九年级数学下册 第六章图形的相似单元检测试卷(学生用+教师用）

【期末 解析】苏科版九年级数学下册 第六章 图形的相似 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.相距125千米的两地在地图上的距离为25cm,则该地图的比例尺为( ? ? )
A.?1∶5000????????????????????????/B.?1∶50000????????????????????????/C.?1∶500000????????????????????????/D.?1∶5000000
2.如图，△ABC中，E、D分别是AC、BC的中点，AD、BE交于点O ， 则S△DOE：S△AOB=（　　） /
A.?1：2????????????????????????????????????/B.?2：3????????????????????????????????????/C.?1：3????????????????????????????????????/D.?1：4
3.若△ABC与△DEF的相似比是3：2，△DEF的最长边是6cm，那么△ABC的最长边是（　　）
A.?4cm???????????????????????????/B.?9cm???????????????????????????/C.?4cm或9cm???????????????????????????/D.?以上答案都不对
4.已知3x=4y(xy≠0)，则下列比例式成立的是(?????? )
A.?
??
3
=
4
??
????????????????????????????????B.?
??
4
=
??
3
????????????????????????????????C.?
??
??
=
3
4
????????????????????????????????D.?
??
??
=
4
3
5.如图，能推得DE∥BC的条件是（??? ）
A.?AD∶AB=DE∶BC?????????/B.?AD∶DB=DE∶BC?????????/C.?AE∶AC=AD∶DB?????????/D.?AD∶DB=AE∶EC
6.如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么
????
????
等于（　　）/
A.?0.618???????????????????????????????????????B.?
2
2
???????????????????????????????????????C.?
2
???????????????????????????????????????D.?2
7.在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（?? ）
A.?（2，﹣1）或（﹣2，1）???????/B.?（8，﹣4）或（﹣8，4）?????????/C.?（2，﹣1）???????/D.?（8，﹣4）
8.在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（　　）/
A.?3倍????????????????????????????????????????/B.?
1
2
????????????????????????????????????????/C.?
1
3
????????????????????????????????????????/D.?2倍
9.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，则下列结论错误的是（?? ） /
A.?EF=2CE???????????????????????/B.?S△AEF=
2
3
S△BCF???????????????????????/C.?BF=3CD???????????????????????/D.?BC=
3
2
AE
10.如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为 ??????时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．（?? ） /
A.?
5
5
????????????????????????????/B.?
2
5
5
????????????????????????????/C.?
5
5
或
2
5
5
????????????????????????????/D.?
2
5
5
或
3
5
5
二、填空题（共10题；共33分）
11.若
??
5
=
??
3
=
??
4
≠0 ，则
??+??+??
??
= ________.
12.如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE∶EB＝2∶3，若△AED的面积是4
??
2
，则四边形DEBC的面积为________---------------．/
13.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A(－1，1)，B(2，3)，C(0，3)．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为
2
3
.则点A的对应点A′的坐标为________.
/
14.已知△ABC∽△DEF，相似比为3:5，△ABC的周长为6，则△DEF的周长为________.
15.如图，在梯形ABCD中， DC∥AB，AC与BD相交于O点，且
????
????
=
1
2
，S△COD＝12，则△ABC的面积是________?．/
16.在 △?????? 中， ?? 为 ???? 边上一点， ?? 为 ???? 边上一点， △?????? 与 △?????? 相似，己知 ????=3 ， ????=1 ， ????=2
2
，则 ????= ________．
17.晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为________米．
18.如图，∠BAC＝80°，∠B＝40°，∠E=60°,若将图中的△ADE旋转(平移)，则所得到的新三角形与△ABC________，与△ADE________
//
19.如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数 ??=
??
??
（k≠0）的图象经过圆心P，则k=________。20.将（n+1）个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A、A1、A2、A3、…An+1和点M、M1、M2、M3 ， …Mn是正方形的顶点，连结AM1 ， A1M2 ， A2M3 ， …AMn ， 分别交正方形的边A1M，A2M1 ， A3M2 ， …AnMn﹣1于点N1 ， N2 ， N3 ， …，Nn ， 四边形M1N1A1A2的面积为S1 ， 四边形M2N2A2A3的面积是S2 ， …四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn ， 则Sn=?________．/
三、解答题（共7题；共57分）
21.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．/
22.已知：如图，△ABC∽△ADE ， ∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．/?
23.已知△ABC中，AB=15cm，BC=21cm，AC=30cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边长为40cm，求△A′B′C′的其余两边的长．
24.如图，已知 △?????? 中， ????=8 ， ????=7 ， ????=6 ，点 ?? 、 ?? 分别在 ???? 、 ???? 上，如果以 ?? 、 ?? 、 ?? 为顶点的三角形和 △?????? 相似，且相似比为
1
4
，试求 ???? 、 ???? 的长．/
25.已知如图：DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC．/
26.如图，点P1 ， P2 ， P3 ， P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3 ， P2P3⊥P3P4 ， 若点P1 ， P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），求点P4的坐标．
/
27.阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；　　（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．?/

