九年级数学下册 第七章锐角三角函数单元检测试卷（学生用+教师用）

【期末 解析】苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的各个三角函数值（? ? ? ）
A.?都缩小?????????????????????????????/B.?都不变?????????????????????????????/C.?都扩大5倍?????????????????????????????/D.?无法确定
【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】根据锐角三角函数的定义，将Rt△ABC的斜边和一直角边都扩大n倍，那么锐角A的三角函数值没有变化．【解答】根据题意将Rt△ABC的斜边和一直角边都扩大2倍，那么另一直角边也扩大2倍，即这一直角三角形的三边都扩大了2倍，所以锐角A的三角函数值没有变化．故选B．本题考查了锐角三角函数的定义，解题时牢记定义是关键．
2.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东
40
°
方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ??）
A.?南偏西50°?????????????????????????B.?南偏西40°?????????????????????????C.?北偏东50°?????????????????????????D.?北偏东40°
【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于这个灯塔的南偏西40°方向．故答案为：B．【分析】画出灯塔位于一艘船的北偏东 40 度 方向，再在这艘船处画方位图即可知这艘船位于这个灯塔的方向。
3.河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：
3
（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ??）/
A.?5
3
米????????????????????????????????/B.?10米????????????????????????????????/C.?15米????????????????????????????????/D.?10
3
米
【答案】A
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：
3
；∴AC=BC÷tanA=5
3
米；故答案为：A．【分析】Rt△ABC中根据迎水坡AB的坡比是1：
3
，得出tanA=1：?
3
；，然后根据正切定义得出AC=BC÷tanA，从而得出结论。
4.如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且
????
????
=
4
5
，则cosα的值等于（??）/
A.?
3
4
??????????????????????????????????????????B.?
4
3
??????????????????????????????????????????C.?
4
5
??????????????????????????????????????????D.?
3
5
【答案】C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在直角三角形中余弦函数值等于邻边比斜边，∵PM⊥OA，
????
????
=
4
5
，∴cosα=
4
5
，所以C正确．【点评】熟知三角函数的定义，除了了解余弦还要知道正弦等于对边比斜边，正切等于对边比邻边，本题简单属于基础题．要求三角函数值必须知三边的比值或是三边的长．
5.已知：△ABC中，∠C=90°，cosB＝
2
5
， AB=15，则BC的长是（　　）
A.?3
21
??????????????????????????????????????/B.?3
29
??????????????????????????????????????/C.?6??????????????????????????????????????/D.?
2
3
【答案】C
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】由∠C=90°，cosB＝
2
5
， AB=15，根据cosB=
????
????
即可求出BC的长．【解答】解：
∵∠C=90°，cosB＝
2
5
， AB=15，∴cosB=
????
????
=
2
5
， ∴BC=
2
5
×15=6，故选C．
/
【点评】本题考查了解直角三角形，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．
6.在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（　　）
A.?15°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】设较小的锐角是x ， 则另一个锐角是2x ， 由题意得，x+2x=90°，解得x=30°，即此三角形中最小的角是30°.故选B.【分析】设较小的锐角是x ， 然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.?
7.如图，已知：45°A.?sinA=cosA??????????????????????/B.?sinA>cosA??????????????????????/C.?sinA>tanA??????????????????????/D.?sinA【答案】B
【考点】锐角三角函数的增减性
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，直接得出答案即可．
【解答】∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA．故选：B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，正确利用锐角三角函数的增减性是解决问题的关键
8.如图，∠1的正切值为（? ?? ）/
A.?
1
3
???????????????????????????????????????????B.?
