【易错题解析】苏科版九年级数学下册 第六章 相似 单元测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则 DEBC 的值为（?? ）
A.?12??????????????????????????????????????????B.?13??????????????????????????????????????????C.?14??????????????????????????????????????????D.?19
2.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6， ADAB=37 ，则EC的长是（?? ?）
A.?4.5????????????????????????????????????????B.?8????????????????????????????????????????C.?10.5????????????????????????????????????????D.?14
3.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（?? ）
A.?24m????????????????????????????????????B.?25m????????????????????????????????????C.?28m????????????????????????????????????D.?30m
4.在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为5cm，则甲、乙两地的实际距离是（ ? ? ? ）
A.?250km????????????????????????????????B.?25km????????????????????????????????C.?2.5km????????????????????????????????D.?0.25km
5.如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于（ ）
?
A.?b2c ?B.?b2a ???C.?abc ?D.?a2c
6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=42，则△CEF的周长为（???????）
A.?8????????????????????????????????????????B.?9.5????????????????????????????????????????C.?10????????????????????????????????????????D.?11.5
7.如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，AE与CD相交于F，则图中的相似三角形共有（ ）
?
A.?2对 ??B.?3对 ??C.?4对 ???D.?5对
8.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（?? ）
A.?AEAB=EFCF???????????????????????B.?CDBE=CFEC???????????????????????C.?AEAB=AFDF???????????????????????D.?AEAB=AFBC
9.如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（?）
A.?8对；??????????????????????????????????B.?6对；??????????????????????????????????C.?4对；??????????????????????????????????D.?2对．
10.如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论： ①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2 ， 其中正确的有（?? ）个．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题（共10题；共30分）
11.已知 ab = 34 ，则 3a?2bb =________．
12.已知线段AB=20, 点C是线段 AB 上的黄金分割点(AC＞BC)，则 AC 长是________(精确到0.01) ．
13.在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，当 BCEF =________时，△ABC∽△DEF．
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为?13 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是________。
15.已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如图，若AD∶DB=1∶4，则CE∶CF=________．
16.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，若AB=6，那么DE=________?． ?
17.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是________．
18.如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形ABCD相似，AB=4，则AD的长度为________。
19.（2017?桂林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则 AOAE 的值为________．
20.正方形ABCD中，点E是边AD的中点．连接BE，在BE上找一点F，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转90°到AG，点F与点G对应．AG、BD延长线交于点H．若AB=4，当F、E、G三点共线时，求S△BFH=________． 三、解答题（共7题；共60分）
21.如图，已知 △ABC 中， AB=8 ， BC=7 ， AC=6 ，点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上，如果以 A 、 D 、 E 为顶点的三角形和 △ABC 相似，且相似比为 14 ，试求 AD 、 AE 的长．
22.已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．求证：Rt△ADC∽Rt△CDB ．
23.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ， 在近岸取点Q和S ， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T ， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R ． 如果测得QS=45m ， ST=90m ， QR=60m ， 求河的宽度PQ ． ?
24.如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD?AG=AF?AB． ?
