2018-2019学年度湘教版数学九年级下期末质量评估试卷（含答案）

2018-2019学年度湘教版数学九年级下册期末质量评估试卷
班级 姓名
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．[2018·新疆]如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是(　C　)
A
B
C
D
2．[2017·阳谷县一模]已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为4 cm，以这个等腰三角形的顶角的顶点为圆心、5 cm为半径画圆，那么该圆与等腰三角形的底边的位置关系是(　A　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．不能确定
3．下列对二次函数y＝x2＋x的图象的描述，正确的是(　C　)
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴左侧部分是上升的
4．[2018·柳州]如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为(　D　)
A．84° B．60° C．36° D．24°
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为A(－2，－2)，且过点B(0，2)，则y与x的函数关系式为(　D　)
A．y＝x2＋2 B．y＝(x－2)2＋2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x＋2)2－2
第5题图
　　第6题图
6．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠AOD等于(　C　)
A．160° B．150° C．140° D．120°
【解析】 ∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∵∠CAB＝20°，∴∠BOD＝40°，∴∠AOD＝140°.
7．[2018·滨州]如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3.其中正确的个数是(　B　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ①∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，且开口向下，
∴x＝1时，y＝a＋b＋c，即二次函数的最大值为a＋b＋c，故①正确；
②当x＝－1时，a－b＋c＝0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2－4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A，B(－1，0)，
∴A(3，0)，故当y＞0时，－1＜x＜3，故④正确．
8．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 画树状图得：
答图
∵共有12种等可能的结果，其中乘积大于4的有6种情况，
∴从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是＝.
9．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为(　B　)
A．2π cm2 B．4π cm2
C．8π cm2 D．16π cm2
10．[2018·青岛]如图所示，已知一次函数y＝x＋c的图象如图，则二次函数y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是(　A　)
A
B
C
D
【解析】 观察一次函数图象可知：＜0，c＞0，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象对称轴x＝－＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选A.
第Ⅱ卷(非选择题　共110分)
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体：__球(答案不唯一)__．
12．如图，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，则指针指向红色的概率为____．
13．[2017·盐都区一模]抛物线y＝x2＋6x＋5的顶点坐标是__(－3，－4)__．
14．[2018·台州]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝__26__度．
　答图
【解析】 连接OC，如答图．
由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝64°.
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，
∴∠D＝90°－∠COD＝26°.
15．如图，有一弯形管道，其中心线是一段圆弧，半径OA＝10 cm，圆心角∠AOB＝108°，则的长为__6π__cm.
【解析】 由题意，得l＝＝6π(cm)．
第15题图
　　第16题图
16．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是__－3三、解答题(共86分)
17．(10分)如图是由几个小立方块所搭的几何体，请你画出它的三视图．
　答图
解：如答图所示．(10分)
18．(10分)如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，点C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由．
　　　答图
解：四边形OACB是菱形，理由如下：
如答图，连接OC.
∵点C是的中点，∴＝.
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝×120°＝60°.
又∵OA＝OC＝OB，
∴△AOC，△BOC均为正三角形，
∴OA＝OB＝BC＝AC.
∴四边形OACB是菱形．(10分)
19．(13分)[2018·黄冈]如图，已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．
　　答图
(1)证明：联立化简可得：
x2－(4＋k)x－1＝0，
∴Δ＝(4＋k)2＋4＞0，
故直线l与该抛物线总有两个交点．(5分)
(2)解：当k＝－2时，∴y＝－2x＋1.
如答图，过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，
联立
解得或
∴A(1－，2－1)，B(1＋，－1－2)，
∴AF＝2－1，BE＝1＋2.
