6.1 反比例函数
“函数”知多少
在某一变化过程中,不断变化的量叫变量(variable),保持不变的量叫常量.
变量之间的关系:
在某一变化过程中,如果一个变量(y)随着另一个变量(x)的变化而不断变化,那么x叫自变量(independent variable),y叫因变量(dependent variable).
变量与常量
回顾与思考
1
驶向胜利的彼岸
“函数” 知多少
一般地,在某个变化中,有两个变量x和y,如果给定一个x的值,相应地就确定了一个y的值,那么我们称y是x的函数(function),其中x叫自变量.
老师提示:
这里的函数是一个单值函数;
函数的实质是两个变量之间的关系.
回顾与思考
2
驶向胜利的彼岸
函数
“函数” 知多少
解析法:用一个式子表示函数关系;
列表法:用列表的方法表示函数关系;
图象法:用图象的方法表示函数关系.
老师提示:
用图象法表示函数关系时,首先在自变量的取值范围内取一些值,列表,描点,连线(按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连接起来).
回顾与思考
3
驶向胜利的彼岸
函数的表示方法
一次函数
“函数” 知多少
若两个变量x,y的关系可以表示成y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(linear function)(x为自变量,y为因变量).
特别地,当常数b＝0时,一次函数y=kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数,k≠0),称y是x的正比例函数.
一次函数与正比例函数之间的关系:正比例函数是特殊的一次函数.
回顾与思考
4
驶向胜利的彼岸
“函数” 知多少
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,称直线y=kx+b.
y随x的增大而增大;
一次函数的图象与性质
驶向胜利的彼岸
回顾与思考
5
x
y
o
x
y
o
y随x的增大而减小.
b<0
b>0
b=0
b<0
b>0
b=0
当k>0时,
当k<0时,
“函数” 知多少
当y=0时,为一元一次方程kx+b=0,这时方程的解为:
当y>0时,为一元一次不等式kx+b>0;当y<0时,为一元一次不等式kx+b<0.这时不等式的解集分别为:
一次函数,一元一次方程,一元一次不等式
驶向胜利的彼岸
回顾与思考
6
x
y
o
y=kx+b
(o,b)
y=0 ·
y>0
y<0
源于生活中的数学
同学们,你用拇指按图钉时,所用的力与钉尖受到的压强将如何变化?
过沼泽地时,人们常常用木板来垫脚.当人和木板对地面的压力一定时,随着木板面积的变化,人和木板对地面的压强将如何变化?
函数是刻画变量之间关系的数学模型.形如:
驶向胜利的彼岸
想一想
7
一个新的数学模型
的函数表示的变量关系是怎样的?你知道它有哪些特性吗?
物理与数学
欧姆定律
我们知道,电流I,电阻R,电压U之间满足关系式U=IR.当U=220V时.
(1)你能用含有R的代数式表示I吗?
(2)利用写出的关系式完成下表:
当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?
(3)变量I是R的函数吗?为什么?
驶向胜利的彼岸
做一做
8
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
11 5.5 3.67 2.75 2.2
驶向胜利的彼岸
舞台的灯光效果
欧姆定律的应用中的函数关系
舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天,或由黑夜变成白昼,这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.因为当电流I较小时,灯光较暗;反之,当电流I较大时,灯光较亮.
驶向胜利的彼岸
做一做
9
运动中的数学
行程问题中的函数关系
京沪高速公路全长约为1262km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京,汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间 有怎样的关系?变量t是v的函数吗?为什么?
驶向胜利的彼岸
做一做
10
“行家”看门道
反比例函数的定义
一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成：
驶向胜利的彼岸
做一做
11
的形式，那么称y是x的反比例函数.
在上面的问题中,像:
反映了两个变量之间的某种关系.
老师质疑:
反比例函数的自变量x能不能是0?为什么?
亲历知识发生和发展的过程
做一做
2.某村有耕地346.2公顷,人口数量n逐年发生变化,那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
1.一个矩形的面积是20cm2,相邻的两条边长为xcm和
y cm,那么变量y是x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
驶向胜利的彼岸
回顾与思考
12
挑战自我
合作愉快
随堂练习
1.在下列函数表达式中,x均表示自变量,那么哪些是反比例函数?每一个反比例函数相应的k值是多少?
2.你能举出两个反比例函数的实例吗?写出函数表达式,与同伴进行交流.
驶向胜利的彼岸
回味无穷
函数 一般地.在某个变化中,有两个变量x和y,如果给定一个x的值,相应地就确定了一个y的值,那么我们称y是x的函数(function),其中x叫自变量,y叫因变量.
