【易错题解析】苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数 单元测试卷
一、单选题（共10题；共29分）
1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA=1，sinB= 22 ，你认为△ABC最确切的判断是（??? ）
A.?等腰三角形????????????????????B.?等腰直角三角形????????????????????C.?直角三角形????????????????????D.?锐角三角形
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB= ACAB =（?? ）
A.?35??????????????????????????????????????????B.?45??????????????????????????????????????????C.?37??????????????????????????????????????????D.?34
3.游客上歌乐山山有两种方式：一种是如图，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘座缆车到C，另一种是沿着盘山公路开车上山到C，已知在A处观铡到C，得仰角∠CAD=3l°，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米，索道BC的坡度i=1：1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，则山篙CD为（?? ）米；（参考数据：tan31°≈0.6．cos3l°≈0.9）
A.?680??????????????????????????????????????B.?690??????????????????????????????????????C.?686??????????????????????????????????????D.?693
4.若α是锐角，tanα?tan50°=1，则α的值为（?? ）
A.?20°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?50°
5.某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为45，则坡面AC的长度为（ ）
A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12
6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M，N分别在AB，AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则sin∠MCN=（?? ）
A.?3313???????????????????????????????????B.?3314???????????????????????????????????C.?35???????????????????????????????????D.?5 ﹣2
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=35 ， 则sinB的值得是（ ）
A.?45??????????????????????????????????????????B.?35??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?43
8.如图，在反比例函数y= 32x 的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y= kx 的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（?? ）
A.?﹣3??????????????????????????????????????B.?﹣6??????????????????????????????????????C.?﹣9??????????????????????????????????????D.?﹣12
9.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度 ． 她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ， 测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m ， 则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ， ≈1.73） ．
A.?3.5m??????????????????????????????B.?3.6m??????????????????????????????C.?4.3m??????????????????????????????D.?5.1m.
10.如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（?? ）
A.?（﹣4，﹣2﹣ 3 ）??????????????????????????????????????????B.?（﹣4，﹣2+ 3 ） C.?（﹣2，﹣2+ 3 ）???????????????????????????????????????????D.?（﹣2，﹣2﹣ 3 ）
二、填空题（共10题；共30分）
11.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣ 12 |+ (tanβ?1)2 =0，则α+β=________．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于________．
13.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB=5，AC=3，则tan∠ADC =________．
14.在△ABC中，已知∠C=90°，sinA= 13 ，则cosA= ________，tanB= ________.
15.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米． 16.已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为________（备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）
17.已知菱形的边长为3，一个内角为60°，则该菱形的面积是________．
18.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________?米．
19.如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA= 3 ，则PB+PC=________．
20.（2017?贵港）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为________．
三、解答题（共8题；共58分）
21.计算 |2?2|?2cos45°+(?1)?2+8 ．
22.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据： 6 ≈2.449，结果保留整数）
23.如图，小明家在学校O的北偏东60°方向，距离学校80米的A处，小华家在学校O的南偏东45°方向的B处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45）
24.如图，某湖心岛上有一亭子 A ，在亭子 A 的正东方向上的湖边有一棵树 B ，在这个湖心岛的湖边 C 处测得亭子 A 在北偏西 45° 方向上，测得树 B 在北偏东 36° 方向上，又测得 B 、 C 之间的距离等于 200 米，求 A 、 B 之间的距离（结果精确到 1 米）． （参考数据： 2≈1.414 ， sin36°≈0.588 ， cos36°≈0.809 ， tan36°≈0.727 ， cot36°≈1.376 ）
25.某海船以 (23+2) 海里/小时的速度向北偏东70°方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40°方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65°方向，求此时灯塔B到C处的距离。
26如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（ 3 取1.73，结果精确到0.1千米）
27.如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（结果取整数，其中 3 =1.732， 21 =4.583）
28.随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】D
二、填空题
11.【答案】75°
12.【答案】2：3
13.【答案】34
14.【答案】223；2 2
15.【答案】10
16.【答案】37°
17.【答案】932
18.【答案】50
19.【答案】1+ 33
20.【答案】35
三、解答题
21.【答案】解：原式=2-2-2×22+1+22. ?????????? ?? =3.
