【易错题解析】湘教版九年级数学下册 第一章二次函数 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.二次函数y=x2﹣2的顶点坐标是（?? ）
A.?（0，0）????????????????????????/B.?（0，﹣2）????????????????????????/C.?（0，2）????????????????????????/D.?（
2
，0）
2.对于二次函数 ??=?
(??+2)
2
+3 ，下列结论中，错误的是（ ??） A.?对称轴是直线x=-2；??????????????????????????????????????????/B.?当x>-2时，y随x的增大而减小； C.?当x=-2时，函数的最大值为3；??????????????????????????/D.?开口向上；
3.将抛物线Y=3X2先向上平移3个单位，再向左平移2个单位所得的解析式为(?????)
A.?y=3（x+2）2+3????????????/B.?y=3（x-2）2+3????????????/C.?y=3（x+2）2-3????????????/D.?y=3（x-2）2-3
4.在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1 ， C1关于原点对称的图象为C2 ， 则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（?? ）
A.?1个?????????????????????B.?1个或2个?????????????????????C.?1个或2个或3个?????????????????????D.?1个或2个或3个或4个
5.二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A.?3?????????????????????????????????????/B.?5??????????????????????????????????????/C.?﹣3和5?????????????????????????????????????/D.?3和﹣5
6.已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（???????????? ）
/
A.?有最小值0，有最大值3???????????????????????????????????????/B.?有最小值-1，有最大值0 C.?有最小值-1，有最大值3?????????????????????????????????????/D.?有最小值-1，无有最大值
7.如图，已知二次函数 ??=??
??
2
+????+?? 的部分图象与坐标轴交于A（3，0）和C（0，2）两点，对称轴为直线 ??=1 ，当函数值 ?? ＞0时，自变量 ?? 的取值范围是(??? ) /
A.??? ＜3??????????????????????????B.?0≤ ?? ＜3??????????????????????????C.?－2＜ ?? ＜3??????????????????????????D.?－1＜ ?? ＜3
8.如图为抛物线y=ax2+bx+c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 ???（????） /
A.?a＋b=－1??????????????????????????/B.?a－b=－1??????????????????????????/C.?b<2a ??????????????????????????/D.?ac<0
9.如图，抛物线y=﹣
1
12
x2+
2
3
x+
5
3
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（?? ） /
A.?（4，3）???????????????????????/B.?（5，
35
12
）???????????????????????/C.?（4，
35
12
）???????????????????????/D.?（5，3）
10.（2017?荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程； ②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3； ③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m，n）在反比例函数y=
4
??
的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程． 上述结论中正确的有（?? ）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?③④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
二、填空题（共10题；共30分）
11.若将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到的抛物线是________．
12.将抛物线y1=x2﹣2x﹣1先向右平移2个为单位，再向下平移1个单位得到抛物线y2 ， 则抛物线y2的顶点坐标是________．
13.已知点A(-2,m)、B(2,n)都在抛物线 ??=
??
2
+2????? 上，则m与n的大小关系是m ________n．（填“>”、“<”或“=”）
14.将二次函数y=x2﹣2x+4化成y=（x﹣h）2+k的形式，则k=________?
15.抛物线y=2（x﹣1）2+5的顶点坐标是________．
16.将抛物线y=
1
3
x2经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，2），则平移后所得抛物线的解析式为________．
17.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为________元．
18.已知（-1，
??
1
），（3，
??
2
）是抛物线 ??=
??
2
+4??+?? 图象上的点，请将
??
1
,
??
2
用“＜”号连接________.
19.把二次函数y=x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），则b+c的值为________．
20.如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有________（填序号）．①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c． /
三、解答题（共7题；共60分）
21.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．求该抛物线的解析式． /
22.某公司生产A种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：
x（万元）
0
0.5
1
1.5
2
…
y
1
1.275
1.5
1.675
1.8
…
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？ （3）如果公司希望年利润W（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．
23.某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500． （1）设商场销售该种商品每月获得利润为w（元），写出w与x之间的函数关系式； （2）如果商场想要销售该种商品每月获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？ （3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．
24.如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B．
/
（1）求二次函数与一次函数的表达式．
（2）根据图象，写出满足(x+2)2≥kx+b－m的x的取值范围
25.二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
5
…
y
…
7
0
﹣5
﹣8
﹣9
7
…
（1）求此二次函数的解析式； （2）写出抛物线顶点坐标和对称轴．
26.（2017?株洲）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1， ①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；? ②若c=-
1
4
b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？ ③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x1＜x2 ， 与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足
????
