【易错题解析】冀教版九年级数学下册 第30章二次函数 单元检测试题
一、单选题（共10题；共30分）
1.将抛物线y=
1
2
x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（?? ）
A.?y=
1
2
（x﹣8）2+5?????/B.?y=
1
2
（x﹣4）2+5?????/C.?y=
1
2
（x﹣8）2+3?????/D.?y=
1
2
（x﹣4）2+3
2.函数??=
?????
??
2
+????+??是二次函数的条件是（ ）
A.?m、n是常数，且m≠０???????????????????????????????????????B.?m、n是常数，且m≠n C.?m、n是常数，且n≠０????????????????????????????????????????D.?m、n可以为任何常数
3.已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ） /
A.?有最小值0，有最大值3???????????????????????????????????????/B.?有最小值﹣1，有最大值0 C.?有最小值﹣1，有最大值3???????????????????????????????????/D.?有最小值﹣1，无最大值
4.抛物线 ??=
(???1)
2
与 ?? 轴的交点坐标是（ ??）
A.?(0,?1)???????????????????????????????????/B.?(1,?0)???????????????????????????????????/C.?(0,?-1)???????????????????????????????????/D.?(0,?0)
5.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为 ?? 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 ??=?
1
400
(???80)
2
+16 ，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥ ?? 轴。若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（???? ） /
A.?16
1
40
米??????????????????????????????/B.?
17
4
米??????????????????????????????/C.?16
7
40
米??????????????????????????????/D.?
15
4
米
6.已知二次函数??=?
??
2
+3???
3
5
，当自变量x取m对应的函数值大于0，设自变量分别取m－3，m＋3 时对应的函数值为y1 ， y2 ， 则（? ?? ）
A.?y1＞0，y2＞0?????????????????/B.?y1＞0，y2＜0?????????????????/C.?y1＜0，y2＞0?????????????????/D.?y1＜0，y2＜0
7.如果将抛物线y=x2+2向左平移1个单位，向上平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（?? ）
A.?y=（x﹣1）2+4?????????????????????/B.?y=（x+1）2+4?????????????????????/C.?y=x2+1?????????????????????/D.?y=x2+4
8.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其中部分图象如图所示，下列结论错误的是（?? ） ///
A.?4ac＜b2?????????????????????????????????????????????????????????????/B.?方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3； C.?当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3???????????????????D.?当x＜0时，y随x增大而增大
9.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论： ①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3 其中正确的有（?? ）个．
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
10.二次函数 ??=??
??
2
+????+?? （ ??≠0 ）的图像如图所示，下列结论：① ????>0 ；②当 ??≥1 时，y随x的增大而减小；③ 2??+??=0 ；④
??
2
?4????<0 ；⑤ 4???2??+??>0 ，其中正确的个数是（?? ）
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
二、填空题（共10题；共30分）
11.抛物线 ??=2
??
2
+3??+???2 经过点 (?1,0) ，那么 ??= ________．
12.抛物线 ??=
1
2
??
2
+???
3
2
与y轴的交点坐标是________.
13.若A（ ?
13
4
，
??
1
），B（ ?
5
4
，
??
2
），C（1，
??
3
）为二次函数y=
??
2
+4x﹣5的图象上的三点，则
??
1
、
??
2
、
??
3
的大小关系是________．
14.将抛物线y1=x2﹣2x﹣1先向右平移2个为单位，再向下平移1个单位得到抛物线y2 ， 则抛物线y2的顶点坐标是________．
15.若二次函数y=x2+2m﹣1的图像经过原点，则m的值是________．
16.如果函数y=（a﹣1）x2是二次函数，那么a的取值范围是 ________? ．
17.如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为________． /
18.抛物线y=x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
则抛物线的解析式是________．
19.抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论： ①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2； ④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是________．（只填写序号）
20.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直角∠MPN的顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________． ①EF=
2
OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=
3
4
；④OG?BD=AE2+CF2 ． /
三、解答题（共8题；共60分）
21.抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
22.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数． /
23.向上抛掷一个小球，小球在运行过程中，离地面的距离为y(m)，运行时间为x(s)，y与x之间存在的关系为y＝－
1
2
x2＋3x＋2.问：小球能达到的最大高度是多少？
24.如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C. / (1)求m的值； (2)求点B的坐标；
25.“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）”．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
26.已知二次函数??=
??