1
2
???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?2
【答案】A
【考点】圆周角定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．
【解答】根据圆周角的性质可得：∠1=∠2．∵tan∠2=
1
3
，∴∠1的正切值等于
1
3
．故选A．
【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
9.（2016?重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（　　）
/
A.?8.1米
?????????????????????????????????B.?17.2米
?????????????????????????????????C.?19.7米
?????????????????????????????????D.?25.5米
【答案】A
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：
/
则FE=BD=6米，DE=BF，
∵斜面AB的坡度i=1：2.4，
∴AF=2.4BF，
设BF=x米，则AF=2.4x米，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132 ，
解得：x=5，
∴DE=BF=5米，AF=12米，
∴AE=AF+FE=18米，
在Rt△ACE中，CE=AE?tan36°=18×0.73=13.14米，
∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；
故选：A．
?分析：本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为
3
2
，AC=2，则sinB的值是（）．
/
A.?
2
3
??????????????????????????????????????????B.?
3
2
??????????????????????????????????????????C.?
3
4
??????????????????????????????????????????D.?
4
3
【答案】A
【考点】圆周角定理，锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系
【解析】【解答】求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．
/
根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．根据同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠D．∴sinB=sinD=
????
????
=
2
3
．
故答案为：A．
【分析】连接DC．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．根据同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠D．根据等角的同名三角函数值相等及三角函数的定义得出sinB=sinD=
????
????
，即可得出答案。
二、填空题（共10题；共30分）
11.计算：
4
﹣（π﹣3）0﹣10sin30°﹣（﹣1）2017+
(
1
2
)
?2
=________．
【答案】1
【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
4
﹣（π﹣3）0﹣10sin30°﹣（﹣1）2017+
(
1
2
)
?2
=2﹣1﹣10×
1
2
﹣（﹣1）+4=1﹣5+1+4=1故答案为：1．【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
12.已知在△ABC中，BC=6，AC=6
3
，∠A=30°，则AB的长是________．
【答案】12或6
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图1所示，过点C作CD⊥AB于点D．
/
∵∠A=30°，AC=6
3
，∴CD=
1
2
AC=3
3
，AD=AC?cos30°=6
3
×
3
2
=9．
在Rt△CDB中，∵BC=6，CD=3
3
，∴BD=
??
??
2
???
??
2
=
6
2
?（3
3
）
2
=3，∴AB=AD+BD=9+3=12；
如图2所示，
/
同理可得，CD=
1
2
AC=3
3
，AD=AC?cos30°=6
3
×
3
2
=9，BD=3，∴AB=AD﹣BD=9﹣3=6．
综上所述：AB的长为12或6．
故答案为：12或6．
【分析】分三角形ABC是锐角三角形和三角形ABC是钝角三角形两种情况讨论：当三角形ABC是锐角三角形时，过点C作CD⊥AB于点D．在直角三角形ACD中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，所以CD=?
1
2
AC，在Rt△CDB中，由勾股定理可求得BD。
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是________．
【答案】
5
3

【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，∴AC=
9?4
=
5
，∴cosA=
????
????
=
5
3
．【分析】首先根据勾股定理算出AC的长，再根据余弦函数的定义，即可得出答案。
14.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧
????
上一点（不与A，B重合），则cosC的值为________． /
【答案】
4
5

【考点】勾股定理，垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD， /可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，∵⊙O的半径为5，∴AD=10，在Rt△ABD中，BD=
??
??
2
???
??
2
=
10
2
?
6
2
=8，∵∠ADB与∠ACB所对同弧，∴∠D=∠C，∴cosC=cosD=
????
????
=
8
10
=
4
5
，故答案为：
4
5
．【分析】首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出BD的长，再利用cosC=cosD=
????
????