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】4
12.【答案】21
??
2

13.【答案】（-
2
3
，
2
3
）或（
2
3
，-
2
3
）
14.【答案】10
15.【答案】72
16.【答案】
2
2
3
或
3
2
4

17.【答案】6.6
18.【答案】相似；全等
19.【答案】
5
4

20.【答案】
2??+1
2??+2

三、解答题
21.【答案】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴
????
????
=
????
????
，即
6
????
=
????
8+6
，解得，AC=2
21
．
22.【答案】解答：∵△ABC∽△ADE ， ∠C=40°，∴∠AED=∠C=40°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45°即40°+∠ADE+45°=180°，∴∠ADE=95°．
23.【答案】解：设△A′B′C′的其余两边的长度分别是x，y，根据题意，得
15
??
=
30
40
，
21
??
=
30
40
，解得x=20，y=28，答：△A′B′C的其余两边的长分别是20cm和28cm．
24.【答案】解：当 △??????∽△?????? 时，相似比为
1
4
，
????
????
=
????
????
=
1
4
，即：
????
8
=
????
6
=
1
4
，解得： ????=2 ， ????=1.5 ；当 △??????∽△?????? 时，
????
????
=
????
????
=
1
4
，即：
????
6
=
????
8
=
1
4
，
解得： ????=1.5 ， ????=2
25.【答案】证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC
26.【答案】解：∵点P1 ， P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），
∴OP1=1，OP2=2，
∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3 ，
∴
??
??
1
??
??
2
=
??
??
2
??
??
3
，即
1
2
=
2
??
??
3
，
解得，OP3=4，
∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4 ，
∴
??
??
2
??
??
3
=
??
??
3
??
??
4
，即
2
4
=
4
??
??
4
，
解得，OP4=8，
则点P4的坐标为（8，0），
故答案为：（8，0）．
27.【答案】解：（1）∵∠A=∠DEC=45°∴∠ADE+∠AED=135°，∠BEC+∠AED=135°，∴∠ADE=∠BEC，又∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；（2）如图中所示的点E和点F为AB上的强相似点；（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=
1
3
∠BCD=30°，CE=AB，在Rt△BCE中，cos∠BCE=
????
????
，∴
????
????
=
3
2
，∴
????
????
=
3
2
．?/