2
+2??+??的图象与x轴有且只有一个公共点. （1）求该二次函数的图象的顶点坐标； （2）若P(n，y1)，Q（n+2，y2）是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2 ， 求实数n的取值范围.
27.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D． / （1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC的面积； （3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．
28.如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AC=20，BC=15．动点P从A开始，以每秒2个单位长的速度沿AB方向向终点B运动，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为E、F． / （1）求AB与CD的长； （2）当矩形PECF的面积最大时，求点P运动的时间t； （3）以点C为圆心，r为半径画圆，若圆C与斜边AB有且只有一个公共点时，求r的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
二、填空题
11.【答案】3
12.【答案】（0， ?
3
2
）
13.【答案】
??
2
＜
??
1
＜
??
3
14.【答案】y=（x﹣3）2﹣3
15.【答案】
1
2
16.【答案】a＞1或a＜1
17.【答案】（
3?
5
2
，
3?
5
2
）
18.【答案】y=x2﹣4x+3
19.【答案】③⑤
20.【答案】①②④
三、解答题
21.【答案】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1）， ∴ {
??=?3
?4+2??+??=1
，解得 {
??=4
??=?3
， 抛物线的解析式为y=-x2+4x-3， 令y=0，得-x2+4x-3=0，即?x2-4x+3=0， ∴x1=1，x2=3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
22.【答案】解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： /?=（25﹣0.5x）m， 根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x
23.【答案】解：∵a＝－
1
2
<0， ∴y有最大值． 当x＝－
3
2×(?
1
2
)
＝3时， y最大＝
4×(?
1
2
)×2?
3
2
4×(?
1
2
)
＝
13
2
， 即小球能达到的最大高度是
13
2
m.
24.【答案】解：（1）∵二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0）， ∴-9+2×3+m=0， 解得：m=3； （2）∵二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3， ∴当y=0时，-x2+2x+3=0， 解得：x=3或x=-1， ∴B（-1，0）.
25.【答案】解：根据题意得： P=（﹣3x+108）（x﹣20） =﹣3x2+168x﹣2160 =﹣3（x﹣28）2+192．??? ∵a=﹣3＜0， ∴当x=28时，利润最大=192元； 答：当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元
26.【答案】解：（1） ??=
??
2
+2??+??=
??+1
2
+???1，对称轴x=-1 ∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0. ∴函数图象的顶点坐标为（—1，0） 或：与x轴有且只有一个公共点，∴22 -4m=0,??????? ∴m=1， ∴函数??=
??
2
+2??+1=（x+1）2 ∴函数图象的顶点坐标是（-1，0） ??? （2）∵P(n，y1)，Q（n+2，y2）是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2 ， n2+2n+1>（n+2）2+2（n+2）+1 ， 化简整理得，4n+8<0，????? ∴n < -2， ∴实数n的取值范围是n < -2.
27.【答案】解：（1）由题意，得：
?????+??=0
9??+3??+??=0
??=3
， 解之，得：
??=?1
??=2
??=3
， ∴y=-x2+2x+3； （2）由（1）可知y=-（x-1）2+4， ∴顶点坐标为D（1，4）， / 设其对称轴与x轴的交点为E， ∵S△AOC=
1
2
|AO|·|OC|=
1
2
×1×3=
3
2
， S梯形OEDC=
1
2
（|DC|+|DE|）×|OE|=
1
2
（3+4）×1=
7
2
， S△DEB=
1
2
|EB|·|DE|=
1
2
×2×4=4， S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OEDC+S△DEB=
3
2
+
7
2
+4=9； （3）△DCB与△AOC相似， 证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F， / ∵D（1，4），F（0，4）， ∴Rt△DFC中，DC=
2
，且∠DCF=45°， 在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=3
2
， ∴∠AOC=∠DCB=90°，
????
????
=
????
????
=
2
1
， ∴△DCB∽△AOC．
28.【答案】（1）在Rt△ABC中，AC=20，BC=15 ∴/ 又/ ∴/ （2）∵△APE∽△ABC, ∴/ ∴/， 即/， 同理可求：/ 设矩形PECF的面积为S，S="1.2t(20-1.6t)" ，当t=6.25时，S有最大值. （3）当圆与AB相切时，r=12，当圆与AB相交且只有一个交点时，15＜r≤20.