22.【答案】解：作PC⊥AB交于C点， 由题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）． 在Rt△APC中，PC=PA?cos∠APC=40 3 （海里）． 在Rt△PCB中，PB= PCcos∠BPC=403cos45°=406 ≈98（海里）． 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
23.【答案】解：由题意可知：作OC⊥AB于C， ∠ACO=∠BCO=90°，∠AOC=30°，∠BOC=45°． 在Rt△ACO中， ∵∠ACO=90°，∠AOC=30°， ∴AC= 12 AO=40m，OC= 3 AC=40 3 m． 在Rt△BOC中， ∵∠BCO=90°，∠BOC=45°， ∴BC=OC=40 3 m． ∴OB= OC2+BC2 =40 6 ≈40×2.45≈82（米）． 答：小华家到学校的距离大约为82米．
24.【答案】解：过点 C 作 CH⊥AB ，垂足为点 H ， 由题意，得 ∠ACH=45° , ∠BCH=36° , BC=200 ， 在Rt△ BHC 中， sin∠BCH=BHBC , ∴ sin36°=BH200 ? ， ∵ sin36°≈0.588 ， ∴ BH≈117.6 ? ， 又 cos∠BCH=HCBC ， ∴ cos36°=HC200， ∵ cos36°≈0.809 ， ∴ HC≈161.8 在Rt△ AHC 中， tan∠ACH=AHHC ∵ ∠ACH=45° ∴ AH=HC ∴ AH≈161.8 又 AB=AH+BH ∴ AB≈279.4 ∴ AB≈279 （米） 答： A 、 B 之间的距离为 279 米.
25.【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D.
因为∠MAB=40°，∠MAC=70°，
所以∠BAC=70°-40°=30°，
又因为∠NCB=65°，∠NCA=180°-70°=110°，
所以∠ACB=45°，
所以DB=CD，AD= 3BD .
设CD=x，则BD=x，AD= 3x .
所以 3x +x=5× (23+2) ，解得x=10.
所以BC= 102 .
此时灯塔B到C处的距离是 102 海里.
26.【答案】解：过B作BE⊥AD于E， ∵∠NAD=60°，∠ABD=75°， ∴∠ADB=45°， ∵AB=6× =4， ∴AE=2．BE=2 ， ∴DE=BE=2 ， ∴AD=2+2 ， ∵∠C=90，∠CAD=30°， ∴CD= AD=1+ ≈2.7千米．
27.【答案】解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D． 在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm， ∴BC=3cm． 当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm． 在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°， ∴A′D= A′C′=2cm，C′D= A′D=2 cm． 在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm， ∴BD= = cm， ∴CC′=C′D+BD﹣BC=2 + ﹣3， ∵ =1.732， =4.583， ∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5． 故移动的距离即CC′的长约为5cm．
28.【答案】解：∵AC∥ME，
∴∠CAB=∠AEM，
在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m，
∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m），
∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m），
在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°，
∴∠BDF=∠CAB=28°，
∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 （m），
答：坡道口的限高DF的长是3.8m．
【易错题解析】苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数 单元测试卷
一、单选题（共10题；共29分）
1.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA=1，sinB= 22 ，你认为△ABC最确切的判断是（??? ）
A.?等腰三角形????????????????????B.?等腰直角三角形????????????????????C.?直角三角形????????????????????D.?锐角三角形
【答案】B
【考点】三角形内角和定理，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得：∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°．故答案为：B． 【分析】由特殊角的锐角三角函数值可得∠A=45°，∠B=45°，再由三角形内角和定理可得∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°。
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB= ACAB =（?? ）
A.?35??????????????????????????????????????????B.?45??????????????????????????????????????????C.?37??????????????????????????????????????????D.?34
【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3， ∴AB=5， ∴sinB= ACAB = 35 ， 故答案为：A． 【分析】根据勾股定理算出AB，再根据正弦函数的定义即可直接得出答案。
3.游客上歌乐山山有两种方式：一种是如图，先从A沿登山步道走到B，再沿索道乘座缆车到C，另一种是沿着盘山公路开车上山到C，已知在A处观铡到C，得仰角∠CAD=3l°，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米，索道BC的坡度i=1：1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，则山篙CD为（?? ）米；（参考数据：tan31°≈0.6．cos3l°≈0.9）
A.?680??????????????????????????????????????B.?690??????????????????????????????????????C.?686??????????????????????????????????????D.?693