易求得直线y＝－2x＋1与x轴的交点C为，
∴OC＝，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·AF＋OC·BE＝OC·(AF＋BE)
＝××(2－1＋1＋2)
＝.(13分)
20．(13分)[2018·荆门]文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》《中国成语大会》《朗读者》《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《经曲咏流传》(记为A)、《中国诗词大会》(记为B)、《中国成语大会》(记为C)、《朗读者》(记为D)中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目(记为E)．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
　
请根据图中信息解答下列问题：
(1)在这项调查中，共调查了多少名学生？
(2)将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；
(3)若选择“E”的学生中有2名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率．
解： (1)30÷20%＝150(人)，
∴共调查了150名学生．(3分)
(2)D：50%×150＝75(人)，
B：150－30－75－24－6＝15(人)，
补全条形图如答图所示．
答图
扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为×360°＝36°.(5分)
(3)记选择“E”的同学中的2名女生分别为N1，N2，4名男生分别为M1，M2，M3，M4，
列表如下：
N1
N2
M1
M2
M3
M4
N1
(N1，N2)
(N1，M1)
(N1，M2)
(N1，M3)
(N1，M4)
N2
(N2，N1)
(N2，M1)
(N2，M2)
(N2，M3)
(N2，M4)
M1
(M1，N1)
(M1，N2)
(M1，M2)
(M1，M3)
(M1，M4)
M2
(M2，N1)
(M2，N2)
(M2，M1)
(M2，M3)
(M2，M4)
M3
(M3，N1)
(M3，N2)
(M3，M1)
(M3，M2)
(M3，M4)
M4
(M4，N1)
(M4，N2)
(M4，M1)
(M4，M2)
(M4，M3)
∵共有30种等可能的结果，其中，恰好是同性别学生(记为事件F)的有14种情况，
∴P(F)＝＝.(13分)
21．(13分)[2018·毕节]某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该护肤品的日销售利润为w(元)，当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润是多少？
解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意得
解得k＝－2，b＝160，
所以y与x之间的函数关系式是y＝－2x＋160(40≤x≤80)．(5分)
(2)由题意得，w与x的函数关系式为
w＝(x－40)(－2x＋160)＝－2x2＋240x－6 400＝－2(x－60)2＋800，
当x＝60时，w最大为800，
所以当销售单价x为60元时，日销售利润w最大，最大日销售利润是800元．(13分)
22．(13分)[2018·怀化]如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D.
(1)求扇形OBC的面积(结果保留)；
(2)求证：CD是⊙O的切线．
(1)解：∵AB＝4，∴OB＝2.
∵∠COB＝60°，∴S扇形OBC＝＝.(5分)
(2)证明：∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC＝∠CAO.
∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴AD∥OC.
∵CD⊥AF，∴CD⊥OC.
∵C在圆上，∴CD是⊙O的切线．(13分)
23．(14分)[2018·黑龙江]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，2)，对称轴为直线x＝－2，平行于x轴的直线与抛物线交于B，C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6.
(1)求此抛物线的解析式．
(2)点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2∶3两部分，请直接写出P点的坐标．
　　答图
解： (1)由题意得x＝－＝－＝－2，c＝2，
解得b＝4，c＝2，
则此抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋2.(4分)
(2)∵抛物线对称轴为直线x＝－2，BC＝6，
∴B点横坐标为－5，C点横坐标为1.
把x＝1代入抛物线解析式得y＝7，
∴B(－5，7)，C(1，7)，
设直线AB的解析式为y＝kx＋2，
把B坐标代入得k＝－1，即y＝－x＋2，
作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，∴＝.
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2∶3两部分，
∴AQ∶QB＝2∶3或AQ∶QB＝3∶2，
即AQ∶AB＝2∶5或AQ∶AB＝3∶5.
∵BM＝5，∴QH＝2或QH＝3.