????
=
1
3
，求二次函数的表达式． /
27.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D． / （1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC的面积； （3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
二、填空题
11.【答案】y=2（x+1）2+2
12.【答案】y=（x﹣3）2﹣3
13.【答案】＜
14.【答案】3
15.【答案】（1，5）
16.【答案】y=
1
3
（x+3）2+2
17.【答案】25
18.【答案】
??
1
<
??
2
19.【答案】0
20.【答案】①③④
三、解答题
21.【答案】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0）， ∴ /， 解得 /． ∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3
22.【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c，由题意，得
1=??
1.5=??+??+??
1.8=4??+2??+??
， 解得：
??=?0.1
??=0.6
??=1
， ∴y=﹣0.1x2+0.6x+1； （2）由题意，得 W=（8﹣6）×5（﹣0.1x2+0.6x+1）﹣x， W=﹣x2+5x+10， W=﹣（x﹣2.5）2+16.25． ∴a=﹣1＜0， ∴当x=2.5时，W最大=16.25． 答：年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式为W=﹣x2+5x+10，每年投入的广告费是2.5万元时所获得的利润最大为16.25万元． （3）当W=14时， ﹣x2+5x+10=14， 解得：x1=1，x2=4， ∴1≤x≤4时，年利润W（万元）不低于14万元．
23.【答案】解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）?y， =（x﹣20）?（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000， （2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000=2000， 解这个方程得：x1=30，x2=40， 答：想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元． （3）当销售量每月不小于150件时，即﹣10x+500≥150， 解得：x≤35， 由题意，得： w=（x﹣22+3）?y =（x﹣19）?（﹣10x+500） =﹣10x2+690x﹣9500 =﹣10（x﹣34.5）2+2402.5 ∴当定价34.5元时，新产品每月可获得销售利润最大值是2402.5元．
24.【答案】（1）解：把A点代入二次函数，解得m=－1，
∴二次函数表达式为y=(x+2)2－1
∴B点坐标为(－4，3)，从而一次函数为：y=－x－1
（2）解：∵(x+2)2≥kx+b－m把m移到左边的式子可得：(x+2)2+m≥kx+b，即二次函数大于一次函数，由图像可得，x的取值范围为：x≥－1或者x≤－4
25.【答案】解：（1）把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8）代入y=ax2+bx+c得
4???2??+??=0
?????+??=?5
??=?8
，解得
??=1
??=?2
??=?8
， ∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣8； （2）∵y=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9），对称轴为直线x=1．
26.【答案】解：①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=
??
2
， 当b=1时，
??
2
=
1
2
， ∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=
1
2
． ②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（
??
2
，
4(??+1)+
??
2
4
）， ∵二次函数的图象与x轴相切且c=-
1
4
b2﹣2b， ∴ {
4(??+1)+
??
2
4
=0
??=?
1
4
??
2
?2??
，解得：b=
1
2
， ∴b为
1
2
时，二次函数的图象与x轴相切． ③∵AB是半圆的直径， ∴∠AMB=90°， ∴∠OAM+∠OBM=90°， ∵∠AOM=∠MOB=90°， ∴∠OAM+∠OMA=90°， ∴∠OMA=∠OBM， ∴△OAM∽△OMB， ∴
????
????
=
????
????
， ∴OM2=OA?OB， ∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）， ∴OA=﹣x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x1?x2=﹣（c+1）， ∵OM=c+1， ∴（c+1）2=c+1， 解得：c=0或c=﹣1（舍去）， ∴c=0，OM=1， ∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足
????
????
=
1
3
， ∴AD=BD，DF=4DE， DF∥OM， ∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF， ∴
????
????
=
????
????
，
????
????
=
????
????
， ∴DE=
????
????
，DF=
????
????
， ∴
????
????
=
????
????
×4， ∴OB=4OA，即x2=﹣4x1 ， ∵x1?x2=﹣（c+1）=﹣1， ∴ {
??
1
?
??
2
=?1
??
2
=?4
??
1
，解得： {
??
1
=?
1
2
??