【易错题解析】冀教版九年级数学下册 第30章二次函数 单元检测试题
一、单选题（共10题；共30分）
1.将抛物线y=
1
2
x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（?? ）
A.?y=
1
2
（x﹣8）2+5?????/B.?y=
1
2
（x﹣4）2+5?????/C.?y=
1
2
（x﹣8）2+3?????/D.?y=
1
2
（x﹣4）2+3
【答案】D
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=
1
2
x2﹣6x+21 =
1
2
（x2﹣12x）+21 =
1
2
[（x﹣6）2﹣36]+21 =
1
2
（x﹣6）2+3， 故y=
1
2
（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y=
1
2
（x﹣4）2+3． 故答案为：D． 【分析】考查二次函数的平移变化；需要将二次函数化成顶点式??=??
????
2
+?? ， 由向左平移2个单位，则顶点式中（x-h）写成“（x-h+2）”即可。
2.函数??=
?????
??
2
+????+??是二次函数的条件是（ ）
A.?m、n是常数，且m≠０???????????????????????????????????????B.?m、n是常数，且m≠n C.?m、n是常数，且n≠０????????????????????????????????????????D.?m、n可以为任何常数
【答案】B
【考点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义列出方程与不等式解答即可． 【解答】由题意得 m-n≠0 且m,n都是常数， 所以? m≠n， 故选B. 【点评】解答本题的关键是掌握好二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(??≠0 ， a、b、c为常数)，尤其注意不能忽视二次项系数??≠0
3.已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ） /
A.?有最小值0，有最大值3???????????????????????????????????????/B.?有最小值﹣1，有最大值0 C.?有最小值﹣1，有最大值3???????????????????????????????????/D.?有最小值﹣1，无最大值
【答案】C
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【解析】【分析】根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值．
【解答】根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值3． 故选C．
【点评】此题主要考查了根据函数图象判断函数的最值问题，结合图象得出最值是利用数形结合，此知识是部分考查的重点．
4.抛物线 ??=
(???1)
2
与 ?? 轴的交点坐标是（ ??）
A.?(0,?1)???????????????????????????????????/B.?(1,?0)???????????????????????????????????/C.?(0,?-1)???????????????????????????????????/D.?(0,?0)
【答案】A
【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】当x=0时，y=1，故抛物线与y轴的交点坐标是（0,1），
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴相交，横坐标为0可求解。
5.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为 ?? 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 ??=?
1
400
(???80)
2
+16 ，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥ ?? 轴。若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（???? ） /
A.?16
1
40
米??????????????????????????????/B.?
17
4
米??????????????????????????????/C.?16
7
40
米??????????????????????????????/D.?
15
4
米
【答案】B
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据题意，由AC⊥x轴，OA=10米，可知点C的横坐标为-10，然后把x=-10代入函数的解析式 y=?
1
400
(x?80)
2
+16 =-
17
4
，即C点为（-10，-
17
4
），因此可知桥面离水面的高度AC为
17
4
m. 故答案为：B. 【分析】根据由AC⊥x轴，OA=10米，及C点的所在的象限可知点C的横坐标为-10，将x=-10代入函数的解析式可以算出对应的函数值，从而知道桥面离水面的高度AC的值。
6.已知二次函数??=?
??
2
+3???
3
5
，当自变量x取m对应的函数值大于0，设自变量分别取m－3，m＋3 时对应的函数值为y1 ， y2 ， 则（? ?? ）
A.?y1＞0，y2＞0?????????????????/B.?y1＞0，y2＜0?????????????????/C.?y1＜0，y2＞0?????????????????/D.?y1＜0，y2＜0
【答案】D
【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】如图，作出函数??=?
??
2
+3???
3
5
的图象，图象与x轴交于A，B两点， / 令??=?
??
2
+3???
3
5
=0?，则 根据一元二次方程根与系数的关系，AB=
??
1
+
??
2
=?