求出即可．
15.如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为________．
/
【答案】
9
4
cm2
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
/
在直角△DPB中，BP=AP=AC=3，
∵∠A=60°，
∴DP2+BP2=BD2 ，
∴设DP=x cm，则BD=2x cm，可得x2+32=（2x）2 ，
∴x=
3
，
∴DP=
3
?cm
∵B′P=BP，∠B=∠B′，∠B′PH=∠BPD=90°，
∴△B′PH≌△BPD，
∴PH=PD=
3
?cm，
∵在直角△BGH中，BH=3+
3
?cm，
∴GH=
3+
3
2
?cm，BG=
3
2
(3+
3
) ?cm，
∴S△BGH=
1
2
×
3+
3
2
×
3
2
(3+
3
) =
6
3
+9
4
cm2 ， S△BDP=
1
2
×3×
3
=
3
3
2
cm2 ，
∴SDGHP=
6
3
+9
4
?
3
3
2
=
9
4
cm2 ．
故答案为：
9
4
cm2
【分析】在直角△DPB中，先利用勾股定理列方程求得DP的长，再根据ASA判定△B′PH≌△BPD，根据全等三角形的性质可得PH=PD，求得PH长度，从而求得BH长，最后在直角△BGH中，求得GH、BG，分别求得S△BGH和S△BDP ， 最后求得阴影部分面积。
16.如图，为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC的高为1.6米，CD的长为6米，CD所在的水平线CG⊥EF于点G，铁塔EF的高为________米．（结果用带根号的式子表示）/
【答案】（10.6+3
3
）　
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设DG=x，得出EG=
3
x，∵∠ECG=45°，∠CGE=90°，∴∠CEG=45°，∴EG=CG，∴CD+DG=EG，∴6+x=
3
x，解得：x=3
3
+3，∴
3
×（3
3
+3）=（9+3
3
）米，∴EF=9+3
3
+1.6=（10.6+3
3
）米．故答案为：（10.6+3
3
）米．【分析】根据已知得出EG=CG，进而求出CD+DG=EG，再利用测角仪AC的高为1.6m，求出铁塔EF的高即可．
17.一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为________．
【答案】/或 /
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D．可得BD=CD=3cm，所以cosB= /；/②4cm为底边时，同理可得BD=CD=2cm，因此cosB=
2
6
= /.【分析】可分4cm为腰长和底边长两种情况，①4cm为腰长时，作AD⊥BC于D，根据勾股定理及等腰三角形的三线合一得出BD=CD=3cm求得直角三角形中底角的邻边与斜边之比即可；②4cm为底边时，同理可得cosB 。
18.在△ABC中，AC=6
5
，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为
1
2
，并且CD⊥AC，则BC的长为________．
【答案】
15
2
或15
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图1中，当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，∵AC⊥CD，∴AC∥BE，∴ /= /= /，∵AC=6
5
，∴BE=
3
2

5
，∵tan∠BCE=
1
2
，∴EC=2BE=3
5
，∴BC= /= /=
15
2
．如图2中，当点D在线段AB上时，作BE⊥CD于E，∵AC∥BE，AC=6
5
，∴ /= /=
1
2
，∴BE=3
5
，∵tan∠BCE=
1
2
，∴EC=2BE=6
5
，∴BC= /=15．故答案为：
15
2
或15．//【分析】如图1中，当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，先求出BE，EC，在RT△BCE中利用勾股定理即可解决，如图2中，当点D在线段AB上时，作BE⊥CD于E，方法类似第一种情形．
19.如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点 （不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且 cosa=
4
5
．下列结论： ①△ADE∽△ACD；?? ②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或
25
2
；?? ④CD2=CE?CA．? 其中正确的结论是________?（把你认为正确结论的序号都填上）/
【答案】①②③
【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，而∠ADE=∠B=α，∴∠ADE=∠C，而∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD，所以①正确；作AH⊥BC于H，如图1，/∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE，∵AB=AC，∴BH=CH，在Rt△ABH中，∵cosB=cosα=
????
????
=
4
5
，∴BH=
4
5
×10=8，∴BC=2BH=16，当BD=6时，CD=10，∴AB=CD，∴△ABD≌△DCE，所以②正确；当∠DEC=90°时，∵△ABD∽△DCE，∴∠ADB=∠DEC=90°，即AD⊥BC，∴点D与点H重合，此时BD=8，当∠EDC=90°，如图2，/∵△ABD∽△DCE，∴∠DAB=∠EDC=90°，在Rt△ABD中，cosB=cosα=
????
