
3.线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是（?? ）
A.?
5
?1
2
???????????????????????????/B.?
3?
5
2
???????????????????????????/C.?
5
?1
2
或
3?
5
2
???????????????????????????/D.?不能确定
【答案】C
【考点】黄金分割
【解析】【解答】解：设MP=x，则PN=1﹣x，根据题意得
??
1???
=
1???
1
， 解得，x=
3?
5
2
或
3+
5
2
＞1（不合题意，舍去），又因为题中没强调MP是长的一段还是短的一段，所以MP的长也可以为1﹣
3?
5
2
=
5
?1
2
．故选C．【分析】根据黄金分割点的概念，结合题目要求，列出方程求解即可．
4.如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD＝
1
2
OD′，则A′B′∶AB为( ??)/
A.?2∶3????????????????????????????????????/B.?3∶2????????????????????????????????????/C.?1∶2????????????????????????????????????/D.?2∶1
【答案】D
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比.∴A′B′：AB=OD′：OD=2：1.故答案为：D.【分析】由题，根据OD与OD′的数量关系，可以得出两个图形的位似比。
5.如图，l1∥l2∥l3 ， 其中l1与l2、l2与l3间的距离相等，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③
????
????
=
????
????
． 其中正确的有（　　）
/
A.?3个
???????????????????????????????????????B.?2个
???????????????????????????????????????C.?1个
???????????????????????????????????????D.?0个
【答案】A
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：l1与l2、l2与l3间的距离为l，则△ADE和△ABC分别是l，2l，
∵l1∥l2∥l3 ，
∴△ADE∽△ABC，
∴故选项②正确．
∵△ADE∽△ABC，
∴
????
????
=
????
????
，
∴故选项③正确，
∵△ADE∽△ABC，
????
????
=
1
21
=
1
2
，
即BC=2DE，
故正确的有3个，
故选：A．
【分析】根据l1∥l2∥l3判断△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质对所给命题进行判断．
6.如图，小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（?? ） /
A.?10m??????????????????????????????????????/B.?9m??????????????????????????????????????/C.?8m??????????????????????????????????????/D.?7m
【答案】B
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形， 若设旗杆高x米，则
2.4
??
=
8
8+22
，∴x=9．故选B．【分析】利用相似三角形对应边成比例解题．
7.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（　　）
A.?75cm，115cm???????????????/B.?60cm，100cm???????????????/C.?85cm，125cm???????????????/D.?45cm，85cm
【答案】A
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8=5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm，5×23=115cm．故选A．【分析】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．
8.如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM∶MC等于 (???? )/
A.?1∶2????????????????????????????????????/B.?1∶3????????????????????????????????????/C.?1∶4????????????????????????????????????/D.?1∶5
【答案】B
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据中位线定理证明△NDM∽△NBC后求解．
【解答】∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，∴DM∥BC，DM=ME=
1
4
BC．∴△NDM∽△NBC，
????
????
=
????
????
=
1
4
．∴
????
????
=
1
3
．
故选：B
【点评】本题考查了三角形中位线定理及相似三角形的性质．
9.如图，在△??????中，点??、??分别在????、????上，????//????，若????=4，????=2，则
????
????
的值为（???? ）/
A.?
1
2
??????????????????????????????????????????/B.?
2
3
??????????????????????????????????????????/C.?
3
4
??????????????????????????????????????????/D.?2
【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由????//????可证得△??????～△??????，再根据相似三角形的性质求解即可。【解答】∵????//????∴△??????～△??????∵????=4，????=2∴
????
????
=
????
????
=
4
6
=
2
3
故选B。【点评】相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握。
10.（2017?贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是
1
2
，其中正确结论的个数是（?? ） /
A.?2???????????????????????????????????????????/B.?3???????????????????????????????????????????/C.?4???????????????????????????????????????????/D.?5
【答案】D
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°， ∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2 ， ∴AN2+CM2=MN2 ， 故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2﹣x，∴△MNB的面积=
1
2
x（2﹣x）=﹣
1
2
x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值
1
2
，此时S△OMN的最小值是1﹣
1
2
=
1
2
，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：D．/【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
二、填空题（共10题；共33分）
11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝10，BD＝5，AE＝6，则CE的长为________。/
【答案】3
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】根据平行线分线段成比例定理即由DE∥BC，可直接得
????
