【易错题解析】湘教版九年级数学下册 第二章圆 单元检测试卷
一、单选题(共10题;共30分)
1.下列说法正确的是(?? )
A.?过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点????????????/B.?过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C.?过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点???????????/D.?过四点A、B、C、D的圆不存在
2.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC,若∠ABC=45°,则下列结论正确的是( )
A.?AC>AB???????????B.?AC=AB????????????????/C.?AC<AB????????????????/D.?AC=
1
2
BC
3.已知⊙O的半径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是( ??)
A.?相交??????????????????????????????????/B.?相切??????????????????????????????????/C.?相离??????????????????????????????????/D.?无法确定
4.如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE=(???? )/
A.?40°??????????????????????????????????????/B.?60°??????????????????????????????????????/C.?80°??????????????????????????????????????/D.?120°
5.如图,在⊙O中
????
=
????
,∠AOB=40°,则∠COD的度数(?? )/
A.?20°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?60°
6.(2016?南京)已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为( )
A.?1?????????????????????????????????????????B.?
3
?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?2
3
7.⊙O的弦AB的长为8cm,弦AB的弦心距为3 cm,则⊙O的直径为(?????)
A.?4 cm??????????????????????????????????/B.?5 cm??????????????????????????????????/C.?8 cm??????????????????????????????????/D.?10 cm
8.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆,则圆锥的高为(??? )
A.?a??????????????????????????????????????/B.?
3
3
a??????????????????????????????????????/C.?3a??????????????????????????????????????/D.?
3
2
??
9.如图,点A,B,P在⊙O上,且∠APB=50°,若点M是⊙O上的动点,要使ABM为等腰三角形,则所有符合条件的点M有(???? )/
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
10.如图,在半径为6cm的⊙O中,点A是劣弧
????
的中点,点D是优弧
????
上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=6
3
???? ;③sin∠AOB=
3
2
;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是(?? )/
A.?①③????????????????????????????????/B.?①②③④????????????????????????????????/C.?②③④????????????????????????????????/D.?①③④
二、填空题(共10题;共30分)
11.如图, ???? 是 ⊙?? 的直径, ?? 是 ⊙?? 上的点,过点 ?? 作 ⊙?? 的切线交 ???? 的延长线于点 ?? .若∠A=32°,则 ∠??= ________度.///
12.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M的坐标为________.13.在平面直角坐标系内,以点P(﹣1,0)为圆心、
5
为半径作圆,则该圆与y轴的交点坐标是________.
14.圆内接正六边形的边长是8cm,则该正六边形的半径为________
15.如图,菱形ABCD中,对角线AC= 2
3
,BD=2,以A为圆心,AB为半径画圆弧BD,则图中阴影部分的面积为________.
16.如图,以 ??(0,1) 为圆心,半径为 2 的圆与 ?? 轴交于 ?? 、 ?? 两点,与 ?? 轴交于 ?? 、 ?? 两点,点 ?? 为⊙ ?? 上一动点, ????⊥???? 于 ?? ,则弦 ???? 的长度为________,当点 ?? 在⊙ ?? 上运动的过程中,线段 ???? 的长度的最小值为________.////
17.如图5,AB是半圆 O 的直径,E是BC的中点,OE交弦BC于点D,已知BC=8cm,DE=2cm,则AD的长为________?cm.
18.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最小值是________.19.如图所示,在△ABC中,BC=4,以点A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,且∠EAF=80°,则图中阴影部分的面积是________.20.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是 /的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE,CB于点P,Q,连接AC,关于下列结论:①∠BAD=∠ABC;①②GP=GD;③点P是△ACQ的外心,其中结论正确的是________?(只需填写序号).
/
三、解答题(共7题;共60分)
21.如图,已知AB是⊙O的直径 , CD⊥AB , 垂足为点E,如果BE=OE , AB=12,求△ACD的周长/
22.如图,已知PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,若∠PAB=40°,求∠P的度数./
23.如图,I是△ABC的内心,∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点E.(1)求证:BD=ID;(2)求证:ID2=DE?DA./
24.如图,已知AB为⊙O的直径,PA,PC是⊙O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°.(Ⅰ)求∠P的大小;(Ⅱ)若AB=2,求PA的长(结果保留根号)./
25.如图所示,菱形ABCD的顶点A、B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴上,∠BAD=60°,点A的坐标为(-2,0)./(1)求线段AD所在直线的函数表达式.(2)动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度,按照A→D→C→B的顺序在菱形的边上匀速运动,设运动时间为t秒.求t为何值时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切?
26.如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D./(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若CD=2AD,⊙O的直径为10,求线段AB的长.
27.如图1,在△ABC的外接圆⊙O中,AB=5是⊙O的直径,CD⊥AB , 垂足为D , 且CD=2,E为
????