【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵索道BC的坡度i=1：1.5， ∴CF：BF=1：1.5， 设CF=x，则BF=1.5x， ∵∠CAD=3l°，且A、B的水平距离AE=430米，A、B的竖直距离BE=210米， ∴tan∠CAD= CDAD=x+210430+1.5x ， ∵tan31°≈0.6， ∴ x+210430+1.5x=0.6 ， 解得，x=480， ∴CD=CF+DF=480+210=690， 故选B． 【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得CD的长，从而可以解答本题．
4.若α是锐角，tanα?tan50°=1，则α的值为（?? ）
A.?20°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?50°
【答案】C
【考点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵tanα?tan50°=1 ∴α+50°=90° ∴α=40°． 故选C． 【分析】互为余角的两个角的正切值互为倒数．
5.某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为45，则坡面AC的长度为（ ）
A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12
【答案】C
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC的长度．
【解答】由在Rt△ABC中，cos∠ACB=BCAC=45， 设BC=4x，AC=5x， 则AB=3x， 则sin∠ACB=ABAC=35； 又∵AB=6m， ∴AC=10m． 故选C．
6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M，N分别在AB，AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则sin∠MCN=（?? ）
A.?3313???????????????????????????????????B.?3314???????????????????????????????????C.?35???????????????????????????????????D.?5 ﹣2
【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， ∴AM=AN=2，BM=DN=4， 连接MN，连接AC， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60° 在Rt△ABC与Rt△ADC中， {AB=ADAC=AC ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠BAC=∠DAC= 12 ∠BAD=30°，MC=NC， ∴BC= 12 AC， ∴AC2=BC2+AB2 ， 即（2BC）2=BC2+AB2 ， 3BC2=AB2 ， ∴BC=2 3 ， 在Rt△BMC中，CM= BM2+BC2 =2 7 ， ∵AN=AM，∠MAN=60°， ∴△MAN是等边三角形， ∴MN=AM=AN=2， 过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2 7 ﹣x， ∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2 ， 即4﹣x2=（2 7 ）2﹣（2 7 ﹣x）2 ， 解得：x= 77 ， ∴EC=2 7 ﹣ 77 = 1377 ， 由勾股定理得：ME= MC2?CE2 = (27)2?(1377)2 = 3217 ， ∴sin∠MCN= MECM = 321727 = 3314 ， 故选B． 【分析】连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得sin∠MCN的值即可．
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=35 ， 则sinB的值得是（ ）
A.?45??????????????????????????????????????????B.?35??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?43
【答案】A
【考点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解： ∵sin2B+cos2B=1，cosB=35 ， ∴sin2B=1﹣（35）2=1625 ， ∵∠B为锐角， ∴sinB=45 ， 故选A． 【分析】根据sin2B+cos2B=1和cosB=35?即可求出答案．
8.如图，在反比例函数y= 32x 的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y= kx 的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（?? ）
A.?﹣3??????????????????????????????????????B.?﹣6??????????????????????????????????????C.?﹣9??????????????????????????????????????D.?﹣12
【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F， ∵由直线AB与反比例函数y= 32x 的对称性可知A、B点关于O点对称， ∴AO=BO． 又∵AC=BC， ∴CO⊥AB． ∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°， ∴∠AOE=∠COF， 又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°， ∴△AOE∽△COF， ∴ AECF = OEOF = AOCO ， ∵tan∠CAB= OCOA =2， ∴CF=2AE，OF=2OE． 又∵AE?OE= 32 ，CF?OF=|k|， ∴k=±6． ∵点C在第二象限， ∴k=﹣6， 故选：B． 【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∠CAB=2，可得出CF?OF的值，进而得到k的值．
9.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度 ． 她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ， 测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m ， 则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ， ≈1.73） ．
A.?3.5m??????????????????????????????B.?3.6m??????????????????????????????C.?4.3m??????????????????????????????D.?5.1m.