当QH＝2时，把x＝－2代入直线AB的解析式得y＝4，
此时Q(－2，4)，直线CQ的解析式为y＝x＋6，
令y＝0，得到x＝－6，即P(－6，0)；
当QH＝3时，把x＝－3代入直线AB的解析式得y＝5，
此时Q(－3，5)，直线CQ的解析式为y＝x＋，令y＝0，得到x＝－13，此时P(－13，0)，
综上，P点的坐标为(－6，0)或(－13，0)．(14分)
参考答案
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
　 　 　　　　　 　 　　　　 　 　　　
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．[2018·新疆]如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是(　C　)
A
B
C
D
2．[2017·阳谷县一模]已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为4 cm，以这个等腰三角形的顶角的顶点为圆心、5 cm为半径画圆，那么该圆与等腰三角形的底边的位置关系是(　A　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．不能确定
3．下列对二次函数y＝x2＋x的图象的描述，正确的是(　C　)
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴左侧部分是上升的
4．[2018·柳州]如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为(　D　)
A．84° B．60° C．36° D．24°
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为A(－2，－2)，且过点B(0，2)，则y与x的函数关系式为(　D　)
A．y＝x2＋2 B．y＝(x－2)2＋2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x＋2)2－2
第5题图
　　第6题图
6．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠AOD等于(　C　)
A．160° B．150° C．140° D．120°
【解析】 ∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∵∠CAB＝20°，∴∠BOD＝40°，∴∠AOD＝140°.
7．[2018·滨州]如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3.其中正确的个数是(　B　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ①∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，且开口向下，
∴x＝1时，y＝a＋b＋c，即二次函数的最大值为a＋b＋c，故①正确；
②当x＝－1时，a－b＋c＝0，故②错误；
③图象与x轴有2个交点，故b2－4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A，B(－1，0)，
∴A(3，0)，故当y＞0时，－1＜x＜3，故④正确．
8．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 画树状图得：
答图
∵共有12种等可能的结果，其中乘积大于4的有6种情况，
∴从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是＝.
9．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为(　B　)
A．2π cm2 B．4π cm2
C．8π cm2 D．16π cm2
10．[2018·青岛]如图所示，已知一次函数y＝x＋c的图象如图，则二次函数y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是(　A　)
A
B
C
D
【解析】 观察一次函数图象可知：＜0，c＞0，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象对称轴x＝－＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选A.
第Ⅱ卷(非选择题　共110分)
二、填空题(每小题4分，共24分)
11．写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体：__球(答案不唯一)__．
12．如图，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，则指针指向红色的概率为____．
13．[2017·盐都区一模]抛物线y＝x2＋6x＋5的顶点坐标是__(－3，－4)__．
14．[2018·台州]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝__26__度．
　答图
【解析】 连接OC，如答图．
由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝64°.
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，
∴∠D＝90°－∠COD＝26°.
15．如图，有一弯形管道，其中心线是一段圆弧，半径OA＝10 cm，圆心角∠AOB＝108°，则的长为__6π__cm.
【解析】 由题意，得l＝＝6π(cm)．
第15题图
　　第16题图
16．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是__－3三、解答题(共86分)
17．(10分)如图是由几个小立方块所搭的几何体，请你画出它的三视图．
　答图
解：如答图所示．(10分)
18．(10分)如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，点C是的中点，试判断四边形OACB的形状，并说明理由．
　　　答图
解：四边形OACB是菱形，理由如下：
如答图，连接OC.
∵点C是的中点，∴＝.
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝×120°＝60°.
又∵OA＝OC＝OB，
∴△AOC，△BOC均为正三角形，
∴OA＝OB＝BC＝AC.
∴四边形OACB是菱形．(10分)
19．(13分)[2018·黄冈]如图，已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．
　　答图
(1)证明：联立化简可得：
x2－(4＋k)x－1＝0，
∴Δ＝(4＋k)2＋4＞0，
故直线l与该抛物线总有两个交点．(5分)
(2)解：当k＝－2时，∴y＝－2x＋1.
如答图，过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，
联立
解得或
∴A(1－，2－1)，B(1＋，－1－2)，
∴AF＝2－1，BE＝1＋2.