2
=2
， ∴b=﹣
1
2
+2=
3
2
， ∴二次函数的表达式为y=﹣x2+
3
2
x+1．
27.【答案】解：（1）由题意，得：
?????+??=0
9??+3??+??=0
??=3
， 解之，得：
??=?1
??=2
??=3
， ∴y=-x2+2x+3； （2）由（1）可知y=-（x-1）2+4， ∴顶点坐标为D（1，4）， / 设其对称轴与x轴的交点为E， ∵S△AOC=
1
2
|AO|·|OC|=
1
2
×1×3=
3
2
， S梯形OEDC=
1
2
（|DC|+|DE|）×|OE|=
1
2
（3+4）×1=
7
2
， S△DEB=
1
2
|EB|·|DE|=
1
2
×2×4=4， S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OEDC+S△DEB=
3
2
+
7
2
+4=9； （3）△DCB与△AOC相似， 证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F， / ∵D（1，4），F（0，4）， ∴Rt△DFC中，DC=
2
，且∠DCF=45°， 在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=3
2
， ∴∠AOC=∠DCB=90°，
????
????
=
????
????
=
2
1
， ∴△DCB∽△AOC．
【易错题解析】湘教版九年级数学下册 第一章二次函数 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.二次函数y=x2﹣2的顶点坐标是（?? ）
A.?（0，0）????????????????????????/B.?（0，﹣2）????????????????????????/C.?（0，2）????????????????????????/D.?（
2
，0）
【答案】B
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2）． 故选B． 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
2.对于二次函数 ??=?
(??+2)
2
+3 ，下列结论中，错误的是（ ??）
A.?对称轴是直线x=-2；??????????????????????????????????????????/B.?当x>-2时，y随x的增大而减小； C.?当x=-2时，函数的最大值为3；??????????????????????????/D.?开口向上；
【答案】D
【考点】二次函数的最值，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵y= ??=?
(??+2)
2
+3 ，
∴抛物线对称轴为x=?2，故A不符合题意；
∵a=-1<0，
∴抛物线开口向下，故D符合题意；
∴当x=?2时，函数有最大值3，故C不符合题意；
∴当x?2时，函数y随x的增大而减小，故B不符合题意。
故答案为：D.
【分析】利用二次函数的最值、对称轴以及开口方向和增减性分别判断得出即可.
3.将抛物线Y=3X2先向上平移3个单位，再向左平移2个单位所得的解析式为(?????)
A.?y=3（x+2）2+3????????????/B.?y=3（x-2）2+3????????????/C.?y=3（x+2）2-3????????????/D.?y=3（x-2）2-3
【答案】A
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3； 由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2)2+3． 故选A．
4.在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1 ， C1关于原点对称的图象为C2 ， 则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有（?? ）
A.?1个?????????????????????B.?1个或2个?????????????????????C.?1个或2个或3个?????????????????????D.?1个或2个或3个或4个
【答案】C
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1 ， C1关于原点对称的图象为C2 ， C2图象是y=﹣x2﹣2x， a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，与C2有一个交点，所以直线y=a（a为常数）与C1、C2有一个交点； 直线y=a经过C1的顶点时，与C2有一个交点，共有两个交点； 直线y=a（a为常数）与C1有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点； 故选：C． 【分析】根据关于原点对称的关系，可得C2 ， 根据直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点，可得答案．
5.二次函数y=x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A.?3?????????????????????????????????????/B.?5??????????????????????????????????????/C.?﹣3和5?????????????????????????????????????/D.?3和﹣5
【答案】D
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意，得x2+2x﹣7=8，即x2+2x﹣15=0，解得x=3或﹣5，故选D． 【分析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可．
6.已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（???????????? ）
/
A.?有最小值0，有最大值3???????????????????????????????????????/B.?有最小值-1，有最大值0 C.?有最小值-1，有最大值3?????????????????????????????????????/D.?有最小值-1，无有最大值
【答案】C
【考点】二次函数的最值
【解析】【解答】由图象可知该函数在所给自变量取值范围内有最小值为-1,最大值为3；
故答案为：C
【分析】由选项可知要求所给范围内函数的最大值与最小值，结合图像可知：最小值在顶点处取得，最大值在端点x=3处取得.
7.如图，已知二次函数 ??=??
??