????
=
????
????
，即
10
5
=
6
????
，解得EC=3．【分析】运用平分线分线段成比例，列出比例等式求CE的长即可。
12.在某天的同一时刻，高为 1.5?? 的小明的影长为 1?? ，烟囱的影长为 20?? ，则这座烟囱的高为________ ?? ．
【答案】30
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解: 设烟囱的高为x， 由题意得：
1.5
1
=
??
20
，
∴x=30
∴烟囱的高为30米．
故答案为：30.
【分析】根据同一时刻，同一地点同一水平面上，不同物体的高度与影长成比例，即可列出方程，求解即可。
13.如图，在△ABC中，DE∥BC，
????
????
=
1
3
，则
????
????
=________．/
【答案】
1
3

【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴
????
????
=
????
????
=
1
3
．故答案为：
1
3
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解。
14.为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m．
【答案】4.8
【考点】相似三角形的应用，平行投影
【解析】【解答】解：设此树的高度是hm，则
1.6
1.2
=
?
3.6
，解得h=4.8（m）． 故答案为：4.8．【分析】设此树的高度是hm，再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
15.（2015?佛山市）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10
2
．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是　________．/
【答案】25
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2 ， ∵AB=BC，AC=10
2
．∴2AB2=200，∴AB=BC=10，设EF=x，则AF=10﹣x∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC∴
????
????
=
????
????
，即
x
10
=
10???
10
，∴x=5，∴EF=5，∴此正方形的面积为5×5=25．故答案为25．【点评】主要考查了正方形基本性质和比例线段的运用．解题的关键是准确的找到相似三角形并根据其相似比列方程求解．
16.一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍．________?（判断对错）
【答案】×
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍，错误．故答案为：×．【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．　
17.如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC=
10
，AC=5，那么△DBF的面积等于________． /
【答案】
45
16

【考点】相似三角形的性质，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△BDC∽△ABC， ∴
????
????
=
????
????
，∠CBD=∠A，∴CD=
??
??
2
????
，∵BC=
10
，AC=5，∴CD=2，∴AD=3，∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，/∴∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，∴∠EBF=∠CBD，∴∠EBF=∠A，∴BE∥AC，∴∠ADF=∠E，∴∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，∴EF=BF，AF=DF，∴AF+BF=EF+DF，即AB=DE=AC=5，∵AD∥BE，∴△ADF∽△BEF，∴
????
????
=
????
????
=
3
5
，∴
????
????
=
3
8
，过A 作AH⊥BC于H，∴AH=
5
2
?
(
10
2
)
2
=
3
10
2
，∵S△BDE=S△ABC=
1
2
×
10
×
3
10
2
=
15
2
，∴△DBF的面积=
3
8
S△ABC=
45
16
．故答案为：
45
16
．【分析】根据相似三角形的性质得到
????
????
=
????
????
，∠CBD=∠A，得到CD=2，AD=3，根据旋转的性质得到∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，得到∠EBF=∠A，根据平行线的判定和性质得到∠ADF=∠E，等量代换得到∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，根据等腰三角形的判定得到EF=BF，AF=DF，得到AB=DE=AC=5，根据相似三角形的性质得到
????
????
=
3
8
，过A 作AH⊥BC于H，于是得到结论．
18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC、OA，分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处，若OA=8，CF=4，则点E的坐标是________．/
【答案】(-10，3)
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCO中，∴CE∥AO.∴△CEF∽△OFA.∴
????
????
=
????
????
.又∵OA=8，CF=4.∴OF=2CE.设CE=x，则BE=8-x.根据折叠的性质，可得EF=8-x.∴
??
2
+
4
2
=
(8???)