3
?1
=3。 当自变量x取m对应的函数值大于0时，函数图象位于A，B之间， ∴对自变量分别取m－3，m＋3 时对应的函数值为y1 ， y2 ， 有y1＜0，y2＜0。 故选D。
7.如果将抛物线y=x2+2向左平移1个单位，向上平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（?? ）
A.?y=（x﹣1）2+4?????????????????????/B.?y=（x+1）2+4?????????????????????/C.?y=x2+1?????????????????????/D.?y=x2+4
【答案】B
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=x2+2向左平移1个单位，向上平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是y=（x+1）2+2+2=（x+1）2+4． 故选：B． 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
8.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其中部分图象如图所示，下列结论错误的是（?? ） /
A.?4ac＜b2?????????????????????????????????????????????????????????????/B.?方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3； C.?当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3???????????????????D.?当x＜0时，y随x增大而增大
【答案】C
【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点
【解析】【解答】∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac＜b2 ， A不符合题意； ∵抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，B不符合题意； 当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，C错误，C符合题意； ∵抛物线的对称轴是x=1，开口向下， ∴当x＜0时，y随x增大而增大，D正确，D不符合题意， 故答案为：C． 【分析】依据抛物线与x轴的交点个数可对A作出判断，然后依据抛物线的对称性可求得抛物线与x轴的令一个交点的坐标，从而得到方程的两个根，故此可对B作出判断，当y＞0时，函数图像位于x轴的上方，从而可确定出自变量x的取值范围；依据函数图像可得到抛物线的增减性，从而可对D作出判断.
9.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论： ①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3 其中正确的有（?? ）个． /
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
【答案】B
【考点】根的判别式，二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式（组）
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个交点， ∴△＞0， ∴b2﹣4ac＞0，故①错误； 由于对称轴为x=﹣1， ∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称， ∵x=﹣3时，y＜0， ∴x=1时，y=a+b+c＜0，故②错误； ∵对称轴为x=﹣
??
2??
=﹣1， ∴2a﹣b=0，故③正确； ∵顶点为B（﹣1，3）， ∴y=a﹣b+c=3， ∴y=a﹣2a+c=3， 即c﹣a=3，故④正确； 故答案为：（B） 【分析】观察函数图像：根据抛物线与x轴有两个交点，得出b2﹣4ac＞0，可对①作出判断；根据x=1可知a+b+c的符号，可对②作出判断；根据对称轴为直线x=-1，可对③作出判断；结合顶点坐标及对称轴，可对④作出判断，即可得出答案。
10.二次函数 ??=??
??
2
+????+?? （ ??≠0 ）的图像如图所示，下列结论：① ????>0 ；②当 ??≥1 时，y随x的增大而减小；③ 2??+??=0 ；④
??
2
?4????<0 ；⑤ 4???2??+??>0 ，其中正确的个数是（?? ）/
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
【答案】B
【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】①由图像可知：抛物线开口向上，与y轴负半轴相交， ∴a>0，c<0， ∴ac<0. ∴①错误. ②由图像可知：抛物线开口向上，对称轴x=1， ∴当 x ≥ 1 时，y随x的增大而增大； ∴②错误. ③由图像可知：对称轴x=-
??
2??
=1， ∴2a+b=0. ∴③正确. ④由图像可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac>0. ∴④错误. ⑤由图像可知：当x=-1时y>0，再由函数性质知当 x ≤1 时，y随x的增大而减少； ∴当x=-2时，4a-2b+c>0. ∴⑤正确. 故答案为：B. 【分析】①由图像可知：抛物线开口向上，与y轴负半轴相交，即可得出a>0，c<0，从而得出ac<0.故①错误； ②由图像可知：抛物线开口向上，对称轴x=1，根据函数性质得出：当 x ≥ 1 时，y随x的增大而增大；故②错误； ③由图像可知：对称轴x=-
??
2??
=1，从而得出③正确. ④由图像可知：抛物线与x轴有两个交点，即b2-4ac>0.从而得出④错误. ⑤由图像可知：当x=-1时y>0，再由函数性质知当 x ≤1 时，y随x的增大而减少；从而得出⑤正确.
二、填空题（共10题；共30分）
11.抛物线 ??=2
??
2
+3??+???2 经过点 (?1,0) ，那么 ??= ________．
【答案】3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】把（-1，0）代入 ??=2
??
2
+3??+???2 得： 2-3+k-2=0, 解得：k=3. 故答案为3. 【分析】根据抛物线上点的坐标特点，把（-1，0）代入 y = 2 x 2 + 3 x + k ? 2 得出一个关于k的一元一次方程，求解即可得出k的值。
12.抛物线 ??=
1
2
??
2
+???
3
2
与y轴的交点坐标是________.