【期末 解析】苏科版九年级数学下册 第六章 图形的相似 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.相距125千米的两地在地图上的距离为25cm,则该地图的比例尺为( ? ? )
A.?1∶5000????????????????????????/B.?1∶50000????????????????????????/C.?1∶500000????????????????????????/D.?1∶5000000
【答案】B
【考点】比例线段
【解析】【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离：实际距离”即可求得这幅地图的比例尺．【解答】∵125km=12500000cm，该地图的比例尺为：则25：12500000=1：500000；故选：B．【点评】此题考查了比例线段，用到的知识点是图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算．
2.如图，△ABC中，E、D分别是AC、BC的中点，AD、BE交于点O ， 则S△DOE：S△AOB=（　　） /
A.?1：2????????????????????????????????????/B.?2：3????????????????????????????????????/C.?1：3????????????????????????????????????/D.?1：4
【答案】D
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】解答：∵△ABC中，E、D分别是AC、BC的中点，∴DE= /AB ， DE∥AB ， ∴△DOE∽△AOB ， ∴S△DOE：S△AOB=1：4．故选：D ． 分析：根据三角形中位线定理可得DE= /AB ， DE∥AB ， 再根据平行线性质和相似三角形的判定与性质即可求解．
3.若△ABC与△DEF的相似比是3：2，△DEF的最长边是6cm，那么△ABC的最长边是（　　）
A.?4cm???????????????????????????/B.?9cm???????????????????????????/C.?4cm或9cm???????????????????????????/D.?以上答案都不对
【答案】B
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC与△DEF的相似比是3：2，△DEF的最长边是6cm，∴△ABC的最长边：△DEF的最长边=3：2，即△ABC的最长边是9cm．故选B ． 【分析】根据相似三角形的相似比的概念，即对应边的比即为相似比，进行求解．
4.已知3x=4y(xy≠0)，则下列比例式成立的是(?????? )
A.?
??
3
=
4
??
????????????????????????????????B.?
??
4
=
??
3
????????????????????????????????C.?
??
??
=
3
4
????????????????????????????????D.?
??
??
=
4
3
【答案】B
【考点】比例的性质
【解析】【分析】根据两內项之积等于两外项之积对各选项进行计算，然后利用排除法求解．A、由
??
3
=
4
??
?得，xy=12，故本选项错误；B、由
??
4
=
??
3
?得，3x=4y，故本选项正确；C、由
??
??
=
3
4
?得，4x=3y，故本选项错误；D、由
??
??
=
4
3
?得，4x=3y，故本选项错误．故选B．
5.如图，能推得DE∥BC的条件是（??? ）/
A.?AD∶AB=DE∶BC?????????/B.?AD∶DB=DE∶BC?????????/C.?AE∶AC=AD∶DB?????????/D.?AD∶DB=AE∶EC
【答案】D
【考点】相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用
【解析】【解答】解：A选项不一定能推出∠ADE=∠B，故不一定能推得DE∥BC，所以不符合题意；根据平行线分线段成比例定理B，C选项也不能推得DE∥BC，故不符合题意；D选项能推出AD：AB=AE：AC，∠A是公共角，△ADE∽△ABC，对应角∠ADE=∠B，能推得DE∥BC。故答案为：D【分析】根据三角形相似的判定定理，两组对边对应成比例，并且它们的夹角相同，即可得出正确答案。
6.如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么
????
????
等于（　　）/
A.?0.618???????????????????????????????????????B.?
2
2
???????????????????????????????????????C.?
2
???????????????????????????????????????D.?2
【答案】C
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，∴/=（
????
????
）2=2，∴
????
????
=
2
． 故选C．【分析】根据矩形ABCD与矩形ABFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得出
????
????
的值．
7.在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（?? ）
A.?（2，﹣1）或（﹣2，1）???????/B.?（8，﹣4）或（﹣8，4）?????????/C.?（2，﹣1）???????/D.?（8，﹣4）
【答案】A
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【解析】【解答】解：∵E（﹣4，2），位似比为1：2， ∴点E的对应点E′的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选：A．【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，1），注意分两种情况计算．
8.在小孔成像问题中，根据如图所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（　　）/
A.?3倍????????????????????????????????????????/B.?
1
2
????????????????????????????????????????/C.?
1
3
????????????????????????????????????????/D.?2倍
【答案】C
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由题意得，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴/∴像CD的长是物体AB长的
1
3
， 故选：C．/【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．
9.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，则下列结论错误的是（?? ） /
A.?EF=2CE???????????????????????/B.?S△AEF=
2
3
S△BCF???????????????????????/C.?BF=3CD???????????????????????/D.?BC=
3
2
AE
【答案】B
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥CD，∴△AEF∽△DEC，∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=2，∴EF=2CE，故A是正确的结论；∴
????
????
=
2
3
，∵AD∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴
??
△??????
??
△??????
=（
????
????
）2=
4
9
，∴S△AEF=
4
9
S△BCF ， 故B是错误的结论；∵
????
????
=
????
????
=
2
3
，∴
????
????
=3，∵AB=CD，∴BF=3CD，故C是正确的结论；∵
????
????
=
????
????
=
2
3
，∴BC=
3
2
AE，故D是正确的结论；故选B．【分析】由平行四边形的性质可知AF∥CD，利用相似三角形的性质可求得EF=2CE，可判断A、B，利用AB=CD，可判断C，利用AD=BC可判断D，可求得答案．
10.如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为 ??????时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．（?? ） /
A.?
5
5
????????????????????????????/B.?
2
5
5
????????????????????????????/C.?
5
5
或
2
5
5
????????????????????????????/D.?
2
5
5
或
3
5
5
【答案】C
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+
1
4
DM2=1，解得DM=
2
5
5
；②DM与BE是对应边时，DM=
1
2
DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=
5
5
．∴DM为
2
5
5
或
5
5
时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C．【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
二、填空题（共10题；共33分）
11.若
??
5
=
??
3
=
??
4
≠0 ，则
??+??+??
??
= ________.
【答案】4
【考点】比例的性质
【解析】【解答】设
??
5
=
??
3
=
??
4
=??则 ??=5??,
??=3??,
??=4??∴
??+??+??
??
=
5??+3??+4??
3??
=4故答案为4.【分析】根据比例的性质用待定系数法求解。
12.如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE∶EB＝2∶3，若△AED的面积是4
??
2
，则四边形DEBC的面积为________---------------．/
【答案】21
??
2