25.如图，为了计算河的宽度，某学习小组在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使E C⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD=160 米，DC=80米，E C=49米，求A、B间的距离．
26.已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE=45°，AC与DE交于点O． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）设CD=x，tan∠BAE = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．
27.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．
（1）求AC的长．
（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．
（3）当点F在边BC上时，求t的值．
（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】14
12.【答案】12.36
13.【答案】2
14.【答案】（1,-2）或（-1,2）
15.【答案】23
16.【答案】9
17.【答案】（2，2 3 ）
18.【答案】
19.【答案】724
20.【答案】125
三、解答题
21.【答案】解：当 △ABC∽△ADE 时，相似比为 14 ， ADAB=AEAC=14 ， 即： AD8=AE6=14 ， 解得： AD=2 ， AE=1.5 ； 当 △ABC∽△AED 时， ADAC=AEAB=14 ， 即： AD6=AE8=14 ，
解得： AD=1.5 ， AE=2
22.【答案】解答：∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD ， ∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴Rt△ADC∽Rt△CDB ．
23.【答案】解答：根据题意得出：QR∥ST ， 则△PQR∽△PST ， 故 = ， ∵QS=45m，ST=90m，QR=60m， ∴ = ， 解得：PQ=90（m）， ∴河的宽度为90米．
24.【答案】（1）解： ∵DE∥BC， ∴ADAB=AEAC， 又ADAB=13，AE=3， ∴3AC=13， 解得AC=9， ∴EC=AC﹣AE=9﹣3=6； （2）证明： ∵DE∥BC，EF∥CG， ∴ADAB=AEAC=AFAG， ∴AD?AG=AF?AB．
25.【答案】解：由题意可得：∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC， 则△ABD∽△ECD， 故BDDC=ABEC， 即16080=AB49， 解得：AB=98， 答：A、B间的距离为98m．
26.【答案】（1）证明：∵△ACB是等腰直角三角形 ∴∠CAB＝∠B=45° ∵CP//AB ∴∠DCA＝∠CAB=45° ∴∠DCA＝∠B ∵∠DAE=45° ∴∠DAC+∠CAE=∠CAE+∠EAB ∴∠DAC=∠EAB ∴△DCA∽△EAB ∴ADAE=ACAB 即ADAC=AEAB且∠DAE=∠CAB=45° ∴△ADE∽△ACB． （2）解：过点E作EH⊥AB于点H 由（1）得△DCA∽△EAB ∴DCEB=ACAB ∵△ACB是等腰直角三角形，且CD=x ∴EB=2x ∴EH=BH=x ∴AH=4-x 在Rt△AEH中，tan∠BAE=EHAH 即y=x4?x 定义域0＜x＜2． （3）解：若△COD与△BEA相似，又△BEA与相似△DCA 即△COD与△DCA相似 ∴只有△DCO∽△ACD ∴CD2=CO·CA ∵∠DAO＝∠CEO ∴∠CEO＝∠EAB ∴tan∠CEO＝y 即COCE=y ∴CO=22?2xx4?x ∴x2=22?2xx4?x·22 解得x1=4?22,x2=4+22 经检验x1,x2都是原方程的实数根，x2=4+22不合题意舍去 ∴当CD=4?22时，△COD与△BEA相似．
27.【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，根据勾股定理得：AC= 62+82= 10cm； （2）解：分两种情况考虑：如图1所示， 过B作BH⊥AC， ∵S△ABC= 12 AB·BC= 12 AC?BH， ∴BH= AB?BCAC=6×810=245 ，AH= 62?(245)2=185 ， ∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABH， ∴ ADAH=EDBH ，即 t185=ED245 ?， 解得：DE= 43t ， 则当0≤t≤ 185 时，DE= 43t ； 如图2所示， 同理得到△CED∽△CBH， ∴ DEBH=CDCH ，即 DE245=10?t325 ?， 解得：DE= 34 （10﹣t）=﹣ 34t+152 ， 则当 185 ＜t≤10时，DE= 34 （10﹣t）=﹣ 34t+152 ； （3）解：如图3所示， 如图3，当点F刚好落在BC边上时，∵∠C=∠C，∠EGC=∠ABC=90°， ∴△FGC∽△ABC， ∴ GCBC=FGAB ，即 GC8=43t6 ?， ∴GC= 169t ， ∵AD+DG+GC=AC=10， ∴ t+43t+169t=10 ，解得： t=9037 ； （4）如图1所示，当0＜t≤ 9037 时，S=DE2= (43t)2=169t2 ；如图2所示，当 185 ≤t＜10时， ∵EF∥CG， ∴△EFM∽△CGM∽△CBA， ∴ FMBA=EFBC ，即 FM6=34(10?t)8 ?，解得：FM= 916(10?t) ， ∴S=S正方形DEFG-S△EFM =DE2- 12 DE·FM= [34(10?t)]2 ?12×34(10?t)×916×(10?t) =45128(10?t)2 .