【答案】（0， ?
3
2
）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】抛物线与y轴的交点，即x=0， ∴y=-
3
2
， 故答案为：（0，-
3
2
） 【分析】根据函数与坐标轴交点求出即可.
13.若A（ ?
13
4
，
??
1
），B（ ?
5
4
，
??
2
），C（1，
??
3
）为二次函数y=
??
2
+4x﹣5的图象上的三点，则
??
1
、
??
2
、
??
3
的大小关系是________．
【答案】
??
2
＜
??
1
＜
??
3
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】将二次函数y=
??
2
+4x﹣5配方得 ??=
(??+2)
2
?9 ，所以抛物线开口向上，对称轴为x=﹣2，因为A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，所以
??
2
＜
??
1
＜
??
3
． 故答案为：
??
2
＜
??
1
＜
??
3
． 【分析】先将抛物线配成顶点式，，然后根据抛物线的开口向上，对称轴判断出A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，从而得出 y2＜ y1＜ y3 ．
14.将抛物线y1=x2﹣2x﹣1先向右平移2个为单位，再向下平移1个单位得到抛物线y2 ， 则抛物线y2的顶点坐标是________．
【答案】y=（x﹣3）2﹣3
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=x2-2x-1向右平移2个单位，得：y=（x-3）2-2； 再向下平移1个单位，得：y=（x-3）2-2-1=（x-1）2-3；即y=（x-3）2-3； 故答案是：y=（x-3）2-3． 【分析】首先将抛物线y=x2-2x-1配成顶点式，然后根据平移规律向右平移2个单位，得：y=（x-3）2-2；再向下平移1个单位，得：y=（x-3）2-2-1=（x-1）2-3；即y=（x-3）2-3；从而得出答案。
15.若二次函数y=x2+2m﹣1的图像经过原点，则m的值是________．
【答案】
1
2
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2+2m﹣1的图像经过点（0，0）， ∴2m﹣1=0， ∴m=
1
2
． 故答案为
1
2
． 【分析】利用二次函数图像上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式得到关于m的方程，然后解此方程即可．
16.如果函数y=（a﹣1）x2是二次函数，那么a的取值范围是 ________? ．
【答案】a＞1或a＜1
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由y=（a﹣1）x2是二次函数，得 a﹣1≠0．解得a≠1， 即a＞1或a＜1， 故答案为：a＞1或a＜1． 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
17.如图，边长为1的正方形ABCO，以A为顶点，且经过点C的抛物线与对角线交于点D，点D的坐标为________． /
【答案】（
3?
5
2
，
3?
5
2
）
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，正方形的性质，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A的坐标是（1，0）、C坐标是（0，1），设出解析式是y=a（x﹣1）2 ， 把C的坐标代入得：a（﹣1）2=1， 解得：a=1， 则抛物线的解析式是：y=（x﹣1）2； ∵B的坐标是（1，1）， 设OB解析式的解析式是y=kx，则k=1，则OB的解析式是y=x． 根据题意得： {
??=
(???1)
2
??=??
， 解得： {
??=
3+
5
2
??=
3+
5
2
（舍去），或 {
??=
3?
5
2
??=
3?
5
2
． 则D的坐标是：（
3?
5
2
，
3?
5
2
）． 故答案为：（
3?
5
2
，
3?
5
2
）． 【分析】根据图形首先求得A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线OB的解析式，然后两函数解析式联立组成的方程组即可求解。
18.抛物线y=x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
…
则抛物线的解析式是________．
【答案】y=x2﹣4x+3
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将x=0、y=3代入y=x2+bx+c，得：c=3， 由表可知，抛物线的对称轴x=﹣
??
2
=2， 解得：b=﹣4， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3， 故答案为：y=x2﹣4x+3． 【分析】将x=0、y=3代入解析式求得c，再根据抛物线的对称轴x=﹣
??
2
=2可得b，即可得抛物线的解析式．
19.抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论： ①abc＞0； ②a+b＞0； ③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2； ④a（m﹣1）+b=0； ⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a． 其中结论错误的是________．（只填写序号）
【答案】③⑤
【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式（组）
【解析】【解答】解：如图， / ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①的结论正确； ∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2， ∴0＜﹣
??
2??
＜
1
2
， ∴
1
2
+
??
2??
=
??+??
2??