????
=
4
5
，∴BD=
10
4
5
=
25
2
，∴△DCE为直角三角形时，BD为8或
25
2
，所以③正确；∵∠BAD=∠CDE，而AD不是∠BAC的平分线，∴∠CDE与∠DAC不一定相等，∴△CDE与△CAD不一定相似，∴CD2=CE?CA不成立，所以④错误．故答案为①②③．【分析】根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，而∠ADE=∠B=α，则∠ADE=∠C，所以△ADE∽△ACD，于是可对①进行判断；作AH⊥BC于H，如图1，先证明△ABD∽△DCE，再利用余弦定义计算出BH=8，则BC=2BH=16，当BD=6时，可得AB=CD，则可判断△ABD≌△DCE，于是可对②进行判断；由于△DCE为直角三角形，分类讨论：当∠DEC=90°时，利用△ABD∽△DCE得到∠ADB=∠DEC=90°，即AD⊥BC，易得BD=8，当∠EDC=90°，如图2，利用△ABD∽△DCE得到∠DAB=∠EDC=90°，然后在Rt△ABD中，根据余弦的定义可计算出BD=
25
2
，于是可对③进行判断；由于∠BAD=∠CDE，而AD不是∠BAC的平分线，可判断∠CDE与∠DAC不一定相等，因此△CDE与△CAD不一定相似，这样得不到CD2=CE?CA，则可对④进行判断．
20.如图，正方形ABCB1中，AB=1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1 ， 作正方形A1B1C1B2 ， 延长C1B2交直线l于点A2 ， 作正方形A2B2C2B3 ， 延长C2B3交直线l于点A3 ， 作正方形A3B3C3B4 ， …，依此规律，则A2016A2017=________．/
【答案】2×31008
【考点】平行线的性质，正方形的性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCB1是正方形，∴AB=AB1 ， AB∥CB1 ， ∴AB∥A1C，∴∠CA1A=30°，∴A1B1=
3
，AA1=2，∴A1B2=A1B1=
3
，∴A1A2=2
3
，同理：A2A3=2（
3
）2 ， A3A4=2（
3
）3 ， …∴AnAn+1=2（
3
）n ， ∴A2016A2017=2（
3
）2016=2×31008 ． 故答案为：2×31008 ． 【分析】本题考查勾股定理，难度较大，由图知四边形ABCB1是正方形，∴AB=AB1 ， AB∥CB1 ， 于是得到AB∥A1C，根据平行线的性质得到∠CA1A=30°，解直角三角形得到A1B1=
3
，AA1=2，同理：A2A3=2（
3
）2 ， A3A4=2（
3
）3 ， …找出规律AnAn+1=2（
3
）n ， 答案即可求出，
三、解答题（共9题；共60分）
21.如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，坝高20米，斜坡AB的坡比为1：2.5，斜坡CD的坡比为1：2，求大坝的截面面积? /
【答案】解：∵斜坡AB的坡度i=1：2.5，∴
????
????
=
1
2.5
，∵斜坡CD的坡度i=1：2，∴
????
????
=
1
2
，∵BE=20米，∴AE=50米，DF=40米，∵EF=BC，BC=5米，∴EF=5米，∴AD=AE+EF+DF=50+5+40=95米∴S梯形ABCD=
1
2
?(AD+BC)×BE=
1
2
×100×20=1000(平方米)
【考点】解直角三角形的应用，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】坡度是垂直距离与水平距离的比，坡度 ＝ (高程差/水平距离).本题考查了解直角三角形的应用.