【答案】D
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】设CD=x ， 在Rt△ACD中，CD=x ， ∠CAD=30°， 则tan30°=CD：AD=x：AD 故AD= x ， 在Rt△CED中，CD=x ， ∠CED=60°， 则tan60°=CD：ED=x：ED 故ED= x ， 由题意得，AD-ED= x- x=4， 解得：x=2 ， 则这棵树的高度=2 +1.6≈5.1m ． 故选D. 【分析】设CD=x ， 在Rt△ACD中求出AD ， 在Rt△CED中求出ED ， 再由AE=4m ， 可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案 ．
10.如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（?? ）
A.?（﹣4，﹣2﹣ 3 ）??????????????????????????????????????????B.?（﹣4，﹣2+ 3 ） C.?（﹣2，﹣2+ 3 ）???????????????????????????????????????????D.?（﹣2，﹣2﹣ 3 ）
【答案】D
【考点】锐角三角函数的定义，作图﹣旋转
【解析】【解答】解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A1BC1 ， 如图所示．
∵AC=2，∠ABC=30°，∴BC=4，∴AB=2 3 ，∴AD= AB?ACBC = 23×24 = 3 ，∴BD= AB2BC = （23）24 =3．∵点B坐标为（1，0），∴A点的坐标为（4， 3 ）．∵BD=3，∴BD1=3，∴D1坐标为（﹣2，0），∴A1坐标为（﹣2，﹣ 3 ）．∵再向下平移2个单位，∴A′的坐标为（﹣2，﹣ 3 ﹣2）．故答案为：D．
【分析】因本题要求点A′的坐标，所以要求出A1D1和OD1的长度，那我们求出AD和OD的长度即可。首先，根据已知题意作出旋转图形△A1BC1； 然后根据面积相等法求出AD的长度，再根据勾股定理求出BD的长度，即可得到A1的坐标：最后再根据题意向下平移2个单位即可。
二、填空题（共10题；共33分）
11.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣ 12 |+ (tanβ?1)2 =0，则α+β=________．
【答案】75°
【考点】特殊角的三角函数值，非负数的性质：算术平方根，绝对值的非负性
【解析】【解答】由已知sinα- 12 =0，tanβ-1=0，∴α=30°，β=45°，∴α+β=75°．【分析】根据两个非负数的和等于0可得这两个非负数都等于0可得，sinα-?12 =0，tanβ-1=0，sinα=12，tanβ=1，由特殊角的三角函数值可得α=30°，β=45°，故，α+β=75°．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于________．
【答案】2：3
【考点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，c为∠C对的边， ∴sinA= ac ，sinB= bc ， ∵sinA：sinB=2：3， ∴ ac ： bc =2：3， ∴a：b=2：3． 故答案为2：3． 【分析】根据正弦的定义得到sinA= ac ，sinB= bc ，再由sinA：sinB=2：3得到 ac ： bc =2：3，然后利用比例性质化简即可．
13.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB=5，AC=3，则tan∠ADC =________．
【答案】34
【考点】圆周角定理，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB是直径，AB=5，AC=3，∴BC= AB2?AC2=4 ，∴tan∠ADC=tan∠B= ACBC=34 ．故答案为： 34 ． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得BC=AB2?AC2=4,所以tan∠ADC=tan∠B=ACBC=34.
14.在△ABC中，已知∠C=90°，sinA= 13 ，则cosA= ________，tanB= ________.
【答案】223；2 2
【考点】同角三角函数的关系，互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：如图，∵∠C=90°，sinA= 13 ， ∴sinC= BCAB = 13 ， 设BC=x，则AB=3x， ∴AC= AB2?BC2 =2 2 x， ∴cosA= ACAB = 22x3x = 223 ， tanB= ACBC = 22x3x =2 2 ． 故答案为 223 ，2 2 ． 【分析】根据正弦的定义得到sinC= ACAB = 13 ，则可设BC=x，则AB=3x，再利用勾股定理计算出AC，然后根据余弦和正切的定义求解．
15.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．
【答案】10
【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：1米长的标杆测得其影长为1.2米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值 11.2 ，所以墙上的2米投射到地面上实际为2.4米，即旗杆影长为12米，因此旗杆总高度为10米． 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比.过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得出AE:DE=1：1.2，即可求出旗杆的总高AB的长。
16.已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为________（备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）
【答案】37°
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：斜坡的坡角的正弦值为： 610 =0.6，
则斜坡的坡角度数约为37°，
故答案为：37°．
【分析】根据解直角三角形求出斜坡的坡角的正弦值，得到斜坡的坡角度数.