【易错题解析】苏科版九年级数学下册 第六章 相似 单元测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则 DEBC 的值为（?? ）
A.?12??????????????????????????????????????????B.?13??????????????????????????????????????????C.?14??????????????????????????????????????????D.?19
【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD=1，DB=2， ∴AB=AD+BD=1+2=3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ DEBC = ADAB = 13 ． 故答案为：B． 【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似判断出△ADE∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例得出答案。
2.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6， ADAB=37 ，则EC的长是（?? ?）
A.?4.5????????????????????????????????????????B.?8????????????????????????????????????????C.?10.5????????????????????????????????????????D.?14
【答案】B
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴ AEAC=ADAB ．∵AE＝6，∴ 6AC=37 ，∴AC＝14．∴EC＝8．故答案为：B．【分析】根据平行线成比例定理可求解。
3.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（?? ）
A.?24m????????????????????????????????????B.?25m????????????????????????????????????C.?28m????????????????????????????????????D.?30m
【答案】D
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由题意可得:EP∥BD,所以△AEP∽△ADB，所以 APAP+PQ+BQ=EPBD ,因为EP=1.5，BD=9，所以 1.59=AP2AP+20 ，解得:AP=5,因为AP=BQ,PQ=20,所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30,故答案为：D.【分析】根据题意得到△AEP∽△ADB，得到比值，求出EP、BD、AP的值，求出两路灯之间的距离.
4.在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为5cm，则甲、乙两地的实际距离是（ ? ? ? ）
A.?250km????????????????????????????????B.?25km????????????????????????????????C.?2.5km????????????????????????????????D.?0.25km
【答案】D
【考点】比例线段
【解析】
【分析】首先设甲、乙两地的实际距离是xcm，然后根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，解方程即可求得答案，注意统一单位．
【解答】设甲、乙两地的实际距离为xcm，则： 1：5000=5：x， 解得x=25000． 25000cm=250m=0.25km． 故选D．
【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算
5.如图，∠ACB=∠ADC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于（ ）
?
A.?b2c
????????????????????????????????????????B.?b2a
????????????????????????????????????????C.?abc
????????????????????????????????????????D.?a2c
【答案】A
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：假设△ABC∽△CAD，
∴ CDAC=ACAB，
即CD= AC2AB=b2c，
∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于b2c ，
故选A．
【分析】本题主要应用两三角形相似这一判定定理，三边对应成比例，做题即可．
6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=42，则△CEF的周长为（???????）
A.?8????????????????????????????????????????B.?9.5????????????????????????????????????????C.?10????????????????????????????????????????D.?11.5
【答案】A
【考点】勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，AG=AB2?BG2， ∴AG=AB2?BG2=2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选A．
7.如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，AE与CD相交于F，则图中的相似三角形共有（ ）
?