22.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 ????,???? 均垂直于地面，点 ?? 在线段 ???? 上.在 ?? 点测得点 ?? 的仰角为
30
0
，点 ?? 的俯角也为
30
0
，测得 ??,?? 间的距离为10米，立柱 ???? 高30米.求立柱 ???? 的高（结果保留根号）.
/
【答案】解：作CF⊥AB于F，则四边形HBDC为矩形，
/∴BD=CF，BF=CD.由题意得，∠ACF=30°，∠CED=30°，设CD=x米，则AF=（30﹣x）米，在Rt△AFC中，FC=
????
tan∠??????
=
3
(30???) ，则BD=CF=
3
(30???) ，∴ED=
3
(30???) -10，在Rt△CDE中，ED=
????
tan∠??????
=
3
?? ，则
3
(30???) -10=
3
?? ?，解得，x=15﹣
5
3
3
，
答：立柱CD的高为（15﹣
5
3
3
）米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先由仰角和俯角的定义，是水平线与视线方向的夹角，则可作CF⊥AB于F，此时CF//水平线，则四边形HBDC为矩形，BD=CF，BF=CD；求CD，即设CD=x，由仰角和俯角可得到∠ACF=30°，∠CED=30°，用x表示出ED两种代数式，构造方程解答即可.
23.一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向./
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A、B间的距离（结果保留根号）.
【答案】（1）相等，理由如下：由图易知，∠QPB＝60°，∠PQB＝60°∴△BPQ是等边三角形，∴BQ＝PQ.（2）由（1）得PQ＝BQ＝900m在Rt△APQ中，AQ＝
????
cos∠??????
=
900
3
2
=600
3
（m），又∵∠AQB＝180°－（60°+30°）＝90°，∴在Rt△AQB中，AB＝
??
??
2
+??
??
2
＝
(600
3
)
2
+
900
2
＝300
21
（m）.答：A、B间的距离是300
21
m.
【考点】等边三角形的判定与性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】【分析】（1）由题意及图形可得∠QPB＝90°-30°=60°，∠PQB＝90°-30°=60°，根据三角形内角有两个角是60度的是等边三角形，可得△BPQ是等边三角形，由等边三角形的性质可得BQ=PQ；（2）AB是△AQP的边，而∠AQB＝180°－（60°+30°）＝90°，，则△AQP是直角三角形，所以可以根据勾股定理，只要求出BQ，AQ的值即可；由（1）中△BPQ是等边三角形，可得PQ＝BQ＝900m，在Rt△APQ中，∠AQP=30°，由三角函数即可解出AQ，所以可解得。
24.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（
3
≈1.732）/
【答案】解：过A作AD⊥CF于D，/由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=
????
????
，则AD=AC?sin∠ACD=250
3
≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】方向角问题需要首先构造直角三角形，所以过A作AD⊥CF于D，易得∠ACD=60°利用三角函数易得AD=433>400,所以可得结果。
25.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．/
【答案】解：设EC=x， 在Rt△BCE中，tan∠EBC= /，则BE= /= /x，在Rt△ACE中，tan∠EAC= /，则AE= /=x，∵AB+BE=AE，∴300+ /x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．答：这座山的高度是1900米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．
26.（2017?荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2
3
米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：
3
的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈
3
5
，cos37°≈
4
5
，tan37°≈
3
4
．计算结果保留根号）/
【答案】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠DCF=i=
1
3
=
3
3
，∴∠DCF=30°，∵CD=4，∴DF=
1
2
CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×
3
2
=2
3
，∴BF=BC+CF=2
3
+2
3
=4
3
，过点E作EG⊥AB于点G，则GE=BF=4
3
，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=37°，∴AG=GEtan∠AEG=4
3
?tan37°，则AB=AG+BG=4
3
?tan37°+3.5=3
3
+3.5，故旗杆AB的高度为（3
3
+3.5）米/
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=2
3
、DF=
1
2
CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4
3
、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=4
3
?tan37°可得答案．
27.? 2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．/
【答案】解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，AE=
1
2
AD=
1
2
×1400=700，DE=
3
AE=700
3
，∴BE=AB﹣AE=1000﹣700=300，∴DF=300，BF=700
3
，在Rt△CDF中，CF=
3
3
DF=
3
3
×300=100
3
，∴BC=700
3
+100
3
=800
3
．答：选手飞行的水平距离BC为800
3
m．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，利用含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AE,DE的长，根据BE=AB﹣AE算出BE的长，根据矩形的旋转得出DF，BF的长，在Rt△CDF中，利用含30°角的直角三角形的边之间的关系得出CF的长，从而根据BC=BF+FC算出答案。
28.（2014?遵义）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：
3
，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）/
【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i=
????