【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】 ∵
????
????
=
2
3
,∴
????
????
=
2
5
, ∵????//????, ∴△??????～△??????, ∴
(
????
????
)
2
=
??
△??????
??
△??????
, ∵△?????? 的面积为4
??
2
, ∴
(
2
5
)
2
=
4
??
△??????
, ∴
??
△??????
=25, ∴ 四边形 ???????? 的面积为： 25?4=21(
??
2
).【分析】四边形 D E B C 的面积=△ABC-△AED的面积。
13.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A(－1，1)，B(2，3)，C(0，3)．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为
2
3
.则点A的对应点A′的坐标为________.
/
【答案】（-
2
3
，
2
3
）或（
2
3
，-
2
3
）
【考点】位似变换
【解析】【解答】∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）
∴A'的坐标为：（-
2
3
，
2
3
）或（
2
3
，-
2
3
）．
【分析】根据位似图形的性质和已知条件可得A'的坐标为：（?
2
3
,
2
3
）或（
2
3
,?
2
3
）。
14.已知△ABC∽△DEF，相似比为3:5，△ABC的周长为6，则△DEF的周长为________.
【答案】10
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF，相似比为3：5，△ABC的周长为6，∴6：△DEF的周长=3：5，∴△DEF的周长=10．故答案为：10.【分析】根据相似三角形行的性质来求解.相似三角形周长的比等于相似比.
15.如图，在梯形ABCD中， DC∥AB，AC与BD相交于O点，且
????
????
=
1
2
，S△COD＝12，则△ABC的面积是________?．/
【答案】72
【考点】三角形的面积，梯形，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵在梯形ABCD中， DC∥AB∴/,/∴△COD∽△AOB∵/， S△COD＝12∴/即S△AOB＝4S△COD＝4/12=48S△ABC＝/S△AOB＝//48=72【分析】思路分析：△ODC与△OBA相似，面积比等于相似比的平方
16.在 △?????? 中， ?? 为 ???? 边上一点， ?? 为 ???? 边上一点， △?????? 与 △?????? 相似，己知 ????=3 ， ????=1 ， ????=2
2
，则 ????= ________．
【答案】
2
2
3
或
3
2
4