的中点.连接CE交AB于点P , 其中AD>BD . //???????????? 图1?????? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? 图2
(1)连接OE , 求证:OE⊥AB;
(2)若线段AD与BD的长分别是关于x的方程x2-(m+2)x+n-1=0的两个根,求m , n的值;
(3)如图2,过P点作直线l分别交射线CA , CB(点C除外)于点M , N , 则
1
????
+
1
????
的值是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
二、填空题
11.【答案】26
12.【答案】(8,10)
13.【答案】(2,0),(﹣2,0)
14.【答案】8
15.【答案】2
3
﹣
2
3
π
16.【答案】2
3
;
3
?1
17.【答案】2
13
18.【答案】1
19.【答案】4?
8
9
??
20.【答案】②③
三、解答题
21.【答案】解:由已知条件可以得到OE=3,连接OC , 在直角三角形OCE中根据勾股定理可以得到CE= /,CD= /,在直角三角形ACE中,AE=9,AC= /,CD=AC=AD= /故求出三角形的周长为 /.
22.【答案】解:∵PA和PB为切线 ,A,B是切点∴PA=PB∴∠PBA=∠PAB=40°∴∠P=180°-(∠PAB+∠PBA)=100°.
23.【答案】(2)证明:连接BI,CI,CD,∵I为内心,∴AI为∠BAC角平分线,BI为∠ABC平分线,∴∠ABI=∠CBI,∠BAD=∠DAC,∵∠BID=∠ABI+∠BAI,∠CBD=∠DAC=∠BAI,∴∠BID=∠CBI+∠CBD=∠DBI,∴△DBI为等腰三角形,∴DB=DI;(3)证明:∵∠DBE=∠CAD,∠BAE=∠CAE,∴∠BAE=∠EBD,∴△DBE∽△DAB,∴
????
????
=
????
????
,∴DB2=DE?DA,又∵DB=DI(已证),∴DI2=DE?DA./
24.【答案】解:(Ⅰ)∵PA是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,∴PA⊥AB,∴∠BAP=90°;∵∠BAC=30°,∴∠CAP=90°﹣∠BAC=60°.又∵PA、PC切⊙O于点A、C,∴PA=PC,∴△PAC为等边三角形,∴∠P=60°.(Ⅱ)如图,连接BC,则∠ACB=90°.在Rt△ACB中,AB=2,∠BAC=30°,∵cos∠BAC=
????
????
,∴AC=AB?cos∠BAC=2cos30°=
3
.∵△PAC为等边三角形,∴PA=AC,∴PA=
3
./
25.【答案】(1)∵点A的坐标为(-2,0),∠BAD=60°,∠AOD=90°,∴OD=OA?tan60°=2,∴点D的坐标为(0,2),设直线AD的函数表达式为y=kx+b,-2k+b=0;b=2,解得k=,b=2。∴直线AD的函数表达式为y=x+2。/(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠DCB=∠BAD=60°,∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°,AD=DC=CB=BA=4,如图所示:①点P在AD上与AC相切时,AP1=2r=2,∴t1=2②点P在DC上与AC相切时,CP2=2r=2,∴AD+DP2=6,∴t2=6③点P在BC上与AC相切时,CP3=2r=2,∴AD+DC+CP3=10,∴t3=1④点P在AB上与AC相切时,AP4=2r=2,∴AD+DC+CB+BP4=14,∴t4=14,∴当t=2、6、10、14时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切。
26.【答案】(1)证明:如图,连接OC,∵点C在⊙O上,OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°.∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO.∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.又∵点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,∴CD为⊙O的切线./(2)解:如图,过O作OF⊥AB,垂足为F,∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°.∴四边形OCDF为矩形,∴OC=FD,OF=CD.∵CD=2AD,设AD=x,则OF=CD=2x,∵⊙O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x.在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5-x)2+(2x)2=25,化简得:x2-2x=0,解得x=2或x=0(舍去).∴AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,∴AB=2AF=6.
27.【答案】(1)证明:∵E为
????
的中点,∴
????
=
????
?∴∠AOE=∠BOE又∵AB是⊙O的直径∴∠AOB=180°∴∠AOE=∠BOE=90°∴OE⊥AB . (2)∵AB是⊙O直径? ∴∠ACD+∠BCD=90°???? ???∵CD⊥AB , ∴∠CDB=∠ADC=90°???? ???∴∠BCD+∠CBD=90°???? ???∴∠ACD=∠CBD? ∴△ACD∽△CBD???? ???∴
????
????
=
????
????