一次函数 若两个变量x,y的关系可以表示成y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(linear function)(x为自变量,y为因变量).
正比例函数 特别地,当常数b＝0时,一次函数y=kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数,k≠0), 称y是x的正比例函数.
反比例函数 一般地,如果两个变量x,y之 间的关系可以表示成：
小结 拓展
的形式,那么称y是x的反比例函数.
结束寄语
函数来自现实生活,函数是描述现实世界变化规律的重要数学模型.
函数的思想是一种重要的数学思想,它是刻画两个变量之间关系的重要手段.
下课了!
再 见
6.2 反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象是
两支（ ）
①当k＞0时,函数图象位于第（ ）象限内;
②当k＜0时,函数图象位于第（ ）象限内;
正比例函数的图象是
一条（ ）
①当k＞0时，函数图象位于第（ ）象限内;
②当k＜0时,函数图象位于第（ ）象限内;
正比例函数
反比例函数
直线
一、三
二、四
曲线
一、三
二、四
复习回顾之想一想比一比
当k＞0时, y的值随x值的增大而（ ）
当k＜0时, y的值随x值的增大而（ ）
猜想：反比例函数的性质
回想：正比例函数的性质
当k＞0时, 在每个象限内，y的值随x值的增大而（ ）
当k＜0时,在每个象限
内，y的值随x值的增大而（ ）
增大
增大
减小
减小
复旧孕新之比一比猜一猜
观察反比例函数的图象，
回答下列问题：
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
并且不同两个象限内的y值大小关系怎样？
探索新知之想一想议一议
如果k=－2, －4,－6,那么
的图象有又什么共同特征？
探索新知之想一想议一议
反比例函数的图象，当 时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，并且第一象限内的y值大于第三象限内的y值；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，并且第二象限内的y值大于第四象限内的y值.
k>0
探索新知之归纳总结
例 函数 的图象上有三点
（－3,y1）, （－1,y2）, （2,y3）,则函数值y1,y2,y3的
大小关系是_______________.
y3< y1< y2
例2 已知反比例函数 ,y随x的
增大而减小，求a的值和表达式.
应用新知之想一想做一做
1.下列函数：① ；② ；
④ 中
（1）图象位于二、四象限的有 ；
（2）在每一象限内，随的增大而增大的有 ；
（3）在每一象限内，随的增大而减小的有 ．
③
① ②
③ ④
③ ④
应用新知之想一想做一做
2.若函数 的图象在其象限内， 随 的
增大而增大，则 的取值范围是 ．
m<-2
应用新知之想一想做一做
3.点 ，都在反比例函数
的图象上，若 ，则 的大小关系
是 ．
y1应用新知之想一想做一做
P
S1
Q
S2
再探新知之想一想议一议
与 有什么关系 ？以 为例
P
Q
S1
S2
S1,S2有什么关系？为什么？
反比例函数
R
S3
再探新知之想一想议一议
在一个反比例函数图象任取两点 P、Q ，过点P 作 X 轴的垂线,垂足为A,连接PO, (O为原点），与坐标轴围成的三角形面积为 ；过点 作 y 轴的垂线垂足为Q，连接QO,与坐标轴围成的三角形面积为 , 与 有什么关系？为什么？
变一变：
再探新知之变一变议一议
1.如图，P(x,y)是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，PA垂直x轴于点A,PB垂直y轴于点B,随着自变量 x 的增大，矩形OAPB的面积（ ）
A．不变 B.增大
C. 减小 D.无法确定
A
应用新知之想一想做一做
2.如图， 是反比例函数的图象在第一象限分支上的一个动点，过点P作PA垂直x轴于点A,连接PO，三角形OAP的面为__________
应用新知之想一想做一做
1、如图，三角形的面积为2，则反比例函数的表达式为（ ）
应用新知之能力提升
2、已知点 、点 都在反比例函数 的图象上.过点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是 ；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是 .求 、 、 的值.
能力提高
应用新知之能力提升
3、点 ，都在反比例函数
的图象上，若 ，则 的大小关系
是 ．
能力提升
应用新知之能力提升
归纳总结
本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?