A.?2对
???????????????????????????????????????B.?3对
???????????????????????????????????????C.?4对
???????????????????????????????????????D.?5对
【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）∵∠E=∠E，∠FCE=∠D，
∴△CEF∽△ADF．
（2）∵∠E是公共角，∠B=∠FCE，
∴△ABE∽△CEF，
（3）∴△ABE∽△ADF．
（4）∴△ABC∽△ADC．
故有4对．
故选C．
【分析】矩形的四个角是直角，对边相等且平行，两个角对应相等的两个三角形互为相似三角形．
8.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（?? ）
A.?AEAB=EFCF???????????????????????B.?CDBE=CFEC???????????????????????C.?AEAB=AFDF???????????????????????D.?AEAB=AFBC
【答案】D
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC ∴ AEAB=EFCF ∵CD∥BE ∴△CDF∽△EBC ∴ CDBE=CFEC ， AFDF=EFCF ∴ AEAB=AFDF ∵AD∥BC ∴△AEF∽△EBC ∴ AEEB=AFBC ∴D错误． 故选D． 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．
9.如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（?）
A.?8对；??????????????????????????????????B.?6对；??????????????????????????????????C.?4对；??????????????????????????????????D.?2对．
【答案】B
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即AD∥BC，AB∥CD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF， ∴△GAB∽△BCF， 还有△ABC≌△CDA（是特殊相似）， ∴共有6对． 故选：B．
10.如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论： ①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2 ， 其中正确的有（?? ）个．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
【答案】C
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°， ∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°． 在△AED与△AEF中， {AD=AF∠DAE=∠FAE=45°AE=AE ， ∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABE=∠C=45°． ∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°， ∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等， ∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD， ∴∠BAE与∠CAD不一定相等， ∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；③∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF． 在△ACD与△ABF中， {AC=AB∠CAD=∠BAFAD=AF ， ∴△ACD≌△ABF（SAS）， ∴CD=BF， 由①知△AED≌△AEF， ∴DE=EF． 在△BEF中，∵BE+BF＞EF， ∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF， ∴∠C=∠ABF=45°， ∵∠ABE=45°， ∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°． 在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2 ， ∵BF=DC，EF=DE， ∴BE2+DC2=DE2 ， ④正确． 所以正确的结论有①③④． 故选C． 【分析】根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确； 如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误； 先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确； 先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2 ， 等量代换后判定④正确．
二、填空题（共10题；共30分）
11.已知 ab = 34 ，则 3a?2bb =________．
【答案】14
【考点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ab = 34 ，
∴ 3a?2bb = 3×3?2×44 = 14 ．
故答案为： 14 ．
【分析】根据比例的性质，结合 ab = 34 ，求出 3a?2bb 的值是多少即可．
12.已知线段AB=20, 点C是线段 AB 上的黄金分割点(AC＞BC)，则 AC 长是________(精确到0.01) ．
【答案】12.36
【考点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为：点C是线段 AB 上的黄金分割点且AC＞BC
所以：AC=20×0.618=12.36
【分析】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618.
13.在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，当 BCEF =________时，△ABC∽△DEF．
【答案】2
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3， ∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1， ∵BC：EF=2：1． ∴△ABC∽△DEF． 故答案为：2 【分析】根据三边对应成比例，可判定两个三角形相似，此时ABDE=ACDF=BCEF，代入数据求解即可。
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为?13 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是________。
【答案】（1,-2）或（-1,2）
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据位似变换的位似比 13 ?， ∴点A′的坐标为(-3× 13 ，6× 13 )或[-3×(- 13 )，6×(- 13 )]， 即点A′的坐标为(-1,2)或(1，-2). 故答案为：（-1,2）或(1，-2). 【分析】此题主要考查了位似变换的性质，解题时根据位似比直接由相似的性质求解即可，此题比较简单，是常考题.
15.已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如图，若AD∶DB=1∶4，则CE∶CF=________．
【答案】23
【考点】等边三角形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如下图，连接DE、DF，
设AD=x，则DB=4x，AB=5x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC=5x，
由折叠的性质可知：CE=DE，CF=DF，∠EDF=∠ACB=60°，
∴∠BDF+∠BFD=180°-60°=120°，∠BDF+∠ADE=180°-∠EDF=120°，
∴∠BFD=∠ADE，
∴△ADE∽△BFD，
∴DE：DF=△ADE的周长：△BDF的周长，
∵△AED的周长=AD+DE+AE=AD+AC=6x，△BDF的周长BD+BF+DF=BD+BC=9x，
∴DE：DF=5x：7x=2：3.
故答案为：2：3.
【分析】如下图，连接DE、DF，设AD=x，则DB=4x，AB=5x，根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC=5x，由折叠的性质可知：CE=DE，CF=DF，∠EDF=∠ACB=60°，根据三角形的内角和及平角的定义得出∠BFD=∠ADE，然后判断出△ADE∽△BFD，根据相似三角形周长的比等于相似比即可列出比例式，从而得出答案。
16.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，若AB=6，那么DE=________?． ?