17.已知菱形的边长为3，一个内角为60°，则该菱形的面积是________．
【答案】932
【考点】等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：连接AC，过点A作AM⊥BC于点M， ∵菱形的边长为3， ∴AB=BC=3， ∵有一个内角是60°， ∴∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AM=ABsin60°= 332 . ∴此菱形的面积为：3× 332 = 932 . 【分析】如图所示：连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，首先根据菱形的性质及等边三角形的判定判断出△ABC是等边三角形，根据正弦函数的定义由AM=ABsin60°得出AM的长，再根据菱形的面积等于底乘以高即可得出答案。
18.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________?米．
【答案】50
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵坡比为1：2.4， ∴BC：AC=1：2.4， 设BC=x，AC=2.4x， 则AB=AC2+BC2= x2+2.4x2=2.6x， ∵AB=130米， ∴x=50， 则BC=x=50（米）． 故答案为：50． 【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，根据勾股定理求出AB，然后根据题意可知AB=130米，求出x的值，继而可求得BC的值．
19.如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA= 3 ，则PB+PC=________．
【答案】1+ 33
【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】作CH⊥AB于H． ∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°， ∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°， ∴AB=2BH=2?BC?cos30°= 3 BC， ∵∠PAC=∠PCB=∠PBA， ∴∠PAB=∠PBC， ∴△PAB∽△PBC， ∴ PAPB=PBPC=ABBC=3 ， ∵PA= 3 ， ∴PB=1，PC= 33 ， ∴PB+PC=1+ 33 ． 故答案为1+ 33 ． 【分析】作CH⊥AB于H．根据等腰三角形的性质得出AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，根据余弦函数的定义，BH=BC?cos30°，故AB=2BH=2?BC?cos30°=3 BC，根据布罗卡尔点的定义及等腰三角形的性质得出∠PAB=∠PBC，从而判断出△PAB∽△PBC，根据相似三角形对应边成比例得出PAPB=PBPC=ABBC=3,根据比例式即可算出PB,PC的长，从而得出答案。
20.（2017?贵港）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为________．
【答案】35
【考点】等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质
【解析】【解答】解：连接PP′，如图， ∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C， ∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°， ∴△CPP′为等边三角形， ∴PP′=PC=6， ∵△ABC为等边三角形， ∴CB=CA，∠ACB=60°， ∴∠PCB=∠P′CA， 在△PCB和△P′CA中 {PC=P'C∠PCB=∠P'CACB=CA ， ∴△PCB≌△P′CA， ∴PB=P′A=10， ∵62+82=102 ， ∴PP′2+AP2=P′A2 ， ∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°， ∴sin∠PAP′= PP'P'A = 610 = 35 ． 故答案为 35 ． 【分析】连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．
三、解答题（共8题；共58分）
21.（2017?深圳）计算 |2?2|?2cos45°+(?1)?2+8 ．
【答案】解：原式=2-2-2×22+1+22. ?????????? ?? =3.
【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，二次根式的性质与化简，特殊角的三角函数值，实数的绝对值
【解析】【分析】根据二次根式，负指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值等性质计算即可得出答案.