,即AD?BD=CD2=4???? 又∵AB是⊙O直径,∴AD+BD=5? ∵AD与BD的长分别是关于x的方程x2-(m+2)x+n-1=0的两个根。∴AD+BD=m+2=5,AD?BD=n-1=4? ∴m=3,n=5(3)
1
????
+
1
????
的值是定值。? 理由:过点P作PG⊥AC于点G , PF⊥CN于点F。/? ∴∠PGM=∠ACB=∠PFN=90°? ∵E为
????
的中点? ∴∠ACP=∠NCP , 即CE平分∠ACN? ∵PG⊥AC , PF⊥CN ∴PG=PF? ∵S△CMN=S△MPC+S△NPC? ???∴CM?CN=PG(CM+CN)? ∴
????+????
?????????
=
1
????
即
1
????
+
1
????
=
1
????
? ∴
1
????
+
1
????
=
1
????
??? ∴
1
????
+
1
????
的值是定值.? 由(2)知AD?BD=CD2=4,AD+BD=5 ∵AD>BD? ∴AD=4,BD=1? 在Rt△ADC和Rt△CDB中, AC=
??
??
2
+??
??
2
=
4
2
+
2
2
=2
5
,?? BC=
??
??
2
+??
??
2
=
1
2
+
2
2
=
5
? ∵S△ABC=S△APC+S△BPC=
1
2
PG(AC+BC)=
1
2
AC?BC , ? 即 3
5
PG=10? ∴
1
????
=
3
5
10
,即
1
????
+
1
????
=
1
????
=
3
5
10
? ∴
1
????
+
1
????
的值是定值,定值为
3
5
10
。
【易错题解析】湘教版九年级数学下册 第二章圆 单元检测试卷
一、单选题(共10题;共30分)
1.下列说法正确的是(?? )
A.?过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点????????????/B.?过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C.?过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点???????????/D.?过四点A、B、C、D的圆不存在
【答案】B
【考点】确定圆的条件
【解析】【解答】解:A、过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点(A点外),故本选项错误, B、过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线是,故正确,C、错误,A、B、C三点共线时,不符合题意.D、过四点A、B、C、D的圆可以存在,故本选项错误,故选:B.【分析】利用圆的知识判定即可.
2.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC,若∠ABC=45°,则下列结论正确的是( )/
A.?AC>AB???????????????????????????/B.?AC=AB?????????????????????????????/C.?AC<AB???????????????????????????/D.?AC=
1
2
BC
【答案】B
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解:如图,∵AC是⊙O的切线,A为切点,∴∠A=90°,∵∠ABC=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,即AB=AC,故选B.【分析】由AC是⊙O的切线,A为切点可以得到∠A=90°,而∠ABC=45°,由此得到△ABC是等腰直角三角形,即可求出结论.
3.已知⊙O的半径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是( ??)
A.?相交??????????????????????????????????/B.?相切??????????????????????????????????/C.?相离??????????????????????????????????/D.?无法确定
【答案】A
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【分析】设圆的半径为R,圆心到直线的距离为d:当dR时,直线与圆相离。∵3<4∴直线l与⊙O的位置关系是相交.故选A.【点评】本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握直线与圆的位置关系,即可完成。
4.如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE=(???? )/
A.?40°??????????????????????????????????????/B.?60°??????????????????????????????????????/C.?80°??????????????????????????????????????/D.?120°
【答案】B
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解: ∵D、C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°?,∴∠EOD=∠COD=∠BOC=40°?,∴∠AOE=60°.?故答案为:B【分析】根据在同圆或等圆中,如果圆心角、弦、弧三组量中,有其中一组量相等,那么其余各组量也分别相等可得∠EOD=∠COD=∠BOC,则∠AOE=180-3∠BOC即可求解。
5.如图,在⊙O中
????
=
????
,∠AOB=40°,则∠COD的度数(?? )/
A.?20°???????????????????????????????????????B.?40°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?60°
【答案】B
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解:∵
????
=
????
,∴
????
=
????
,∴∠AOB=∠COD,∵∠AOB=40°,∴∠COD=40°,故答案为:B.【分析】首先得到AB弧与CD弧相等,利用等弧所对的圆周角相等得到∠AOB=∠COD,即可选择正确选项.
6.(2016?南京)已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为( )
A.?1?????????????????????????????????????????B.?
3
?????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?2
3
【答案】B
【考点】切线的性质,正多边形和圆
【解析】【解答】解:如图,连接OA、OB,OG;/∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形,∴△OAB是等边三角形,∴OA=AB=2,∴OG=OA?sin60°=2×
3
2
=
3
,∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为
3
.故选B.【分析】根据题意画出图形,利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可.本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力.解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确,将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算,记住基本概念是解题的关键,属于中考常考题型.
7.⊙O的弦AB的长为8cm,弦AB的弦心距为3 cm,则⊙O的直径为(?????)