2
+????+?? 的部分图象与坐标轴交于A（3，0）和C（0，2）两点，对称轴为直线 ??=1 ，当函数值 ?? ＞0时，自变量 ?? 的取值范围是(??? ) /
A.??? ＜3??????????????????????????B.?0≤ ?? ＜3??????????????????????????C.?－2＜ ?? ＜3??????????????????????????D.?－1＜ ?? ＜3
【答案】D
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数 ??=??
??
2
+????+?? 的对称轴为直线 ??=1 ，且与x轴的交点为（3,0）， ∴它与x轴的另一个交点为（-1,0）. 当函数值 ??>0 时，即 ??=??
??
2
+????+?? 在x轴的上半部分， ∴ ?1 0 可知，函数图像在x轴的上半部分，则自变量 x 的取值范围是两个交点之间的部分。
8.如图为抛物线y=ax2+bx+c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 ???（????） /
A.?a＋b=－1??????????????????????????/B.?a－b=－1??????????????????????????/C.?b<2a ??????????????????????????/D.?ac<0
【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
【分析】由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标（0，1)以及A的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．
【解答】A不正确：由图象可知，当x=1时，y＞0，即a+b＞0； B正确：由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c)， 又因为OC=OA=1， 所以C（0，1)，A（-1，0)， 把它代入y=ax2+bx+c， 即a?（-1)2+b?（-1)+1=0， 即a-b+1=0， 所以a-b=-1． C不正确：由图象可知，-
??
2??
?＜-1，解得b＞2a； D不正确：由图象可知，抛物线开口向上，所以a＞0；又因为c=1，所以ac＞0． 故选：B．
9.如图，抛物线y=﹣
1
12
x2+
2
3
x+
5
3
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（?? ） /
A.?（4，3）???????????????????????/B.?（5，
35
12
）???????????????????????/C.?（4，
35
12
）???????????????????????/D.?（5，3）
【答案】B
【考点】二次函数的最值，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：连接PC、PO、PA， / 设点P坐标（m，﹣
1
12
??
2
+
2
3
??+
5
3
） 令x=0，则y=
5
3
，点C坐标（0，
5
3
）， 令y=0则﹣
1
12
x2+
2
3
x+
5
3
=0，解得x=﹣2或10， ∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0）， ∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC=
1
2
×
5
3
×m+
1
2
×10×（﹣
1
12
??
2
+
2
3
??+
5
3
）﹣
1
2
×
5
3
×10=﹣
5
12
（m﹣5）2+
125
12
， ∴x=5时，△PAC面积最大值为
125
12
， 此时点P坐标（5，
35
12
）． 故点P坐标为（5，
35
12
）． 【分析】连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，﹣
1
12
??
2
+
2
3
??+
5
3
），根据S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．
10.（2017?荆州）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程； ②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3； ③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m，n）在反比例函数y=
4
??
的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程． 上述结论中正确的有（?? ）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?③④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
【答案】C
【考点】根的判别式，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①由x2﹣2x﹣8=0，得 （x﹣4）（x+2）=0， 解得x1=4，x2=﹣2， ∵x1≠2x2 ， 或x2≠2x1 ， ∴方程x2﹣2x﹣8=0不是倍根方程． 故①错误；②关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程， ∴设x2=2x1 ， ∴x1?x2=2x12=2， ∴x1=±1， 当x1=1时，x2=2， 当x1=﹣1时，x2=﹣2， ∴x1+x2=﹣a=±3， ∴a=±3，故②正确；③关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程， ∴x2=2x1 ， ∵抛物线y=ax2﹣6ax+c的对称轴是直线x=3， ∴抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0）， 故③正确；④∵点（m，n）在反比例函数y=
4
??
的图象上， ∴mn=4， 解mx2+5x+n=0得x1=﹣
2
??
，x2=﹣
8
??
， ∴x2=4x1 ， ∴关于x的方程mx2+5x+n=0不是倍根方程； 故选C． 【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设x2=2x1 ， 得到x1?x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=﹣1时，x2=﹣2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y=
4
??