【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】①当 ????∥???? 时，
/
△??????～△?????? ，∴
????
????
=
????
????
，即
1
3
=
????
2
2
，∴ ????=
2
2
3
；
②当 ∠??????=∠?? 时，
/
? △??????～△?????? ，∴
????
????
=
????
????
，即
????
3
=
1
2
2
，∴ ????=
3
2
2
=
3
2
4
．
故答案为：
2
2
3
或
3
2
4
【分析】分两种情况讨论：①当 DE∥BC 时，可证△ADE～△ABC，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出AE的长；②当 ∠AED=∠B 时，得出△AED～△ABC，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出AE的长。
17.晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米，则路灯的高为________米． /
【答案】6.6
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设小亮离右边的路灯为xm，则离左边的路灯为（12﹣x）m， 再设路灯的高为hm，又易证△FHG∽△FDE，△CHG∽△CBA，则∴
????
????
=
????
????
，
????
????
=
????
????
即1.8：h=1.5：（1.5+x）；1.8：h=3：（3+12﹣x）求得x=4? h=6.6即路灯高6.6米．/【分析】首先根据已知条件求证出△FHG∽△FDE，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯DE的高度．
18.如图，∠BAC＝80°，∠B＝40°，∠E=60°,若将图中的△ADE旋转(平移)，则所得到的新三角形与△ABC________，与△ADE________
/
【答案】相似；全等
【考点】相似三角形的判定，旋转的性质
【解析】【解答】∵∠BAC＝80°，∠B＝40°，
∴∠C＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE, ∠C＝∠E＝60°，
∴△ADE∽△ABC，
∵将图中的△ADE旋转(平移)，
∴得到的新三角形与△ADE全等，与△ABC相似.
故答案为：相似；全等
【分析】由对顶角相等可得∠BAC=∠DAE，由三角形内角和定理可得∠C=60°，所以可得∠C＝∠E，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；根据平移的性质可得所得到的新三角形与△ADE全等；于是所得到的新三角形与△ABC相似。
19.如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数 ??=
??
??
（k≠0）的图象经过圆心P，则k=________。/
【答案】
5
4

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，切线的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，如图所示．/则有PD⊥OA，PE⊥AB．设⊙P的半径为r，∵AB=5，AC=1，∴S△APB=???
1
2
AB?PE=
5
2
r，S△APC=
1
2
AC?PD=
1
2
r．∵∠AOB=90°，OA=4，AB=5，∴OB=3．∴S△ABC=
1
2
AC?OB=
1
2
×1×3=
3
2
．∵S△ABC=S△APB+S△APC ， ∴
3
2
=
5
2
r+
1
2
r．∴r=
1
2
．∴PD=
1
2
．∵PD⊥OA，∠AOB=90°，∴∠PDC=∠BOC=90°．∴PD∥BO．∴△PDC∽△BOC．∴
????
????
=
????
????
．∴PD?OC=CD?BO．∴
1
2
×（4-1）=3CD．∴CD=
1
2
．∴OD=OC-CD=3-
1
2
=
5
2
．∴点P的坐标为（
5
2
，
1
2
）．∵反比例函数y=
??
??
（k≠0）的图象经过圆心P，∴k=
5
2
×
1
2
=
5
4
．故答案为：
5
4
．【分析】设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，由切线的性质可得PD⊥OA，PE⊥AB，根据三角形ABC的面积=三角形APB的面积+三角形APC的面积可求得圆P的半径，跟据PD∥BO易得△PDC∽△BOC，所以可得比例式
????
????
=
????
????
，于是可求得CD的长，则OD=OC-CD，所以点P的坐标可得，由待定系数法即可求得k的值。
20.（2014?铁岭）将（n+1）个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A、A1、A2、A3、…An+1和点M、M1、M2、M3 ， …Mn是正方形的顶点，连结AM1 ， A1M2 ， A2M3 ， …AMn ， 分别交正方形的边A1M，A2M1 ， A3M2 ， …AnMn﹣1于点N1 ， N2 ， N3 ， …，Nn ， 四边形M1N1A1A2的面积为S1 ， 四边形M2N2A2A3的面积是S2 ， …四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn ， 则Sn=?________．/
【答案】
2??+1
2??+2