＞0，∴a+b＞0，所以②的结论正确； ∵点A（﹣3，y1）到对称轴的距离比点B（3，y2）到对称轴的距离远， ∴y1＞y2 ， 所以③的结论错误； ∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0）， ∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0， ∴am2﹣a+bm+b=0， a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0， ∴a（m﹣1）+b=0，所以④的结论正确； ∵
4?????
??
2
4??
＜c， 而c≤﹣1， ∴
4?????
??
2
4??
＜﹣1， ∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的结论错误． 故答案为③⑤． 【分析】先根据题意画出抛物线的大致图像，观察函数图像的开口方向、对称轴的位置、抛物线与两坐标轴的位置可知：a＞0，b＜0，c＜0，可对①作出判断；根据抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，结合对称轴方程可得出a+b＞0，可对②作出判断；由点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，可根据两点到对称轴的距离远近对③作出判断；将（﹣1，0），（m，0），分别代入函数解析式，建立方程组，将两方程相减，再将方程变形即可对④作出判断；观察图像可知抛物线的顶点纵坐标＜c，且c≤﹣1，建立不等式通过变形可对⑤作出判断。
20.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，直角∠MPN的顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________． ①EF=
2
OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=
3
4
；④OG?BD=AE2+CF2 ． /
【答案】①②④
【考点】二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∴∠BOF+∠COF=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠BOF+∠COE=90°， ∴∠BOE=∠COF， 在△BOE和△COF中， {
∠??????=∠??????
????=????
∠??????=∠??????
， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF，BE=CF， ∴EF=
2
OE；故正确； ②∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=
1
4
S正方形ABCD ， ∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确； ③过点O作OH⊥BC， / ∵BC=1， ∴OH=
1
2
BC=
1
2
， 设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x， ∴S△BEF+S△COF=
1
2
BE?BF+
1
2
CF?OH=
1
2
x（1﹣x）+
1
2
（1﹣x）×
1
2
=﹣
1
2
（x﹣
1
4
）2+
9
32
， ∵a=﹣
1
2
＜0， ∴当x=
1
4
时，S△BEF+S△COF最大； 即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=
1
4
；故错误； ④∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°， ∴△OEG∽△OBE， ∴OE：OB=OG：OE， ∴OG?OB=OE2 ， ∵OB=
1
2
BD，OE=
2
2
EF， ∴OG?BD=EF2 ， ∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2 ， ∴EF2=AE2+CF2 ， ∴OG?BD=AE2+CF2 ． 故正确． 故答案为：①②④． 【分析】①根据全等三角形的定义，通过ASA判定得出△BOE≌△COF， 以此得出结论。 ②求证S四边形OEBF=S△BOC=
1
4
S正方形ABCD，得出结论。 ③设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，表示出S△BEF+S△COF，求出S△BEF+S△COF最大时的x值。 ④证出△OEG∽△OBE，由相似三角形的对应边成比例，求证出OG?BD=AE2+CF2。
三、解答题（共8题；共60分）
21.抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1）， ∴ {
??=?3
?4+2??+??=1
，解得 {
??=4
??=?3
， 抛物线的解析式为y=-x2+4x-3， 令y=0，得-x2+4x-3=0，即?x2-4x+3=0， ∴x1=1，x2=3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】运用待定系数法将两点坐标分别代入y=-x2+bx+c，得到关于b、c的方程组，解方程组可求出b、c的值。将 y=0代入求得的解析式中，得一个一元二次方程，解方程所求的未知数的值即是交点横坐标
22.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数． /
【答案】解：∵与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： /?=（25﹣0.5x）m， 根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可．
23.向上抛掷一个小球，小球在运行过程中，离地面的距离为y(m)，运行时间为x(s)，y与x之间存在的关系为y＝－
1
2
x2＋3x＋2.问：小球能达到的最大高度是多少？
【答案】解：∵a＝－
1
2
<0， ∴y有最大值． 当x＝－
3
2×(?
1
2
)
＝3时， y最大＝
4×(?
1
2
)×2?
3
2
4×(?
1
2
)
＝
13
2
， 即小球能达到的最大高度是
13
2
m.