22.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据： 6 ≈2.449，结果保留整数）
【答案】解：作PC⊥AB交于C点， 由题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）． 在Rt△APC中，PC=PA?cos∠APC=40 3 （海里）． 在Rt△PCB中，PB= PCcos∠BPC=403cos45°=406 ≈98（海里）． 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】构造直角三角形，作PC⊥AB交于C点；由方位角易知∠APC=30°，∠BPC=45°，则根据解直角三角形的知识解答即可．
23.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O的北偏东60°方向，距离学校80米的A处，小华家在学校O的南偏东45°方向的B处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45）
【答案】解：由题意可知：作OC⊥AB于C， ∠ACO=∠BCO=90°，∠AOC=30°，∠BOC=45°． 在Rt△ACO中， ∵∠ACO=90°，∠AOC=30°， ∴AC= 12 AO=40m，OC= 3 AC=40 3 m． 在Rt△BOC中， ∵∠BCO=90°，∠BOC=45°， ∴BC=OC=40 3 m． ∴OB= OC2+BC2 =40 6 ≈40×2.45≈82（米）． 答：小华家到学校的距离大约为82米．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作OC⊥AB于C，由已知可得△ABO中∠A=60°，∠B=45°且OA=80m，要求OB的长，可以先求出OC和BC的长．
24.如图，某湖心岛上有一亭子 A ，在亭子 A 的正东方向上的湖边有一棵树 B ，在这个湖心岛的湖边 C 处测得亭子 A 在北偏西 45° 方向上，测得树 B 在北偏东 36° 方向上，又测得 B 、 C 之间的距离等于 200 米，求 A 、 B 之间的距离（结果精确到 1 米）． （参考数据： 2≈1.414 ， sin36°≈0.588 ， cos36°≈0.809 ， tan36°≈0.727 ， cot36°≈1.376 ）
【答案】解：过点 C 作 CH⊥AB ，垂足为点 H ， 由题意，得 ∠ACH=45° , ∠BCH=36° , BC=200 ， 在Rt△ BHC 中， sin∠BCH=BHBC , ∴ sin36°=BH200 ? ， ∵ sin36°≈0.588 ， ∴ BH≈117.6 ? ， 又 cos∠BCH=HCBC ， ∴ cos36°=HC200， ∵ cos36°≈0.809 ， ∴ HC≈161.8 在Rt△ AHC 中， tan∠ACH=AHHC ∵ ∠ACH=45° ∴ AH=HC ∴ AH≈161.8 又 AB=AH+BH ∴ AB≈279.4 ∴ AB≈279 （米） 答： A 、 B 之间的距离为 279 米.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点 C 作 C H ⊥ A B ，垂足为点 H ，? 在Rt△ B H C 中，根据正弦函数的定义得出BH的值，由余弦函数得出HC的值，在Rt△ A H C 中，根据正切函数得出A H = H C，从而根据线段的和差得出AB的值，即A、B之间的距离。
25.某海船以 (23+2) 海里/小时的速度向北偏东70°方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东40°方向，5小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西65°方向，求此时灯塔B到C处的距离。
【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D.
因为∠MAB=40°，∠MAC=70°，
所以∠BAC=70°-40°=30°，
又因为∠NCB=65°，∠NCA=180°-70°=110°，
所以∠ACB=45°，
所以DB=CD，AD= 3BD .
设CD=x，则BD=x，AD= 3x .
所以 3x +x=5× (23+2) ，解得x=10.
所以BC= 102 .
此时灯塔B到C处的距离是 102 海里.
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据特殊角的函数值，表示出边长，然后根据BD+AD=路程，求出BC的长度。
26.（2016?泰州）如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（ 3 取1.73，结果精确到0.1千米）
【答案】解：过B作BE⊥AD于E， ∵∠NAD=60°，∠ABD=75°， ∴∠ADB=45°， ∵AB=6× =4， ∴AE=2．BE=2 ， ∴DE=BE=2 ， ∴AD=2+2 ， ∵∠C=90，∠CAD=30°， ∴CD= AD=1+ ≈2.7千米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过B作BE⊥AD于E，三角形的内角和得到∠ADB=45°，根据直角三角形的性质得到AE=2．BE=2 3 ，求得AD=2+2 3 ，即可得到结论．
27.如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中 3 =1.732， 21 =4.583）
【答案】解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D． 在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm， ∴BC=3cm． 当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm． 在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°， ∴A′D= A′C′=2cm，C′D= A′D=2 cm． 在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm， ∴BD= = cm， ∴CC′=C′D+BD﹣BC=2 + ﹣3， ∵ =1.732， =4.583， ∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5． 故移动的距离即CC′的长约为5cm．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D，先在△ABC中，由勾股定理求出BC=3cm，再解Rt△A′DC′，得出A′D=2cm，C′D=2 3 cm，在Rt△A′DB中，由勾股定理求出BD= 21 cm，然后根据CC′=C′D+BD﹣BC，将数据代入，即可求出CC′的长．
28.随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
【答案】解：∵AC∥ME，
∴∠CAB=∠AEM，
在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m，
∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m），
∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m），
在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°，
∴∠BDF=∠CAB=28°，
∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 （m），
答：坡道口的限高DF的长是3.8m．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】本题需先构造直角三角形，所以做CF⊥AB，BD⊥AC，在Rt△ABC中，AC=9m，∠CAB=28°，所以可知BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77m，因为CD=0.5m，进而可求出DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8.