2
，∴x=3，∴OF=6，∴OC=10，∴点E的坐标为（-10，3）.故答案为：（-10，3）【分析】根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得 x 2 + 4 2 = ( 8 ? x ) 2 ，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.
19.正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tanB=2，则
????
????
的值为________?（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若
????′
????′
=
3
2
5
， 则tanB的值为________?/
【答案】
1
3
；
3
4

【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】解：（1）∵四边形CEDF为正方形，∴ED=EC，∠CED=90°，在Rt△BDE中，∵tanB=
????
????
=2，∴DE=2BE，∴/（2）连结DC、DC′，如图，∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，∴DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，即/∴△DBB′∽△DCC′，∴
????
????
=
????′
????′
=
3
2
5
设DC=3
2
x，BD=5x，∵四边形CEDF为正方形，∴DE=3x，在Rt△BDE中，BE=/∴tanB=/故答案为
1
3
，
3
4
． /【分析】（1）由正方形的性质得ED=EC，∠CED=90°，再在Rt△BDE中，利用正切的定义得到DE=2BE，则CE=BE，所以
????
????
=
1
3
；???????????? （2）连结DC、DC′，如图，根据旋转的性质得DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，则可判断△DBB′∽△DCC′，根据相似三角形的性质得
????
????
=
????′
????′
=
3
2
5
， 则可设DC=3
2
x，BD=5x，然后利用正方形性质得DE=3x，接着利用勾股定理计算出BE=4x，最后根据正切的定义求解．
20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论：①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的序号是________．/
【答案】①②③④
【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：/⑴结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，{
????=????
∠??????=∠??=45°
????=????
，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；⑵结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，???????????????????????????????? ∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；⑶结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，{
????=????
∠??????=∠??????
????=????
，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；⑷结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=
1
2
∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故答案为：①②③④【分析】 结论①正确，证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确，由△ACM≌△ABF得出∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF，结论③正确，证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确，证法一：利用四点共圆，证法二：利用三角形全等。
三、解答题（共7题；共57分）
21.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．/?
【答案】解答：由已知得，DG∥BC∴△ADG∽△ABC ， ∵AH⊥BC∴AH⊥DG于点M,且AM=AH-MH=80-40=40（m）/＝ /，即DG＝ /＝50（m），∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG∥EF ， 此时有∠ADG=∠B ， ∠AGD=∠C ， 所以△ADG∽△ABC ， 利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积．
22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ， 在近岸取点Q和S ， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T ， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R ． 如果测得QS=45m ， ST=90m ， QR=60m ， 求河的宽度PQ ． /?
【答案】解答：根据题意得出：QR∥ST ， 则△PQR∽△PST ， 故 /= /，∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，∴ /= /，解得：PQ=90（m），∴河的宽度为90米．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出 /= /，进而代入求出即可．
23.如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且
????
????
=
1
3
， AE=EB．求证：△AED∽△CBD．?/
【答案】证明：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠C=60°，BC=AB，∵AE=BE，∴CB=2AE，∵
????
????
=
1
3
，∴CD=2AD，∴
????
????
=
????
????
=
1
2
，而∠A=∠C，∴△AED∽△CBD．
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=60°，BC=AB，由AE=BE可得到CB=2AE，再由
????
????
=
1
3
得到CD=2AD，则
????
????
=
????
????
， 然后根据两边及其夹角法可得到结论．
24.已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．（1）如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，画出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不谢画法，但要保留画图痕迹）；（2）若正三角形ABC的边长为3+2
3
， 则（1）中画出的正方形E′F′P′N′的边长 ．?/
【答案】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，∵△ABC为正三角形，∴AE′=BF′=
3
3
x．∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+
3
3
x+
3
3
x=3+2
3
，∴解得：x=3，故答案为：3．?/
【考点】位似变换
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长．
25.如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且DAPQ=90°，AQ与BP相交于点T，则
????
????