A.?4 cm??????????????????????????????????/B.?5 cm??????????????????????????????????/C.?8 cm??????????????????????????????????/D.?10 cm
【答案】D
【考点】勾股定理,垂径定理
【解析】【分析】根据垂径定理和勾股定理来求即可得。【解答】由题意分析则,弦AB的一半、弦心距、半径组成直角三角形;所以R=
(
1
2
????
)
2
+
3
2
=
4
2
+
3
2
=5,故直径为10,本题选D.【点评】此类试题属于难度较大的试题,考生在解答此类试题时一定要对直角三角函数和直角三角形的性质牢牢把握。
8.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆,则圆锥的高为(??? )
A.?a??????????????????????????????????????/B.?
3
3
a??????????????????????????????????????/C.?3a??????????????????????????????????????/D.?
3
2
??
【答案】D
【考点】弧长的计算,圆锥的计算
【解析】【解答】解:设底面圆的半径为r,∵圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆∴2πr=
180×πa
180
,解之:??=
1
2
??/如图,在Rt△SOB中,OB=
1
2
??,SB=a∴SO=
??
2
?
1
2
??
2
=
3
2
??故答案为:D【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆,设底面圆的半径为r,根据底面圆的周长=展开扇形的弧长,建立方程求解,求出r,再利用勾股定理求出圆锥的高。
9.如图,点A,B,P在⊙O上,且∠APB=50°,若点M是⊙O上的动点,要使ABM为等腰三角形,则所有符合条件的点M有(???? )/
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】D
【考点】线段垂直平分线的性质,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理
【解析】【解答】解:△ABM为等腰三角形,当MA=MB,则M为AB的垂直平分与圆的两交点,这时两个等腰三角形的顶角分别为50°,130°,如图:/当AM=AB,以A为圆心,AB为半径交⊙O于M,此时等腰三角形只有一个,且底角为50°;同理当BM=BA,满足条件的等腰三角形也只有一个,如图,所以满足条件的等腰三角形有4个.故答案为:D。【分析】根据线段垂直平分线的性质可知有两个点满足条件;再以A为圆心,AB为半径交⊙O于M,或以B为圆心,AB为半径交⊙O于M,可得出所有符合条件的点M的个数。
10.如图,在半径为6cm的⊙O中,点A是劣弧
????
的中点,点D是优弧
????
上一点,且∠D=30°,下列四个结论:①OA⊥BC;②BC=6
3
???? ;③sin∠AOB=
3
2
;④四边形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是(?? )/
A.?①③????????????????????????????????/B.?①②③④????????????????????????????????/C.?②③④????????????????????????????????/D.?①③④
【答案】B
【考点】菱形的判定,垂径定理,圆周角定理,解直角三角形
【解析】【解答】∵点A是劣弧
????
的中点,OA过圆心, /∴OA⊥BC,故①正确;∵∠D=30°,∴∠ABC=∠D=30°,∴∠AOB=60°,∵点A是劣弧
????
的中点,∴BC=2CE,∵OA=OB,∴OA=OB=AB=6cm,∴BE=AB?cos30°=6×
3
2
=3
3
cm,∴BC=2BE=6
3
cm,故②正确;∵∠AOB=60°,∴sin∠AOB=sin60°=
3
2
,故③正确;∵∠AOB=60°,∴AB=OB,∵点A是劣弧
????
的中点,∴AC=AB,∴AB=BO=OC=CA,∴四边形ABOC是菱形,故④正确.故答案为:B.【分析】 由利用垂径定理及其推论:平分弧的直径垂直平分弦可知①正确,由圆周角定理知∠AOB=60°,进而②正确,AB=BO=OC=CA,可得四边形ABOC是菱形.
二、填空题(共10题;共30分)
11.如图, ???? 是 ⊙?? 的直径, ?? 是 ⊙?? 上的点,过点 ?? 作 ⊙?? 的切线交 ???? 的延长线于点 ?? .若∠A=32°,则 ∠??= ________度./
【答案】26
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解:连接OC,/∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=32°,∴∠DOC=2∠A=64°,∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,∴∠D=90°?∠DOC=90°?64°=26°故答案为:26.【分析】连接OC,由切线的性质可得∠OCD=90°,则∠D=90°?∠DOC,即只需要求出∠DOC即可,而∠DOC是△AOC的外角,且∠OCA=∠A,则∠DOC=2∠A.