的图象上，得到mn=4，然后解方程mx2+5x+n=0即可得到正确的结论；
二、填空题（共10题；共30分）
11.若将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到的抛物线是________．
【答案】y=2（x+1）2+2
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】∵函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后抛物线顶点坐标为（-1，2）. ∴得到的抛物线是y=2（x+1）2+2． 【分析】二次函数图象与几何变换．
12.将抛物线y1=x2﹣2x﹣1先向右平移2个为单位，再向下平移1个单位得到抛物线y2 ， 则抛物线y2的顶点坐标是________．
【答案】y=（x﹣3）2﹣3
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=x2-2x-1向右平移2个单位，得：y=（x-3）2-2； 再向下平移1个单位，得：y=（x-3）2-2-1=（x-1）2-3；即y=（x-3）2-3； 故答案是：y=（x-3）2-3． 【分析】首先将抛物线y=x2-2x-1配成顶点式，然后根据平移规律向右平移2个单位，得：y=（x-3）2-2；再向下平移1个单位，得：y=（x-3）2-2-1=（x-1）2-3；即y=（x-3）2-3；从而得出答案。
13.已知点A(-2,m)、B(2,n)都在抛物线 ??=
??
2
+2????? 上，则m与n的大小关系是m ________n．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】＜
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】当x=-2时，y=-t，即m=-t，当x=2时，y=8-t，即n=8-t， -t<8-t，所以m14.将二次函数y=x2﹣2x+4化成y=（x﹣h）2+k的形式，则k=________?
【答案】3
【考点】二次函数的三种形式
【解析】【解答】解：y=x2﹣2x+4=（x2﹣2x+1）﹣1+4=（x﹣1） 2+3． 则k=3， 故答案是：3． 【分析】利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，得出k的值即可．
15.抛物线y=2（x﹣1）2+5的顶点坐标是________．
【答案】（1，5）
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵y=2（x﹣1）2+5是抛物线解析式的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，5）． 【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
16.将抛物线y=
1
3
x2经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，2），则平移后所得抛物线的解析式为________．
【答案】y=
1
3
（x+3）2+2
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】根据二次函数的平移规律：左加右减（x），上加下减（y）， 直接可得将抛物线y=
1
3
x2经过两次平移后所得抛物线y=
1
3
（x+3）2+2. 故答案为：y=
1
3
（x+3）2+2. 【分析】根据二次函数的平移规律：左加右减（x），上加下减（y），函数的顶点由（0,0）平移到（﹣3，2），可求得答案。
17.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为________元．
【答案】25
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：设最大利润为w元， 则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25， ∵20≤x≤30， ∴当x=25时，二次函数有最大值25， 故答案是：25． 【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
18.已知（-1，
??
1
），（3，
??
2
）是抛物线 ??=
??
2
+4??+?? 图象上的点，请将
??
1
,
??
2
用“＜”号连接________.
【答案】
??
1
<
??
2
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】∵抛物线解析式为：y = x2 + 4 x + m=（x+2）2+m-4， ∴对称轴x=-2， ∴当x>-2时，y随x的增大而增大， 又∵（-1， y1 ），（3， y2 ）在抛物线上， ∴-2<-1<3， ∴y1 -2时，y随x的增大而增大，从而求出y119.把二次函数y=x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），则b+c的值为________．
【答案】0
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据题意y=x2+bx+c=（x+
??
2
）2+c﹣
??
2
4
下平移1个单位，再向左平移2个单位，得y=（x+
??
2
+2）2+c﹣
??
2
4
﹣1． ∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），∴﹣
??
2
﹣2=﹣1，c﹣
??
2
4
﹣1=0， 解得：b=﹣2，c=2， ∴b+c=0， 故答案为：0． 【分析】抛物线y=x2+bx+c化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
20.如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有________（填序号）．①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c． /
【答案】①③④
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交于负半轴， ???????????? ∴a>0，?
??
2??
>0，c<0， ???????????? ∴b<0，abc>0，①正确； ???????????? ②∵抛物线与x轴有两个不同交点， ???????????? ∴??=b2-4ac>0，b2>4ac，②正确； ???????????? ③当x=-2时，y=4a-2b+c>0，③正确； ???????????? ④∵0??
2??
<1， ????????????? ∴-2a0>c，④正确. ??????????? 故答案为：①③④. 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键.