的值为多少？/
【答案】解：
6
5

【考点】平行线的判定，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解 ： 过点B作BE⊥AQ于点E，过点 P作PH⊥AQ于点H,??/设正方形的边长是2.则DP=CP=1，AD=2.∴AP=
5
∵∠APQ=90°,∴∠APD+∠CPQ=90° ， 又∵∠APD+∠PAD=90° ， ∴∠PAD=∠CPQ,∵∠C=∠D ;∴△ADP∽△PCQ.∴AD:PC=AP:PQ=DP:CQ.即2:1=
5
:PQ=1:CQ，所以PQ=
5
2
， CQ=0.5.BQ=2?0.5=1.5.∴AQ=
5
2
S△ABQ=
1
2
AB×BQ=
1
2
AQ×BEBE=
????·????
????
=
6
5
S△APQ=
1
2
AP×PQ=
1
2
AQ×PH，PH=
????·????
????
=1;又BE⊥AQ，PH⊥AQ，∴BE∥PH;∴△BET∽△PHT，BT:PT=BE:PH=6:5.【分析】 过点B作BE⊥AQ于点E，过点 P作PH⊥AQ于点H, 设正方形的边长是2.则DP=CP=1，AD=2.根据勾股定理得出AQ的长度，根据平角的定义，及直角三角形两锐角互余得出∠APD+∠CPQ=90°，∠APD+∠PAD=90°，根据同角的余角相等得出∠PAD=∠CPQ,从而判断出△ADP∽△PCQ.根据相似三角形对应边成比例得出AD:PC=AP:PQ=DP:CQ.从而得出PQ.CQ,BQ,AQ,的长度，根据面积法得出BE,PH的长度，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出BE∥PH;根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似，得出△BET∽△PHT，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比得出结论。
26.如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE=2CE，AB=6，BC=9．求：（1）求BF和BD的长度．（2）四边形BDEF的周长．?/
【答案】解：（1）∵AE=2CE，∴
????
????
=
1
2
，∵EF∥AB∴
????
????
=
????
????
=
2
3
，∵BC=9，∴BF=6，∵DE∥BC∴
????
????
=
????
????
=
1
3
，∵AB=6，∴BD=2；（2）∵EF∥AB，DE∥BC∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD=EF=2，DE=BF=6，∴四边形BDEF的周长2（2+6）=16．
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；（2）先证明四边形BDEF是平行四边形，得出对应边相等，即可得出结果．
27.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．/
（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？
（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 /，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．
（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【答案】（1）解：如图1，/设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，∴AE=AD-ED=80-x，∵ ????∥???? ，∴ △??????～△?????? ，∴
????
????
=
????
????
，即
??
120
=
80???
80
，解得x=48．∴加工成的正方形零件的边长是48mm（2）解：如图2，/设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，∵ ????∥???? ，∴ △??????～△?????? ，∴
????
????
=
????
????
，即
2??
120
=
80???
80
，解得： ??=
240
7
，∴ 2??=
480
7
，∴这个矩形零件的两条边长分别为
240
7
mm，
480
7
mm（3）解：如图3，/设PN=x(mm)，矩形PQMN的面积为S (??
??
2
) ，由条件可得 △??????～△?????? ，∴
????
????
=
????
????
，即
??
120
=
80?????
80
，解得： ????=80?
2
3
?? ．则 ??=?????????=??(80?
2
3
??)=?
2
3
??
2
+80??=?
2
3
(???60)
2
+2400 ，故S的最大值为 2400??
??
2
，此时 ????=60???? ， ????=80?
2
3
×60=40(????)
【考点】相似三角形的判定与性质，配方法的应用
【解析】【分析】（1）设正方形的边长为x，则PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，由△APN ～ △ABC，根据相似三角形的性质可得
????
????
=
????
????
,代入可得x。（2） 设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，由△APN～△ABC，根据相似三角形性质可得，
????
????
=
????
????
， 代入求得PQ，再求得PN。（3） 根据相似三角形的性质可得
????
????
=
????
????
， 用含有x的代数式表示PQ，再表示面积S，最后配方求得S的最大值。