【答案】9
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3， ∴AB：DE=2：3， ∵AB=6， ∴DE=32AB=6×32=9． 故答案为：9． 【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，可得AB：DE=2：3，继而可求得DE的长．
17.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是________．
【答案】（2，2 3 ）
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB， ∵∠OCD=90°，∠AOB=60°， ∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°， ∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0）， ∴D（8，0），则DO=8， 故OC=4， 则FO=2，CF=CO?cos30°=4× 32 =2 3 ， 故点C的坐标是：（2，2 3 ）． 故答案为：（2，2 3 ）． 【分析】分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，利用∠OCD=90°，∠AOB=60°，可求出∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，再根据已知：△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），求出DO、OC、OF的长，然后利用解直角三角形求出CF的长，就可得出点C的坐标。
18.如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形ABCD相似，AB=4，则AD的长度为________。
【答案】
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】设AE=x ， 则AD=2x ， ∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【分析】首先设AE=x ， 则AD=2x ， 进而利用四边形ABCD与四边形ABFE是相似的，则 ，进而求出即可
19.（2017?桂林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则 AOAE 的值为________．
【答案】724
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作BH⊥OA于H，如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC=OB，∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，AC= 32+42 =5， ∴AO=OB= 52 ， ∵ 12 BH?AC=?12 AB?BC， ∴BH= 3×45 = 125 ， 在Rt△OBH中，OH= OB2?BH2 = (52)2?(125)2 = 710 ， ∵EA⊥CA， ∴BH∥AE， ∴△OBH∽△OEA， ∴ BHAE = OHOA ， ∴ OAAE = OHBH = 710125 = 724 ． 故答案为 724 ． 【分析】AE不易求，因此需转化整个比例，通过作垂线构造“A"字型相似，OAAE=OHBH?, BH就是Rt△ABC斜边上的高，利用面积法求出BH，再利用勾股定理求出OH，代入比例式即可.
20.正方形ABCD中，点E是边AD的中点．连接BE，在BE上找一点F，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转90°到AG，点F与点G对应．AG、BD延长线交于点H．若AB=4，当F、E、G三点共线时，求S△BFH=________．
【答案】125
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示，连接DG，过H作HP⊥BG，交BG的延长线于P， AF绕点A顺时针旋转90°到AG，则AF=AG，∠FAG=90°， 即△AFG是等腰直角三角形， 又∵AB=AD，∠BAD=90°， ∴∠BAF=∠DAG， ∴△ABF≌△ADG， ∴BF=DG，∠AFB=∠AGD， ∵Rt△ABE中，AB=4，AE=2， ∴BE=2 5 ， ∵∠AFG=∠AGF=45°， ∴∠AFB=135°=∠AGD， ∴∠DGE=135°﹣45°=90°，即DG⊥BE，? 形， ∵ 12 ×BE×DG= 12 ×DE×AB， ∴DG= AB×DEBE=455 ， ∴Rt△BDG中，BG= BD2?DG2=1255 ， ∵∠HGP=∠AGF=45°，∠P=90°， ∴△GPH为等腰直角三角形， 设PH=x，则PG=x， ∵DG∥PH， ∴△BDG∽△BHP， ∴ BGBP=DGPH ，即 12551255+x=455x ， 解得x= 655 ， ∴PH= 655 ， 又∵BF=DG= 455 ， ∴S△BFH= 12 BF×PH= 12 × 455 × 655 = 125 ． 