你有哪些感悟和收获？
归纳总结之想一想说一说
1.下列函数中，图象位于第一、三象限的有 ；
在图象所在象限内， 随 的增大而增大的有 ．
2.已知点A（-1， ）、B（-2， ）在双曲线 上，则 (填“>、<或=”）．
分层达标
(1)(2)(3)
(4)
<
分层达标之 A层
已知
都在反比例函数 的图象上，比较 、 、 与 的大小．
分层达标
分层达标之 B层
已知点 都在反比例函数
的图象上，比较 、 与 的大小．
分层达标
分层达标之 C层
与面积有关的问题
反比例函数的应用
之
函数 正比例函数 反比例函数
解析式
图象
自变量取值范围
图象的
位置
性质
在每一个象限内:
当k>0时，y随x的增大而减小
当k<0时，y随x的增大而增大
一复习引入： 正比例函数与反比例函数的对比
y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数)
全体实数
x≠0的一切实数
当k>0时，在一、三象限；
当k<0时，在二、四象限。
当k>0时，在一、三象限；
当k<0时，在二、四象限
当k>0时，y随x的增大而增大
当k<0时，y随x的增大而减小
k<0
x
y
o
x
y
o
k>0
k<0
y
x
0
y
0
k>0
x
1.进一步巩固反比例函数的图像和性质；
2.理解和掌握反比例函数图像上任意一点向坐标轴作垂线，由垂线和坐标轴所构成的长方形面积相等的一般规律；能应用这个规律解决相关问题。
3.解决反比例函数和一次函数有关面积的综合问题。
学习目标
P(3,2)
A
o
y
x
B
引例：如图在函数 （x>0）的
图像上有p(3.2)、求 （1）k的值
（2）矩形OAPB的面积
P(m,n)
A
o
y
x
B
P(m,n)
A
o
y
x
B
探究：设P（m，n）是双曲线y= （k＞0）上任意一点，过P点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则：两条垂线与坐标轴围成的长方形的面积是多少？（含K的式子表示）
=OA·PA
=|m|·|n|
=|k|
k
x
P(m,n)
A
o
y
x
P(m,n)
A
o
y
x
变式1：设P（m，n）是双曲线y= （k≠0）上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为A，连接OP则
x
k
S△OAP=
OA·PA
=
|m|·|n|
= |k|
P(m,n)
A
o
y
x
P(m,n)
A
o
y
x
想一想
变式2：若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?
P(m,n)
A
o
y
x
Q
变式3： 设P（m，n）关于原点的对称点是Q(-m，-n），过P作x轴的垂线与过Q作y轴的垂线交于A点，则
S△PAQ=
|PA|·|AQ|
=
|2n|·|2m|
=2|k|
P(m,n)
A
o
y
x
B
P(m,n)
A
o
y
x
P(m,n)
A
o
y
x
P(m,n)
A
o
y
x
Q
P(m,n)
o
y
x
P/
y
P(m,n)
o
x
P/
以上题组揭示了由双曲线上的点出发构成的几何图形面积不变的结论.通过对这些结论的探究,加深了对反比例函数的理解，体会了变化中蕴含着不变的规律(上面图仅以P点在第一象限为例).
1.如图:A、C是函数 的图象上任意两点，
A. S1>S2
B. S1C. S1 = S2
D.S1和S2的大小关系不确定.
C
A
B
o
y
x
C
D
D
S1
S2
解:由结论可得
A
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3
C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
B
A1
o
y
x
A
C
B1
C1
S1
S3
S2
2、如图在函数y= （x>0）的图像上有A、B、C三点，经过三点分别向x轴引垂线交x轴于A1、B1、C1，连接OA、OB、OC，记△OAA1、△OBB1、△OCC1的面积分别为S1、S2、S3，则有 。
A. S = 1 B. 1C. S = 2 D. S>2
A
C
o
y
x
B
∴选C
解:由上述性质(3)可知,
S△ABC = 2|k| = 2
C
3、如图，A、B是函数y= 的图像上关于原点对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积为S，则 。
x
1
4.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的
关系式是 .
x
y
o
M
N
p
5.已知点P（2，-2）点Q（-1，a）都在反比例函数 图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足与两坐标轴围成的矩形面积为S1 ，过点Q分别向x轴、y轴作垂线， 垂足
与两坐标轴围成的矩形
面积为 S2 求：a,
S1, S2的值
P
Q
Y
X
1如图，正比例函数y=kx与反比例函数
的图象交于A、C两点，AB⊥x轴于
点B，CD⊥x轴于点D，
求四边形ABCD的面积.
A
y
x
C
O
B
D
A
y
O
B
x
M
N
通过这节课的学习，你有什么收获？还有那些困惑？
P(m,n)
A
o
y
x
P(m,n)
A
o
y
x
B