【考点】二次函数的最值
【解析】【分析】根据a的值可得出y有最大值，将函数解析式配方成顶点式（或代入顶点公式），就可求出答案。
24.如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C. / (1)求m的值； (2)求点B的坐标；
【答案】解：（1）∵二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0）， ∴-9+2×3+m=0， 解得：m=3； （2）∵二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3， ∴当y=0时，-x2+2x+3=0， 解得：x=3或x=-1， ∴B（-1，0）.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值； （2）根据（1）求得二次函数的解析式，然后将y=0代入函数解析式，即可求得点B的坐标.
25.“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）”．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：根据题意得： P=（﹣3x+108）（x﹣20） =﹣3x2+168x﹣2160 =﹣3（x﹣28）2+192．??? ∵a=﹣3＜0， ∴当x=28时，利润最大=192元； 答：当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】根据题意得出每天获得的利润P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．
26.已知二次函数??=
??
2
+2??+??的图象与x轴有且只有一个公共点. （1）求该二次函数的图象的顶点坐标； （2）若P(n，y1)，Q（n+2，y2）是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2 ， 求实数n的取值范围.
【答案】解：（1） ??=
??
2
+2??+??=
??+1
2
+???1，对称轴x=-1 ∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0. ∴函数图象的顶点坐标为（—1，0） 或：与x轴有且只有一个公共点，∴22 -4m=0,??????? ∴m=1， ∴函数??=
??
2
+2??+1=（x+1）2 ∴函数图象的顶点坐标是（-1，0） ??? （2）∵P(n，y1)，Q（n+2，y2）是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2 ， n2+2n+1>（n+2）2+2（n+2）+1 ， 化简整理得，4n+8<0，????? ∴n < -2， ∴实数n的取值范围是n < -2.
【考点】根的判别式，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式（组）
【解析】【解答】（1）根据图象与x轴有且只有一个公共点，且对称轴为x=-1,求得函数的顶点坐标为（—1，0）； （2）解不等式可得出n < -2。 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数与不等式的知识点。
27.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D． / （1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC的面积； （3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意，得：
?????+??=0
9??+3??+??=0
??=3
， 解之，得：
??=?1
??=2
??=3
， ∴y=-x2+2x+3； （2）由（1）可知y=-（x-1）2+4， ∴顶点坐标为D（1，4）， / 设其对称轴与x轴的交点为E， ∵S△AOC=
1
2
|AO|·|OC|=
1
2
×1×3=
3
2
， S梯形OEDC=
1
2
（|DC|+|DE|）×|OE|=
1
2
（3+4）×1=
7
2
， S△DEB=
1
2
|EB|·|DE|=
1
2
×2×4=4， S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OEDC+S△DEB=
3
2
+
7
2
+4=9； （3）△DCB与△AOC相似， 证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F， / ∵D（1，4），F（0，4）， ∴Rt△DFC中，DC=
2
，且∠DCF=45°， 在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=3
2
， ∴∠AOC=∠DCB=90°，
????
????
=
????
????
=
2
1
， ∴△DCB∽△AOC．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，图形的剪拼，相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）已知A、B、C三点坐标，由待定系数可求出抛物线解析式； （2）求出顶点坐标，作辅助线把四边形ABDC的面积拆为二个三角形面积加上一梯形的面积，从而求出四边形ABDC的面积； （3）判断△BCD与△COA是否相似，验证是否满足相似比例关系．
28.如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AC=20，BC=15．动点P从A开始，以每秒2个单位长的速度沿AB方向向终点B运动，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为E、F． / （1）求AB与CD的长； （2）当矩形PECF的面积最大时，求点P运动的时间t； （3）以点C为圆心，r为半径画圆，若圆C与斜边AB有且只有一个公共点时，求r的取值范围．
【答案】（1）在Rt△ABC中，AC=20，BC=15 ∴/ 又/ ∴/ （2）∵△APE∽△ABC, ∴/ ∴/， 即/， 同理可求：/ 设矩形PECF的面积为S，S="1.2t(20-1.6t)" ，当t=6.25时，S有最大值. （3）当圆与AB相切时，r=12，当圆与AB相交且只有一个交点时，15＜r≤20.
【考点】二次函数的最值，直线与圆的位置关系，相似三角形的应用
【解析】【分析】 （1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB的长，然后由面积关系求出CD的长； （2）由相似关系可以求出PE、CE与t的关系，矩形PECF的面积最大，求点P运动的时间t； （3）当圆与AB相切时，r=12，当圆与AB相交且只有一个交点时，15＜r≤20.