12.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M的坐标为________./
【答案】(8,10)
【考点】矩形的性质,垂径定理
【解析】【解答】如图/连接BM、OM,AM,作MH⊥BC于H. 已知⊙M与x轴相切于点A(8,0),可得AM⊥OA,OA=8,所以∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°,即可判定四边形OAMH是矩形,由矩形的性质可得AM=OH,再由MH⊥BC,由垂径定理得HC=HB=6,即可得AM=10,所以圆心M的坐标为(8,10).【分析】连接BM、OM,AM,作MH⊥BC于H,由矩形的性质和垂径定理可求解。
13.在平面直角坐标系内,以点P(﹣1,0)为圆心、
5
为半径作圆,则该圆与y轴的交点坐标是________.
【答案】(2,0),(﹣2,0)
【考点】坐标与图形性质,直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:如图,∵由题意得,OM=1,MP=
5
, ∴OP=
5?1
=2,∴P(2,0).同理可得,N(﹣2,0).故答案为:(2,0),(﹣2,0)/【分析】根据题意画出图形,再利用勾股定理求解即可.
14.圆内接正六边形的边长是8cm,则该正六边形的半径为________
【答案】8
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解:连接OA,OB, /∵正六边形,∴∠AOB=
360
6
=60°,又OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴AB=OA=8.故答案为:8.【分析】求出正六边形的中心角,连接两个顶点,可得等边三角形,于是可得到正六边形的边长.
15.如图,菱形ABCD中,对角线AC= 2
3
,BD=2,以A为圆心,AB为半径画圆弧BD,则图中阴影部分的面积为________. /
【答案】2
3
﹣
2
3
π
【考点】菱形的性质,扇形面积的计算
【解析】【解答】解:在菱形ABCD中, ∵AC⊥BD,∵AC= 2
3
,BD=2,∴tan∠DAC=
1
3
=
3
3
,AD=
(
3
)
2
+
1
2
=2,∴∠DAC=30°,∴∠DAB=60°,∴阴影部分的面积=S菱形ABCD﹣S扇形ABD=
1
2
× 2
3
×2﹣
60??×
2
2
360
=2
3
﹣
2
3
π,故答案为:2
3
﹣
2
3
π.【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD,由已知条件得到tan∠DAC=
1
3
=
3
3
,AD=
(
3
)
2
+
1
2
=2,求得∠DAC=30°,得到∠DAB=60°,于是得到结论.
16.如图,以 ??(0,1) 为圆心,半径为 2 的圆与 ?? 轴交于 ?? 、 ?? 两点,与 ?? 轴交于 ?? 、 ?? 两点,点 ?? 为⊙ ?? 上一动点, ????⊥???? 于 ?? ,则弦 ???? 的长度为________,当点 ?? 在⊙ ?? 上运动的过程中,线段 ???? 的长度的最小值为________./
【答案】2
3
;
3
?1
【考点】线段的性质:两点之间线段最短,垂径定理的应用
【解析】【解答】作GM⊥AC于M,连接AG./∵GO⊥AB,∴OA=OB.在Rt△AGO中,∵AG=2,OG=1,∴AG=2OG,OA=
2
2
?
1
2
=
3
,∴∠GAO=30°,AB=2AO=2
3
,∴∠AGO=60°.∵GC=GA,∴∠GCA=∠GAC.∵∠AGO=∠GCA+∠GAC,∴∠GCA=∠GAC=30°,∴AC=2OA=2
3
,MG=
1
2
CG=1.∵∠AFC=90°,∴点F在以AC为直径的⊙M上,当点F在MG的延长线上时,FG的长最小,最小值=FM﹣GM=
3
﹣1.故答案为:2
3
,
3
﹣1.
【分析】连接AG,解直角三角形OAG即可求得OA的长度,由AB=2OA即可求得AB长;作GM⊥AC于M,利用含有30o的直角三角形判定与性质求得MG长,又可知点F在以AC为直径的⊙M上,所以当点F在MG的延长线上时,FG的长最小,易求得其最小值.
17.如图5,AB是半圆 O 的直径,E是BC的中点,OE交弦BC于点D,已知BC=8cm,DE=2cm,则AD的长为________?cm./
【答案】2
13
【考点】垂径定理,圆周角定理
【解析】【解答】解:连接AC,设半圆O的半径为R,/∵AB是半圆 O 的直径,∴∠ACB=90°,又∵E是BC的中点,∴OE⊥BC,∵BC=8cm,∴BD=CD=4cm,在Rt△BDO中,∴R2=(R-2)2+42 , ∴R=OB=5cm,∴AB=10cm,在Rt△ACB中,∴AC=6cm,在Rt△ACD中,∴AD=
??
??
2
+??
??
2
=
6
2
+
4
2
=2
13
(cm).故答案为:2
13
.【分析】连接AC,设半圆O的半径为R,根据圆周角定理得∠ACB=90°,由E是中点得OE⊥BC,在Rt△BDO中,根据勾股定理求得半径,在Rt△ACB中,根据勾股定理求得AC长,在Rt△ACD中,根据勾股定理求得AD长.