三、解答题（共7题；共60分）
21.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．求该抛物线的解析式． /
【答案】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0）， ∴ /， 解得 /． ∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3
【考点】待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点
【解析】【分析】由题意抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，利用待定系数法求出b，c的值，得出函数解析式即可．
22.某公司生产A种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：
x（万元）
0
0.5
1
1.5
2
…
y
1
1.275
1.5
1.675
1.8
…
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？ （3）如果公司希望年利润W（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．
【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c，由题意，得
1=??
1.5=??+??+??
1.8=4??+2??+??
， 解得：
??=?0.1
??=0.6
??=1
， ∴y=﹣0.1x2+0.6x+1； （2）由题意，得 W=（8﹣6）×5（﹣0.1x2+0.6x+1）﹣x， W=﹣x2+5x+10， W=﹣（x﹣2.5）2+16.25． ∴a=﹣1＜0， ∴当x=2.5时，W最大=16.25． 答：年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式为W=﹣x2+5x+10，每年投入的广告费是2.5万元时所获得的利润最大为16.25万元． （3）当W=14时， ﹣x2+5x+10=14， 解得：x1=1，x2=4， ∴1≤x≤4时，年利润W（万元）不低于14万元．
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c，由待定系数法求出其解即可； （2）由销售问题的数量关系利润=销售总额﹣成本费用﹣广告费用就可以表示出W与x之间的关系式； （3）当y=14时代入（2）的解析式求出x的值，由二次函数的图象特征就可以得出结论
23.某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500． （1）设商场销售该种商品每月获得利润为w（元），写出w与x之间的函数关系式； （2）如果商场想要销售该种商品每月获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？ （3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．
【答案】解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）?y， =（x﹣20）?（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000， （2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000=2000， 解这个方程得：x1=30，x2=40， 答：想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元． （3）当销售量每月不小于150件时，即﹣10x+500≥150， 解得：x≤35， 由题意，得： w=（x﹣22+3）?y =（x﹣19）?（﹣10x+500） =﹣10x2+690x﹣9500 =﹣10（x﹣34.5）2+2402.5 ∴当定价34.5元时，新产品每月可获得销售利润最大值是2402.5元．
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数y=﹣10x+500，利润=（定价﹣成本价）×销售量，从而列出关系式； （2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价； （3）根据销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，则利润=（定价﹣成本价+补贴）×销售量，从而列出关系式；运二次函数性质求出结果．
24.如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B．
/
（1）求二次函数与一次函数的表达式．
（2）根据图象，写出满足(x+2)2≥kx+b－m的x的取值范围
【答案】（1）解：把A点代入二次函数，解得m=－1，
∴二次函数表达式为y=(x+2)2－1
∴B点坐标为(－4，3)，从而一次函数为：y=－x－1
（2）解：∵(x+2)2≥kx+b－m把m移到左边的式子可得：(x+2)2+m≥kx+b，即二次函数大于一次函数，由图像可得，x的取值范围为：x≥－1或者x≤－4
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】解、（1）∵点A(－1，0)在抛物线上， ∴把A点代入二次函数的解析式得，0=（-1+2）2+m， 解得m=-1; ∴二次函数表达式为y=(x+2)2－1; ∵抛物线y=(x+2)2－1与y轴交于点C， ∴点C（0,3），对称轴为直线x=-2， ∵点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称, ∴可得B点坐标为(－4，3)， 设一次函数的解析式为y=kx+b， 把点A、B的坐标代入解析式可得
?4??+??=3
???+??=0
, 解得k=-1，b=-1， ∴一次函数的解析式为：y=－x－1； （2）∵(x+2)2≥kx+b－m， ∴(x+2)2+m≥kx+b， 即二次函数大于一次函数， 由图像可得，x的取值范围为：x≥－1或者x≤－4。 【分析】（1）用待定系数法可求得二次函数的解析式；由轴对称的性质可求得点B的坐标，用待定系数法可求得一次函数的解析式； （2）将不等式移项可知，满足(x+2)2≥kx+b－m的x的取值范围即是二次函数大于一次函数的x的取值范围，根据图像和（1）中的结论即可求解。
25.二次函数y=ax2+bx+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
5
…
y
…
7
0
﹣5
﹣8
﹣9
7
…
（1）求此二次函数的解析式； （2）写出抛物线顶点坐标和对称轴．
【答案】解：（1）把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8）代入y=ax2+bx+c得
4???2??+??=0
?????+??=?5
??=?8
，解得
??=1
??=?2
??=?8
， ∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣8； （2）∵y=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9），对称轴为直线x=1．
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把（﹣2，0），（﹣1，﹣5），（0，﹣8）代入y=ax2+bx+c中，根据待定系数法即可求得； （2）把解析式化成顶点式即可求得．
26.（2017?株洲）已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1， ①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；? ②若c=-
1
4
b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？ ③若二次函数的图象与x轴交于点A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），且x1＜x2 ， 与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足
????