易求得直线y＝－2x＋1与x轴的交点C为，
∴OC＝，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·AF＋OC·BE＝OC·(AF＋BE)
＝××(2－1＋1＋2)
＝.(13分)
20．(13分)[2018·荆门]文化是一个国家、一个民族的灵魂，近年来，央视推出《中国诗词大会》《中国成语大会》《朗读者》《经曲咏流传》等一系列文化栏目．为了解学生对这些栏目的喜爱情况，某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《经曲咏流传》(记为A)、《中国诗词大会》(记为B)、《中国成语大会》(记为C)、《朗读者》(记为D)中选择自己最喜爱的一个栏目，也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目(记为E)．根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
　
请根据图中信息解答下列问题：
(1)在这项调查中，共调查了多少名学生？
(2)将条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；
(3)若选择“E”的学生中有2名女生，其余为男生，现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率．
解： (1)30÷20%＝150(人)，
∴共调查了150名学生．(3分)
(2)D：50%×150＝75(人)，
B：150－30－75－24－6＝15(人)，
补全条形图如答图所示．
答图
扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为×360°＝36°.(5分)
(3)记选择“E”的同学中的2名女生分别为N1，N2，4名男生分别为M1，M2，M3，M4，
列表如下：
N1
N2
M1
M2
M3
M4
N1
(N1，N2)
(N1，M1)
(N1，M2)
(N1，M3)
(N1，M4)
N2
(N2，N1)
(N2，M1)
(N2，M2)
(N2，M3)
(N2，M4)
M1
(M1，N1)
(M1，N2)
(M1，M2)
(M1，M3)
(M1，M4)
M2
(M2，N1)
(M2，N2)
(M2，M1)
(M2，M3)
(M2，M4)
M3
(M3，N1)
(M3，N2)
(M3，M1)
(M3，M2)
(M3，M4)
M4
(M4，N1)
(M4，N2)
(M4，M1)
(M4，M2)
(M4，M3)
∵共有30种等可能的结果，其中，恰好是同性别学生(记为事件F)的有14种情况，
∴P(F)＝＝.(13分)
21．(13分)[2018·毕节]某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设该护肤品的日销售利润为w(元)，当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润是多少？
解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意得
解得k＝－2，b＝160，
所以y与x之间的函数关系式是y＝－2x＋160(40≤x≤80)．(5分)
(2)由题意得，w与x的函数关系式为
w＝(x－40)(－2x＋160)＝－2x2＋240x－6 400＝－2(x－60)2＋800，
当x＝60时，w最大为800，
所以当销售单价x为60元时，日销售利润w最大，最大日销售利润是800元．(13分)
22．(13分)[2018·怀化]如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D.
(1)求扇形OBC的面积(结果保留)；
(2)求证：CD是⊙O的切线．
(1)解：∵AB＝4，∴OB＝2.
∵∠COB＝60°，∴S扇形OBC＝＝.(5分)
(2)证明：∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC＝∠CAO.
∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠FAC＝∠ACO，
∴AD∥OC.
∵CD⊥AF，∴CD⊥OC.
∵C在圆上，∴CD是⊙O的切线．(13分)
23．(14分)[2018·黑龙江]如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，2)，对称轴为直线x＝－2，平行于x轴的直线与抛物线交于B，C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6.
(1)求此抛物线的解析式．
(2)点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2∶3两部分，请直接写出P点的坐标．
　　答图
解： (1)由题意得x＝－＝－＝－2，c＝2，
解得b＝4，c＝2，
则此抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋2.(4分)
(2)∵抛物线对称轴为直线x＝－2，BC＝6，
∴B点横坐标为－5，C点横坐标为1.
把x＝1代入抛物线解析式得y＝7，
∴B(－5，7)，C(1，7)，
设直线AB的解析式为y＝kx＋2，
把B坐标代入得k＝－1，即y＝－x＋2，
作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，∴＝.
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2∶3两部分，
∴AQ∶QB＝2∶3或AQ∶QB＝3∶2，
即AQ∶AB＝2∶5或AQ∶AB＝3∶5.
∵BM＝5，∴QH＝2或QH＝3.
当QH＝2时，把x＝－2代入直线AB的解析式得y＝4，
此时Q(－2，4)，直线CQ的解析式为y＝x＋6，
令y＝0，得到x＝－6，即P(－6，0)；
当QH＝3时，把x＝－3代入直线AB的解析式得y＝5，
此时Q(－3，5)，直线CQ的解析式为y＝x＋，令y＝0，得到x＝－13，此时P(－13，0)，
综上，P点的坐标为(－6，0)或(－13，0)．(14分)