18.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最小值是________./
【答案】1
【考点】勾股定理的逆定理,切线的性质
【解析】【解答】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时,PQ有最小值,设AC与圆的切点为D,连接OD,如图,∵AC为圆的切线,∴OD⊥AC,∵AC=8,BC=6,AB=10,∴AC2+BC2=AB2 , ∴∠ACB=90°,∴OD∥BC,且O为AB中点,∴OD为△ABC的中位线,∴OD=
1
2
BC=3,同理可得PO=
1
2
AC=4,∴PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1,【分析】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时,PQ有最小值,设AC与圆的切点为D,连接OD(如图),由切线性质得出OD⊥AC,再由勾股定理逆定理得出∠ACB=90°,根据平行线的性质得出OD∥BC,且O为AB中点,由三角形中位线定理得OD= 1 2 BC=3,同理可得PO= 1 2 AC=4,从而得PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1.
19.如图所示,在△ABC中,BC=4,以点A为圆心,2为半径的⊙A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,且∠EAF=80°,则图中阴影部分的面积是________./
【答案】4?
8
9
??
【考点】切线的性质,扇形面积的计算
【解析】【解答】解:连结AD,如图,/∵⊙A与BC相切于点D,∴AD⊥BC,∴S△ABC=
1
2
AD?BC,∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=
1
2
×2×4﹣
80????
2
2
360
=4﹣
8
9
π.故答案为4﹣
8
9
π.【分析】连结AD,如图,根据切线的性质得出AD⊥BC,根据三角形的面积公式,由S△ABC=?
1
2
AD?BC,算出三角形ABC的面积,再根据扇形的面积公式算出扇形AEF的面积,由S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF即可算出答案。
20.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是 /的中点,CE⊥AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE,CB于点P,Q,连接AC,关于下列结论:①∠BAD=∠ABC;①②GP=GD;③点P是△ACQ的外心,其中结论正确的是________?(只需填写序号).
/
【答案】②③
【考点】三角形的外接圆与外心,切线的性质
【解析】【解答】解:???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? /∵在O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,∴弧AC=弧CD≠弧BD,∴∠BAD≠∠ABC,故①错误;?连接OD,则OD⊥GD,∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA,∵∠ODA+∠GDP=90°,∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90° , ∴∠GPD=∠GDP;∴GP=GD,故②正确;?∵弦CE⊥AB于点F,∴A为弧CE的中点,即弧AE=弧AC,又∵C为弧AD的中点,∴弧AC=弧CD,∴弧AE=弧CD,∴∠CAP=∠ACP,∴AP=CP.∵AB为圆O的直径,∴∠ACQ=90° , ∴∠PCQ=∠PQC,∴PC=PQ,∴AP=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点,∴P为Rt△ACQ的外心,故③正确;故答案为:②③。
【分析】由于弧CD与弧BD不一定相等,根据根据等弧所对的圆周角才会显得可知①错误;连接OD,根据切线的性质得出OD⊥GD,根据等边对等角得出∠OAD=∠ODA,根据等角的余角相等得出∠GPD=∠GDP,利用等角对等边可得出GP=GD,可知②正确;先由垂径定理得到A为弧CE的中点,即弧AE=弧AC,又弧AC=弧CD,故弧AE=弧CD,由等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP,利用等角对等边可得出AP=CP根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACQ为直角,由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC,再根据等角对等边得出CP=PQ,即P为直角三角形ACQ斜边上的中点,即P为直角三角形ACQ的外心,可知③正确,综上所述即可得出结论。
三、解答题(共7题;共60分)
21.如图,已知AB是⊙O的直径 , CD⊥AB , 垂足为点E,如果BE=OE , AB=12,求△ACD的周长/
【答案】解:由已知条件可以得到OE=3,连接OC , 在直角三角形OCE中根据勾股定理可以得到CE= /,CD= /,在直角三角形ACE中,AE=9,AC= /,CD=AC=AD= /故求出三角形的周长为 /.
【考点】勾股定理,垂径定理
【解析】【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点.
22.如图,已知PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,若∠PAB=40°,求∠P的度数./
【答案】解:∵PA和PB为切线 ,A,B是切点∴PA=PB∴∠PBA=∠PAB=40°∴∠P=180°-(∠PAB+∠PBA)=100°.