????
=
1
3
=tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=
1
2
CE=10米，CF=10
3
米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10
3
）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10
3
）米，∴AB=AH+HB=（35+10
3
）米．答：楼房AB的高为（35+10
3
）米．/
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：
3
，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．
29.2016年12月底我国首艘航空母舰辽宁舰与数艘去驱航舰组成编队，携多架歼﹣15舰载战斗机和多型舰载直升机开展跨海区训练和试验任务，在某次演习中，预警直升机A发现在其北偏东60°，距离160千米处有一可疑目标B，预警直升机立即向位于南偏西30°距离40千米处的航母C报告，航母舰载战斗机立即升空沿北偏东53°方向向可疑目标飞去，请求出舰载战斗机到达目标的航程BC．（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，
3
≈1.73）/
【答案】解：如图，过点B向经过点C表示正北方向的直线作垂线，垂足为点D，BD与过点A表示正北方向的直线交于点E，过点A作AF⊥CD于点F，∵在Rt△ACF中，∠ACF=30°，AF=AC?sin∠ACF=10×sin30°=40×
1
2
=20（千米），∴DE=AF=20（千米），∵在Rt△ABE中，∠BAE=60°，BE=AB?sin∠BAE=160×sin60°=160×
3
2
=80
3
（千米），∴BD=DE+BE=20+80
3
≈158.4（千米），∴在Rt△BDC中，BC=
????
??????∠??????
=
????
??????53°
≈
158.4
0.8
=198（千米）．故舰载战斗机到达目标的航程BC大约是198千米．/
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】如图，过点B向经过点C表示正北方向的直线作垂线，垂足为点D，BD与过点A表示正北方向的直线交于点E，过点A作AF⊥CD于点F，在Rt△ACF中，根据三角函数得出AF，进一步得出DE，再在Rt△ABE中，根据三角函数得出BE，进一步得出BD，再在Rt△BDC中，根据三角函数得出BC即可．

【期末 解析】苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的各个三角函数值（? ? ? ）
A.?都缩小?????????????????????????????/B.?都不变?????????????????????????????/C.?都扩大5倍?????????????????????????????/D.?无法确定
2.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东
40
°
方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ??）
A.?南偏西50°?????????????????????????B.?南偏西40°?????????????????????????C.?北偏东50°?????????????????????????D.?北偏东40°
3.河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：
3
（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ??）/
A.?5
3
米????????????????????????????????/B.?10米????????????????????????????????/C.?15米????????????????????????????????/D.?10
3
米
4.如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且
????
????
=
4
5
，则cosα的值等于（??）
A.?
3
4
??????????????????????????????????????????B.?
4
3
??????????????????????????????????????????C.?
4
5
??????????????????????????????????????????D.?
3
5
5.已知：△ABC中，∠C=90°，cosB＝
2
5
， AB=15，则BC的长是（　　）
A.?3
21
??????????????????????????????????????/B.?3
29
??????????????????????????????????????/C.?6??????????????????????????????????????/D.?
2
3
6.在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（　　）
A.?15°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
7.如图，已知：45°A.?sinA=cosA??????????????????????/B.?sinA>cosA??????????????????????/C.?sinA>tanA??????????????????????/D.?sinA8.如图，∠1的正切值为（? ?? ）/
A.?