故答案为： 125 ． 【分析】如图所示，连接DG，过H作HP⊥BG，交BG的延长线于P，AF绕点A顺时针旋转90°到AG，则AF=AG，∠FAG=90°，即△AFG是等腰直角三角形， 根据同角的余角相等得出∠BAF=∠DAG，根据正方形的性质得出AB=AD，利用SAS判断出△ABF≌△ADG，得出BF=DG，∠AFB=∠AGD，在Rt△ABE中，利用勾股定理算出BE，根据等腰三角形的性质就邻补角的定义得出∠AFB=135°=∠AGD，∠DGE=135°﹣45°=90°，根据三角形的面积得出?×12BE×DG=?12×DE×AB，从而得出DG，在Rt△BDG中，利用勾股定理算出BG，判断出△GPH为等腰直角三角，设PH=x，则PG=x，根据平行于三角形一边的直线截其他两边所截得的三角形与原三角形相似得出△BDG∽△BHP，根据相似三角形对应边成比例得出BGBP=DGPH根据比例式算出PH,从而根据三角形的面积计算方法算出答案。
三、解答题（共7题；共60分）
21.如图，已知 △ABC 中， AB=8 ， BC=7 ， AC=6 ，点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上，如果以 A 、 D 、 E 为顶点的三角形和 △ABC 相似，且相似比为 14 ，试求 AD 、 AE 的长．
【答案】解：当 △ABC∽△ADE 时，相似比为 14 ， ADAB=AEAC=14 ， 即： AD8=AE6=14 ， 解得： AD=2 ， AE=1.5 ； 当 △ABC∽△AED 时， ADAC=AEAB=14 ， 即： AD6=AE8=14 ，
解得： AD=1.5 ， AE=2
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】由题意可知以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似分两种情况：①当△ABC∽△ADE时，相似三角形对应边的比等于相似比可求解； ②当△ABC∽△AED时，同理可求解。
22.已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．求证：Rt△ADC∽Rt△CDB ．
【答案】解答：∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD ， ∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴Rt△ADC∽Rt△CDB ．
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】求出∠ADC=∠CDB=90°，根据∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD ， 根据相似三角形的判定推出即可．
23.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ， 在近岸取点Q和S ， 使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T ， 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R ． 如果测得QS=45m ， ST=90m ， QR=60m ， 求河的宽度PQ ． ?
【答案】解答：根据题意得出：QR∥ST ， 则△PQR∽△PST ， 故 = ， ∵QS=45m，ST=90m，QR=60m， ∴ = ， 解得：PQ=90（m）， ∴河的宽度为90米．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出 = ，进而代入求出即可．
24.如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3． （1）求EC的值； （2）求证：AD?AG=AF?AB． ?
【答案】（1）解： ∵DE∥BC， ∴ADAB=AEAC， 又ADAB=13，AE=3， ∴3AC=13， 解得AC=9， ∴EC=AC﹣AE=9﹣3=6； （2）证明： ∵DE∥BC，EF∥CG， ∴ADAB=AEAC=AFAG， ∴AD?AG=AF?AB．
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）由平行可得ADAB=AEAC ， 可求得AC，且EC=AC﹣AE，可求得EC； （2）由平行可知ADAB=AEAC=AFAG ， 可得出结论．
25.如图，为了计算河的宽度，某学习小组在河对岸选定一个目标点A，再在河岸的这一边选取点B和点C，使AB⊥BC，然后再选取点E，使E C⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD=160 米，DC=80米，E C=49米，求A、B间的距离．
【答案】解：由题意可得：∠ABD=∠ECD=90°，∠ADB=∠EDC， 则△ABD∽△ECD， 故BDDC=ABEC， 即16080=AB49， 解得：AB=98， 答：A、B间的距离为98m．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据题意得出△ABD∽△ECD，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．