【考点】平行线的性质,三角形内角和定理,切线长定理
【解析】【分析】根据切线长定理得出PA=PB,根据等边对等角得出∠PBA=∠PAB=40°,根据三角形的内角和得出∠P的度数。
23.如图,I是△ABC的内心,∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点E.(1)求证:BD=ID;(2)求证:ID2=DE?DA./
【答案】(2)证明:连接BI,CI,CD,∵I为内心,∴AI为∠BAC角平分线,BI为∠ABC平分线,∴∠ABI=∠CBI,∠BAD=∠DAC,∵∠BID=∠ABI+∠BAI,∠CBD=∠DAC=∠BAI,∴∠BID=∠CBI+∠CBD=∠DBI,∴△DBI为等腰三角形,∴DB=DI;(3)证明:∵∠DBE=∠CAD,∠BAE=∠CAE,∴∠BAE=∠EBD,∴△DBE∽△DAB,∴
????
????
=
????
????
,∴DB2=DE?DA,又∵DB=DI(已证),∴DI2=DE?DA./
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】(1)连接BI,CI,CD,求证△BCD为等腰三角形,再利用BI为∠ABC平分线,求证△DBI为等腰三角形,利用等量代换即可证明;(2)证△DBE∽△DAB,得DB2=DE?DA,再由(2)得DI2=DE?DA.
24.如图,已知AB为⊙O的直径,PA,PC是⊙O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°.(Ⅰ)求∠P的大小;(Ⅱ)若AB=2,求PA的长(结果保留根号)./
【答案】解:(Ⅰ)∵PA是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,∴PA⊥AB,∴∠BAP=90°;∵∠BAC=30°,∴∠CAP=90°﹣∠BAC=60°.又∵PA、PC切⊙O于点A、C,∴PA=PC,∴△PAC为等边三角形,∴∠P=60°.(Ⅱ)如图,连接BC,则∠ACB=90°.在Rt△ACB中,AB=2,∠BAC=30°,∵cos∠BAC=
????
????
,∴AC=AB?cos∠BAC=2cos30°=
3
.∵△PAC为等边三角形,∴PA=AC,∴PA=
3
./
【考点】切线的性质
【解析】【分析】(Ⅰ)根据切线的性质及切线长定理可证明△PAC为等边三角形,则∠P的大小可求;(Ⅱ)由(Ⅰ)知PA=PC,在Rt△ACB中,利用30°的特殊角度可求得AC的长.
25.如图所示,菱形ABCD的顶点A、B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴上,∠BAD=60°,点A的坐标为(-2,0)./(1)求线段AD所在直线的函数表达式.(2)动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度,按照A→D→C→B的顺序在菱形的边上匀速运动,设运动时间为t秒.求t为何值时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切?
【答案】(1)∵点A的坐标为(-2,0),∠BAD=60°,∠AOD=90°,∴OD=OA?tan60°=2,∴点D的坐标为(0,2),设直线AD的函数表达式为y=kx+b,-2k+b=0;b=2,解得k=,b=2。∴直线AD的函数表达式为y=x+2。/(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠DCB=∠BAD=60°,∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°,AD=DC=CB=BA=4,如图所示:①点P在AD上与AC相切时,AP1=2r=2,∴t1=2②点P在DC上与AC相切时,CP2=2r=2,∴AD+DP2=6,∴t2=6③点P在BC上与AC相切时,CP3=2r=2,∴AD+DC+CP3=10,∴t3=1④点P在AB上与AC相切时,AP4=2r=2,∴AD+DC+CB+BP4=14,∴t4=14,∴当t=2、6、10、14时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切。
【考点】切线的判定与性质
【解析】【解答】(1)在Rt△AOD中,根据OA的长以及∠BAD的正切值,即可求得OD的长,从而得到D点的坐标,然后利用待定系数法可求得直线AD的解析式。(2)由于点P沿菱形的四边匀速运动一周,那么本题要分作四种情况考虑:在Rt△OAD中,易求得AD的长,也就得到了菱形的边长,而菱形的对角线平分一组对角,那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°;①当点P在线段AD上时,若⊙P与AC相切,由于∠PAC=30°,那么AP=2R(R为⊙P的半径),由此可求得AP的长,即可得到t的值;②③④的解题思路与①完全相同,只不过在求t值时,方法略有不同。【分析】此题考查了切线的判定与性质,注意分情况讨论问题。
26.如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D./(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若CD=2AD,⊙O的直径为10,求线段AB的长.
【答案】(1)证明:如图,连接OC,∵点C在⊙O上,OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°.∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO.∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.又∵点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,∴CD为⊙O的切线./(2)解:如图,过O作OF⊥AB,垂足为F,∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°.∴四边形OCDF为矩形,∴OC=FD,OF=CD.∵CD=2AD,设AD=x,则OF=CD=2x,∵⊙O的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x.在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5-x)2+(2x)2=25,化简得:x2-2x=0,解得x=2或x=0(舍去).∴AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,∴AB=2AF=6.