【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得出：△M1MN1∽△M1EA，则/=/=
1
2
， 故MN1=
1
2
， 故四边形M1N1A1A2的面积为S1=1﹣
1
2
×1×
1
2
=1﹣
1
4
=
3
4
；同理可得出：/=/=
1
3
， 故四边形M2N2A2A3的面积是S2=1﹣
1
2
×1×
1
3
=1﹣
1
6
=
5
6
， 则四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn=1﹣/=
2??+1
2??+2
． 故答案为：
2??+1
2??+2
． /【分析】根据题意得出：△M1MN1∽△M1EA，进而求出MN1的长，进而得出S1 ， 同理得出S2 ， 进而得出Sn的值．
三、解答题（共7题；共57分）
21.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．/
【答案】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴
????
????
=
????
????
，即
6
????
=
????
8+6
，解得，AC=2
21
．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】∠ACD=∠B，而∠A是公共角，所以根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADC∽△ACB，所以可得比例式
????
????
=
????
????
,即
6
????
=
????
8+6
,解得AC=2
21
.
22.已知：如图，△ABC∽△ADE ， ∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．/?
【答案】解答：∵△ABC∽△ADE ， ∠C=40°，∴∠AED=∠C=40°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45°即40°+∠ADE+45°=180°，∴∠ADE=95°．
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】由△ABC∽△ADE ， ∠C=40°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE的度数．
23.已知△ABC中，AB=15cm，BC=21cm，AC=30cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边长为40cm，求△A′B′C′的其余两边的长．
【答案】解：设△A′B′C′的其余两边的长度分别是x，y，根据题意，得
15
??
=
30
40
，
21
??
=
30
40
，解得x=20，y=28，答：△A′B′C的其余两边的长分别是20cm和28cm．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例，求出△A′B′C′的其余两边的长度。
24.如图，已知 △?????? 中， ????=8 ， ????=7 ， ????=6 ，点 ?? 、 ?? 分别在 ???? 、 ???? 上，如果以 ?? 、 ?? 、 ?? 为顶点的三角形和 △?????? 相似，且相似比为
1
4
，试求 ???? 、 ???? 的长．/
【答案】解：当 △??????∽△?????? 时，相似比为
1
4
，
????
????
=
????
????
=
1
4
，即：
????
8
=
????
6
=
1
4
，解得： ????=2 ， ????=1.5 ；当 △??????∽△?????? 时，
????
????
=
????
????
=
1
4
，即：
????
6
=
????
8
=
1
4
，
解得： ????=1.5 ， ????=2
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】由题意可知以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似分两种情况：①当△ABC∽△ADE时，相似三角形对应边的比等于相似比可求解；②当△ABC∽△AED时，同理可求解。
25.已知如图：DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC．/
【答案】证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由平行可得，对应角对应相等，即可证△ADE∽△ABC。
26.如图，点P1 ， P2 ， P3 ， P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3 ， P2P3⊥P3P4 ， 若点P1 ， P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），求点P4的坐标．
/
【答案】解：∵点P1 ， P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），
∴OP1=1，OP2=2，
∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3 ，
∴
??
??
1
??
??
2
=
??
??
2
??
??
3
，即
1
2
=
2
??
??
3
，
解得，OP3=4，
∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4 ，
∴
??
??
2
??
??
3
=
??
??
3
??
??
4
，即
2
4
=
4
??
??
4
，
解得，OP4=8，
则点P4的坐标为（8，0），
故答案为：（8，0）．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由点P1 ， P2的坐标可得OP1=1，OP2=2，由题意易证∠
??
1
??
2
??=∠
??
2
??
3
??，∠
??
2
??
??
3
=∠
??
2
??
??
1
=
90
°
，由有两个角相等的两个三角形相似可得Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3 ， 从而可得比例式求得
??
3
O的长；同理可得
??
4
O的长，即为点P的横坐标。
27.阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；　　（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．?/
【答案】解：（1）∵∠A=∠DEC=45°∴∠ADE+∠AED=135°，∠BEC+∠AED=135°，∴∠ADE=∠BEC，又∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；（2）如图中所示的点E和点F为AB上的强相似点；（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=
1
3
∠BCD=30°，CE=AB，在Rt△BCE中，cos∠BCE=
????
????
，∴
????
????
=
3
2
，∴
????
????
=
3
2
．?/
【考点】相似图形
【解析】【分析】（1）根据题意证明∠ADE=∠BEC和∠A=∠B，得到△ADE∽△BEC；（2）根据题意画图即可；（3）根据相似三角形的性质和折叠的性质解答即可．