1
3
???????????????????????????????????????????B.?
1
2
???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?2
9.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（　　）
/
A.?8.1米 ?B.?17.2米 ??C.?19.7米 ??D.?25.5米
10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为
3
2
，AC=2，则sinB的值是（）．
/
A.?
2
3
??????????????????????????????????????????B.?
3
2
??????????????????????????????????????????C.?
3
4
??????????????????????????????????????????D.?
4
3
二、填空题（共10题；共30分）
11.计算：
4
﹣（π﹣3）0﹣10sin30°﹣（﹣1）2017+
(
1
2
)
?2
=________．
12.已知在△ABC中，BC=6，AC=6
3
，∠A=30°，则AB的长是________．
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是________．
14.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧
????
上一点（不与A，B重合），则cosC的值为________． /
15.如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为________．
/
16.如图，为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C点测得塔顶E的仰角为45°，在D点测得塔顶E的仰角为60°，已知测角仪AC的高为1.6米，CD的长为6米，CD所在的水平线CG⊥EF于点G，铁塔EF的高为________米．（结果用带根号的式子表示）/
17.一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为________．
18.在△ABC中，AC=6
5
，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为
1
2
，并且CD⊥AC，则BC的长为________．
19.如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点 （不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且 cosa=
4
5
．下列结论： ①△ADE∽△ACD；?? ②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或
25
2
；?? ④CD2=CE?CA．? 其中正确的结论是________?（把你认为正确结论的序号都填上）//
20.如图，正方形ABCB1中，AB=1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1 ， 作正方形A1B1C1B2 ， 延长C1B2交直线l于点A2 ， 作正方形A2B2C2B3 ， 延长C2B3交直线l于点A3 ， 作正方形A3B3C3B4 ， …，依此规律，则A2016A2017=________．三、解答题（共9题；共60分）
21.如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，坝高20米，斜坡AB的坡比为1：2.5，斜坡CD的坡比为1：2，求大坝的截面面积? /
22.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 ????,???? 均垂直于地面，点 ?? 在线段 ???? 上.在 ?? 点测得点 ?? 的仰角为
30
0
，点 ?? 的俯角也为
30
0
，测得 ??,?? 间的距离为10米，立柱 ???? 高30米.求立柱 ???? 的高（结果保留根号）.
/
23.一轮船在P处测得灯塔A在正北方向，灯塔B在南偏东30°方向，轮船向正东航行了900m，到达Q处，测得A位于北偏西60°方向，B位于南偏西30°方向./
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A、B间的距离（结果保留根号）.
24.如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（
3
≈1.732）/
25.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．/
26.（2017?荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2
3
米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：
3
的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈
3
5
，cos37°≈
4
5
，tan37°≈
3
4
．计算结果保留根号）/
27.?第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．/
28.如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：
3
，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）/
29我国首艘航空母舰辽宁舰与数艘去驱航舰组成编队，携多架歼﹣15舰载战斗机和多型舰载直升机开展跨海区训练和试验任务，在某次演习中，预警直升机A发现在其北偏东60°，距离160千米处有一可疑目标B，预警直升机立即向位于南偏西30°距离40千米处的航母C报告，航母舰载战斗机立即升空沿北偏东53°方向向可疑目标飞去，请求出舰载战斗机到达目标的航程BC．（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，
3
≈1.73）/

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】A
二、填空题
11.【答案】1
12.【答案】12或6
13.【答案】
5
3

14.【答案】
4
5

15.【答案】
9
4
cm2
16.【答案】（10.6+3
3
）　
17.【答案】/或 /
18.【答案】
15
2
或15
19.【答案】①②③
20.【答案】2×31008
三、解答题
21.【答案】解：∵斜坡AB的坡度i=1：2.5，∴
????
????