????
=
1
3
，求二次函数的表达式． /
【答案】解：①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=
??
2
， 当b=1时，
??
2
=
1
2
， ∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=
1
2
． ②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（
??
2
，
4(??+1)+
??
2
4
）， ∵二次函数的图象与x轴相切且c=-
1
4
b2﹣2b， ∴ {
4(??+1)+
??
2
4
=0
??=?
1
4
??
2
?2??
，解得：b=
1
2
， ∴b为
1
2
时，二次函数的图象与x轴相切． ③∵AB是半圆的直径， ∴∠AMB=90°， ∴∠OAM+∠OBM=90°， ∵∠AOM=∠MOB=90°， ∴∠OAM+∠OMA=90°， ∴∠OMA=∠OBM， ∴△OAM∽△OMB， ∴
????
????
=
????
????
， ∴OM2=OA?OB， ∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）， ∴OA=﹣x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x1?x2=﹣（c+1）， ∵OM=c+1， ∴（c+1）2=c+1， 解得：c=0或c=﹣1（舍去）， ∴c=0，OM=1， ∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足
????
????
=
1
3
， ∴AD=BD，DF=4DE， DF∥OM， ∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF， ∴
????
????
=
????
????
，
????
????
=
????
????
， ∴DE=
????
????
，DF=
????
????
， ∴
????
????
=
????
????
×4， ∴OB=4OA，即x2=﹣4x1 ， ∵x1?x2=﹣（c+1）=﹣1， ∴ {
??
1
?
??
2
=?1
??
2
=?4
??
1
，解得： {
??
1
=?
1
2
??
2
=2
， ∴b=﹣
1
2
+2=
3
2
， ∴二次函数的表达式为y=﹣x2+
3
2
x+1．
【考点】二次函数的应用，相似三角形的应用
【解析】【分析】①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=
??
2
，即可得出答案；②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（
??
2
，
4(??+1)+
??
2
4
），y由二次函数的图象与x轴相切且c=
1
4
b2﹣2b，得出方程组 {
4(??+1)+
??
2
4
=0
??=?
1
4
??
2
?2??
，求出b即可；③由圆周角定理得出∠AMB=90°，证出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OA?OB，由二次函数的图象与x轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x1 ， OB=x2 ， x1+x2 ， =b，x1?x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，证明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出
????
????
=
????
????
，
????
????
=
????
????
，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1 ， 由x1?x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程组 {
??
1
?
??
2
=?1
??
2
=?4
??
1
，解方程组求出b的值即可．
27.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D． / （1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC的面积； （3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意，得：
?????+??=0
9??+3??+??=0
??=3
， 解之，得：
??=?1
??=2
??=3
， ∴y=-x2+2x+3； （2）由（1）可知y=-（x-1）2+4， ∴顶点坐标为D（1，4）， / 设其对称轴与x轴的交点为E， ∵S△AOC=
1
2
|AO|·|OC|=
1
2
×1×3=
3
2
， S梯形OEDC=
1
2
（|DC|+|DE|）×|OE|=
1
2
（3+4）×1=
7
2
， S△DEB=
1
2
|EB|·|DE|=
1
2
×2×4=4， S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OEDC+S△DEB=
3
2
+
7
2
+4=9； （3）△DCB与△AOC相似， 证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F， / ∵D（1，4），F（0，4）， ∴Rt△DFC中，DC=
2
，且∠DCF=45°， 在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=3
2
， ∴∠AOC=∠DCB=90°，
????
????
=
????
????
=
2
1
， ∴△DCB∽△AOC．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，图形的剪拼，相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）已知A、B、C三点坐标，由待定系数可求出抛物线解析式； （2）求出顶点坐标，作辅助线把四边形ABDC的面积拆为二个三角形面积加上一梯形的面积，从而求出四边形ABDC的面积； （3）判断△BCD与△COA是否相似，验证是否满足相似比例关系．