26.已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜边AB的长为4，过点C作射线CP//AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE=45°，AC与DE交于点O． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）设CD=x，tan∠BAE = y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．
【答案】（1）证明：∵△ACB是等腰直角三角形 ∴∠CAB＝∠B=45° ∵CP//AB ∴∠DCA＝∠CAB=45° ∴∠DCA＝∠B ∵∠DAE=45° ∴∠DAC+∠CAE=∠CAE+∠EAB ∴∠DAC=∠EAB ∴△DCA∽△EAB ∴ADAE=ACAB 即ADAC=AEAB且∠DAE=∠CAB=45° ∴△ADE∽△ACB． （2）解：过点E作EH⊥AB于点H 由（1）得△DCA∽△EAB ∴DCEB=ACAB ∵△ACB是等腰直角三角形，且CD=x ∴EB=2x ∴EH=BH=x ∴AH=4-x 在Rt△AEH中，tan∠BAE=EHAH 即y=x4?x 定义域0＜x＜2． （3）解：若△COD与△BEA相似，又△BEA与相似△DCA 即△COD与△DCA相似 ∴只有△DCO∽△ACD ∴CD2=CO·CA ∵∠DAO＝∠CEO ∴∠CEO＝∠EAB ∴tan∠CEO＝y 即COCE=y ∴CO=22?2xx4?x ∴x2=22?2xx4?x·22 解得x1=4?22,x2=4+22 经检验x1,x2都是原方程的实数根，x2=4+22不合题意舍去 ∴当CD=4?22时，△COD与△BEA相似．
【考点】相似三角形的判定，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 ( 1 )根据等腰三角形的性质，得出角相等，然后角的等量代换，得出其余角相等，即可证明三角形相似； 由（1）的结论可以得到线段成比例，解直角三角形即可求出函数解析式，并确定定义域； 先由相似得出线段比例关系，设未知数解方程即可.
27.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）．
（1）求AC的长．
（2）请用含t的代数式表示线段DE的长．
（3）当点F在边BC上时，求t的值．
（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，根据勾股定理得：AC= 62+82= 10cm； （2）解：分两种情况考虑：如图1所示， 过B作BH⊥AC， ∵S△ABC= 12 AB·BC= 12 AC?BH， ∴BH= AB?BCAC=6×810=245 ，AH= 62?(245)2=185 ， ∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABH， ∴ ADAH=EDBH ，即 t185=ED245 ?， 解得：DE= 43t ， 则当0≤t≤ 185 时，DE= 43t ； 如图2所示， 同理得到△CED∽△CBH， ∴ DEBH=CDCH ，即 DE245=10?t325 ?， 解得：DE= 34 （10﹣t）=﹣ 34t+152 ， 则当 185 ＜t≤10时，DE= 34 （10﹣t）=﹣ 34t+152 ； （3）解：如图3所示， 如图3，当点F刚好落在BC边上时，∵∠C=∠C，∠EGC=∠ABC=90°， ∴△FGC∽△ABC， ∴ GCBC=FGAB ，即 GC8=43t6 ?， ∴GC= 169t ， ∵AD+DG+GC=AC=10， ∴ t+43t+169t=10 ，解得： t=9037 ； （4）如图1所示，当0＜t≤ 9037 时，S=DE2= (43t)2=169t2 ；如图2所示，当 185 ≤t＜10时， ∵EF∥CG， ∴△EFM∽△CGM∽△CBA， ∴ FMBA=EFBC ，即 FM6=34(10?t)8 ?，解得：FM= 916(10?t) ， ∴S=S正方形DEFG-S△EFM =DE2- 12 DE·FM= [34(10?t)]2 ?12×34(10?t)×916×(10?t) =45128(10?t)2 .
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC的长度。（2）图1，过B作BH⊥AC，利用三角形面积公式求出BH的长度，可证△AED∽△ABH，通过对应边成比例求出DE的长度；图2，同理得到△CED∽△CBH，由相似三角形对应边成比例求出DE的长度。（3）图3，点F落在BC边上，第一问可求出AC长度，可将AC分为三段AD、DG、GC，AD长度可由题意知为t，DG=FG，而GC和FG是三角形FGC的两条直角边，即△FGC~△ABC，可求得FG、GC与t的关系，进而由AD+DG+GC=AC求得t。（4）根据题意分两种情况，利用三角形相似求得边长和t的关系进而求得面积和t的关系式。