=
1
2.5
，∵斜坡CD的坡度i=1：2，∴
????
????
=
1
2
，∵BE=20米，∴AE=50米，DF=40米，∵EF=BC，BC=5米，∴EF=5米，∴AD=AE+EF+DF=50+5+40=95米∴S梯形ABCD=
1
2
?(AD+BC)×BE=
1
2
×100×20=1000(平方米)
22.【答案】解：作CF⊥AB于F，则四边形HBDC为矩形，
/∴BD=CF，BF=CD.由题意得，∠ACF=30°，∠CED=30°，设CD=x米，则AF=（30﹣x）米，在Rt△AFC中，FC=
????
tan∠??????
=
3
(30???) ，则BD=CF=
3
(30???) ，∴ED=
3
(30???) -10，在Rt△CDE中，ED=
????
tan∠??????
=
3
?? ，则
3
(30???) -10=
3
?? ?，解得，x=15﹣
5
3
3
，
答：立柱CD的高为（15﹣
5
3
3
）米．
23.【答案】（1）相等，理由如下：由图易知，∠QPB＝60°，∠PQB＝60°∴△BPQ是等边三角形，∴BQ＝PQ.（2）由（1）得PQ＝BQ＝900m在Rt△APQ中，AQ＝
????
cos∠??????
=
900
3
2
=600
3
（m），又∵∠AQB＝180°－（60°+30°）＝90°，∴在Rt△AQB中，AB＝
??
??
2
+??
??
2
＝
(600
3
)
2
+
900
2
＝300
21
（m）.答：A、B间的距离是300
21
m.
24.【答案】解：过A作AD⊥CF于D，/由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=
????
????
，则AD=AC?sin∠ACD=250
3
≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．
25.【答案】解：设EC=x， 在Rt△BCE中，tan∠EBC= /，则BE= /= /x，在Rt△ACE中，tan∠EAC= /，则AE= /=x，∵AB+BE=AE，∴300+ /x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．答：这座山的高度是1900米
26.【答案】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠DCF=i=
1
3
=
3
3
，∴∠DCF=30°，∵CD=4，∴DF=
1
2
CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×
3
2
=2
3
，∴BF=BC+CF=2
3
+2
3
=4
3
，过点E作EG⊥AB于点G，则GE=BF=4
3
，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=37°，∴AG=GEtan∠AEG=4
3
?tan37°，则AB=AG+BG=4
3
?tan37°+3.5=3
3
+3.5，故旗杆AB的高度为（3
3
+3.5）米/
27.【答案】解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，AE=
1
2
AD=
1
2
×1400=700，DE=
3
AE=700
3
，∴BE=AB﹣AE=1000﹣700=300，∴DF=300，BF=700
3
，在Rt△CDF中，CF=
3
3
DF=
3
3
×300=100
3
，∴BC=700
3
+100
3
=800
3
．答：选手飞行的水平距离BC为800
3
m．
28.【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i=
????
????
=
1
3
=tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=
1
2
CE=10米，CF=10
3
米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10
3
）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10
3
）米，∴AB=AH+HB=（35+10
3
）米．答：楼房AB的高为（35+10
3
）米．/
29.【答案】解：如图，过点B向经过点C表示正北方向的直线作垂线，垂足为点D，BD与过点A表示正北方向的直线交于点E，过点A作AF⊥CD于点F，∵在Rt△ACF中，∠ACF=30°，AF=AC?sin∠ACF=10×sin30°=40×
1
2
=20（千米），∴DE=AF=20（千米），∵在Rt△ABE中，∠BAE=60°，BE=AB?sin∠BAE=160×sin60°=160×
3
2
=80
3
（千米），∴BD=DE+BE=20+80
3
≈158.4（千米），∴在Rt△BDC中，BC=
????
??????∠??????
=
????
??????53°
≈
158.4
0.8
=198（千米）．故舰载战斗机到达目标的航程BC大约是198千米．/