【考点】等腰三角形的性质,勾股定理,切线的判定
【解析】【分析】(1)要证CD为⊙O的切线,只要证CD垂直于对切点的半径,故作辅助线:连接OC,由三角形三个内角和为180°的性质和等腰三角形的判定和性质,即能证出∠DCO =90°,从而得证;(2)要求AB的长,就要考虑它是三角形中的线段或与三角形中的线段有关系,根据垂径定理,只要作OF⊥AB,即有AB=2AF,故只要求出AF即可,由勾股定理和等量代换即可求得.
27.如图1,在△ABC的外接圆⊙O中,AB=5是⊙O的直径,CD⊥AB , 垂足为D , 且CD=2,E为
????
的中点.连接CE交AB于点P , 其中AD>BD . //???????????? 图1?????? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? 图2
(1)连接OE , 求证:OE⊥AB;
(2)若线段AD与BD的长分别是关于x的方程x2-(m+2)x+n-1=0的两个根,求m , n的值;
(3)如图2,过P点作直线l分别交射线CA , CB(点C除外)于点M , N , 则
1
????
+
1
????
的值是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)证明:∵E为
????
的中点,∴
????
=
????
?∴∠AOE=∠BOE又∵AB是⊙O的直径∴∠AOB=180°∴∠AOE=∠BOE=90°∴OE⊥AB . (2)∵AB是⊙O直径? ∴∠ACD+∠BCD=90°???? ???∵CD⊥AB , ∴∠CDB=∠ADC=90°???? ???∴∠BCD+∠CBD=90°???? ???∴∠ACD=∠CBD? ∴△ACD∽△CBD???? ???∴
????
????
=
????
????
,即AD?BD=CD2=4???? 又∵AB是⊙O直径,∴AD+BD=5? ∵AD与BD的长分别是关于x的方程x2-(m+2)x+n-1=0的两个根。∴AD+BD=m+2=5,AD?BD=n-1=4? ∴m=3,n=5(3)
1
????
+
1
????
的值是定值。? 理由:过点P作PG⊥AC于点G , PF⊥CN于点F。/? ∴∠PGM=∠ACB=∠PFN=90°? ∵E为
????
的中点? ∴∠ACP=∠NCP , 即CE平分∠ACN? ∵PG⊥AC , PF⊥CN ∴PG=PF? ∵S△CMN=S△MPC+S△NPC? ???∴CM?CN=PG(CM+CN)? ∴
????+????
?????????
=
1
????
即
1
????
+
1
????
=
1
????
? ∴
1
????
+
1
????
=
1
????
??? ∴
1
????
+
1
????
的值是定值.? 由(2)知AD?BD=CD2=4,AD+BD=5 ∵AD>BD? ∴AD=4,BD=1? 在Rt△ADC和Rt△CDB中, AC=
??
??
2
+??
??
2
=
4
2
+
2
2
=2
5
,?? BC=
??
??
2
+??
??
2
=
1
2
+
2
2
=
5
? ∵S△ABC=S△APC+S△BPC=
1
2
PG(AC+BC)=
1
2
AC?BC , ? 即 3
5
PG=10? ∴
1
????
=
3
5
10
,即
1
????
+
1
????
=
1
????
=
3
5
10
? ∴
1
????
+
1
????
的值是定值,定值为
3
5
10
。
【考点】一元二次方程的根,角平分线的性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOE=∠BOE,根据邻补角的定义得出∠AOE=∠BOE=90°,从而得出结论;(2)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACD+∠BCD=90°,根据直角三角形两锐角互余得出∠BCD+∠CBD=90°,根据同角的余角相等得出∠ACD=∠CBD ,进而判断出△ACD∽△CBD,根据相似三角形对应边成比例得出B D ∶C D = C D ∶A D,即AD?BD=CD2=4 根据线段的和差得出AD+BD=5,然后根据根与系数的关系得出AD+BD=m+2=5,AD?BD=n-1=4,从而得出m,n的值;?(3)是定值,理由如下? :过点P作PG⊥AC于点G , PF⊥CN于点F , 根据垂直的定义及直径所对的圆周角是直角得出∠PGM=∠ACB=∠PFN=90°,根据等弧所对的圆周角相等得出∠ACP=∠NCP , 即CE平分∠ACN,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PG=PF,根据S△CMN=S△MPC+S△NPC? ?? 得出CM?CN=PG(CM+CN),从而根据等式的性质得出结论; 由(2)知AD?BD=CD2=4,AD+BD=5 又AD>BD? 故AD=4,BD=1,在Rt△ADC和Rt△CDB中,根据勾股定理得出AC,BC的长度,根据S△ABC=S△APC+S△BPC=?
1
2
PG(AC+BC)=?
1
2
AC?BC , ? 即 3?
5
PG=10 ,从而得出答案。